1.4. VIRIAALITEOREEMA

1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen ja potentiaalienergian aikakeskiarvot toteuttavat ehdon: < T >= 1 2 < U >, HUOM: AIKAKESKIARVOT! jossa T = 1 2 P mi R i R i viriaali =< T > nimitys Koska aina T + U = E (vakio kokonaisenergia) < T >= E < U >= 2E Sovellettu esim tähtijoukkojen ja galaksijoukkojen stabiilisuuden & massojen arvioimiseen Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 13 Viriaaliteoreeman johtaminen Tarkastellaan systeemin hitausmomenttia J = P N i=1 m i R 2 i derivoidaan kahdesti ajan suhteen J = P N i=1 m i 2 R i R i J = P N i=1 m i 2 R i R i + P N i=1 m i 2 R i R i Ensimmäinen termi P Ni=1 m i 2 R i R i = 4T Jälkimmäinen termi 2 P N i=1 m i R i R i sijoitetaan liikeyhtälöt P Ni=1 m i R i R i = G P «N P Nk=1 R i=1 m i m k R i k R i r 3 k i ik = G P ««N P Nk=1 R i=1 m i m k»( R i R k ) k R i R r 3 + R k k R i k i ik r 3 ik = G P «N P Nk=1 i=1 m i m k» r 1 R R k i ik k i R k r 3 ik = 2U P N k=1 m k R k R k (jälkimmäinen termi sama kuin vasemmanpuolen termi negatiivisena) P N i=1 m i R i R i = U eli kaikkiaan J = 4T + 2U Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 14

Merkitään suureella z = J = P N i=1 m i2 R i R i Jos systeemi on stabiili niin z rajattu kaikkina aikoina (nopeudet R i ei kasva rajatta, ei myöskään R i ) Tällöin aikakeskiarvo < dz/dt >= 1 τ [z(τ) z(0)] 0 kun tarkasteltava aikaväli τ kasvaa rajatta Toisaalta < dz/dt >=< J >= 4 < T > +2 < U > stabiileilla systeemeillä 2 < T >= < U > kuten edellä väitettiin Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 15 ESIM.: Galaksijoukon massan arvioiminen, oletetaan että systeemin yli otetut keskiarvot vastaavat aikakeskiarvoja! T = 2 1 Pi m 2 iv i U = 2 1G P P m j m k j k r jk Oletetaan: kaikilla N galaksilla on sama massa m projektioefektit (k 1 ja k 2 ykkösen suuruusluokkaa olevat kertoimet) < V rec 2 >= k1 < V 2 > punasiirtymistä < 1/(r jk ) proj >= k 2 < 1/r jk > projisoidut etäisyydet arviot < T >= 1 2 mn < V rec 2 > /k i < U >= 1 2 Gm2 N(N 1) < 1/(r jk ) proj > /k 2 oletetaan että systeemi viriaalitasapainossa < U >= 2 < T > arvio m lle. (Esimerkkejä harjoituksissa) Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 16

2. KAHDEN KAPPALEEN PROBLEEMA Ratkaistavissa täydellisesti Monimutkaisempia tapauksia usein mahdollista käsitellä häirittynä kahden kappaleen tapauksena 2.1 SUHTEELLISEN LIIKKEEN YHTÄLÖ Määritellään inertiaalikoordinaatistossa: R 1 = Auringon paikkavektori m 1 R m 2 R 2 = Planeetan paikkavektori R = R 2 R 1 = Planeetan paikkavektori Aurinkon suhteen R 1 R 2 r = R Mikä on planeetan m 2 liike Auringon m 1 suhteen? Inertiaalisysteemin liikeyhtälöt: R 1 = Gm 2 R r 3 origo R 2 = Gm 1 R r 3 R = G(m 1 + m 2 ) R r 3 = µ R r 3 Eli kahden kappaleen suhteellisen liikkeen yhtälö samanmuotoinen kuin yhden kappaleen liikkeen yhtälö inertiaalikoordinaatistossa. HUOM µ = G(m 1 + m 2 ) Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 17 2.2 RADAT PAINOPISTEEN SUHTEEN Merkitään Auringon m 1 ja planeetan m 2 painopistettä R c ja painopisteen suhteen laskettuja paikkoja R c i = R i R c R c 1 = R 1 R c = m 2 /(m 1 + m 2 ) R m 1 R 1 c R 2 c R c R 2 R 1 m 2 R c 2 = R 2 R c = m 1 /(m 1 + m 2 ) R Eli kappaleiden radat toistensa suhteen ja painopisteen suhteen yhdenmuotoi sia origo Eo. lauseekkeet helppo johtaa: M R c = m 1 R 1 + m 2 R 2 jossa M = m 1 + m 2 painopisteen määritelmä m 1 R c 1 + m 2 R c 2 = 0 toinen painopisteen määritelmä R c 2 = m 1/m 2 R c 1 suhteellinen paikkavektorivektori R = R 2 R 1 = R c 2 R c 1 = m 1 /m 2 R c 1 R c 1 = (m 1 + m 2 )/m 2 R c 1 R c 1 m 2/(m 1 + m 2 ) R Painopistesysteemi Suhteellinen liike Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 18

2.3 KAHDEN KAPPALEEN SUHTEELLISEN LIIKKEEN INTEGRAALIT N=2 kappaleen probleema Painopisteen rata sisälsi 6 liikevakiota 2*6=12 liikevakiota Jäljellä olevista 4 saataisiin välittömästi laskemalla impulssimomenttivektori ja energia painopiste systeemissä Ratojen yhdenmuotoisuus käytetään Aurinkokeskistä koordinaatistoa, joka on kätevämpi valinta planeettojen liikkeen kuvailuun HUOM: tämä ei ole inertiaalikoordinaatisto eli ei voi suoraan olettaa tässä systeemissä laskettujen imp.mom.vektorin ja energian olevan vakioita! liikevakiot (6 kappaletta) etsittävä suoraan suhteellisen liikkeen liikeyhtälöstä lähtien R = µ R r 3 [Tullaan näkemään: suhteellisen liikkeen integraalien ja painopistesysteemin integraalien välillä luonnollinen yhteys] Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 19 SUHTEELLISEN LIIKKEEN IMPULSSIMOMENTTIVEKTORI: k = R R Lasketaan d k/dt = R R + R R = 0 + R ( µ R r 3) = 0 (vektorin ristitulo itsensä kanssa häviää) Planeetan suhteellinen impulssimomentti yksikkömassa kohti on vakiovektori k 1) Koska k on määritelmänsä mukaan kohtisuorassa sekä R että V vastaan k on kohtisuorassa hetkellistä liiketasoa vastaan 2) Koska k = vakio liike rajattu kaikilla hetkillä vakio ratatasoon. HUOM: sama tulos ( k on vakiovektori) pätee yleisemmin kaikilla keskeisvoimilla Eli R = f(r) R/r. KUVA! Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 20

PERISENTRIVEKTORI: e = 1 µ k R R/r (myöhemmin annetaan geometrinen tulkinta: e on radan perisentrin suuntainen vektori nimitys) Muodostetaan vektoritulo k R k R = ( R R) ( µ R/r 3 ) = µ/r 3 R ( R R) h = µ/r 3 R( R R) R( i R R) (muista: A B = B A) (muista: A ( B C) = B( A C) C( A B)) h = µ/r 3 Rrṙ Rr 2i (muista: R R = r 2 2 R R = 2rṙ) h i h i = µ R r Rṙ r 2 = d R dt µ r HUOM: viimeinen askel vaatii että f(r) 1/r 2 Toisaalta d dt ( k R) = k R + k R = k R sillä k = 0 k R + µ R/r = vakiovektori = µ e HUOM: e = vakio pätee vain muotoa f(r) = 1/r 2 olevalle keskeisvoimalle (yleisessä tapauksessa perisentrin suunta kiertyy) Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 21 Vektoreilla k ja e yhteensä kuusi komponenttia. Ovatko ne halutut 6 liikevakiota? Ei, sillä k e = 0 eli e on k määräämässä ratatasossa Helppo osoittaa: k ( µ e) = k ( k R + µ R/r) = ( k k) R + µ k R/r = 0 Eo. ehdon takia yksi e:n komponenteista voidaan aina lausua k komponenttien ja kahden muun e:n komponentin avulla k ja e sisältävät yhdessä vain 5 riippumatonta liikevakiota Vektoreita k ja e kutsutaan ns. ratavektoreiksi ja niillä on paljon käyttöä jatkossa KUVA Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 22

SUHTEELLISEN LIIKKEEN ENERGIA h Kerrotaan liikeyhtälö R R = µ r3 skalaarisesti puolittain nopeusvektorilla R R = µ R R/r 3 = µṙ/r 2 = d dt (µ/r) (muista R R = ṙr) Toisaalta: d dt (1 2 v2 ) = d dt (1 2 R R) = R R Huom v = R ei sama kuin ṙ (v sis myös tangentiaalisen komponentin) 1 2 v2 µ/r = h skalaarivakio h= energiaintegraali, suhteellisen liikkeen kokonaisenergia yksikkömassaa kohti Aurinkokeskisessä koordinaatistossa Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 23 Yhteys painopistekoordinaatistossa laskettuun kokonaisenergiaan E = m 1 m 2 m 1 +m 2 h = redusoitu massa kertaa h (osoitetaan laskuharjoituksissa) Vastaavasti k on suhteellisen liikkeen impulssimomentti massayksikköä kohti, ja L = m 1 m 2 m 1 +m 2 k HUOM: jos m 2 /m 1 << 1 (Planeetta << Aurinko) redusoitu massa m 2, eli painopistesysteemi eroaa vain vähän Aurinkokeskisestä systeemistä Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 24

Energia on uusi liikevakio, onko riippumaton? Ei, sillä h on lausuttavissa k ja e avulla Lähdetään e määritelmästä µ e = k R + µ R/r µ 2 e 2 = ( k R) ( k R) + µ 2 ( R/r) ( R/r) + 2µ r ( k R) R 1 termi ( k R) ( k R) = h k R ( R)i k = h k k( R R) R( R k)i = ( k k)( R R) käytetty hyväksi kaavaa A ( B C) = ( A B) C sekä kaavaa A ( B C) = B( A C) C( A B) 2 termi µ 2 ( R/r) ( R/r) = µ 2 (yksikkövektorin pistetulo itsensä kanssa =1) 3 termi 2µ r ( k R) R = 2µ r k ( R R) = 2µ r ( k k) ( k = R R joten R R = k) µ 2 e 2 = k 2 v 2 + µ 2 2µ r k2 µ 2 ( e 2 1) = k 2 (v 2 2µ/r) = 2k 2 h h = µ2 (e 2 1) 2k 2 energia riippuu itseisarvoista k = k ja e = e Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 25 MIKÄ ON PUUTTUVA KUUDES INTEGRAALI? k littyy ratatason asemaan 3D avaruudessa e littyy radan muotoon ja orientaatioon ratatasossa tarvitaan jotain mikä liittyy planeetan paikkaan radalla eli liittyy aikaa AIKAAN LIITTYVÄ KUUDES RIIPPUMATON LIIKEVAKIO: esim perisentriaika = ajanhetki jolloin suhteellinen etäisyys pienimmillään. Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 26

Johdetaan perisentriaika t 0 ratkaisemalla muodollisesti radiusvektorin pituus ajan funktiona: Sylinterikoordinaatistossa (r, f, z) kantavektorit ê r, ê f ja ê z z-akseli on k suuntainen, r ja f ovat ratatasossa olevat napakooridinaatit R = rê r R = ṙê r + rfê f v 2 = R R = ṙ 2 + (rf) k = R R = r 2 f(ê r ê f ) = kê z v 2 = ṙ 2 + k2 r 2 Energiaintegraalista saadaan toinen lauseke h = 1 2 v2 µ/r Yhdistetään ṙ 2 = 2h + 2µ/r k 2 /r 2 v 2 = 2h + 2µ/r Eli dr dt = p 2h + 2µ/r k 2 /r 2 r = r(t) Z r r 0 HUOM: Karttusen kirjassa vaaralliset merkinnät! Z dr t p 2h + 2µ/r k2 /r = 2 t 0 dt = (t t 0 ) Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 27 HUOM: INTEGROIMISVAKIOIDEN VALINTA Edellä oleva kuuden integroimisvakion kokoelma k, e, t 0 on vain yksi monista mahdollisista valinnoista kahden kappaleen probleeman ratkaisun kuvaamiseen Esim. geometriset rataelementit (6 kappaletta) Myös: planeetan paikka R ja nopeus V (6 komponenttia) jollakin hetkellä määrittelevät yksikäsitteisen ratkaisun Taivaanmekaniikka, SL2012, Luento 2 (22/09/2014) 28