Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät. Laskuharjoitus 3

Samankaltaiset tiedostot
[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.

Estimointi Laajennettu Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4

EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA. Kandidaatintyö

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen

Keskijännitejohdon jännitteenalenema

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusmatematiikan sovellukset klo 9-15

Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

Matematiikan tukikurssi

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M

7.1 Taustamelun estimoinnista

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

Missä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot

Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Järjestelmän kuvaus aikatasossa

Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT)

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

, sanotaan niiden sääntöjen ja menetelmien kokonaisuutta, joilla otos poimitaan määritellystä perusjoukosta.

Kun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

FYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

AS Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt S09-18 Langaton anturijärjestelmä rakenteiden kunnonvalvontaan

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

B. 2 E. en tiedä C ovat luonnollisia lukuja?

AS Paikannus- ja navigointimenetelmät

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 2 (ver 1.0) Jyrki Laitinen

Tuotesivu Lisäyspaketti HD #302

HRTFN MITTAAMINEN SULJETULLA VAI AVOIMELLA KORVA- KÄYTÄVÄLLÄ? 1 JOHDANTO 2 METODIT

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

Fysp240/1 Ising-malli (lyhyt raportti)

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia

RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine

(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut

Antti Somppi Paloittain päivittävä Kalmanin suodatin. Kandidaatintyö

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen

VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

Harjoitustyö 1. Signaaliprosessorit Sivu 1 / 11 Vähämartti Pasi & Pihlainen Tommi. Kaistanestosuodin, estä 2 khz. Amplitudi. 2 khz.

Harjoitustyö 3. Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi

AS Automaation signaalinkäsittelymenetelmät. Laskuharjoitus 8. Ackermannin algoritmi Sumea säätö

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

A11-07 Measurements with machine vision (3 op) Loppuraportti

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

2. kierros. 2. Lähipäivä

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

Osafaktorikokeet. Heliövaara 1

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

V astaano ttav aa antennia m allinnetaan k u v an m u k aisella piirillä, jo ssa o n jänniteläh d e V sarjassa

järjestelmät Luku 2 Diskreettiaikaiset järjestelmät - aikataso DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen

Sähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Transkriptio:

Kalman-suodin AS-84.2161, Automaation signaalinäsittelmenetelmät Lasuhajoitus 3

Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 2

Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 3

Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 4

Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 5

Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 6

Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 7

Posessin ja mittausen ohina ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( v x w Bu Ax x [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R v E v Q w w E T T Häiiöt oletetaan nollaesiavoisisi ja niiden ovaianssifuntiot tunnetuisi: Slide 8

Kalman-suodin Posessin sisäisen tilan estimointi Mittausten taentaminen Slide 9

Kalman-suodin u B A Posessi pi - post K ŷ A-pioi-tieto ^x( -1) Slide 10

Kalman-suodin u B A Posessi pi - post K ŷ ^ A-pioi-tieto x( -1) ^ A-posteioi-tieto x( ) Slide 11

Tilan ennaointi mallihtälöllä u B A Posessi pi - post K ŷ ( A( 1 Bu( Slide 12

Todellisen ja estimoidun mittausvetoin eo u B A Posessi pi - post K ŷ ( ) ( Slide 13

Tilaestimaatin päivits u B A Posessi pi - post K ŷ ( ) [ ( ) ˆ( ] ( K( ) x Slide 14

Estimoitu mittausvetoi u B A Posessi pi - post K ŷ ˆ ( ) ( ) Slide 15

Estimaattoin vahvistus u B A Posessi pi - post K ŷ Vahvistus K määittää, uina paljon painotetaan mittausta ja uina paljon estimaattia Riippuu mittausen ja estimaatin luotettavuudesta Slide 16

Estimointiviheen ovaianssi Joaisella ieosella estimoidaan tilan estimointiviheen ovaianssia P Ennaointi Päivits Estimaattoin vahvistus K lasetaan P:n avulla joaisella ieosella Slide 17

( Kalman-suotimen aavat Tilan ennaointi seuaavaan mittausheteen mallihtälöllä: A( 1 Bu( Slide 18

( Kalman-suotimen aavat Tilan ennaointi seuaavaan mittausheteen mallihtälöllä: A( 1 Bu( T P ( AP( 1 A Q Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (ennaointi): Slide 19

( Kalman-suotimen aavat Tilan ennaointi seuaavaan mittausheteen mallihtälöllä: A( 1 Bu( T P ( AP( 1 A Q Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (ennaointi): Estimaattoin vahvistus: K( ) [ ] T P( 1 T P( R Slide 20

( Kalman-suotimen aavat Tilan ennaointi seuaavaan mittausheteen mallihtälöllä: A( 1 Bu( T P ( AP( 1 A Q Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (ennaointi): Estimaattoin vahvistus: K( ) [ ] T P( 1 T P( R Tilaestimaatin päivits: ( ) [ ( ) ( ] ( K( ) Slide 21

( Kalman-suotimen aavat Tilan ennaointi seuaavaan mittausheteen mallihtälöllä: A( 1 Bu( T P ( AP( 1 A Q Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (ennaointi): Estimaattoin vahvistus: K( ) [ ] T P( 1 T P( R Tilaestimaatin päivits: ( ) [ ( ) ( ] ( K( ) Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (päivits) P( ) P( K( ) P( Slide 22

Vahvistusen laseminen Usein A, B,, Q ja R ovat vaioita ajan suhteen Estimointiviheen ovaianssi voidaan lasea Riccatin htälöllä ( [ ] ) T T 1 T P P R P A Q P A P Slide 23

Tilan ennaointi seuaavaan mittausheteen mallihtälöllä: ( A( 1 Bu( T P ( AP( 1 A Q Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (ennaointi): Estimaattoin vahvistus: K( ) [ ] T P( 1 T P( R Tilaestimaatin päivits: ( ) [ ( ) ( ] ( K( ) Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (päivits) P( ) P( K( ) P( Riccatin htälö ( [ ] ) T T 1 T P P R P A Q P A P Slide 24

Esimei muuttujien notaatiolle Matlabissa ( x_pi ( ) x_post ( 1 Edellisen ieosen x_post P( P( ) P_pi P_post Slide 25

Vinejä (älä atso heti, vaan mieti ensin heti)

1. tehtävän tilamalli Vaioavoinen signaali: vt. x( 1) x( ) x ( 1) Ax( ) Bu( ) A 1, B 0 (un x on salaai) Slide 27

1. tehtävän tilamalli Signaalia mitataan suoaan: ( ) x( ) vt. ( ) x( ) 1 Slide 28

1. tehtävän tilamalli Kohina: Signaalin tiedetään olevan vaio Q 0 "Mittauseen summautuu ohinaa, jona vaianssi on 0.1" R 0.1 Slide 29

1. tehtävän tilamalli Estimointiviheen vaianssi/ovaianssi "Alutilan estimointiviheen vaianssi on 0.5" P:n aluavo 0.5 Tpillisesti seinen P on edellisen ieosen a- posteioi estimaatti, eli P( 1 1) Slide 30

2. tehtävä P ataistaan Riccatin htälöllä K ataistaan P:n avulla Tilamallin aii muuttujat ovat salaaeja Riccatin htälön ataisu suoaviivaista Slide 31

3. tehtävä Kätetään oo Kalman-suotimen mallia (aii aavat) P:n aluavo: Estimointiviheen ovaianssin aava ssteemille, jossa tilavetoin pituus on 2: P E E ~ ~ ( x x ) E( x x ) ~ 1 1 ~ ~ ~ ~ ( x ) ( ) 2x1 E x2x2 1 ~ 2 Slide 32

3. tehtävä x:n aluavo: Jos tilasta ei ole mitään tietoa, ätetään aluavausena leensä vetoia, jona elementit ovat nollia. Slide 33