1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa."

Laura Noora Halonen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on kg. Maan massoina tämä on / = ja Auringon massoina m = / = Maan alkuperäinen kiertoaika on P 0 = a 3/2 ja uusi P 1 = a 3/2 / 1 + m vuotta. Näiden erotus on P 0 P 1 = a 3/2 (1 1/ 1 + m ) = 1 (1 + m ) 1/2. Koska m 1, tätä ei oikein voi laskea laskimella. Arvioidaan neliöjuuritermiä Taylorin sarjan kahdella ensimmäisellä termillä: (1 + m ) 1/ m, jolloin P 0 P 1 m /2 = a s.

Maan alkuperäinen kiertoaika on P 0 = a 3/2 ja uusi P 1 = a 3/2 / 1 + m vuotta. Näiden erotus on P 0 P 1 = a 3/2 (1 1/ 1 + m ) = 1 (1 + m ) 1/2.

2 2. Ajatellaan, että katsomme aurinkokuntaamme joltakin kaukaiselta planeetalta (olkoon sen etäisyys 10 pc, jolloin Auringon näennäinen magnitudi on sama kuin sen absoluuttinen magnitudi 4.82). Kun Jupiter kulkee Auringon editse ja peittää siitä osan näkyvistä, kirkkaus pienenee hieman. Kuinka suuri muutos on magnitudeina? Jupiterin säde on km ja Auringon km. Jupiter peittää Auringon pinnasta osan (71500/696000) 2 = Jos Auringon vuontiheys on normaalisti F 0, pimentyneen Auringon vuontiheys on F 0. Magnitudeissa muutos on m m 0 = 2.5lg(0.9894/1.0) =

Kuinka suuri muutos on magnitudeina? Jupiterin säde on 71500 km ja Auringon 696 000 km. Jupiter peittää Auringon pinnasta osan (71500/696000) 2 = 0.

3 3. Kuinka paljon Jupiterin paikka taustatähtien suhteen muuttuu vuorokaudessa sen ollessa oppositiossa? Jupiterin sideerinen kiertoaika on d ja a=5.202 AU. Voit olettaa Maan ja Jupiterin radat ympyröiksi. Jupiterin keskiliike on n J = 2π/ rad/d = rad/d Vuorokaudessa se etenee radallaan suunnilleen matkan s J = = AU. Maalle vastaavat arvot ovat n M = 2π/ = rad/d ja s M = AU. Suunnan muutos on siten s M s J = = rad = Jos tämän haluaa laskea oikein tarkasti, pitää tietysti ottaa huomioon ratojen kaarevuus, mutta sillä ei ole tässä tapauksessa suurta vaikutusta. Hieman enemmän virhettä voi tulla siitä, että radat ovat todellisuudessa eksentrisiä. Jupiter oli oppositiossa 29.10, jolloin sen rektaskensio oli h. Seuraavana päivänä rektaskensio oli h, joten suunnan muutos oli h eli Lisäksi deklinaatio muuttui 0.04, joten kaiken kaikkiaan suunnan muutos oli hieman suurempi, mutta todellinen etäisyys oli pienempi, 3.97 AU.0

Maalle vastaavat arvot ovat n M = 2π/365.25 = 0.0172 rad/d ja s M = 0.0172 AU. Suunnan muutos on siten s M s J 5.502 1 = 0.0172 0.00754 4.202 = 0.003399 rad = 0.13.

4 4. Hohmannin rata on rata, jotka pitkin päästään pienimmällä energialla planeetalta toiselle. Se on ellipsi, joka perihelissä ja aphelissä sivuaa planeettojen ratoja. Lähetetään Maasta Marsiin luotain pitkin sellaista rataa. Mikä on radan isoakselin puolikas, eksentrisyys ja lentoaika Maasta Marsiin? Voit olettaa planeettojen radat ympyröiksi. Marsin a = AU. Radan isoakselin puolikas on a = ( )/2 = AU (1 + e) = 1.524, josta e = Kiertoaika tällaisella ellipsiradalla saadaan Keplerin 3. laista: P = a 3/2 = a 518 d. Lentoaika Maasta Marsioin on puolet kiertoajasta Auringon ympäri eli noin 259 d. Jotta luotain kohtaisi Marsin, se on lähetettävä oikeaan aikaan, viikon tai parin mittaisen laukaisuikkunan aikana. Hienosäätöä voidaan tehdä matkan aikana. Laukaisuikkunat ovat avoinna planeetan synodisen kiertoajan välein.

Radan isoakselin puolikas on a = (1 + 1.524)/2 = 1.262 AU. 1.262(1 + e) = 1.524, josta e = 0.2076. Kiertoaika tällaisella ellipsiradalla saadaan Keplerin 3. laista: P = a 3/2 = 1.4177 a 518 d.

5 Huomautuksia Tähtitieteessä laskuja voidaan usein yksinkertaistaa sopivilla approksimaatioilla. Esimerkiksi tähtien etäisyydet ovat yleensä valtavia verrattuina kaksoistähden komponenttien välimatkoihin tai planeettojen ratojen kokoihin. Silloin ei kannata käyttää trigonometriaa. Riittää muistaa, että yhden parsekin etäisyydeltä yhden AU:n matka näkyy yhden kaarisekunnin kulmassa. Ja muista, että pienille kulmille sinx x ja tanx x (x radiaaneina!). Toinen esimerkki: Kun pallomaista kappaletta katsotaan läheltä, sen koko pinnasta näkyy vähemmän kuin puolet. Tähdet ja planeetat ovat kuitenkin niin kaukana, että pinnasta näkyy melko tarkasti puolet. Tästä aiheutuva virhe on yleensä häviävän pieni. Joskus tulos voi olla kahden hyvin eri suuruusluokkaa olevan luvun summa (kuten tehtävässä 1), jolloin laskimen tai tietokoneen tarkkuus ei riitä sen laskemiseen. Silloin voi käyttää apuna Taylorin sarjasta saatavia approksimaatioita; usein riittää ottaa mukaan vain vakio ja lineaarinen termi, ehkä joskus toisen asteen termi.

Riittää muistaa, että yhden parsekin etäisyydeltä yhden AU:n matka näkyy yhden kaarisekunnin kulmassa. Ja muista, että pienille kulmille sinx x ja tanx x (x radiaaneina!).

6 Muuta: Käytä oikeita yksiköitä. Taivaanmekaniikan laskuissa yksiköt ovat usein Auringon (tai Maan) massa, AU ja vuosi. Jotkin kaavat ovat yksinkertaisia vain, jos yksiköt ovat oikeat. Tarkista joka vaiheessa, että suureiden dimensiot ovat oikein. Lähtötiedot on yleensä annettu vain muutamalla merkitsevällä numerolla. Laskuissa voi käyttää suurempaa tarkkuutta, mutta ilmoita lopputulos vain järkevällä tarkkuudella.

Jotkin kaavat ovat yksinkertaisia vain, jos yksiköt ovat oikeat.

Samankaltaiset tiedostot

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi

Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein