4. RAJOITETTU 3 KAPPALEEN ONGELMA

Transkriptio

1 4. RAJOITETTU KAPPALEEN ONGELMA Yleinen kappaleen liike 8>< R = Gm R = Gm R R R R + Gm R R R R + Gm R R R R R R R R > : R = Gm R R R R + Gm R R R R kpl vektorikomponenttia 9 toisen asteen diff. htälöä ratkaisu sisältää 8 integroimisvakiota vain tunnetaan: P mi R i P mi R i ) massakeskipisteen liike P mi R i R i kok. imp. mom. P m R i Pi j Gm i m j R i R j kok. energia Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, Sundman 9: leinen ratkaisu sarjojen avulla (kätännössä hödtön) Lagrange 77: erikoistapaus: muoto säil, liike laskettavissa 8>< > : F i r i etäiss massakeskipisteestä v i r i F i kohti massakeskipistettä α = α = α Hödllinen erikoistapaus: Circular restricted -bod problem - Kaksi massiivista kappaletta kiertää toistensa suhteen mprärataa (m ja m) - Kolmas kappale ei vaikuta muihin, ainoastaan liikkuu massallisten kappaleiden kentässä ("testikappale") - Prkimksenä on tämän testikappaleen liikkeen selvittäminen (Sovellutuksia esim: Aurinko-Jupiter-asteroidi) Taivaanmekaniikka, S, Luento 9,

2 Yksiköt: massiiviset kappaleet m + m = ( m = m merk.: m = m Grav. vakio G = radan säde a= s periodi P = π a G(m + m) π r kulmanopeus n = π P = G(m +m ) a Koordinaatistot: ) Kiinteä karteesinen (ξ, η, ζ) koordinaatistot, jonka origo massojen m ja m massakeskipisteessä ja ξη-taso vastaa niiden ratatasoa ) Pörivä (,,z) koordinaatisto, kiertää kappaleiden mukana siten, että m ja m aina -akselilla Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, Massojen m ja m koordinaatit (ξ, η, ) ja (ξ, η, ) - pörivässä ssteemissä (,, ) ja (,, ) = a = - massakeskipiste origossa ( m) + m = = = + ) ( = m = m Valitaan hetkellä t = : -akseli ξ-akseli hetkellä t =,,,z koordinaatit saadaan kiertämällä kulman nt verran z-akselin suhteen. Toisin päin muunnos vastaa -nt kiertoa, ξ η ζ A cos(nt) sin(nt) sin(nt) cos(nt) z A cos(nt) sin(nt) sin(nt) + cos(nt) z A Massakeskipiste-ssteemi = inertiaalissteemi testikappaleen (ξ, η, ζ) liikehtälö ( η ja ζ vastaavasti ) ξ ξ ξ = ( m) r + m ξ ξ r Taivaanmekaniikka, S, Luento 9,

3 lasketaan derivaatat (*) htälön avulla pörivän ssteemin koorinaattien avulla ξ = ẋ cos(nt) n sin(nt) ẏ sin(nt) n cos(nt) = (ẋ n) cos(nt) (n + ẏ) sin(nt) ξ = (ẍ nẏ) cos(nt) n(ẋ n) sin(nt) (nẋ + ÿ) sin(nt) n(n + ẏ) cos(nt) = (ẍ nẏ n ) cos(nt) (ÿ + nẋ n ) sin(nt) vastaavasti: η = (ẍ nẏ n ) sin(nt) + (ÿ + nẋ n ) cos(nt) ja toisaalta ζ = z Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, sijoitetaan liikehtälöihin: 8 >< ξ ξ = ( ) cos(nt) + sin(nt) η η = ( ) sin(nt) cos(nt) > : ζ ζ = z () (ẍ nẏ n ) cos(nt) (ÿ + nẋ n ) sin(nt) " # " = ( m) r + m r cos(nt) + ( m) r + m r # sin(nt) () (ẍ nẏ n ) sin(nt) + (ÿ + nẋ n ) cos(nt) h i h i = sin(nt) cos(nt) cos(nt) () + sin(nt) () sin(nt) () + cos(nt) () ) Taivaanmekaniikka, S, Luento 9,

4 ẍ nẏ n = ( m) r + m r ÿ + nẋ n = ( m) r m r z = ( m) z r m z r = liikehtälöt pörivässä ssteemissä Huom: Aika ei esiinn eksplisiittisesti VERTAA harjoituksissa johdettuun pörivän koordinaatiston näennäiseen liikehtälöön (nt origot samat ja pörivän ssteemin kulmanopus ω vakio): D Dt p = R ω D p Dt ω ( ω p) Pörivässä ssteemissä kappaleeseen nättää vaikuttavan kiihtvdet Todellisten voimien aiheuttama R = F /m Coriolis-kiihtvs ω D p Dt Keskipakoiskiihtvs ω ( ω p) Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, Todetaan että tulokset vastaavat toisiaan. Nt: ω = [,, n] p = [,, ] D p/dt = [ẋ, ẏ, ] D p/dt = [ẍ, ÿ, ] ω D p Dt = î ĵ ˆk ω ω ωz ẋ ẏ ż = î ĵ ˆk n ẋ ẏ = [ nẏ, nẋ, ] Vastaavasti ω p = [ n, n, ] Joten ω ( ω p) = î ĵ ˆk n n n = [ n, n, ] Sijoitetaan htälöön D D p Dt p + ω Dt + ω ( ω p) = F /m ẍ nẏ n = F/m ÿ + nẋ n = F/m z = Fz/m Taivaanmekaniikka, S, Luento 9,

5 Määritetään funktio ("pseudo-potentiaali") U(,, z) = n ( + ) + m r + m r 8>< U = n + U = n + ( m)( ) m `( ) + +z + m( ) r + m `( ) + +z A = n + ( m)( ) r + m( ) r > : U z = ( m)z r mz r liikehtälöt kirjoitettavissa muotoon 8>< ẍ nẏ = U ÿ + nẋ = U > : ÿ = U z Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, Eli testikappaleen kiihtvs koostuu Coriolis-voimista (nẏ, nẋ, ) Gravitaatiovoimasta, joka saadaan potentiaalista ( m) r + m r Keskipakoisvoimasta, joka saadaan potentiaalista n ( + ) Huom: U ei ole todellinen potetiaali, koska Coriolis-termit mös mukana (eli voimia ei voi esittää pelkästään U:n gradienttina) HUOM: Normaalisti fsiikassa voima esitetään miinus potentiaalin gradienttina Esim N-kappaleen liikehtälöt m i R i = i U i =,..., N U = G N X j= N X k= k j m j m k r jk Historiallisten siden takia rajoitetussa kolmen kappaleen -tapauksessa pseudo-potentiaalin etumerkki määritellään vastakkaisena normaalille kätännölle tässä tapauksessa voima = pseudopotentiaalin gradientti (positiivisenä) Taivaanmekaniikka, S, Luento 9,

6 Liikehtälöiden integraali: vain ksi lödettävissä = Jacobi n integraali ẋ ẍ nẏ = U kerrotaan ẏ ÿ + nẋ = U ja summataan ż z = U z eli d dt ẋẍ + ẏÿ + ż z = U (ẋ + ẏ + ż ) «(ẋ + ẏ + ż ) {z } = du dt V = U d dt + U C {z} vakio d dt + U z dz dt V = U C C = U V Jacobi n integraali Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, η Y Pörivässä koordinaatistossa P C = n ( + ( m) ) + + m (ẋ + ẏ + ż ) r r r r nt X m ξ Entä Inertiaalikoordinaattien avulla esitettnä? ( = ξ cos(nt) + η sin(nt) = ξ sin(nt) + η cos(nt) m + = ξ + η ẋ = ( ξ + nη) cos(nt) + ( η nξ) sin(nt) ẏ = ( ξ + nη) sin(nt) + ( η nξ) cos(nt) ẋ + ẏ = ( ξ + nη) + ( η nξ) = ξ + η + n (η + ξ ) + n(η ξ ηξ) ( m) (*) C = + m» ξ + η + ζ n(ξ η ξη) r r Taivaanmekaniikka, S, Luento 9,

7 Inertiaalissteemissä: - testikappaleen energia / massaksikkö E = [ ξ + η + ζ ] m r m r - Impulssimomentti / massaksikkö ( R V ) L = (ξ, η, ζ) ( ξ, η, ζ) ê ξ êη ê ζ ξ η ζ ξ η ζ A Impulsimomentin e ζ komponentti ξ η η ξ = L ζ (,, z) ssteemin kulmanopeus (,, n) = Ω eli n(ξ η η ξ) = Ω L vrt. htälö (*) C = E + Ω L Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, Eli testikappaleen energia/massaksikkö E = v ine m r m r vakio Impulssimomentti/massaksikkö L ζ = ξvη ηv ξ vakio Mutta J = C = E Ω L on vakio Huom: massojen m, m, m muodostaman ssteemin energia ja impulssimomentti tietenkin vakioita. Mutta koska tehtiin approksimaatio m, nämä vakiot eivät kerro mitään testikappaleen liikkeestä: L tot = m L + m L + {z} m = L... Taivaanmekaniikka, S, Luento 9,

8 4. Hill n Nollanopeuspinnat pinnat (z mielivaltainen) kärät (z = ) Jacobi n integraali C = U V eli C = n ( + ( m) ) + (r) ( alkuarvoilla + m (r),, z ẋ, ẏ, ż (ẋ + ẏ + ż ) V oltava voimassa kaikkialla missä testikappale voi liikkua Asettamalla V = saadaan kaikkia ns. Hill n pinta, joka rajaa liikettä (annetuilla alkuarvoilla) V = U = C sallitussa alueessa U > C Huom: ehto ei kerro miten liike tapahtuu sallitun alueen sisällä. Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, U = n ( + ( m) ) + + m > C r r r = ( ) + + z r = ( ) + + z Lagrangen pisteet = Pseudopotentiaalin U ääriarvopisteitä tai satulapisteitä: U = (Muista: potentiaalin merkki on vastakkainen normaalille määrittellle: kappaleet vastaavat potentiaalikuoppia ) m= L L L Taivaanmekaniikka, S, Luento 9,

9 Kuva nättää millainen U(,, z = ) on eri m arvoilla 8 >< m =.5 (m = m =.5 m =. (m =.8, m =.) > : m =.5 (m =.95, m =.5).5. m= L L L jos + suuri U suuri tai jos tai r suuri r m=..5. eli r tai r pieni L ns. Lagrangen pisteet L L L m= L L L Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, Kuva : ESIMERKKI: m=., C RAJAA LIIKETTÄ: viivoitettu alue on ns. kiellett alue C suuri liike rajattu ovaaleihin lähelle m tai m tai kauas origosta ( keskipakoiseste ) m=. U = 4.5 L L L m=. U =.8 L L L C pienenee (esim v suurempi ) ovaalit laajenee, ulkomprä supistuu - - C pienenee lisää ovaalit htvät ns. L pisteessä m=. U = m=. U =.55 C pienenee vielä lisää ovaalit avautuvat ensin L:ssa ja sitten L pisteessä - L L L - L L L ja vielä... kiellett alueet vain ja mpärillä kunnes katoavat kokonaan m=. U = m=. U =. L L L L L L Taivaanmekaniikka, S, Luento 9,

10 Kuva : Miltä pinnat nättävät projisoituna z ja z tasoihin (Kirjasta Ro: Orbital Motion) Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, Numeerinen esimerkki: KIELLETYT ALUEET Kaksi Auringon massaista tähteä kiertää toisiaan mpräradalla AU:n etäisdellä. Avaruusalus on etäisdellä.5 AU toisesta tähdestä (olkoon se m) ja sen nopeus pörivässä ssteemissä on km/sec kohti toista tähteä (m). Voiko alus päästä tähden m läheisteen? VOIKO ALUS YLITTAA L-PISTEEN? VAI EI? L L L L L L Muutetaan fsikaaliset ksiköt dimensiottomiksi: Nopeuden ksikkönä tähtien ratanopeus V orb = q G(m +m ) a = q GM sun AU = km/sec = 4.4km/sec Aluksen nopeus km/sec vastaa v =./4.4 =.7 Etäisden ksikkönä tähtien etäiss AU =.5 Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, 8..4

11 Sallitussa alueessa aluksen Jacobi n vakio C(,, (v), (v)) < U(, ) Alkutila: =.5, r =.75,r =.5, m = m =.5 C = m/r + m/r + + v = /.5 + / = 4.89 L-piste on nt origossa (koska m = m) U(L) = m/r + m/r + + = /.5 + /.5 = 4 koska U(L) < C alus ei voi päästä L-pisteeseen L-piste aukeaa nopeudella km/sec 5 km/sec V=.7 (=km/sec) V=. (=55km/sec) L L L L L L Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, 8..4 NOPEUDEN VAIKUTUS: V kasvaa C pienenee, sallittu alue kasvaa V=.6 (=5km/sec) C=5.7 V=.7 (km/sec) C=4.89 V=.7 (45km/sec) C= L L L L L L L L L L L ja L ja M=M=.5, =.5 C V=.4 (6km/sec) C=.7 - L L L V=.78 (75km/sec) C=. - L L L V=. (9km/sec) C=.85 - L L L V Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, 8..4

12 SALLITTU ALUE ei ksinään kerro miten liike tapahtuu! tässä esimerkissä sama C:n arvo: alkupaikka sama, mutta alkunopuden suunta erilainen V=. =.5.. V=. = L L L. L L L Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, Lagrangen pisteet Lagrangen pisteet = Pseudo-potentiaalin ( U ääriarvopisteitä satulapisteitä U = U = U z = tällöin liikehtälö muotoa 8 >< ẍ nẏ = ÿ + nẋ = eli jos ẋ = ẏ = ẍ = ÿ = z = > : z = eli kappaleeseen ei kohdistu kiihtvttä (pörivässä ssteemissä!) kappale ps levossa massallisten partikkeleiden suhteen Taivaanmekaniikka, S, Luento 9,

13 Pisteet ) minimejä, muodotuvat tasasivuisen kolmion m ja m kanssa L, L, L satulapisteitä: samalla suoralla m ja m kanssa stabiilisuus: L, L, L epästabiileja, stabiileja jos m <.85 M kuu /M Maa /8 ja stabiileja Esim: Maa-Aurinko: L "vastavalo" (Gegenshein): pöln kertminen L pisteeseen vaikkei ole stabiili, liike hidastuu tihes-maksimi Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, , stabiileja jos m <.85 TADPOLE-ORBIT HORSESHOE-ORBIT Eo. radoista runsaasti sovellutuksia Aurinkokunnassa: Jupiter-Aurinko ssteemi: Troijalaiset asteroidit ( libraatio ja pisteiden mpärillä ±6 Jupiteriin nähden)/home/heikki/opetus/dyna6/salo Saturnuksella ns. co-orbitaali pari Janus-Epimetheus jakavat saman keskietäisden (hevosenkenkä-rata) Taivaanmekaniikka, S, Luento 9,

14 Periaatteessa mahdollista laajentaa +N tapaukseen: Massivinen keskuskappale + pienet satelliitit joilla sama keskietäiss (kts kopio Salo & Yoder 988, AA 5, 9) Stabiilit ei-smmetriset ratkaisut N = 8 Stabiilit smmetriset ratkaisut N 7 + Epästabiileja tasapaino-ratkaisuja Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, Tisserandin kriteerio Sovelletaan Jacobi n integraalia komeettojen tunnustamiseen: komeetan rata muuttuu voimakkaasti (a, ǫ, i) niiden ohittaessa Jupiterin (tai muun planeetan) lähietäisdeltä. Rajattua kolmen kappaleen probleemaa voidaan soveltaa, sillä ǫ Jupiter Jupiter-Aurinko rata likimain mprä m komeetta /m Jupiter Nt: m = ( m) = Auringon massa m = m = Jupiterin massa. Ei-pörivässä inertiaalissteemissä Jacobi n vakio C = v ξ + v η m + v ζ n(ξv η ηv ξ ) r m r ξ, η, ζ Jupiter-Aurinko ssteemin massakeskipisteeseen nähden laskettuja koordinaatteja m Aurinko /m Jupiter 5 massakeskipiste lähes Auringon sisällä ξ, η, ζ vastaavat kätännössä heliosentrisiä koordinaatteja (ja niistä lasketut suureet heliosentrisiä rataelementtejä) Taivaanmekaniikka, S, Luento 9,

15 Siten voidaan kirjoittaa: v ξ + v η + v ζ V = (/r /a)µ (Nt µ = G(m + m) = ) r r Heliosentrinen etäiss /r Kun komeetan rataelementit määrätään ennen ja jälkeen Jupiter-kohtaamisen n(ξvη ηv ξ ) kz = p µa( ǫ ) cos i (Kätetään Jupiterin isoakslia ksikkönä n=) Siten C = vakio (/r /a) p µa( ǫ ) cos i (/r + ) tarkkaan ottaen i = inclinaatio Jupiterin radan suhteen, mutta i i eli inklinaatio Maan ratatason suhteen Eli saadaan Tisserandin kriteerio: /(a) + p µa( ǫ ) cos i vakio ennen ja jälkeen kohtaamisen (vastaa J = C = E Ω L = vakio, E = /(a) ja Ω L = Lz ) Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, Esimerkki Tisserandin kriteerion soveltamisesta (kirjasta Solar Sstem Dnamics, Murra+Dermott) - Komeetan rataelementit ovat: a = 4.8 AU ǫ =.76 i = 7.47 Komeetta ei palaakaan Auringon lähelle odotetun - vuoden jälkeen. - Möhemmin havaitaan uusi komeetta, jonka rataelementit ovat a =.8 AU ǫ =.7 i =.4 Voiko kseessä olla sama komeetta, jonka rataa Jupiter on muuttanut? - Sovelletaan Tisserandin kriteeriota. Huomattava, että etäisdet mitataan kättäen ksikkönä Jupiterin radan sädettä a Jupiter = 5.AU a = 4.7/5. =.94 ja a =.8/5. =.77 /(a ) + p a ( ǫ ) cos i =.57 /(a ) + p a ( ǫ ) cos i =.57 Likimain vakio todennäköisesti sama komeetta Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, 8..4

16 Tisserandin kriteerio: esimerkki 5 Jupiter Taivaanmekaniikka, S, Luento 9, 8..4