51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi olisi 1 Ω? b) Mikä on aallonpituus, kun taajuus on GHz?. Häviöttömän siirtojohdon sähköinen pituus on,3λ ja se on päätetty kompleksiseen kuormaimpedanssiin kuvan esittämällä tavalla. Määritä a) Heijastuskerroin kuorman luona b) Seisovan aallon suhde (SAS) jännitteelle c) Sisäänmenoimpedanssi in,3λ 75 Ω (4+j) Ω in 3. Toteuta 5 Ω:n koaksiaalikaapelilla a) 3 nf:n kondensaattori b) 8 mh:n kela Käytetty taajuus on 1 MHz. Oleta siirtojohto häviöttömäksi ja sen eristeaineen suhteelliseksi permittiivisyydeksi ε r 1. 4. Häviötön 5 Ω:n aaltojohto on päätetty tuntemattomaan impedanssiin. Aaltojohdolla olevaksi seisovan aallon suhteeksi saadaan 3 ja ensimmäinen minimi havaitaan 5 cm:n päässä kuormasta ja minimit sijaitsevat cm:n välein toisistaan. Määritä laskemalla matemaattisesti a) Jännitteen heijastuskerroin kuormassa b) Kuormaimpedanssi 5. Erään tuntemattoman kuorman aiheuttama jännitteen seisovan aallon suhde SAS. Sovita kuorma resistiivisellä vaimentimella siten, että sovituksen jälkeen SAS<. Määritä vaadittava minimivaimennus. aske kuormaan saatava teho ennen sovitusta ja sen jälkeen.
51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 6. 3 Ω:n johto on päätetty impedanssilla (+j1) Ω oheisen kuvan mukaisesti. 3 Ω (+j1)ω a) Määritä Smithin kartan avulla johdon heijastuskerroin ja SAS. Tarkista tulos laskemalla. b) Kuinka kaukana kuormasta sisäänmenoimpedanssin reaaliosa on ensimmäisen kerran johdon ominaisimpedanssin suuruinen? Kuinka suuri on imaginaariosa tällöin? c) Kuinka kaukana kuormasta sisäänmenoimpedanssi on ensimmäisen kerran puhtaasti resistiivinen? Kuinka suuri se silloin on? Pikakertaus Smithin kartasta: Smithin kartta: -vaakasuoralla lävistäjällä on siirtojohdon ominaisimpedanssilla normalisoitu resistanssi -oheisen liitteen kartassa negatiiviset reaktanssit sijaitsevat kartan alemmassa puolitasossa, positiiviset reaktanssit ylemmässä puolitasossa -ympyrän sisimmältä kaarelta luetaan siirtojohdon ominaisimpedanssilla normalisoitu reaktanssi -ympyrän kolmanneksi uloimmalta kaarelta luetaan heijastuskertoimen vaihekulma -ympyrän uloimmalta kaarelta voidaan lukea etäisyys kuormasta -ympyrän toiseksi uloimmalta kaarelta luetaan etäisyys generaattorista
1. a) Kun ε r ja z tiedetään, saadaan liuskan leveys kaavoista: A w 8e A h e (3.9), kun w h missä z A 6 1 6 ε r + 1 ε r + ε A 8e 8e w h h.53h A.73 e e.53.15mm.8 mm r 1.11.3 1 + + ε r 3.8 + 1 3.8 1.11 +.3 +.73 3.8 + 1 3.8.73 z (3.91) 1Ω, ( ehto w h ε r 3.8, h.15 mm siis _ täyttyy) b) Aallonpituus saadaan kaavalla λ ε g reff f c ε reff, kun ε r + 1 ε r 1 + 1 w +.4 1 1 1 h h + w 3.8 + 1 3.8 1 1 + +.4 1 1 + 1 1.89 8,998 1 m λ s g 91mm 9 1 1.7 s (.53) (3.86).7 w kun h 1 Tapaus on ideaalinen, koska liuskan paksuus t. Kun t, poikkeaa mm. liuskan sähköinen leveys fyysisestä leveydestä. (kirja s. 5) 1/13
. a) asketaan heijastuskerroin + 4 + j + 75 4 + j + 75,66 + j, 35 + j 115 + j 7 + j4 3 + j4 (3 j4)( 7 + 3 + 4 j4) 9 + j4 19 b) asketaan SAS 1+ SAS 1,345 1+,345 SAS 1,345,5 c) Sisäänmenoimpedanssi in + j + j tan βl tan βl Tangenttia laskettaessa huomataan käyttää radiaaneja Sijoitetaan lukuarvot ja sijoitetaan myös lauseke π β λ -> Saadaan tulos: in (7-j53) Ω /13
3. a) Oletetaan siis, että siirtojohto on häviötön. Tästä seuraa, että siirtojohdon vaimennuskerroin α. Eristeaineen ε r 1. Häviöttömän siirtojohdon sisäänmenoimpedanssille pätee yhtälö: ( l) + j + j tanβl tanβl,β l a) letäisyys kuormasta, βetenemiskerroin Toteutetaan C3 nf:n kondensaattori avoimella siirtojohdolla, jonka ominaisimpedanssi 5 Ω. Avoin siirtojohto ->. -> ( l) 1+ j tanβl + j tanβl Ylläolevassa lausekkeessa ( / )-> kun. 5 Ω l? j tanβl -> l) j cotβl ( Kondensaattorin impedanssin lauseke C 1 j ω C Jotta siirtojohto toteuttaisi 3 nf:n kondensaattorin, on oltava ( ωc ) 1 ( l) tanβl ωc βl arctan( ωc ) l arctan j tanβl jωc β C Nyt β π c 3 1, λ λ f 1 6 8 m / s Hz 6 9 8 ( π1 3 1 5) 3 1 m arctan l 36 6 π1 Eli avoimen koaksiaalikaapelin pituudeksi saadaan 36 m. 3/13
b) Toteutetaan 8 mh:n kela oikosuljetulla siirtojohdolla, jonka ominaisimpedanssi 5 Ω. Oikosuljetun siirtojohdon kuormaimpedanssi. 5 Ω l? l) j ( tanβl Kelan impedanssin lauseke on jω Jotta oikosuljettu siirtojohto toteuttaisi kelan, jonka 8 mh, on oltava ( l) l j tanβl 6 π1 8 1 arctan 5 6 π1 ω jω tanβl 3 3 1 8 75 m ω arctan ω βl arctan l β Eli 75 m:n pituinen oikosuljettu koaksiaalijohto toteuttaa 8 mh kelan taajuudella 1 MHz. 4/13
4. a) Seisovalla aallolla kahden peräkkäisen minimin välinen etäisyys on puoli aallonpituutta. Tällöin aallonpituus on λ, m, 4 m. Etenemiskerroin on puolestaan π π β 5π λ,4 rad / m Heijastuskertoimen itseisarvo saadaan ratkaistua: 1+ SAS 1 SAS 1,5 SAS + 1 Heijastuskertoimen vaiheen selvittämiseksi tarkastellaan aaltojohdon jännitteen lauseketta (4.1): V ( z) V e + jβz jβz ( 1+ e ) Merkitään jθ e V ( z) V e + jβz jθ jβz + jβz j( θ+ βz) ( 1+ e e ) V e ( 1+ e ) Ylläolevan lausekkeen amplitudi saa miniminsä, kun θ + βz π θ π βz ausekkeissa z-akselin suunta on määritetty oheisen kuvan mukaisesti. Tällä määrittelyllä yllä olevassa lausekkeessa z-,5 m -l z θ π + 5π,5, 5π Saadaan heijastuskertoimen arvo e jθ,5e j,5π j,5 5/13
b) Kuormaimpedanssi saadaan ratkaistua heijastuskertoimen lausekkeesta: + ( 1+ ) 1 5 j5 (3 1+ j,5 j4) Ω 6/13
5. Ilman vaimenninta kohti kuormaa etenevästä tehosta P heijastuu osa P ja osa ( 1 )P saadaan kuormaan. Kun kuorman eteen lisätään sovitettu vaimennin,jonka vaimennus on, etenee kohti kuormaa teho P/, josta osa ( 1 ) P / saadaan kuormaan ja osa P / heijastuu takaisin vaimentimeen. Tästä osasta vaimentimen läpi tulee teho P /. Koska ilman sovitusta SAS na, kuorman heijastuskertoimen itseisarvo on SAS SAS na na 1,95 + 1 Seisovan aallon suhde määritellään etenevän ja heijastuvan aallon amplitudien summan ja erotuksen osamääränä: SAS V V + + + V V (4.14) Oheisen kuvan tilanteessa, jossa vaimennin on mukana, voidaan edellisestä tällöin johtaa : SAS wa P + P P / P / 1+ / 1 / P P/ 1+ 3 1,715 4,3dB P/ P/ Ennen sovitusta kuormaan kytkeytyy teho ( 1 ) P,18 P eli 18% Sovituksen jälkeen saadaan teho ( 1 ) P /,7P eli 7% 7/13
6.a) Siirtojohdon impedanssi: Kuormaimpedanssi: 3 Ω + j1 Ω Normalisoidaan kuormaimpedanssi siirtojohdon impedanssilla : N /,67 + j,33 Etsitään normalisoitua kuormaa vastaava piste P1 Smithin kartalta. Johdon heijastuskerroin määritetään seuraavasti : 1 Mitataan pisteen P1 etäisyys x kartan keskipisteestä (1,) x mm Heijastuskertoimen itseisarvo II saadaan jakamalla x Smithin kartan säteellä y 7 mm II x/y /7.8 3 Heijastuskertoimen vaihekulma saadaan vetämällä viiva kartan keskipisteestä pisteen P1 kautta Smithin kartan kehälle, josta luetaan vastaava vaihekulma Φ 14 o. heijastuskerroin II Φ.8 14 o Johdon SAS saadaan piirtämällä pisteen P1 kautta ympyrä, jonka keskipisteenä on (1.) (kartan kp.). Pisteestä, jossa ympyrä leikkaa kartan lävistäjän, luetaan SAS. Huom. em. pisteen arvo>1. Kuvasta saadaan SAS 1.8 Tarkastetaan tulokset laskemalla : + + + 4 + j6.154 + 6 j1 3 1 + j1 j1 + 3 5 + j1 j.31.78 14 o 1+ 5 + j j ( 1+ j)(5 5 + 1 j) SAS 1+ 1+.8 1.8 1 1.8 8/13
6. a) 9/13
6. b) Suoritetaan tehtävä Smithin kartan avulla, jolloin on käytettävä normalisoituja impedansseja. Normalisoitu kuormaimpedanssi: + j1 n Ω,67 + 3 j,33 ( P1) Etsitään normalisoitua impedanssia n vastaava piste P1 Smithin kartalta. Siirrytään vakio-sas-ympyrää pitkin poispäin kuormasta (kohti generaattoria, suunta merkitty kartan laitaan) eli myötäpäivään pisteeseen P, jossa normalisoidun sisäänmenoimpedanssin reaaliosa 1 ensimmäisen kerran (eli sisäänmenoimpedanssin reaaliosa on ominaisimpedanssin suuruinen. P: np 1+, 58 j uetaan pisteitä P1 ja P vastaavat etäisyyslukemat kartan uloimmalta kaarelta. Pisteen P etäisyys kuormasta on edellämainittujen etäisyyslukemien erotus eli (,144-,77),67 aallonpituutta. Sisäänmenoimpedanssin reaaliosa on siis johdon ominaisimpedanssin suuruinen etäisyydellä d,67λ kuormasta. Tällöin sisäänmenoimpedanssin imaginääriosa jx j,58 3Ω j174ω. 1/13
6. b) P1 P 11/13
6. c) Edellä laskettiin normalisoiduksi kuormaimpedanssiksi: n.67+j.33 (piste P1) Tämä piste on sijoitettu Smithin karttaan ja sen kautta piirretty vakio- SAS-ympyrä kuten edellisessä tehtävässä. Siirrytään pitkin vakio-sas-ympyrää poispäin kuormasta generaattoriin päin niin kauas, että normalisoidun sisäänmenoimpedanssin imaginääriosa on nolla. Näin käy ensimmäisen kerran pisteessä P. Pisteen normalisoitu impedanssi luetaan: np 1.8 Tällöin sisäänmenoimpedanssi on IN 1.8 1.8 3Ω 54Ω Pisteen P etäisyys kuormasta (P1) on (.5-.77)λ.173λ 1/13
6. c) 13/13