DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään -muunnosen ehäpä hyödyllisintä ominaisuutta, eli aiatason hanalahon onvoluutiosumman orvautumista ysinertaisella ertolasulla Kyse on siis impulssivasteen hyödyntämisestä -tasossa Tehtävä (luentomonisteen tehtävä 4) Määritelmän muaan termin y() -muunnos Y() saadaan lauseeesta { } y Y y = = å =- Tällä urssilla rajoitutaan uitenin tarastelemaan järjestelmiä, joiden sisäänmeno, ja samalla ulostulo, poieavat nollasta vasta :n ei-negatiivisilla arvoilla Sisi y():n - muunnos Y(), ³, voidaan irjoittaa muodossa { } y Y y = = å = Tämän tehtävän taroitus on haea sellaisten termien -muunnosia, jollaisia tulee vastaan rataistaessa differenssiyhtälöitä -muunnosella (a) Tässä haetaan vaiotermin (:sta riippumaton termi) -muunnos Vaiotermejä esiintyy usein differenssiyhtälöiden epähomogeenisuustermeinä Kun vaiotermille a haetaan -muunnos määritelmään perustuen, saadaan: {} a = a = a = = å å Huomataan, että summalausee on geometrinen sarja, sillä ahden perääisen termin osamäärä, eli geometrisen sarjan suhdeluu, on vaio (tässä tapausessa ) - muunnosen muodostaminen etenee tästä siten, että summalauseeen oletetaan olevan suppeneva geometrinen sarja Geometrisen sarjan suppenevuusehto on, että suhdeluu on itseisarvoltaan yöstä pienempi Suppenevuudesta ei tarvitse uitenaan -muunnosen yhteydessä murehtia, sillä se sisältyy -muunnosen määritelmään Kun yllä oleva summalausee irjoitetaan suppenevan geometrisen sarjan summasi, saadaan a a = aå = a = = - -, {} sillä suppenevan geometrisen sarjan summa on muotoa summan ensimmäinen termi - suhdeluu
(b) Tässäin tehtävässä haetaan differenssiyhtälön epähomogeenisuustermin -muunnos Idea on sama uin (a)-ohdassa, eli irjoitetaan summalausee suppenevan geometrisen sarjan summasi Määritelmän perusteella saadaan: æ ö ì ç ïæ ö üï æ ö æ ö 3 è ø íç ý= åç = åç = = ï 3 = 3 = 3 îè ø ïþ è ø è ø - - 3 3 (c) Tässä tehtävässä haetaan differenssiyhtälön rataisuun liittyvä -muunnos, josta äytetään nimitystä siirto-ominaisuus Jos rataistavana on esimerisi differenssi- x + - ax = b, muuttujan x() -muunnosta meritään ysinertaisesti yhtälö X():lla Määritelmän nojalla tällöin on siis voimassa lausee { } x X x = = å = Nyt ysymys uuluu, miten saadaan muuttujan x( + ) -muunnos Lähdetään haemaan vastausta tähän haemalla termin x( + 3) -muunnos: { ( + )} = ( + ) x 3 å x 3 = Muoataan summalauseetta siten, että x:n aiaindesi ja :n esponentti tulevat yhtäsuurisi Tähän päästään ottamalla -3 summalauseeen eteen ertoimesi: ( + 3) = ( + 3) - 3 + 3 å x å x = = Rataisun idea on pyriä lausumaan x( + 3) :n -muunnos x :n -muunnosen, eli X():n, avulla Edetään siten, että viedään X() yllä olevaan summalauseeeseen muaan: 3 ( 3) 3 3 - + - x x x x x å + = - - - = ê å ë= ú û 3 = - ëx -x -x -x û Kyse on siis siitä, että X() viedään "väisin" summalauseeeseen muaan, jotta x + 3 :n -muunnos saadaan lausuttua X():n avulla Kosa aiemmassa summalauseeessa summan ensimmäinen termi on x(3) 3, ja osa X():ssa summalausee alaa termistä x(), termit x(), x() ja x() on vähennettävä x + 3 :n -muunnosesi on X():sta, jotta yhtäsuuruusmeri on voimassa Täten saatu
{ ( 3) } 3 x + = - ëx -x -x -x û (d) Tämä tehtävä äsittelee samaa siirto-ominaisuutta uin (c)-ohta, mutta nyt aialeimana on - 3 Tehtävä etenee samalla periaatteella uin edellä: { ( - )} = å ( - ) = å ( - ) x 3 x 3 x 3 = = 3-3 = x + x( - 3) + x( - ) + x( -) ê å ë= 3 3 = ëx ( ) + x( - 3) - + x( - ) - + x( -) - û 3-3 - - (e) Tässä tehtävässä haetaan disreetin impulssi -muunnos Määritelmän perusteella saadaan { } å () d = d =d +d +d + = + + + = = Tehtävä Tässä tehtävässä on taroitus äyttää hyödysi tehtävän 4 -muunnosia ja rataista differenssiyhtälö -muunnosen avulla Differenssiyhtälön -muuntaminen taroittaa sitä, että yhtälön joainen termi -muunnetaan eriseen Huomaa, että muuttujan edessä oleva vaioerroin säilyy vaioertoimena myös -muunnosen yhteydessä, sillä vaio voidaan ottaa summalauseeesta ulos Sisi esimerisi termin y() - muunnos on { y } = y = y = Y( ) å å = = Kun annettu differenssiyhtälö -muunnetaan puolittain, saadaan: æö y( + ) + y = ç è4ø Þ - ëy - y û+ Y =, y() = 4 -/4 + 4- Y + Y = + 4 Û Y( )[ + /] = -/4 - /4 4 Y = - /4 + / Û Û Tehtävä on nyt rataistu -tasossa Tehtävän rataisuna tulee uitenin löytää lausee y():lle, joa on Y():n äänteismuunnos Vielä siis tarvitaan äänteismuunnos taaisin aia-tasoon Ongelma on siinä, että aiatason rataisua y() ei pystytä näemään suoraan yllä olevasta Y():n lauseeesta Jotta y() saadaan selville, Y():n lausee on saatava suppenevan geometrisen sarjan summaa muistuttavaan muotoon Tällaiseen muotoon päästään osamurtoehitelmän avulla Tehdään sisi Y():lle osamurtoehitelmä Kosa nimittäjä on jo valmiisi teijöissään, osamurtoehitelmäsi saadaan: úû 3
Y ( + ) + ( - ) + + - A B A / B /4 A B A / B /4 = + = = - /4 + / - /4 + / - /4 + / Nyt päästiin muotoon, jona nimittäjä on sama uin termissä, jolle osamurtoehitelmä tehtiin Kertoimet A ja B saadaan selville, un verrataan yseisten termien osoittajia esenään Toinen yhtälö saadaan osoittajien vaiotermien yhtäsuuruudesta, ja toinen yhtälö saadaan osoittajien :n ertoimien yhtäsuuruudesta: ì A+ B = 4 í îa/ - B/4= Û ìa= 4/3 í îb = 8/3 Þ Y( ) 4 8 = + 3 -/4 3 - - / ( ) Nyt -tason rataisu on saatu pilottua osamurtoehitelmän avulla termeihin, jota muistuttavat -muunnosen määritelmään liittyvää suppenevan geometrisen sarjan summaa Täten äänteismuunnosesi, eli aiatason rataisusi y(), saadaan: y 4æö 8æ ö = ç + ç - 3è4ø 3è ø, osa esimerisi ìïæö üï íç ý= ïîè4ø ïþ - 4 Mietitään vielä lopusi, miten tehtävässä annettu aluehto saadaan pääteltyä suoraan differenssiyhtälöstä Lähtöohta tällä urssilla on se, että järjestelmän sisäänmenoluujonossa voi olla nollasta poieavia arvoja vasta ei-negatiivisilla ajanhetillä Ja tämän seurausena myös aii ulostuloluujonon aliot ovat nollia negatiivisilla ajanhetillä, sillä ulostulo ajanhetellä oostuu vain sisäänmenosta samalla ajanhetellä seä ulostulon aiemmista alioista Kun järjestelmää uvaavaan differenssiyhtälöön tehdään sijoitus = -, saadaan æö ç è4ø - æ4ö ç è ø y + y( -) = Û y + = Û ( ) = 4 y Tehtävä 3 Disreettiaiaisten järjestelmien onvoluutiosumma liittyy impulssivasteen äyttämiseen Idea on, että un järjestelmän impulssivaste tunnetaan, mitä tahansa sisäänmenoa vastaava ulostulo saadaan selville onvoluutiosumman avulla Konvoluutiosumman laseminen on uitenin usein ohtuullisen monimutaista Aiemmin harjoitusissa on lasettu onvoluutiosummaa tauluomenetelmän avulla, mutta tauluomenetelmällä saadaan ainoastaan selville ulostulon ysittäisiä arvoja Toi näistä ysittäisistä arvoista saadaan usein pääteltyä lausee, jota ulostulo noudattaa, mutta joa tapausessa homma menee usein enemmän tai vähemmän hanalasi Kun äytetään -muunnosta, onvoluutiosumma orvautuu ysinertaisella ertolasulla Käytännössä tämä taroittaa sitä, että ulostulon y() -muunnos Y() saadaan lauseeesta H( ) U( ) Y =, 4
jossa H() on impulssivasteen h() -muunnos, ja U() on sisäänmenon u() - muunnos Muuttujasta H() äytetään yleisesti nimitystä siirtofuntio Tämän tehtävän idea on muodostaa järjestelmän siirtofuntion lausee ulostulon ja sisäänmenon -muunnosten avulla Kun ulostulo ja sisäänmeno -muunnetaan, saadaan: + -( + ) æö æ ö { y } = Y( ) = å y = å5 = åç = åç =, = = = è5ø 5= è5 ø 5 -/5 + å å å å = = = = -( + ) æö æ ö { u } = U( ) = u = = ç = ç = èø è ø 4 -/ Siirtofuntio, eli impulssivasteen -muunnos, saadaan nyt selville ysinertaisella jaolasulla: H Y /5 -/ 4 -/ = = = U -/5 /4 5 -/5 Käytetään sitten edellä muodostettua siirtofuntiota uutta sisäänmenoa vastaavan ulostulon lasemiseen Muodostetaan ensin uuden sisäänmenon -muunnos: + -( + ) æö æ ö { u } = U( ) = åu = å3 = åç = åç = = = = è3ø 3= è3 ø 3 -/3 Nyt y :n -muunnos Y() saadaan selville siirtofuntion avulla: H( ) U( ) Y ( 4/5)( -/) 4 -/ = = = 5 -/5 3 -/3 -/5 -/3 Tehtävänä oli rataista ulostulo y(), joten Y():n lausee on vielä äänteismuunnettava Tähän tarvitaan osamurtoehitelmää, jona avulla saadaan: Y Þ 4/5 -/ A B A - /3 + B -/5 = = + = -/5 -/3 -/5 -/3 -/5 -/3 ì A+ B = 4/5 ì A= 3/5 í Û í î-a/3 - B/5=- 4/3 îb=-/3 Þ y Þ Y( ) + + 3æö æö æö æö = ç - ç = 3ç -ç 5è5ø 3è3ø è5ø è3ø 3 = - 5 -/5 3 -/3 Tehtävä 4 Tehtävän idea on lasea järjestelmän siirtofuntio H() lauseeesta H() = Y()/U() ja haea sitten H() äänteismuunnos, joa on ysytty impulssivaste h() Muodostetaan ensin sisäänmenon u() -muunnos: 5
( /) æö æ ö U( ) = åu = åç = åç = = = = èø = èø -/ -/ Lasetaan sitten H(): H Y 5 -/ = = = 5 U -/ Nyt sitten pitäisi pähäillä, miä on 5:n äänteismuunnos Opiselijoille annattanee antaa vinisi, että yrittävät haea rataisua disreetin impulssin d() avulla Tilanteen rataisu on, että impulssivaste noudattaa lauseetta h() = 5d(-), sillä yseisen termin -muunnosesi saadaan: { d } d d d d d () å å ë û 5 - = 5 - = 5 - = 5 - + + + = = = 5 Tämä rataisu liittyy yöstehtävän (e)-ohtaan Kyse on siitä, että jos -tason rataisussa esiintyy ysinään muotoa a, a, a, a 3, jne oleva termi, sen äänteismuunnos löytyy aina disreetin impulssin avulla Tehtävä 5 Tämä tehtävä liittyy luentomonisteen sivuilla 59 ja 6 äsiteltäviin -muunnosen ominaisuusiin, joista äytetään nimitystä alu- ja loppuarvo Taremmin sanottuna tässä on yse -muunnoseen liittyvän loppuarvoteoreeman soveltamisesta Tehtävänannossa ysytään y() arvoa, un lähestyy ääretöntä Loppuarvoteoreeman avulla yseinen arvo saadaan selville y():n -muunnosen avulla Tehtävässä on siis taroitus muodostaa Y():n lausee ja päätellä sen perusteella aiatason ulostulon arvo, un lähestyy ääretöntä Muodostetaan ensin sisäänmenon -muunnos: 5 U( ) = 5 = 5 = - å å = = Lasetaan sitten ulostulon -muunnos Y() siirtofuntion H() avulla: H( ) U( ) Y ( -)( -) 5 5 = = 8 7 3 + 5-4 + -- Käänteismuunnos saattaisi olla hieman työlästä löytää, mutta tehtävän vastaus saadaan nyt ätevästi loppuarvoteoreeman avulla ilman äänteismuunnosta Loppuarvoteoreeman muaisesti on voimassa (monisteen sivun 6 yläreuna): 6
lim y Täten saadaan: lim Y( ) - = ê ë ú û ( -)( 5-) - - 5 limy = lim Y( ) = lim ë ê û ú + 5-4 + -- 5 ( -)( 5-) 5( -)( 5 -) = lim = 8 7 3 lim 9 8 4 + 5-4 + - + 5-4 + - 5( -)( 5-) 9 = lim =-»-8 9 8 4 + 5-4 + - 3 8 7 3 7