Kalman-suodin AS-84.2161, Automaation signaalinäsittelmenetelmät Lasuhajoitus 3
Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 2
Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 3
Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 4
Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 5
Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 6
Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 7
Posessin ja mittausen ohina ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( v x w Bu Ax x [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R v E v Q w w E T T Häiiöt oletetaan nollaesiavoisisi ja niiden ovaianssifuntiot tunnetuisi: Slide 8
Kalman-suodin Posessin sisäisen tilan estimointi Mittausten taentaminen Slide 9
Kalman-suodin u B A Posessi pi - post K ŷ A-pioi-tieto ^x( -1) Slide 10
Kalman-suodin u B A Posessi pi - post K ŷ ^ A-pioi-tieto x( -1) ^ A-posteioi-tieto x( ) Slide 11
Tilan ennaointi mallihtälöllä u B A Posessi pi - post K ŷ ( A( 1 Bu( Slide 12
Todellisen ja estimoidun mittausvetoin eo u B A Posessi pi - post K ŷ ( ) ( Slide 13
Tilaestimaatin päivits u B A Posessi pi - post K ŷ ( ) [ ( ) ˆ( ] ( K( ) x Slide 14
Estimoitu mittausvetoi u B A Posessi pi - post K ŷ ˆ ( ) ( ) Slide 15
Estimaattoin vahvistus u B A Posessi pi - post K ŷ Vahvistus K määittää, uina paljon painotetaan mittausta ja uina paljon estimaattia Riippuu mittausen ja estimaatin luotettavuudesta Slide 16
Estimointiviheen ovaianssi Joaisella ieosella estimoidaan tilan estimointiviheen ovaianssia P Ennaointi Päivits Estimaattoin vahvistus K lasetaan P:n avulla joaisella ieosella Slide 17
( Kalman-suotimen aavat Tilan ennaointi seuaavaan mittausheteen mallihtälöllä: A( 1 Bu( Slide 18
( Kalman-suotimen aavat Tilan ennaointi seuaavaan mittausheteen mallihtälöllä: A( 1 Bu( T P ( AP( 1 A Q Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (ennaointi): Slide 19
( Kalman-suotimen aavat Tilan ennaointi seuaavaan mittausheteen mallihtälöllä: A( 1 Bu( T P ( AP( 1 A Q Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (ennaointi): Estimaattoin vahvistus: K( ) [ ] T P( 1 T P( R Slide 20
( Kalman-suotimen aavat Tilan ennaointi seuaavaan mittausheteen mallihtälöllä: A( 1 Bu( T P ( AP( 1 A Q Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (ennaointi): Estimaattoin vahvistus: K( ) [ ] T P( 1 T P( R Tilaestimaatin päivits: ( ) [ ( ) ( ] ( K( ) Slide 21
( Kalman-suotimen aavat Tilan ennaointi seuaavaan mittausheteen mallihtälöllä: A( 1 Bu( T P ( AP( 1 A Q Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (ennaointi): Estimaattoin vahvistus: K( ) [ ] T P( 1 T P( R Tilaestimaatin päivits: ( ) [ ( ) ( ] ( K( ) Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (päivits) P( ) P( K( ) P( Slide 22
Vahvistusen laseminen Usein A, B,, Q ja R ovat vaioita ajan suhteen Estimointiviheen ovaianssi voidaan lasea Riccatin htälöllä ( [ ] ) T T 1 T P P R P A Q P A P Slide 23
Tilan ennaointi seuaavaan mittausheteen mallihtälöllä: ( A( 1 Bu( T P ( AP( 1 A Q Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (ennaointi): Estimaattoin vahvistus: K( ) [ ] T P( 1 T P( R Tilaestimaatin päivits: ( ) [ ( ) ( ] ( K( ) Tilan estimointiviheen ovaianssimatiisi (päivits) P( ) P( K( ) P( Riccatin htälö ( [ ] ) T T 1 T P P R P A Q P A P Slide 24
Esimei muuttujien notaatiolle Matlabissa ( x_pi ( ) x_post ( 1 Edellisen ieosen x_post P( P( ) P_pi P_post Slide 25
Vinejä (älä atso heti, vaan mieti ensin heti)
1. tehtävän tilamalli Vaioavoinen signaali: vt. x( 1) x( ) x ( 1) Ax( ) Bu( ) A 1, B 0 (un x on salaai) Slide 27
1. tehtävän tilamalli Signaalia mitataan suoaan: ( ) x( ) vt. ( ) x( ) 1 Slide 28
1. tehtävän tilamalli Kohina: Signaalin tiedetään olevan vaio Q 0 "Mittauseen summautuu ohinaa, jona vaianssi on 0.1" R 0.1 Slide 29
1. tehtävän tilamalli Estimointiviheen vaianssi/ovaianssi "Alutilan estimointiviheen vaianssi on 0.5" P:n aluavo 0.5 Tpillisesti seinen P on edellisen ieosen a- posteioi estimaatti, eli P( 1 1) Slide 30
2. tehtävä P ataistaan Riccatin htälöllä K ataistaan P:n avulla Tilamallin aii muuttujat ovat salaaeja Riccatin htälön ataisu suoaviivaista Slide 31
3. tehtävä Kätetään oo Kalman-suotimen mallia (aii aavat) P:n aluavo: Estimointiviheen ovaianssin aava ssteemille, jossa tilavetoin pituus on 2: P E E ~ ~ ( x x ) E( x x ) ~ 1 1 ~ ~ ~ ~ ( x ) ( ) 2x1 E x2x2 1 ~ 2 Slide 32
3. tehtävä x:n aluavo: Jos tilasta ei ole mitään tietoa, ätetään aluavausena leensä vetoia, jona elementit ovat nollia. Slide 33