MITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015

MITT- J INTEGRLITEORI 2015 HELI TUOMINEN Sisältö Johdantoa 2 Mitta 2 Integraali 2 nalyysin peruslause 2 Riemann-integraalista 2 1. Valmistelua, kertausta ja merkintöjä 4 Infimum ja supremum 4 Laajennettu reaalilukujoukko R = R { } { } = [, ] 5 Ei-negatiivistermisten sarjojen summista 6 2. Lebesguen mitta 6 Lebesgue-mitalliset joukot 11 2.1. Borel-joukoista 18 2.2. Mittojen laskua 18 3. Yksinkertaisen funktion integraali 22 4. Mitalliset funktiot 27 Operaatioita mitallisilla funktioilla 29 5. Ei-negatiivisen funktion integraali 34 5.1. Konvergenssituloksia 36 6. Integroituvat funktiot 40 7. Riemann ja Lebesgue 43 8. Fubinin lause 47 9. bsoluuttinen jatkuvuus 52 9.1. Mitan ja integraalin absoluuttinen jatkuvuus 52 9.2. bsoluuttisesti jatkuvat funktiot 53 10. L p -avaruuksista 56 Ongelmia ja niiden korjauksia - L p -avaruudet 57 11. Ulkomitta 60 11.1. Metrinen ulkomitta 63 12. Ulkomitan konstruointi - Miten mittoja tehdään? 65 12.1. Carathéodoryn konstruktio metriselle ulkomitalle 67 12.2. Hausdorff-mitat 68 13. bstraktit mitta-avaruudet 70 13.1. Täydelliset mitat 73 14. bstraktia integraaliteoriaa 73 Versio: 11. tammikuuta 2016. 1

14.1. Luvun 4 mitallisuustulosten yleistyksiä: 74 14.2. Ylä- ja alaraja-arvot 74 14.3. Yksinkertaiset funktiot 76 14.4. L p -avaruuksista 82 Viitteet 85 Johdantoa Mitta. Halutaan mitata mahdollisimman yleisten R n :n osajoukkojen koko (pintaala joukoille R 2, tilavuus joukoille R 3...) Integraali. Riemann-integroituvia funktioita on vähän. Riemann-integraali käyttäytyy huonosti funktiojonojen integroinnissa; haluttaisiin että f i = lim ja että f i = lim f i mahdollisimman monille jonoille (f i ) i. f i nalyysin peruslause. Jos f : [a, b] R on jatkuvasti derivoituva, niin f(x) = x a f (y) dy kaikilla x [a, b]. Mitkä ovat yleisimmät funktiot, joille PL pätee? (Vastaus: absoluuttisesti jatkuvat funktiot) Riemann-integraalista. Rajoitettu funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva, jos sup { (g) : g f ja g on porrasfunktio } = inf { } b (h) : h f ja h on porrasfunktio =: f(x) dx, missä (g) = k c i(x i x i 1 ) on porrasfunktion integraali. Kun n 2, niin käytetään n-välejä. Lebesguen ehto: Olkoon I R n on kompakti väli ja f : I R rajoitettu. Tällöin f on R-integroituva jos ja vain jos joukko E = {x I : f ei ole jatkuva pisteessä x} on nollamittainen: kaikilla ε > 0 on avoimet välit I 1, I 2,..., joille E I i ja v(i i) < ε. (v(i i ) on välin I i tilavuus) 2 a

Esimerkki 0.1 (Dirichlet n funktio). Olkoon f : [0, 1] [0, 1], { 1, kun x Q [0, 1], f(x) = χ Q [0,1] (x) = 0, muuten. Funktio f ei ole jatkuva missään pisteessä x [0, 1], joten sen epäjatkuvuuspisteiden joukko ei ole nollamittainen. Siten f ei ole R-integroituva. Olkoon {q 1, q 2,... } = Q [0, 1]. Määritellään f i : [0, 1] [0, 1], f i (x) = χ {q1,q 2,...,q i }(x), i = 1, 2,.... Koska funktiot f i ovat jatkuvia joukossa [0, 1] \ {q 1, q 2,..., q i } ja {q 1, q 2,..., q i } on nollamittainen, niin f i on R-integroituva ja f [0,1] i dx = 0. Nyt f i (x) f i+1 (x) kaikilla x [0, 1] ja kaikilla i = 1, 2..., ja lim f i = f. Jono (f i ) on siis kasvava jono rajoitettuja, ei-negatiivisia R-integroituvia funktioita, jolle lim f i ei ole R-integroituva. Myöhemmin nähdään (monotonisen konvergenssin lauseen avulla), että rajafunktio f on Lebesgue-integroituva ja 1 f dm = lim f i dm = lim f i dm = lim f i dx = 0. [0,1] Eri integraalien ero: [0,1] [0,1] 3 0

R-integraali: Väli [0, 1] jaetaan osaväleihin I i = [x i 1, x i ], kaikilla i on q i Q I i ja r i I i \ Q, jolloin f(q i ) = 1 ja f(r i ) = 0. L-integraali: Väli jaetaan yleisiin mitallisiin osajoukkoihin i (monesti alkukuvien avulla); eräs jako on [0, 1] = i 2, missä 1 = Q [0, 1] = {x [0, 1] : f(x) = 1} ja 2 = [0, 1] \ Q = {x [0, 1] : f(x) = 0}. Myöhemmin opitaan, että f dm = 1 m( 1 ) + 0 m( 2 ) = 0, [0,1] missä m( i ) on joukon i Lebesgue-mitta (nolla numeroituville joukoille). 1. Valmistelua, kertausta ja merkintöjä Olkoon X joukko. Tällöin P(X) = { : X} on X:n potenssijoukko. Joukot ja B ovat erillisiä, jos B =. Yleisemmin, joukot i, i N, ovat erillisiä, jos i j = aina, kun i j. Joukot ja B ovat yhtä mahtavia, jos on bijektio f : B. Joukko on numeroituva, jos se on yhtä mahtava jonkin N:n osajoukon kanssa. Jos ei ole numeroituva, niin se on ylinumeroituva. Jos i X, i I ja I on indeksijoukko (numeroituva tai ylinumeroituva), niin joukkojen i yhdiste ja leikkaus määritellään tuttuun tapaan: i = { x X : x i jollain i } ja i I i = { x X : x i kaikilla i }. i I DeMorganin kaavat komplementoinnille sekä yhdisteiden ja leikkauksien käyttäytyminen kuvauksissa ja alkukuvissa toimivat kuten numeroituville yhdisteille. (Kertaa!) Tällä kurssilla indeksijoukko on yleensä numeroituva. Infimum ja supremum. Olkoon R,. Joukko on alhaalta rajoitettu ja m R on :n alaraja, jos a m kaikilla a eli [m, [. Jos ei ole alhaalta rajoitettu, niin inf =. Jos on alhaalta rajoitettu, niin inf on :n suurin alaraja (täydellisyysaksiooma takaa, että inf on olemassa). Joukon yläraja ja sup, pienin yläraja, määritellään vastaavasti. Sopimus: inf =, sup = 3.9. ============================= Huomautus 1. Seuraavat ovat tärkeitä tällä kurssilla: (1) inf = m jos ja vain jos m a kaikilla a ja kaikilla ε > 0 on a, jolle m a < m + ε. 4

(2) inf = min (3) inf jos ja vain jos :ssa on pienin luku. Tällöin inf = min. (4) Jos B, niin inf inf B ja sup sup B. Laajennettu reaalilukujoukko R = R { } { } = [, ]. Reaalilukujen järjestys ja algebralliset ominaisuudet laajennetaan joukkoon R asettamalla < x < kaikilla x R ja summa: tulo: a + = + a = kaikilla a R \ { }, b = + b = kaikilla b R \ { }, ( ) =, ( ) =., jos a > 0, a = a =, jos a < 0, 0, jos a = 0. (Sopimus!), jos a > 0, a ( ) = a =, jos a < 0, 0, jos a = 0. (Sopimus!) Lisäksi määritellään osamäärät { a 0 =, jos a > 0,, jos a < 0 ja a = a = 0 kaikilla a R. ± Huomaa, että laskutoimituksia, + ( ), +, määritelty. ± ja 0 0 ei ole Huomautus 2. (1) Jos R,, niin on sup R ja inf R. (sup =, inf = ) (2) Lukujonon (x i ), x i R, suppeneminen määritellään kuten R:ssä. (Kertaa!) (3) Nousevalla ja laskevalla jonolla on aina raja-arvo R:ssä. Jos x i+1 x i kaikilla i N, niin lim x i = sup{x 1, x 2,... } R. (4) Ole huolellinen epäyhtälöissä ja supistuksissa: ehdoista a < b ja c > 0 seuraa vain ac bc. jos a + c = b + c, niin ei välttämättä ole a = b. 5

Ei-negatiivistermisten sarjojen summista. Olkoon I indeksijoukko ja a i [0, ] kaikilla i I. Jos J I on äärellinen, niin määritellään S J = i J a i ja a i = sup { S J : J I on äärellinen }. i I Numeroituville sarjoille tämä antaa tutun summan. Todistus löytyy monisteesta (Lause 1.1). Lause 1.1. Jos a i 0 kaikilla i N, niin i N a i = lim j j a i = a i. Lause 1.2. Olkoon I ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0 kaikilla i I. Tällöin i I a i =. Todistus. Harj. 1 2. Lebesguen mitta Tavoite: Halutaan R n :ään mitta, jolla on seuraavat ominaisuudet: jokaisella joukolla R n on mitta m() [0, ], jos R n on riittävän yksinkertainen, niin sen mitta on sama kuin geometrinen mitta (R:ssä janan mitta = janan pituus, R 2 :ssa suorakaiteen mitta = pinta-ala,...) samanlaisilla joukoilla on sama mitta (siirto- ja kiertoinvarianssi, heijastus) täydellinen additiivisuus: Jos 1, 2, R n ovat erillisiä, niin m ( ) i = m( i ). ina ei saa mitä haluaa; tällaista mittaa ei ole! Tarkastellaan ensin ns. ulkomittaa, jolla on, täysadditiivisuutta lukuunottamatta, halutut ominaisuudet. Kun rajoitetaan mitattavien joukkojen luokkaa sopivasti (vain vähän), niin myös täysadditiivisuus toimii. Määritelmä 2.1. Joukko I R n on väli (n-väli), jos on R:n välit I (1), I (2),... I (n), joille I = I (1) I (2) I (n). Väli I (i) on muotoa ]a i, b i [, [a i, b i ], ]a i, b i ] tai [a i, b i [ ja avoin päätepiste voi olla ±. Väli I on avoin (suljettu/rajoitettu), jos jokainen I (i), i = 1, 2..., n, on avoin (suljettu/rajoitettu). Väli I on surkastunut, jos I (i) = {a i } eli a i = b i jollain i. 6

Määritelmä 2.2. Olkoon I = I (1) I (2) I (n) R n väli ja a i, b i, a i b i, välien I (i), i = 1,..., n, päätepisteet. Luku on välin I geometrinen mitta. (v( ) = 0). v(i) = (b 1 a 1 ) (b n a n ) Kun n = 1, saadaan välin pituus, kun n = 2, saadaan suorakaiteen pinta-ala ja kun n = 3, geometrinen mitta on laatikon tilavuus. Määritelmä 2.3. Olkoon K = {R n :n avoimet välit} { }. Joukon R n (n-ulotteinen) Lebesguen ulkomitta on { m () = inf v(i i ) : I i K, I i }. Huomaa, että määritelmässä peittäviä joukkoja on äärettömän monta. Äärellisellä määrällä annettu määritelmä ei takaa subadditiivisuutta. (Harj.1) Huomautus 3. I i = v(i i ) [0, ] { } :n peitteet v(i i ) : I i 7

Jokaisella joukolla R n on ainakin yksi peite K:n joukoilla; välit I i = {x : x j < i kaikilla j = 1,..., n} kelpaavat, sillä R n = I i. Määritelmän nojalla a = m () jos ja vain jos (1) a v(i i) aina kun I i, I i K kaikilla i ja (2) kaikilla ε > 0 on välit I i K, joille I i ja v(i i) < a + ε. Näytettäessä, että m () M, riittää löytää annetulle ε > 0 välit I i K (äärellinen tai ääretön määrä), joille i I i ja i v(i i) < M + ε. ina ei ole joukon peitettä I 1, I 2,..., joille I i K, I i ja m () = v(i i). Esimerkki 2.4 (Janan 2-ulotteinen mitta). Olkoot a, b R, a b ja = { (x, 0) R 2 : a x b }. Näytetään, että m () = 0 : Olkoon ε > 0 ja I ε =]a ε, b + ε[ ] ε, ε[. Koska I ε ja I ε K, niin 0 m () v(i ε ) = 2ε(b a + 2ε) 0 kun ε 0. 4.9 ============================= Lause 2.5. Ulkomitalla m : P(R n ) [0, ] on ominaisuudet: (1) m ( ) = 0 (2) Jos B, niin m () m (B). (Monotonisuus) (3) Jos 1, 2, R n, niin ( ) m i m ( i ). (Subadditiivisuus) Todistus. (1) OK, sillä v( ) = 0. (2) Olkoot I 1, I 2, K, B I i. Koska B, niin I i. Siten { } { } K = v(i i ) : I i K, B I i v(j j ) : J j K, j=1j i = L, mistä seuraa, että j=1 m () = inf L inf K = m (B). 8

(3) Olkoot 1, 2, R n. Voidaan olettaa, että m ( i ) < kaikilla i. Olkoon ε > 0. Jokaiselle i on I i1, I i2, K, joille i ja v(i ik ) < m ( i ) + ε 2. i I ik k=1 k=1 Koska I ik K kaikilla i ja k ja i k=1 I i k = i,k=1 I i k, niin ( ) m i v(i i,k ) = v(i ik ) (m ( i ) + ε ) 2 i = i,k=1 m ( i ) + ε. k=1 Koska tämä on totta kaikilla ε > 0, niin väite seuraa. Huomautus 4. (1) m ({x}) = 0 kaikilla x R n (Harj. 1) (2) Jos 1,..., k R n, niin m ( k i ) k m ( i ). (Valitse i = kaikilla i k + 1, käytä subadditiivisuutta ja tietoa m ( ) = 0. ) (3) Jos N R n on numeroituva (N = {x 1,..., x k } tai N = {x 1, x 2,... }), niin subadditiivisuuden/(2):n ja (1):n nojalla m (N) i m (x i ) = 0. (4) Ylinumeroituva subadditiivisuus ei yleensä toimi: Koska R n = x R n{x} ja m ({x}) = 0 kaikilla x R n, niin ylinumeroituvasta sudbadditiivisuudesta ja monotonisuudesta seuraisi, että m () = 0 kaikilla R n! Seuraava tulos kertoo, että välin mitta on sen geometrinen mitta. Lause 2.6. Olkoon I R n väli. Tällöin m (I) = v(i). Todistus. Jos I on surkastunut, niin v(i) = 0 = m (I). (Harj.2) Jos I on rajoittamaton mutta ei surkastunut, niin v(i) = = m (I). (Harj. 2) Voidaan siis olettaa, että I on rajoitettu ja surkastumaton. Suljettu I: 9

m (I) v(i): Olkoon ε > 0 ja olkoot a i, b i I = [a 1, b 1 ] [a n, b n ]. Koska R, i = 1,..., n, siten, että I ]a 1 ε, b 1 + ε[ ]a n ε, b n + ε[= I ε ja I ε on avoin, niin m (I) v(i ε ) = (b 1 a 1 + 2ε) (b n a n + 2ε) (b 1 a 1 ) (b n a n ) = v(i) kun ε 0. v(i) m (I): Olkoon ε > 0. On I 1, I 2, K siten, että I I i ja v(i i) < m (I i ) + ε. Väli I on suljettuna ja rajoitettuna kompakti, joten on k N, jolle I k I i. Nyt Huomatus 5:n nojalla voin I: v(i) ja siten v(i) m (I). k v(i i ) v(i i ) < m (I) + ε m (I) v(i): Seuraa m :n määritelmästä. v(i) m (I): Olkoot a i, b i R, i = 1,..., n, joille I =]a 1, b 1 [ ]a n, b n [. Olkoon 0 < ε < 1 2 min{b i a i : 1 i n} ja J = [a 1 + ε, b 1 ε] [a n + ε, b n ε]. Monotonisuutta ja suljetun joukon tulosta välille J käyttäen saadaan m (I) m (J) = v(j) = (b 1 a 1 2ε) (b n a n 2ε) (b 1 a 1 ) (b n a n ) = v(i) kun ε 0. Yleinen väli I: Koska int I I I, int I on avoin väli ja I on suljettu väli, niin monotonisuus ja tulokset avoimille ja suljetuille väleille antavat v(i) = v(int I) = m (int I) m (I) m (I) = v(i) = v(i). Huomautus 5. Jos I, I 1,..., I k R n ovat rajoitettuja välejä ja I k I i, niin v(i) k v(i i). Jos välit int I i, i = 1,..., k, ovat erillisiä ja I = k I i, niin v(i) = k v(i i). (Kertaa ja mieti! Integraalilaskenta/Derivaatta ja integraali) 10

Huomautus 6 ( Samanlaisilla joukoilla on sama mitta ). (1) m on siirtoinvariantti eli m () = m ( + x) kaikilla x R n. Joukko + x on siirrettynä vektorilla x, + x = {y R n : y = a + x, a }. 10.9 ============================= (2) Jos L: R n R n on lineaarikuvaus, niin m (L()) = det L m () kaikilla R n. Erityisesti m on kiertoinvariantti ja m (t) = t n m () kaikilla t > 0 ja kaikilla R n. Joukko t on :n kutistus tai venytys t:n verran, t = {x R n : x = ta, a }. Lebesguen ulkomitalla on siis lähes kaikki halutut ominaisuudet. Lause 2.15 näyttää, että täysadditiivisuus ei toimi aina. Lebesgue-mitalliset joukot. Määritelmä 2.7 (Carathéodoryn ehto). Joukko R n on (Lebesgue-)mitallinen, jos kaikilla E R n. Merkitään M. Huomautus 7. m (E) = m (E ) + m (E \ ) (1) Koska jakaa testijoukon E kahteen erilliseen palaan E = (E ) (E \), niin subadditiivisuuden nojalla on m (E) m (E ) + m (E \ ). 11

Siten on mitallinen jos ja vain jos m (E) m (E ) + m (E \ ) kaikilla E R n. (2) Jos 1 M, 2 R n ja 1 2 =, niin 1 :n mitallisuuden nojalla on m ( 1 2 ) = m ( 1 ( 1 2 )) + m (( 1 2 ) \ 1 ) = m ( 1 ) + m ( 2 ). (3) M ja R n M sillä m ( ) = 0, E =, E \ = E, R n E = E, E \ R n = kaikilla E R n. Lemma 2.8. Olkoon R n. Jos m () = 0, niin M. Todistus. Olkoon E R n. Koska E ja m () = 0, niin monotonisuuden nojalla m (E ) = 0. Koska E \ E, niin monotonisuuden nojalla m (E \ ) m (E). Nyt m (E ) + m (E \ ) 0 + m (E) = m (E), mistä mitallisuus seuraa Huom. 7 (1):n nojalla. Esimerkki 2.9. Lemma 2.8 antaa ison määrän mitallisia joukkoja. (1) Koska m ({x}) = 0 (Harj. 1), niin subadditiivisuuden nojalla jokainen numeroituva joukko on nollamittainen ja siten mitallinen. (2) Koska m (I) = 0 aina, kun I R n on surkastunut väli (Harj. 2), niin surkastuneet välit ja erityisesti hypertasot H = {(x 1,..., x n ) : x n = 0} ovat mitallisia. (3) Olkoon B R ja = {(x, 0) : x B} R 2. Koska m () = 0 monotonisuuden ja kohdan (2) nojalla, niin M. (4) VRO! m () = 0 = =! 12

Lause 2.10. Olkoot, B M. Tällöin R n \ M ja B M. Todistus. Olkoon E R n. R n \ M: Koska on mitallinen, niin m (E (R n \ )) + m (E \ (R n \ )) = m (E \ ) + m (E ) m (E). Joukon R n \ mitallisuus seuraa Huomautus 7 (1):sta. B M: Joukon mitallisuus testijoukolle E antaa m (E) = m (E ) + m (E \ ) ja joukon B mitallisuus testijoukolle E \ Käyttämällä joukkoidentiteettejä m (E \ ) = m ((E \ ) B) + m ((E \ ) \ B). (E ) ((E \ ) B) = E ( B) ja (E \ ) \ B = E \ ( B) ja ulkomitan subadditiivisuutta saadaan m (E) = m (E ) + m ((E \ ) B) + m ((E \ ) \ B) Siten B on mitallinen. m (E ( B)) + m (E \ ( B)). Seuraus 2.11. Olkoot, B M. Tällöin B M ja \ B M. Todistus. Joukko (R n \ ) (R n \ B) = R n \ ( B) on mitallinen Lauseen 2.10 nojalla, joten myös B on mitallinen. Joukon \ B = (R n \ B) mitallisuus seuraa nyt Lauseesta 2.10 ja äskeisestä kohdasta. Lause 2.12. Olkoot i M, i N. Tällöin i M. Jos joukot i ovat erillisiä, niin ( ) (2.1) m i = m ( i ). (Täysadditiivisuus) Todistus. Merkitään = i. Näytetään ensin, että mitallisuustarkastelussa voidaan olettaa, että joukot i ovat erillisiä: Jos ne eivät ole, niin määritellään joukot Ãi, i N, à 1 = 1, Ã2 = 2 \ 1 ja yleisesti à k = k \ k 1 i, kun k 2. 13

Joukot Ãi ovat mitallisia Seurauksen 2.11 perusteella, ne ovat erillisiä, k Ãi = k i kaikilla k N ja Ãi =. Erillisyysoletus on siis ok. Olkoon E R n. Lauseen 2.10 nojalla joukko B n = n i on mitallinen kaikilla n N. Näytetään ensin induktiolla, että n (2.2) m (E B n ) = m (E i ) kaikilla n N: Tapaus n = 1 on triviaali sillä B 1 = 1. Oletetaan, että väite on totta jollain n N. Käyttämällä joukon B n mitallisuutta testijoukolle E B n+1 ja induktiooletusta saadaan m (E B n+1 ) = m ((E B n+1 ) B n ) + m ((E B n+1 ) \ B n ) Siten (2.2) on totta kaikilla n N. n+1 = m (E B n ) + m (E n+1 ) = m (E i ). 11.9 ============================= Käyttämällä kaavaa (2.2) ja ulkomitan monotonisuutta ja subadditiivisuutta saadaan n m (E i ) = m (E B n ) m (E ) m (E i ). Koska tämä on totta kaikille n N, niin (2.3) m (E ) = m (E i ). Tämä toimii kaikille E R n ja valinta E = R n antaa täysadditiivisuuden (2.1). Joukon mitallisuus: Joukon B n mitallisuus, kaava (2.2) ja ulkomitan monotonisuus antavat n m (E) = m (E B n ) + m (E \ B n ) m (E i ) + m (E \ ). 14

Koska tämä on totta kaikille n N, niin kaavan (2.3) avulla saadaan m (E) m (E i ) + m (E \ ) = m (E ) + m (E \ ), mistä joukon mitallisuus seuraa. Seuraus 2.13. Olkoot i M, i N. Tällöin i M. Todistus. Käytetään DeMorganin kaavaa. Joukko (R n \ i ) = R n \ ( i ) on mitallinen Lauseiden 2.10 ja 2.12 perusteella. Siten myös joukko i on mitallinen. Huomautus 8. Edellä näytettiin, että (Γ P(X) (1) M ja R n M, ( Γ) (2) jos M, niin R n \ M, ( Γ = X \ Γ) (3) jos i M, i N, niin i M. ( i Γ, i N = i Γ) Joukkokokoelmaa Γ, jolla on ominaisuudet (1)-(3), sanotaan σ-algebraksi joukossa X. Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelma M on siis σ-algebra R n :ssä. Rajoittamalla Lebesguen ulkomitta m mitallisten joukkojen luokkaan, saadaan mitta, jolla on luvun 2 alussa toivotut ominaisuudet. Määritellään nyt joukkofuntio m: M [0, ] ulkomitan m rajoittumana mitallisten joukkojen luokkaan, m() = m () kaikilla M. Joukkofunktiota m sanotaan Lebesguen mitaksi. Seuraus 2.14. Joukkofunktio m on täysadditiivinen mitta eli (1) m( ) = 0, (2) m( i ) = m( i) aina, kun joukot i M, i N, ovat erillisiä. Todistus. Lause 2.5, Huomautus 7 ja Lause 2.12. Lause 2.15 (Epämitallinen joukko, Vitali 1905). On joukko R, / M. Todistus. Idea: Halutaan erilliset joukot 1, 2,..., joille m ( i ) = m ( 1 ) kaikilla i N. Määritellään ekvivalenssirelaatio R:ssä: x y x y Q. Kyseessä on siis tekijäryhmä R/Q, alkiot ekvivalenssiluokat [x] = {y R : x y Q}. Valitaan jokaisesta ekvivalenssiluokasta yksi edustaja, joka kuuluu välille [0, 1] (Valinta-aksiooma!). Olkoon näiden edustajien joukko. 15

Väite: / M: Katsotaan, mitä tapahtuisi, jos olisi mitallinen. Joukot + q, q Q ovat erillisiä: (Muista, että + q = {a + q : a }.) Olkoot q, p Q. x ( + q) ( + p) = x = a 1 + q = a 2 + p joillain a 1, a 2 = a 1 a 2 = p q Q = a 1 a 2, mistä seuraa joukon määritelmä perusteella, että a 1 = a 2 (yksi edustaja jokaisesta ekvivalenssiluokasta). Tästä seuraa, että p = q ja että ( + q) ( + p) = jos q p. R = q Q ( + q): Suunta on selvä. x R = on a [x] eli x a = q Q joillain a = x = a + q = x ( + q). m () = 0: Koska M, niin + q M ja m ( + q) = m () kaikilla q Q. Lauseen 2.6, monotonisuuden ja joukkojen +1/n erillisyyden nojalla saadaan [0, 1] = + 1 n [0, 2] kaikilla n N = 2 = m ([0, 2]) m ( n=1 ( + 1 n )) = = m () = 0. Täysadditiivisuutta (Lause 2.12) käyttäen saadaan 0 = q Q m ( + 1 ) = m () n n=1 m () = q Q m ( + q) = m (R) =, mikä on ristiriita. Siis joukko ei ole mitallinen. Epämitallisia joukkoja on korkeammissakin dimensioissa. Voidaan näyttää, että jos R n ja m () > 0, niin on B, joka ei ole mitallinen. Haluamme lisää mitallisia joukkoja. Seuraavaksi näytetään, että R n :n avoimet välit ovat mitallisia. Lemma 2.16. Olkoon R n. M jos ja vain jos (2.4) m (I) = m (I ) + m (I \ ) jokaisella avoimella välillä I R n. 16 n=1

Todistus. Jos on mitallinen, niin kaava (2.4) seuraa mitallisuuden määritelmästä. Olkoon E R n ja ε > 0. Ulkomitan määritelmän mukaan on joukot I i K, i N, joille E I i ja v(i i) < m (E) + ε. Subadditiivisuutta (kahdesti), monotonisuutta ja oletusta (2.4) käyttäen saadaan m (E) m (E ) + m (E \ ) = m ( ( I i ) ) + m ( ( I i ) \ ) = m ( (I i ) ) + m ( (I i \ ) ) ( m (I i ) + m (I i \ ) ) = m (I i ) = v(i i ) < m (E) + ε. Koska tämä on totta kaikilla ε > 0, niin m (E) = m (E ) + m (E \ ). Siten on mitallinen. 17.9 ============================= Lause 2.17. Jos J R n on väli, niin J on mitallinen. Todistus. Olkoon J R n väli ja I R n avoin väli. Lemman 2.16 ja subadditiivisuuden nojalla riittää näyttää, että m (I) m (I J) + m (I \ J). Koska I J on väli ja I \ J voidaan esittää äärellisenä yhdisteenä välejä I i, joiden sisukset int I i ovat erillisiä, saadaan subadditiivisuutta käyttäen m (I J) + m (I \ J) m (I J) + m ( k I i ) m (I J) + = v(i J) + k m (I i ) k v(i i ) = v(i) = m (I). Huomaa yllä, että I = (I J) ( ) k I i ja yhdisteen osat ovat sisuksiltaan erillisiä. Siis J on mitallinen. Seuraus 2.18. R n :n avoimet ja suljetut joukot ovat mitallisia. Todistus. Jos U R n on avoin, niin dyaadisten kuutioiden avulla nähdään, että on suljetut välit (sisuksiltaan erilliset kuutiot, joiden sivun pituus on 2 k jollain k N) I i, i N, joille U = I i (Mieti!). Joukon U mitallisuus seuraa Lauseista 2.17 ja 2.12. Jos F R n on suljettu, niin U = R n \ F on avoin ja siten mitallinen todistuksen alkuosan perusteella. Siten F on mitallisen joukon komplementtina mitallinen Lauseen 2.10 perusteella. 17

Esimerkki 2.19. Jos U R n on avoin, niin U, U ja U = U \ U ovat mitallisia. Koska U ja U ovat erillisiä ja U = U U, niin m(u) = m(u) + m( U). 2.1. Borel-joukoista. voimien ja suljettujen joukkojen ja Lauseiden 2.10 ja 2.12 avulla saadaan paljon mitallisia joukkoja; erityisesti Borel-joukot. Borel-joukkojen perhe on pienin R n :n σ-algebra B, joka sisältää avoimet (suljetut) joukot. B:n joukkoja kutsutaan Borel-joukoiksi. B = { Γ : Γ on σ-algebra, joka sisältää avoimet joukot }. Lauseiden 2.10 ja 2.12 ja Seurauksen 2.18 nojalla mitalliset joukot muodostavat σ-algebran, joka sisältää avoimet joukot. Siten B M. On muitakin mitallisia joukkoja kuin Borel-joukot, konstruktio esim. Cantorin funktion avulla. 2.2. Mittojen laskua. Lause 2.20. Olkoot 1, 2, R n mitallisia. (1) Jos 1 2 ja m( 1 < ), niin (2) Jos 1 2..., niin m( 2 \ 1 ) = m( 2 ) m( 1 ). m ( i ) = lim m( i ). (3) Jos i 2... ja m( i0 ) < jollain i 0, niin m ( i ) = lim m( i ). Todistus. Lauseen 2.12 ja Seurauksien 2.11 ja 2.13 nojalla väitteissä esiintyvät joukot ovat mitallisia. (1) Koska 1 M, niin mitallisuuden määritelmä (mitalliselle) testijoukolle 2 antaa m( 2 ) = m( 2 1 ) + m( 2 \ 1 ) = m( 1 ) + m( 2 \ 1 ) (ja kaikki laskussa esiintyvät joukot ovat mitallisia). Koska m( 1 ) <, niin saa laskea: m( 2 \ 1 ) = m( 2 ) m( 1 ). (2) Jos m( i ) = jollain i N, niin väite on totta monotonisuuden nojalla. Oletetaan, että m( i ) < kaikilla i N. Nyt i = 1 ( 2 \ 1 ) ( 3 \ 2 ) = 1 ( ( i+1 \ i ) ) ja yhdisteen joukot 1, i+1 \ i ovat erillisiä ja mitallisia, 18

joten Lausetta 2.12 ja kohtaa (1) käyttäen saadaan m ( ) i = m(1 ) + m( i+1 \ i ) = m( 1 ) + lim k ( = m( 1 ) + lim m(k+1 ) m( 1 ) ) k = lim m( k+1 ). k k m( i+1 \ i ) (3) Voidaan olettaa, että m( i ) < kaikilla i N. Jos ei, niin määritellään à i = i i0. Kohtia (2) ja (1) sisäkkäisille joukoille 1 \ i käyttäen saadaan m ( ( 1 \ i ) ) = lim m( 1 \ i ) = m( 1 ) lim m( i ). Siten DeMorganin kaavan ja kohdan (1) nojalla on lim m( i) = m( 1 ) m ( ( 1 \ i ) ) = m( 1 ) m ( 1 \ i ) ) = m( 1 ) m( 1 ) + m ( i ) = m ( i ). Esimerkki 2.21 (Cantorin 1/3-joukko). (monisteen luku 9.3) Poistetaan välin [0, 1] keskeltä avoin väli, jonka pituus on 1. Jäljelle jää kaksi 3 suljettua väliä J 1,1 = [0, 1] ja J 3 1,2 = [ 2, 1], joiden molempien pituus on 1. 3 3 Poistetaan molempien jäljelle jäävien välien keskeltä avoin väli, jonka pituus on 1 1 = 1. Saadaan 4 suljettua väliä J 3 3 9 2,i, i = 1,... 4, joiden kaikkien pituus on 1. 9 Jatkamalla saadaan kaikilla k = 1, 2,... erilliset suljetut välit J k,1,..., J k,2 k, joille v(j k,i ) = ( 1 3 )k. (Huomaa, että kaikilla k, i on täsmälleen yksi j {1,..., 2 k 1 }, jolle J k,i J k 1,j.) 19

Merkitään C k = 2 k J k,i ja C = k=1 C k. Joukko C on Cantorin joukko. Sillä on seuraavia ominaisuuksia: Välit J k,i ovat suljettuja, joten C k on suljettu kaikilla k N. Siten C on suljettujen joukkojen numeroituvana leikkauksena suljettu. Koska C on myös rajoitettu, niin se on kompakti. Seurauksen 2.18 perusteella C on mitallinen. m(c) = 0: Lauseen 2.20 nojalla on Koska m(c k ) = m(c) = lim k m(c k ). 2 k v(j k,i ) = 2 k ( 1 3 )k = ( 2 3 )k 0 kun k, niin on m(c) = 0. Siten joukolla C ei ole sisäpisteitä (se ei sisällä yhtään väliä). 18.9 ============================= C:n pisteet voidaan karakterisoida lukujen kolmikantaisen esityksen avulla: x C x = x k 3 k, x k {0, 2} kaikilla k N. k=1 Osoitekoodaus: x 01101... (voovo) Poistamalla pienempiä välejä saadaan positiivimittaisia Cantorin joukkoja. Esim. poistetaan välin [0, 1] keskeltä avoin väli, jonka pituus on 1 1 = 1. 2 3 6 Jatketaan poistamalla jäljelle jääneiden suljettujen välien keskeltä avoimet välit, joiden pituus on 1 1. Jatkamalla saadaan k. vaiheessa 2 k suljettua 2 3 2 väliä, joiden pituudet ovat l k > ( 1 3 )k. Jäljelle jää suljettu joukko E, jolle (joukot E k ja E kuten C k ja C yllä) m(e) = m([0, 1]) m([0, 1] \ E) = m([0, 1]) m( k=1([0, 1] \ E k )) = 1 2. Koska m(e) > 0, niin E ei ole numeroituva. Joukot C ja E ovat yhtä mahtavia, joten myös C on ylinumeroituva. 20

Seuraava tulos kertoo, että Lebesguen mitta on säännöllinen. Jokainen joukko R n voidaan peittää avoimien joukkojen numeroituvalla leikkauksella (eli mitallisella joukolla), jonka ulkomitta on sama kuin joukolla. Lause 2.22. Olkoon R n. On mitallinen B R n, jolle B ja m () = m (B). Todistus. Jos m () =, niin B = R n kelpaa. Jos m () <, niin kaikilla j N on avoimet välit I j i, Ij 2,..., joille I j i ja m ( ) I j i v(i j i ) < m () + 1 j. Joukko B j = I j i on avoin ja siten mitallinen kaikilla j N. Voidaan olettaa, että B j+1 B j kaikilla j N (jos ei, niin määritellään avoimet joukot B j+1 = B j+1 B j ). Nyt joukko B = j=1b j on Seurauksen 2.13 nojalla mitallinen (jopa Borel), B ja Lause 2.20 antaa m (B) = m ( ) j=1 B j = lim m (B j ) m 1 () + lim j j j = m (). Väite seuraa, sillä suunta m () m (B) on totta monotonisuuden perusteella. Lause 2.23. Olkoon R n. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) on mitallinen, (2) kaikilla ε > 0 on avoin joukko U, jolle U ja m (U \ ) < ε, (3) on mitallinen B, jolle B ja m (B \ ) = 0, (4) kaikilla ε > 0 on suljettu joukko F, jolle F ja m ( \ F ) < ε, (5) on mitallinen E, jolle E ja m ( \ E) = 0. Huomautus 9. (1) Edellinen lause ei välttämättä ole totta yleisille mitoille. (2) Voidaan valita B = U i, missä U i :t ovat avoimia (G δ -joukko); vertaa Lauseeseen 2.22. Voidaan myös valita E = F i, missä F i :t ovat suljettuja (F σ -joukko). Todistus. (1) = (2): m() < : Olkoon ε > 0 ja I i K, joille I i ja v(i i ) < m() + ε. Nyt U = I i on avoin ja Lauseen 2.20 ja subadditiivisuuden nojalla m(u \ ) = m(u) m() v(i i ) m() < ε. m() = : Olkoon ε > 0. Joukko k = B(0, k) 21

on mitallinen kaikilla k N mitallisten joukkojen leikkauksena ja m( k ) < ( k rajoitettu, Harj. 2). Todistuksen alkuosan perusteella on avoimet joukot U k, joille k U k ja m(u k \ k ) < ε/2 k. Nyt joukko U = k=1 U k on avoin, U ja monotonisuutta ( k=1 U k \ = k=1 (U k \ ) k=1 (U k \ k )) ja subadditiivisuutta käyttäen saadaan m(u \ ) = m ( k=1 U k \ ) m ( k=1 (U k \ k ) ) ε m(u k \ k ) < 2 = ε. k k=1 (2) = (3) ja (4) = (5): samanlaisia keskenään, vertaa Lauseen 2.22 todistus, Harj. (1) = (4): Harj. 4 (3) = (1): Olkoon B M, jolle B ja m (B \ ) = 0. Lemman 2.8 nojalla B \ on mitallinen, joten = B \ (B \ ) on mitallinen. k=1 (5) = (1): Olkoon E M, jolle E ja m ( \ E) = 0. Kuten yllä, \ E on mitallinen. Siten = E ( \ E) mitallisten joukkojen yhdisteenä mitallinen (Seuraus 2.11). 3. Yksinkertaisen funktion integraali Idea: Tarkastellaan funktion f tasa-arvojoukkoja ja approksimoidaan niitä käyttäen funktiota f alhaalta yksinkertaisilla funktioilla. 22

Määritelmä 3.1. Funktio f : R n R on yksinkertainen, jos on mitalliset joukot 1,..., k R n ja luvut c 1,..., c k R, joille k f(x) = c i χ i (x) kaikilla x R n. Tällöin merkitään f Y. Esimerkki 3.2. (1) Jos f : R n R on porrasfunktio, niin f Y. (Harj.) (2) Funktio f : R R, 2, x Q [0, 1], f(x) = 1, x (R \ Q) [0, 1], 0, x R \ [0, 1], on yksinkertainen, sillä f = 2 χ Q [0,1] + 1 χ (R\Q) [0,1] ja kaikki summassa esiintyvät joukot ovat mitallisia. (3) Joukko R n on mitallinen jos ja vain jos χ on yksinkertainen. (4) Jos f Y ja M, niin fχ Y. 24.9 ============================= Lemma 3.3. Olkoon f : R n R. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) f Y, (2) f saa vain äärellisen monta arvoa ja joukko {x R n : f(x) = c} on mitallinen kaikilla c R, 23

(3) on erilliset, epätyhjät joukot B 1,..., B l M ja luvut b 1,..., b l, joille b i b j kun i j, l B i = R n ja f(x) = l b i χ B i (x) kaikilla x R n. Todistus. (1) = (2) ja (3) = (1) ok. (2) = (3): Olkoon f(r n ) = {b 1,..., b l }, missä b i b j kun i j. Määritellään B i = {x R n : f(x) = b i }. Oletuksen mukaan jokainen B i on mitallinen. Lisäksi joukot B i ovat erillisiä, joten (3) on totta. Huomaa, että funktion f Y esitys ei ole yksikäsitteinen. Esim. 3.2 (2):n funktio f voidaan esittää myös summana f = 1 χ Q [0,1] + 1 χ [0,1]. Määritelmä 3.4. Funktion f Y normaaliesitys on Lemman 3.3 kohdan (3) antama esitys. Huomautus 10. (1) Normaaliesitys on yksikäsitteinen. (2) Esim. 3.2 (2):n kumpikaan edellä annettu esitys ei ole normaaliesitys; esitys f = 2 χ Q [0,1] + 1 χ (R\Q) [0,1] + 0 χ R\[0,1] on. Yksinkertaisen funktion integraali määritellään ei-negatiivisille funktioille f Y, Y + = {f Y : f(x) 0 kaikilla x R n }. Määritelmä 3.5. Olkoon f Y + ja f = k a i χ i funktion f normaaliesitys. Olkoon E M. Tällöin k I(f, E) = a i m( i E) on funktion f (Lebesgue-)integraali yli joukon E. Esimerkki 3.6. (1) Jos f(x) = 1 kaikilla x R, niin f = 1 χ R on normaaliesitys ja I(f, R) = 1 m(r) = 1 =. (2) Esim. 3.2 (2):n funktiolle on I(f, R) = 2 m(q [0, 1]) + 1 m((r \ Q) [0, 1]) + 0 m(r \ [0, 1]) = 2 0 + 1 1 + 0 = 1. Seuraava tulos kertoo, että esityksen normaaliudesta ei tarvitse huolehtia, kunhan joukot i ovat erillisiä. 24

Lemma 3.7. Olkoon f Y +, f = k a i χ i, missä a i 0 kaikilla i = 1,... k ja joukot 1,..., k M ovat erillisiä. Tällöin I(f, E) = k a i m( i E) kaikilla E M. Todistus. Harj. (Luvut a i eivät siis välttämättä ole eri lukuja. Jos f = l b i χ B i on normaaliesitys, niin määritellään C i = { j j : a j = b i }.) Yksinkertaisen funktion integraali käyttäytyy hyvin sekä integroitavien funktioiden että joukkojen suhteen: Lemma 3.8. Olkoot f, g Y +,, E M ja 0 λ <. Tällöin (1) I(χ, E) = m( E), (2) I(λf, E) = λi(f, E), (3) I(f + g, E) = I(f, E) + I(g, E), (4) jos f(x) g(x) kaikilla x E, niin I(f, E) I(g, E), (5) jos E, niin I(f, ) I(f, E). Todistus. (1) ok (2) ok, sillä λf Y + (3) On helppo nähdä, että f + g Y +. Olkoot f = k a i χ i ja g = l b j χ Bj j=1 funktioiden f ja g normaaliesitykset. Koska kaikilla i = 1,..., k ja j = 1,..., l on i = l j=1( i B j ) ja B j = k ( i B j ) 25

ja yhdisteiden joukot ovat erillisiä, niin k ( l ) f + g = a i χ i B j + = l j=1 j=1 k (a i + b j )χ i B j. l ( k ) b j χ i B j j=1 Joukkojen i B j erillisyyden ja Lemman 3.7 nojalla l k I(f + g, E) = (a i + b j )m( i B j E) = j=1 k a i l m( i B j E)+ = j=1 missä ja tiedon l j=1b j = R n perusteella on l j=1 b j k m( i B j E), l m( i B j E) = m ( ) ( l j=1 ( i E) B j = m (i E) ( l j=1b j ) ) j=1 = m ( i E ) ja vastaavasti k m( i B j E) = m ( B j E ). Siten saadaan k I(f + g, E) = a i m ( i E ) l + a i m ( B j E ) = I(f, E) + I(g, E). j=1 (4) Jos f, g Y + ja f g, niin g = f + (g f), g f Y + ja kohdan (3) nojalla saadaan I(g, E) = I(f + (g f), E) = I(f, E) + I(g f, E) I(f, E). (5) Jos E, niin kohta (4) funktioille fχ ja fχ E antaa I(f, ) = I(fχ, R n ) I(fχ E, R n ) = I(f, E). Huomaa, että jos f Y + ja m(e) = 0, niin I(f, E) = 0. Integraalin I(f, E) määritelmästä seuraa, että mitan ominaisuudet periytyvät integraalille: Lemma 3.9. Olkoot E i R n, i N, mitallisia ja f Y +. Tällöin (1) I ( f, E i ) I(f, E i), (2) I ( f, E i ) = I(f, E i), jos joukot E i ovat erillisiä, (3) jos E 1 E 2..., niin I ( f, E i ) = lim I(f, E i ), (4) jos E 1 E 2..., ja I(f, E 1 ) <, niin I ( f, E i ) = lim I(f, E i ). Todistus. Käytä Lauseita 2.12 ja 2.20 ja edellisiä kohtia. 26

Riemann-integraalia vastaava määritelmä funktiota ylä- ja alapuolelta approksimoivilla yksinkertaisilla funktioilla ja näiden avulla määritellyillä ylä- ja alaintegraalilla toimii, jos integroituva funktio f on rajoitettu ja integroimisalue on äärellismittainen. (Huomaa, että jos m() =, f > 0, h Y + ja h f, niin I(h, ) =.) Halutaan, että integraali voidaan määrittää niille funktioille, jotka ovat yksinkertaisten funktioiden rajoja. Määritelmä 4.1. Olkoon R n (Lebesgue-)mitallinen, jos alkukuva on mitallinen kaikilla a R. Esimerkki 4.2. 4. Mitalliset funktiot mitallinen joukko. Funktio f : R on f 1 (]a, ]) = {x : f(x) > a} (1) Vakiofunktio on mitallinen: Jos M, C R ja f(x) = C kaikilla x, niin { f 1, jos a < C, (]a, ]) =, jos a C. 25.9 ============================= (2) Jos f Y, niin f on mitallinen. (Harj. 5) Lause 4.3. Olkoon R n mitallinen ja f : R. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) f on mitallinen, (2) {x : f(x) a} on mitallinen kaikilla a R, f 1 ([a, ]) (3) {x : f(x) < a} on mitallinen kaikilla a R, f 1 ([, a[) (4) {x : f(x) a} on mitallinen kaikilla a R. f 1 ([, a]) Muista, että alkukuville pätee f 1( i i ) = i f 1 ( i ), f 1( i i ) = i f 1 ( i ) ja f 1( c) = ( f 1 () ) c. Todistus. Käytetään Lauseita 2.10, 2.12 ja niiden seurauksia mitallisten joukkojen komplementtien, yhdisteiden ja leikkauksien mitallisuudelle. Olkoon a R. (1) = (2): Koska [a, ] = ]a 1, ], niin i f 1( [a, ] ) = f 1( ]a 1 i, ]), joka on mitallisten joukkojen leikkauksena mitallinen. (2) = (3): Koska [, a[= R \ [a, ], niin f 1( [, a[ ) = ( f 1( [a, ] )) c, joka on mitallisen joukon komplementtina mitallinen. Muut kohdat todistetaan samaan tapaan. 27

Esimerkki 4.4. Olkoon f : R R, f(x) = { 1, kun x > 0, 2, kun x 0. Olkoon a R. Nyt R, jos a 1, {x : f(x) a} = ], 0], jos 1 < a 2,, jos a > 2, joten f on mitallinen Lauseen 4.3 perusteella. Huomautus 11 (Mitallisten joukkojen ja mitallisten funktioiden yhteys). Joukko R n on mitallinen jos ja vain jos funktio χ on mitallinen: Olkoon a R. Koska, jos 0 a < 1, {x R n : χ (x) > a} =, jos a 1, R n, jos a < 0, niin alkukuva {x R n : χ (x) > a} on mitallinen jos ja vain jos M. Tästä seuraa, että on myös epämitallisia funktioita! Lause 4.5. Olkoon R n mitallinen ja f : R. Tällöin (1) jos f 1 ( ) M ja f 1 (]a, b[) M kaikilla a, b R, niin f on mitallinen. (2) jos f on mitallinen, niin f 1 ( ) ja f 1 ( ) ovat mitallisia ja f 1 (B) on mitallinen jokaisella Borel-joukolla B (erityisesti, jos B on numeroituva yhdiste tai leikkaus suljetuista tai avoimista joukoista). Todistus. (1) Olkoon a R. Nyt f 1( [, a[ ) ( = f 1 ( ) f 1( ]a i, a[ )), joten f on mitallinen oletuksen ja Lauseen 4.3 nojalla. (2) Koska f 1 ( ) = f 1( [, i] ) ja f 1 ( ) = f 1( [i, ] ), niin mitallisuus seuraa Lauseesta 4.3 ja Seurauksesta 2.13. Olkoon Γ = { E R : f 1 (E) M }. Näytetään, että Γ on σ-algebra, joka sisältää R n :n avoimet joukot. Koska Borel-joukkojen luokka on pienin σ-algebra, joka sisältää avoimet joukot, niin tästä seuraa, että B Γ. Γ on σ-algebra: (a), R Γ, (b) jos E Γ, niin f 1 (R \ E) = f 1 (R) \ f 1 (E) M, joten R \ E Γ, (c) jos E i Γ, i N, niin f 1( ) E i = f 1 (E i ) M, joten E i Γ. 28

Γ sisältää avoimet joukot: Koska kaikilla a, b R, joille a < b, on ]a, b[=]a, ] [, b[, niin f 1( ]a, b[ ) = f 1( ]a, ] ) f 1( [, b[ ), joka on mitallinen Lauseen 4.3 nojalla. Siten ]a, b[ Γ. Jos U R on avoin, niin on avoimet, erilliset välit ]a i, b i [ R, joille U = ]a i, b i [. Koska f 1 (U) = f 1( ]a i, b i [ ) M, niin U Γ. Seuraus 4.6. Olkoon R n mitallinen ja f : R jatkuva. Tällöin f on mitallinen. Todistus. Käytetään Lauseen 4.5 kohtaa (1): Olkoon ]a, b[ avoin väli. Koska f on jatkuva, niin on avoin U R n, jolle f 1( ]a, b[ ) = U M. Koska lisäksi f 1 ( ) =, niin f on mitallinen. Huomaa, että Lauseen 4.5 kohdassa (2) Borel-joukkoja ei voi korvata mitallisilla joukoilla (edes jatkuville funktioille): on aidosti kasvava, jatkuva h: P K, missä P, K R, m(p ) > 0, m(k) = 0. Jos P on epämitallinen joukko, niin E = h() on mitallinen, mutta sen alkukuva ei ole. Operaatioita mitallisilla funktioilla. Seuraava lemma kertoo, että mitallisia funktioita saa yhdistää ja rajoittaa mitallisiin joukkoihin. Todistukset ovat harjoitustehtäviä. Lemma 4.7. (1) Olkoot i R n, i N, erillisiä ja mitallisia ja olkoot f i : i R mitallisia. Tällöin f : i R, f(x) = f i (x) kun x i, on mitallinen. (2) Olkoot B R n mitallisia ja olkoon f : R mitallinen. Tällöin f B : B R, f B (x) = f(x), on mitallinen. Seuraus 4.8. Olkoon R n mitallinen ja olkoon f : R. Funktio f on mitallinen jos ja vain jos nollajatko f : R n R, { f(x), kun x, f(x) = 0, kun x /, on mitallinen. Todistus. Lemma 4.7 ja vakiofunktion mitallisuus. Seuraavaksi näytetään, että mitallisten funktioiden summa ja tulo ovat mitallisia. Lemma 4.9. Olkoon R n mitallinen ja olkoot f, g : R mitallisia. Tällöin joukko E = {x : f(x) < g(x)} on mitallinen. Todistus. Koska x E f(x) < g(x) on q Q, jolle f(x) < q < g(x) x q Q ( {y : f(y) < q} {y : g(y) > q} ), 29

niin f:n ja g:n mitallisuudesta seuraa, että E on mitallinen. Lause 4.10. Olkoon R n mitallinen, c R ja olkoot f, g : R mitallisia. Tällöin funktiot f + g (jos määritelty), cf ja fg ovat mitallisia. Todistus. Olkoon a R. cf: Jos c = 0, niin 0 f = 0 on vakiofunktiona mitallinen. Jos c 0, niin { {x : f(x) > a }, jos c > 0, {x : (cf)(x) > a} = c {x : f(x) < a }, jos c < 0. c Funktion cf mitallisuus seuraa funktion f mitallisuudesta. f + g: Summa f + g on määritelty joukossa \ ( (f 1 ( ) g 1 ( ) ) ( g 1 ( ) f 1 ( ) )), joka on mitallinen Lauseen 4.5 nojalla. Merkitään tätäkin joukkoa :lla. Koska (f +g) 1 (± ) = f 1 (± ) g 1 (± ) on mitallinen, niin Lemman 4.7 nojalla voidaan tarkastella funktioita f, g : R. Nyt {x : (f + g)(x) > a} = {x : g(x) > a f(x)}, joten Lemman 4.9 nojalla riittää näyttää, että funktio a f on mitallinen. Olkoon b R. Joukko {x : (a f)(x) > b} = {x : f(x) < a b} on mitallinen Lemman 4.3 nojalla, joten a f on mitalinen. fg: Nyt (fg) 1 ( ) = [f 1 ( ) g 1 (]0, ])] [f 1 ( ) g 1 ([, 0[)] [g 1 ( ) f 1 (]0, ])] [g 1 ( ) f 1 ([, 0[)] on mitallinen ja samoin (fg) 1 ( ). Lemman 4.7 nojalla voidaan siis tarkastella funktioita f, g : R. Nyt funktiot f + g ja f g ovat mitallisia ja samoin fg = 1 4( (f + g) 2 (f g) 2). Tässä tarvittava tulos h mitallinen = h 2 mitallinen, todistetaan Harj. 5:ssä. 1.10 ============================= Muista, että funktion f : R positiivi- ja negatiiviosa ovat funktiot f +, f : [0, ], { { f + f(x), kun f(x) 0, (x) = 0, kun f(x) < 0 ja f f(x), kun f(x) 0, (x) = 0, kun f(x) > 0. 30

Lemma 4.11. Olkoon R n mitallinen ja f : R. Funktio f on mitallinen jos ja vain jos f + ja f ovat mitallisia. Todistus. Jos f + ja f ovat niin mitallisia, niin väite seuraa Lauseesta 4.10 sillä f = f + f. Oletetaan sitten, että f on mitallinen. Olkoon a R. Koska { {x : f + {x : f(x) > a}, jos a 0, (x) > a} =, jos a < 0, niin f + on mitallinen. Funktion f mitallisuus todistetaan samaan tapaan (tai käytämällä kaavaa f = ( f) + ). Seuraus 4.12. Olkoon R n mitallinen ja f : R mitallinen. Tällöin funktio f : [0, ] on mitallinen. Todistus. Huomaa, että f = f + + f ja käytä Lemmaa 4.11 ja Lausetta 4.10. Varo! f mitallinen = f mitallinen! (Harj. 5) Lause 4.13. Olkoon R n mitallinen, f : R mitallinen ja g : R R jatkuva. Tällöin funktio g f : R on mitallinen. Todistus. Harj. 5. Huomautus 12. (1) f, g mitallisia = g f mitallinen 31

(2) Jos M, f, g : R ovat mitallisia, c R ja p > 0, niin seuraavat funktiot ovat mitallisia (jos ovat määriteltyjä): f + g, fg, 1/g, f/g, cf, f +, f, f, f p. Lause 4.14. Olkoon R n mitallinen ja olkoot f i : R, i N, mitallisia. Tällöin funktiot sup i N f i ja inf i N f i ovat mitallisia. Todistus. Näytetään, että inf i N f i on mitallinen. Olkoon a R. Koska {x : inf i N f i(x) a} = {x : f i (x) a kaikilla i N} = {x : f i (x) a}, niin mitallisuus seuraa funktioiden f i mitallisuudesta ja Lauseesta 4.3. sup i N f i :n mitallisuus vastaavasti tai käyttämällä tietoa sup i N f i = inf i N ( f i ). Mitallisten funktioiden rajafunktion mitallisuus on tärkeä tulos. Sen todistuksessa käytetään funktioita lim inf f i ja lim sup f i, joihin, kuten myös rajafunktion mitallisuuden todistukseen, palataan kurssin 2. osassa. Todistus löytyy myös luentomonisteen luvusta 4. Lause 4.15. Olkoon R n mitallinen ja olkoot f i : R, i N, mitallisia. Jos on funktio f : R, jolle f = lim f i, niin f on mitallinen. Huomautus 13. Jos f i : R, i N, mitallisia ja jono (f i ) i N on kasvava, niin f = sup i N f i = lim f i on mitallinen. Lebesgue-integraalin määrittely perustuu seuraavaan tulokseen. Lause 4.16. Olkoon R n mitallinen. Funktio f : [0, ] on mitallinen jos ja vain jos on kasvava jono (f i ) i N Y +, jolle lim f i (x) = f(x) kaikilla x. Todistus. Jos jono (f i ) i N Y +, joille f i f, niin funktion f mitallisuus seuraa yksinkertaisten funktioiden mitallisuudesta ja Huomautuksesta 13. Jos f on mitallinen, niin määritellään funktiot f i : [0, [ seuraavasti: Jaetaan välit [0, i[ osaväleihin I 1,... I i2 i, joiden pituus on 2 i, I j = [(j 1)2 i, j2 i [, j = 1,... i2 i ja määritellään { (j 1)2 i, kun x f 1 (I j ) ( eli (j 1)2 i f(x) < j2 i ), f i (x) = i, kun x f 1 ([i, ]) ( eli f(x) i). f i Y + : f on mitallinen, joten Lauseen 4.5 nojalla alkukuvat f 1 (I j ) ja f 1 ([i, ]) ovat mitallisia. Koska f i 0 ja i2 i f i (x) = (j 1)2 i χ f 1 (I j ) + iχ f 1 ([i, ]), j=1 niin f i Y +. Konstruktiosta seuraa, että 0 f i f i+1 f. 32

f i (x) f(x) kaikilla x : Jos f(x) =, niin f i (x) = i kaikilla i N; ok. Jos f(x) <, niin on i x N, jolle f(x) < i x. Kun i i x, niin f(x) I j jollain j {1,... i2 i } ja siten f i (x) = (j 1)2 i I j. Koska välin I j pituus on 2 i, niin f i (x) f(x) < 2 i. Tästä seuraa, että lim f i (x) = f(x). Huomaa, että jos f on rajoitettu, niin f i f tasaisesti: Jos 0 f(x) M kaikilla x, niin f i (x) f(x) 2 i kaikilla i M. Seuraus 4.17. Olkoon R n mitallinen. Funktio f : R on mitallinen jos ja vain jos on jono (f i ) i N Y, jolle lim f i (x) = f(x) kaikilla x. Todistus. Muista, että f = f + f ja käytä Lausetta 4.16. Esimerkki 4.18 (Cantorin funktio - paholaisen portaat). Olkoon C [0, 1] esimerkin 2.21 Cantorin 1/3-joukko. Määritellään jono kasvavia funktioita seuraavasti: Näin jatkamalla saadaan kasvava jono jatkuvia funktioita f i : [0, 1] [0, 1], joille f i+1 (x) f i (x) 2 i 1 kaikilla x [0, 1]. 33

Tästä seuraa, että jono (f i ) suppenee tasaisesti ja rajafunktio f = lim f i on jatkuva. Cantorin funktio f on kasvava ja (jatkuvana) mitallinen, vakio jokaisella välillä I, jolle I [0, 1] \ C, derivoituva m.k. x [0, 1], f (x) = 0 kaikilla x [0, 1] \ C, jos x C, niin f ei ole derivoituva pisteessä x f(0) = 0, f(1) = 1, joten f(1) f(0) = 1 0 = [0,1] f dm (f ei ole absoluuttisesti jatkuva, tähän palataan myöhemmin) f([0, 1]) = [0, 1] (Bolzanon lause). Koska f([0, 1] \ C) on numeroituva, niin joukon C ylinumeroituvuus saadaan tästäkin huomiosta. 2.10 ============================= Esimerkki 4.19 (Joukko, joka on mitallinen, mutta ei Borel-joukko). Edellisen esimerkin Cantorin funktion f ja Lauseen 4.5 kohdan (2) avulla saadaa joukko, joka on mitallinen, mutta ei Borel. Olkoon g : [0, 1] R, g(x) = f(x) + x kaikilla x [0, 1]. Tällöin g on mitallinen, jatkuva ja aidosti kasvava ja siten homeomorfismi (jatkuva bijektio, jolle g 1 on jatkuva). Funktiolla g on seuraavia ominaisuuksia: (1) g(0) = 0, g(1) = 2, g([0, 1]) = [0, 2], (2) Jokaisella välillä, jolla Cantorin funktio on vakio (Cantorin joukon konstruktiossa poistetut välit), g(x) = r + x, missä r on kyseisen välin vakioarvo. Siten g kuvaa lukuun r liittyvän välin J r väliksi, jonka pituus on sama kuin välin J r. Tästä seuraa, että m(g(c)) = = 1. Koska m(g(c)) > 0, niin on epämitallinen joukko B g(c). Olkoon = g 1 (B). Tällöin C ja on nollamittaisena mitallinen. Jos olisi Borel-joukko, niin sen alkukuva B jatkuvassa kuvauksessa g 1 olisi mitallinen Lauseen 4.5 nojalla. Siis ei ole Borel. 5. Ei-negatiivisen funktion integraali Määritelmä 5.1. Olkoon R n mitallinen ja olkoon f : R mitallinen. Funktion f (Lebesgue-)integraali yli joukon on f dm = sup { I(u, ) : u Y +, u f joukossa }. Huomautus 14. (1) 0 f dm ; yksinkertaiseksi funktioksi kelpaa ainakin u = 0. (2) Jos f Y +, niin f dm = I(f, ): Koska f f ja f Y+, niin f dm I(f, ). Jos u Y + ja u f, niin Lemman 3.8 nojalla on I(u, ) I(f, ) ja siten on f dm I(f, ). 34

(3) Jos ja B ovat mitallisia ja f : [0, ] on mitallinen, niin nollajatkolle f (katso Seuraus 4.8) on f dm = f dm. Erityisesti joukolle B = Rn B B saadaan f dm = f dm. (Harj. 6) R n (4) Jos m() = 0, niin f dm = 0. (Koska m() = 0, niin I(u, ) = 0 kaikilla u Y +.) Yksinkertaisen funktion integraalin ominaisuuksien (jotka saatiin mitalllisten joukkojen ominaisuuksista) ja Huomautuksen 14 avulla saadaan helposti seuraavat integraalin perusominaisuudet. Lause 5.2. Olkoot, B R n mitallisia ja olkoon λ 0. Olkoot f, g : [0, ] mitallisia. Tällöin (1) fλ dm = λ f dm. (2) Jos f g, niin f dm g dm. (3) Jos B, niin f dm f dm. B (4) (Chebyshev/Tchebysheff) Kaikilla 0 < λ < on m ( {x : f(x) > λ} ) 1 f dm. λ Todistus. (1) Jos λ = 0, niin λf Y + ja Huom 14 (2):n nojalla on λf dm = I(λf, ) = I(0, ) = 0 = 0 f dm. λ > 0: Olkoon ε > 0 ja olkoon u Y +, jolle u f ja I(u, ) > f dm ε. Koska λu Y + ja λu λf, niin Lemman 3.8 nojalla on ( ) λf dm I(λf, ) = λi(f, ) > λ f dm ε. Siten λf dm λ f dm. Väite seuraa, sillä tämä epäyhtälö kertoimella 1/λ antaa ( λf dm = λ 1 λ ) λf dm λ f dm. (2) ok, sillä jos funktiolle u Y + pätee u f, niin u g ja siten on f dm g dm. (3) Huomautus 14 (3):n ja kohdan (2) avulla saadaan f dm = f dm = fχ dm fχ B dm = f B dm = f dm. R n R n R n R n B (4) Koska f on mitallinen, niin λ = {x : f(x) > λ} on mitallinen. Kohtia (3) ja (2) ja Huomautus 14 (2) käyttäen saadaan f dm f dm λ dm = I(λ, λ ) = λm( λ ). λ λ 35

5.1. Konvergenssituloksia. Olkoon R n mitallinen ja olkoot f i : [0, ] mitallisia funktioita, joille f i (x) f(x) kaikilla x kun i. Onko f dm = lim f i dm? Ei aina. Esimerkki 5.3. Olkoot f i : R [0, [, f i (x) = iχ ]0,1/i[, i N. Koska f i Y +, niin f i on mitallinen kaikilla i ja f i dm = I(f i, R) = im(]0, 1/i[) = 1 R kaikilla i N. Toisaalta lim f i (x) = 0 kaikilla x R, joten lim f i dm = 0 dm = 0 1 = lim f i dm. R R R Huomaa, että jono (f i ) ei ole nouseva eikä laskeva. Lause 5.4 (Lebesguen monotonisen konvergenssin lause, MK-lause). Olkoon R n mitallinen. Olkoon (f i ) nouseva jono mitallisia funktioita f i : [0, ], i N. Tällöin lim f i dm = lim f i dm. Todistus. Koska f i f i+1 kaikilla i N, niin (1) on raja-arvofunktio f = lim f i = sup i N f i, joka on Lauseen 4.14 nojalla mitallinen. (2) Lauseen 5.2 nojalla f i dm f i+1 dm kaikilla i N. Siten on raja-arvo lim f i dm = sup i N f i dm = a [0, ]. : Koska f i f kaikilla i N, niin Lauseen 5.2 nojalla on f i dm f dm. Siten on a f dm. 36

: Olkoon ε > 0. Riittää näyttää, että f dm (1 + ε)a. Integraalin määritelmän nojalla riittää näyttää, että I(u, ) (1 + ε)a kaikilla u Y +, joille u f. Merkitään λ = 1/(1 + ε), joilloin 0 < λ < 1. Olkoon nyt u Y +, joille u f ja olkoon i = { x : f i (x) λu(x) } = { x : f i (x) λu(x) 0 }. Joukko i on mitallinen, sillä f i on mitallinen kaikilla i N ja λu Y +. Koska jono (f i ) on nouseva ja f i f, niin 1 2... ja i =. Lemman 3.9 nojalla on I(u, ) = I(u, i ) = lim I(u, i ). ( i = : : Jos u(x) = 0, niin x 1. Jos u(x) > 0, niin λu(x) < u(x) f(x). Koska f i (x) f(x), niin on i N siten, että f i (x) λu(x). Siten x i. : ok. ) Riittää siis näyttää, että I(u, i ) 1 a kaikilla i N. Lemmaa 3.8 ja λ Lausetta 5.2 käyttämällä saadaan I(u, i ) = 1 I(λu, λ i) = 1 λu dm 1 f λ λ i dm i i f i dm 1 a, λ mistä väite seuraa. Huomautus 15. 1 λ (1) MK-lauseesta ja Lauseesta 4.16 seuraa, että jos f : [0, ] on mitallinen, niin on jono (u i ) Y +, jolle u i f ja f dm = lim I(u i, ). Tätä käytetään joissain kirjoissa ei-negatiivisen funktion integraalin määritelmänä. (2) MK-lause ei aina toimi laskevalle jonolle (edes yksinkertaisille funktioille): Jos f i : R [0, [, f i = χ [i, [, niin (f i ) Y +, f R i dm = I(f i, R) = kaikilla i N, mutta lim R f i dm = 0 dm = 0. R (3) Jos f, g : [0, ] ovat mitallisia, niin (f + g) dm = f dm + g dm : kohta (1) antaa jonot (u i ) Y + ja (v i ) Y +, joille u i f ja v i g. Nyt u i + v i Y + kaikilla i N, u i + v i f + g ja MK-lauseen ja Lemman 3.8 37

avulla saadaan (f + g) dm = lim ( (u i + v i ) dm = lim I(ui, ) + I(v i, ) ) f dm + g dm. = lim I(u i, ) + lim I(u i, ) = MK-lauseen ja edellisen huomatuksen kohdan (3) avulla nähdään, että ei-negatiivisen funktiosarjan saa integroida termeittäin. Tod. Harj. 6. Seuraus 5.5. Olkoon R n mitallinen. Olkoot f i : [0, ] mitallisia. Tällöin f i dm = f i dm. MK-lauseen avulla saadaan myös integroinnin additiivisuus joukkojen suhteen ja yksinkertaisten funktioiden integroinnista tutut ominaisuudet sisäkkäisten joukkojen yli integroinnille. Tod. Harj. Lemma 5.6. Olkoot i R n mitallisia, i N. Olkoon f : i [0, ] mitallinen. Tällöin (1) f dm f dm. i i (2) jos joukot i ovat erillisiä, niin f dm = i i f dm. (3) jos i i+1 kaikilla i N, niin f dm = lim f dm. i i (4) jos i+1 i kaikilla i N ja i0 f dm < jollain i 0 N, niin f dm = lim f dm. i i Määritelmä 5.7 (Melkein kaikkialla - m.k.). Olkoon R n mitallinen. Sanotaan, että ominaisuus p = p(x) on voimassa melkein kaikilla x, jos m({x : p ei ole voimassa pisteessä x}) = 0. Esimerkki 5.8. Funktio f = χ N on jatkuva m.k. R:ssä. Lause 5.9. Olkoon R n mitallinen ja f : [0, ] mitallinen. Tällöin (1) f dm = 0 jos ja vain jos f(x) = 0 m.k. x. (2) jos f dm <, niin f(x) < m.k. x. Todistus. 38

(1) Oletetaan ensin, että f(x) = 0 m.k. x. Olkoon 0 = {x : f(x) = 0}. Koska m( \ 0 ) = 0, niin Lemman 5.6 nojalla saadaan f dm = f dm + f dm = 0 dm + 0 = 0. 0 \ 0 0 Oletetaan sitten, että f dm = 0. Joukot j = {x : f(x) > 1 }, j N, j ovat mitallisia. Koska Lauseen 5.2 nojalla on 0 = f dm f dm 1m( j j) 0, j niin m( j ) = 0 kaikilla j N. Väite seuraa, sillä 0 m { x : f(x) > 0} ) = m ( ) j=1 j m( j ) = 0. (2) Koska = {x : f(x) = } {x : f(x) > j} = j kaikilla j N, niin Lauseen 5.2 (4) nojalla on m( ) m( j ) 1 f dm 0 kun j. j Seuraus 5.10. Olkoon R n mitallinen ja olkoot f, g : [0, ] mitallisia. Jos f = g melkein kaikkialla joukossa, niin f dm = g dm. Todistus. Harj. = + (Huomaa, että Harj. 5. perusteella riittää olettaa, f=g f g että f on mitallinen ja f = g m.k.) Huomautus 16. f < m.k. = f dm <. Esim. f(x) = 1/x, =]0, 1[. Luvun lopuksi muotoillaan MK-lause laskeville jonoille. Lause 5.11. Olkoon R n mitallinen. Olkoon (f i ) laskeva jono mitallisia funktioita f i : [0, ], i N. Jos f i 0 dm < jollain i 0 N, niin lim f i dm = lim f i dm. Todistus. Palautetaan MK-lauseeseen tutkimalla funktioita g i = f i0 f i. Katso monisteen Lause 5.9. Esimerkki 5.12. Olkoon B = B(0, 1) R n ja f i : B [0, [, f i (x) = e x i, i N. Funktiot f i ovat jatkuvina mitallisia, jono (f i ) on laskeva ja f i (x) e 0 = 1 kun i kaikilla x B. Koska f B 1 dm = B e x dm e m(b), niin Lauseen 5.11 nojalla on lim B f i dm = B lim f i dm = 39 B j=1 1 dm = m(b).

6. Integroituvat funktiot Määritelmä 6.1. Olkoon R n mitallinen. Olkoon f : R mitallinen. Jos f + dm < tai f dm <, niin funktion f (Lebesgue-)integraali yli joukon on f dm = f + dm f dm. Funktio f on integroituva joukossa, f L 1 (), jos f + dm < ja f dm <. Lemma 6.2. Olkoon R n mitallinen ja f : R mitallinen. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. (1) f on integroituva, (2) on integroituvat u 0 ja v 0, joille f = u v, (3) on integroituva g, jolle f g, (4) f on integroituva. Todistus. (1) = (2): u = f + ja v = f kelpaavat (2) = (3): g = u + v kelpaa, sillä g 0, f = u v u + v = g ja Huomautuksen 15 nojalla on g dm = g+ dm = u dm + v dm < ja g dm = 0. (3) = (4): f on mitallinen Seurauksen 4.12 nojalla ja f 0. Lausetta 5.2 käyttäen saadaan f + dm = f dm g dm < ja f dm = 0, mistä seuraa, että f on integroituva. 9.10 ============================= (4) = (1): Koska 0 f + f ja 0 f f, niin Lauseen 5.2 nojalla on f + dm f dm < ja f dm f dm <. Siis f on integroituva. Huomautus 17. (1) Jos f L 1 (), niin Lauseen 5.9 perusteella on f(x) < melkein kaikilla x. (2) Koska ei-negatiivisen funktion integraali yli nollamittaisen joukon on nolla (Huomatus 14), niin Lemman 6.2 epäyhtälöt voidaan korvata melkein kaikkialla voimassa olevilla epäyhtälöillä. Nollamittaiset joukot eivät siis vaikuta integroituvuuteen eivätkä integraaleihin: Jos m(n) = 0 ja f : \ N R integroituva, niin (nollajatko) f : R on integroituva ja f dm = \N f dm. Lause 6.3 (Integroinnin lineaarisuus). Olkoot f, g L 1 () ja c R. Tällöin cf, f + g L 1 () ja cf dm = c f dm ja f + g dm = f dm + g dm. 40

Todistus. cf: Jos c 0, niin (cf) + = cf + ja (cf) = cf, joten Lauseen 5.2 nojalla on (cf) + dm = c f + dm ja (cf) dm = c f dm. Jos c < 0, niin (cf) + = cf + ja (cf) = cf ja integraalit saadaan kuten yllä. Siten cf on integroituva ja cf dm = c f dm. f + g: Koska f ja g ovat mitallisia, niin Lauseen 4.10 mukaan summa f + g on määritelty ja mitallinen (ainakin) joukossa 0 = {x : f(x) < ja g(x) < }. Koska Huomautus 17:n mukaan on m( \ 0 ) = 0, niin riittää tutkia funktiota f + g : 0 R. Integroituvuus: Koska f + g f + g joukossa 0, niin integroituvuus seuraa Lemmasta 6.2. Integrointikaava: Koska (f + g) + (f + g) = f + g = f + f + g + g, niin Huomatuksen 15 nojalla on f + dm+ g + dm+ (f +g) dm = f dm+ g dm+ (f +g) + dm, 0 0 0 0 0 0 mistä haluttu kaava seuraa. Lause 6.4. Olkoot i R n mitallisia ja erillisiä. Jos f L 1 ( i ), niin f dm = f dm. i i Todistus. Olkoon = i. Lauseen 5.2 nojalla f L 1 ( i ) kaikilla i N (käytä tulosta funktioille f ± ). Lemmaa 5.6, sarjojen suppenemista ja Lausetta 6.3 käyttäen saadaan f dm = f + dm f dm = f + dm f dm i i = (f + f ) dm = f dm. i i Lemma 6.5. Olkoot f, g L 1 (). Jos f g melkein kaikkialla joukossa, niin f dm g dm. Erityisesti on f dm 41 f dm.

Todistus. Olkoon N = {x : f(x) > g(x)}. Tällöin m(n) = 0, f + g + ja f g joukossa \ N. Lauseen 5.2 avulla saadaan f dm = f dm = f + dm f dm \N \N g + dm \N \N g dm = \N \N g dm = g dm. Koska f f, f f ja f on integroituva, niin todistuksen alkuosan ja Lauseen 6.3 nojalla on f dm f dm ja f dm = f dm f dm. Siten f dm f dm. Ei-negatiivisille funktiojonoille integroinnin ja rajankäynnin järjestystä sai vaihtaa kasvavan jonon tapauksessa MK-lauseen avulla. Yleisille jonoille luvan antaa seuraava DK-lause. Lause 6.6 (Dominoidun konvergenssin lause - DK-lause). Olkoon R n mitallinen. Olkoot f, f i : R mitallisia funktioita, joille Jos on g L 1 (), jolle kaikilla i N niin f, f i L 1 () ja f(x) = lim f i (x) m.k. x. f i (x) g(x) m.k. x, f dm = lim f i dm. Todistus. Myöhemmin kurssilla MIT2. Seuraa Fatoun lemmasta, joka seuraa MKlauseesta. Huomaa, että DK-lauseessa pitää olla sama ylärajafunktio g kaikille f i! Seuraus 6.7 (Rajoitetun konvergenssin lause). Olkoon R n mitallinen joukko, jolle m() <. Olkoot f, f i : R mitallisia funktioita, joille f(x) = lim f i (x) m.k. x. Jos on M <, jolle kaikilla i N on niin f L 1 () ja f i (x) M m.k. x, f dm = lim f i dm. Todistus. Seuraa DK-lauseesta sillä vakiofunktio g(x) = M kaikilla x on integroituva äärellismittaisessa joukossa. Esimerkki 6.8. 42

(1) = [1, [, f i : R, f i (x) = cos( x i ) x 2. (Koska m() =, niin Rajoitetun konvergenssin lause ei käy.) Nyt lim f i (x) = 1 x 2 = f(x) kaikilla x ja f, f i ovat jatkuvina mitallisia ja f i (x) 1 = g(x) kaikilla x. x2 Funktion g integraali saadaan laskettua Seurauksen 7.2 avulla. [1, [ g dm = 1 dx c x = lim dx 2 c 1 x = lim c 1 2 c 1 x = 1 <. DK-lauseen nojalla on (huomaa, että f = g) cos( x lim ) i dm = f dm = [1, [ x 2 [1, [ 1 f dx = 1. (2) = [0, 1], f i : R, ( x ) f i (x) = x cos. i Nyt lim f i (x) = x kaikilla x ja f, f i ovat jatkuvina mitallisia. Koska f i (x) 1 kaikilla x ja kaikilla i N ja m() = 1 <, niin Rajoitetun konvergenssin lauseen ja Lauseen 7.1 mukaan on ( x ) lim x cos dm = x dm = [0,1] i [0,1] 1 0 x dx = 1 2. 7. Riemann ja Lebesgue Olkoon f : [a, b] R rajoitettu. Funktio f on Riemann-integroituva, jos sup { (g) : g f ja g on porrasfunktio } = inf { } b (h) : h f ja h on porrasfunktio =: f(x) dx, missä (g) = k c i(x i x i 1 ) on porrasfunktion integraali. 15.10 ============================= 43 a

Yleensä ollaan kiinnostuneita siitä, onko mitallisen funktion Lebesgue-integraali äärellinen, ääretön tai nolla. rviointiin voi käyttää monenlaisia keinoja; usein apuna on seuraava tulos. Lause 7.1. Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva. Tällöin f on mitallinen ja b f dm = f dx. [a,b] Todistus. Koska f on rajoitettu, niin on 0 < M <, jolle f(x) M kaikilla x [a, b]. Tutkimalla tarvittaessa funktiota f + M voidaan olettaa, että f 0. (Lauseen 5.2 mukaan on f + M dm = f dm + M(b a) ja b f + M dx = [a,b] [a,b] a b f dx + M(b a).) a Olkoot (u i ) i N ja (v i ) i N porrasfunktiojonot, joille ja lim 0 u 1 u 2 f v 2 v 1 M (ui ) = ala b a a f ja lim (vi ) = ylä (Jos jonot eivät ole monotonisia, niin käytetään tarvittaessa jonoja (ũ i ) i N ja (ṽ i ) i N, joille ũ i = max{u 1,..., u i } ja ṽ i = min{v 1,..., v i }.) Koska jono (u i ) i N on kasvava ja funktiot u i mitallisia ja u i f kaikilla i N, niin Lauseen 4.14 perusteella on mitallinen raja-arvo u: [a, b] R, jolle b u(x) = lim u i (x) = sup u i (x) f(x) kaikilla x [a, b]. i N Vastaavasti on mitallinen v : [a, b] R, jolle v(x) = lim u i (x) = inf i N v i(x) f(x) kaikilla x [a, b]. Mk-lauseen avulla saadaan u dm = lim u i dm = lim I(u i, [a, b]) = ala [a,b] [a,b] 44 a b a f. f.

Vastaavasti MK-lauseen laskevaa versiota (Lause 5.11) käyttäen (koska v i M kaikilla i, niin v [a,b] i dm M(b a) < ) saadaan b v dm = lim v i dm = lim I(v i, [a, b]) = ylä f. [a,b] [a,b] a Nyt Lauseen 6.3 ja funktion f Riemann-integroituvuuden nojalla on b b (v u) dm = v dm u dm = ylä f ala f = 0. [a,b] [a,b] [a,b] Koska v u 0, niin Lauseesta 5.9 seuraa, että u = v = f m.k. välillä [a, b]. Koska u ja v ovat mitallisia, niin f on mitallinen (Harj. 5.) ja Seurauksen 5.10 avulla saadaan b b f dm = u dm = ala f = f dx. [a,b] [a,b] Huomautus 18. (1) Jos funktion f mitallisuus tiedetään, niin integraalien yhtäsuuruuden todistus on helpompi. Harj. (Voidaan olettaa, että f 0. f rajoitettu ja mitallinen = ala b f f dm ylä b f...) a [a,b] a (2) Vastaava tulos on totta R n :ssä. (3) Lebesguen ehto Riemann-integroituvuudelle monisteessa, Lause 7.2: Rajoitettu f : [a, b] R on Riemann-integroituva jos ja vain jos f on jatkuva m.k. x [a, b]. (4) Lebesgue-integroituvia funktioita on paljon enemmän kuin Riemann-integroituvia, esim. χ Q. Seuraus 7.2. Olkoon f : [a, b[ [0, [ (b R tai b = ). Jos funktiolla f on epäoleellinen Riemann-integraali, niin f on mitallinen ja b f dm = f dx. [a,b] Huomautus 19. (1) vastaavasti välit ]a, b] ja ]a, b[. (2) Muista, että b f dx = lim c a c b f dx jos f on Riemann-integroituva jokaisella välillä [a, c], missä a < c < b ja kysyinen raja-arvo on a olemassa. Todistus. Oletetaan ensin, että b R. Koska f on Riemann-integroituva välillä [a, b 1] (riittävän iso i, jotta a < b 1), niin f i i [a,b 1 ] on mitallinen ja Lauseen 7.1 i nojalla on b 1 i f dm = f dx. [a,b 1 i ] a Koska [a, b[= [a, b 1 ], niin f on mitallinen välillä [a, b[. Nyt Lauseen 7.1 ja i Lemman 5.6 avulla saadaan b b 1 i f dx = lim f dx = lim f dm = f dm. a a [a,b 1 i ] [a,b] Jos b =, niin käytetään joukkoja [a, a + i]. 45 a a a a a

Esimerkki 7.3. (1) Olkoon = [1, [ ja f : R, f(x) = sin x x 2. Onko f integroituva? Funktio f on jatkuvana mitallinen. Koska f(x) x 2, niin Lemman 6.2 nojalla riittää näyttää, että funktio g : [0, [, g(x) = x 2 on integroituva. Koska g on jatkuva, rajoitettu ja c 1 dx x = c 1 1 kun c, 2 1 x niin Seurauksen 7.2 nojalla on g dm = g = 1. Siis f on integroituva. [1, [ 1 (2) Vaihtuvamerkkiselle f pitää olettaa, että epäoleellinen Riemann-integraali b f dx on olemassa ja äärellinen. Epäoleellinen Riemann-integraali b f dx a a voi olla olemassa vaikka f ei ole L-integroituva; esim. f : [1, [ R, [1, [ f(x) = sin x x : Funktio f on jatkuvana mitallinen ja Lausetta 7.1 ja harmonisen sarjan hajaantumista käyttäen saadaan sin x 1 f dm dm sin x dm n=1 [nπ,(n+1)π] x (n + 1)π n=1 [nπ,(n+1)π] 1 π = sin x dx = 2 1 (n + 1)π π (n + 1) =, n=1 0 n=1 joten f ei ole integroituva (Lemma 6.2). Toisaalta on epäoleellinen R-integraali (K: 1 sin x x dx = a R. Seuraava kaava auttaa monesti integraalien laskemista. 0 sin x x dx = π 2.) Lause 7.4 (Integraalikaava - Cavalierin kaava). Olkoon R n mitallinen. Olkoon f : [0, ] mitallinen. Tällöin f dm = m ( {x : f(x) > t} ) dt. 0 Todistus. Moniste Lause 7.6. Väite todistetaan ensin funktioille u Y +, sitten otetaan jono u i f ja käytetään MK-lausetta. Toinen tapa on käyttää Fubinia. Harj. 16.10 ============================= 46

8. Fubinin lause Moniulotteisen integraalin laskeminen palautuu yksiulotteiseen Fubinin lauseen avulla. Olkoon p, q N, siten, että n = p + q, R n = R p R q. Jos z R p+q, niin missä x R p ja y R q. z = (z 1,..., z n ) = (x 1,..., x p, y 1,..., y q ) = (x, y), Lause 8.1 (Fubini/Tonelli). Olkoon n = p + q, p, q N ja olkoon f : R p R q [0, ] mitallinen. Tällöin (1) f y : x f(x, y) on mitallinen R p :ssä melkein kaikilla y R q, (2) f x : y f(x, y) on mitallinen R q :ssä melkein kaikilla x R p, (3) funktio y R p f(x, y) dm p (x) on mitallinen R q :ssa, (4) funktio x R q f(x, y) dm q (y) on mitallinen R p :ssä, (5) f(x, y) dm n = R n = R q R p f(x, y) dm p (x) dm q (y) R p f(x, y) dm q (y) dm p (x). R q Riittää todistaa kohdat (1), (3) ja (5):n ensimmäinen yhtäsuuruus. Todistus tehdään useassa vaiheessa. Todistuksen idea. Olkoon H = { f : R p R q [0, ] mitallinen, jolle (1), (3) ja (5) ovat totta }. Pitää näyttää, että kaikki mitalliset f : R p R q [0, ] ovat joukossa H. (1) Jos f = χ I, missä I on p q-väli, niin f H: 47

Olkoon I = J K. Nyt { χj, kun y K, f y = 0, kun y / K,, R p f y dm p = { m p (J), kun y K, 0, kun y / K ja f y dm p dm q = m p (J)χ K (y) dm q (y) = m p (J)m q (K) R q R p R q = m p+q (I) = χ I dm p+q. R p+q (2) Jos f, g H ja a, b ]0, [, niin af + bg H. (Käytä mitallisten funktioiden ja integraalin perusominaisuuksia ja huomaa, että (af + bg) y = af y + bg y.) (3) Jos (f i ) H on kasvava jono, niin f = lim f i H. (Jätä funktioiden f i huonot joukot pois, tee mitallisuustarkasteluja ja käytä MK-lausetta. Huomaa, että f y = lim (f i ) y.) (4) Jos U on avoin, niin χ U H. (Huomaa, että U = I i, missä I i :t ovat erillisiä välejä ja että χ U = lim j χ j I i. Käytä kohtia (1)-(3).) (5) Jos joukot E i, i N ovat mitallisia, E i+1 E i ja χ Ei H kaikilla i N ja m p+q (E 1 ) <, niin χ E i H. (Tee mitallisuustarkasteluja ja käytä MK-lausetta väheneville jonoille.) (6) Jos m p+q (E) = 0, niin χ E H. (On avoimet joukot U i, i N, joille E U i, U i+1 U i kaikilla i N, m(u 1 ) <, E U i = H ja lim m(u i ) = 0. Tällöin m(h) = 0 ja χ H H kohdan (5) perusteella. Nyt nähdään helposti, että E H.) (7) Jos E on mitallinen, niin χ E H. (On avoimet joukot U i, i N, joille U i+1 U i kaikilla i N, E U i ja m( U i \ E) = 0. Käytä kohtia (6), (5) ja (2).) (8) Jos f Y +, niin f H. (Käytä kohtia (2) ja (7).) (9) Jos f on mitallinen, niin f H. (f on ei-negatiivisten yksinkertaisten funktioiden kasvava raja. Käytä kohtia (8) ja (3).) 48

Huomautus 20. (1) Jos M p+q ja f : [0, ] on mitallinen, niin nollajatko f : R p+q [0, ] on mitallinen. Siten Fubinia saa käyttää ( f dm p+q = f dm R p+q p+q...). (2) Funktion χ avulla saadaan laskettua mitallisen joukon mitta: Olkoon y R q ja y = {x R p : (x, y) }. Tällöin Fubinin avulla saadaan m p+q () = χ dm p+q = R p+q R q χ (x, y) dm p (x) dm q (y) = R p m p ( y ) dm q (y). R q (3) Vaihtuvamerkkinen tapaus toimii, jos f : R n R on Lebesgue-integroituva ( R n f dm < ). Tähän riittää, että R p R q f(x, y) dm q (y) dm p (x) < sillä integroituvuus seuraa Fubinista. (Katso monisteen Lause 8.3.). (4) Muista, että Riemann-integraalille tarvitaan sekä funktion f että osittaisfunktioiden f x ja f y integroituvuus. Esimerkki 8.2. (1) Olkoon M > 0 ja Nyt z = = {(x, y, z) R 3 : x, y, z 0 ja x + y + z M}. { {(x, y) : x, y 0 ja x + y M z}, kun 0 z M,, kun z < 0 tai z > M. ja Fubinin lauseen ja Lauseen 7.1 perusteella on m 3 () = m 2 ( z ) dm = 1 M (M z) 2 dz R 2 0 = 1 M (M 2 z Mz 2 + 1 ) 2 0 3 z3 = M 3 6. 49

(2) Olkoon f : [ 1, 1] 2 R, { xy, kun (x, y) [ 1, 1] 2 \ {0}, (x f(x, y) = 2 +y 2 ) 2 0, kun (x, y) = 0. Tällöin kaikilla y [ 1, 1] on 1 1 1 1 1 1 f(x, y) dx = 0 ja siten on f(x, y) dx dy = 0. Toisaalta f ei ole integroituva yli välin [ 1, 1] 2 sillä f dm dm f dm dm =. [ 1,1] [ 1,1] [0,1] On siis mahdollista, että f y : x f(x, y) on integroituva (myös Riemannintegroituva) kaikilla y ja y f(x, y) dx on integroituva, mutta f ei ole integroituva. (3) Olkoon I R kompakti väli ja f : I R jatkuva. Funktion f kuvaaja on [0,1] G f = { (x, f(x)) R 2 : x I }. m 2 (G f ) = 0: Koska f on jatkuva ja I on kompakti, niin G f R 2 on kompakti. Jos x R, niin (G f ) x = { { } {f(x)}, kun x I, y R : (x, y) G f =, kun x / I. Fubinin lauseen avulla saadaan m 2 (G f ) = m 1 ({f(x)}) dm 1 (x) = 0. I 50

(4) Olkoot R p ja B R q mitallisia ja olkoon n = p+q. Tällöin B R n on mitallinen (Harj.) ja ( ) m n ( B) = χ B dm = χ χ B dm = χ χ B dm p dm q R n R n R q R ( )( ) p = χ dm p χ B dm q = m p ()m q (B). R p R q 51

Tästä alkaa kurssin 2. osa. 9. bsoluuttinen jatkuvuus 9.1. Mitan ja integraalin absoluuttinen jatkuvuus. Tiedetään, että jos m() = 0, niin f dm = 0. Onko yleisemmin f dm pieni, jos m() on pieni? Esimerkki 9.1. Olkoon =]0, a[, missä 0 < a < 1. Tällöin funktioille f, g : R, f(x) = 1 x ja g(x) = 1 x on [0,a] f dm = a 0 dx x = ja [0,a] g dm = a 0 dx x = 2 a 0 kun a 0. Lause 9.2. Olkoon f L 1 (). Tällöin kaikilla ε > 0 on δ > 0, jolle f dm < ε E aina, kun E on mitallinen ja m(e) < δ. Todistus. Jos väite ei ole totta, niin on ε > 0 ja mitalliset joukot E j, joille m(e j ) < 2 j ja E j f dm ε kaikilla j N. Määritellään joukot B k = j=k E j. Joukot B k ovat mitallisia, B 1 B 2... ja m(b k ) m(e j ) j=k 2 j = 2 1 k 0 kun k. j=k Koska f χ Bk f ja f on integroituva, niin DK-lauseen nojalla on lim f dm = lim f χ Bk dm = lim k B k k f χ Bk dm = 0. k Toisaalta integraalin monotonisuuden nojalla on f dm f dm ε B k E k kaikilla k N, mistä saadaan ristiriita. Väite on siis totta. 52

9.2. bsoluuttisesti jatkuvat funktiot. Tässä luvussa etsitään vastausta kysymyksiin: Milloin funktio on derivaattansa integraali? Millaisille funktioille analyysin peruslause on totta? Määritelmä 9.3. Funktio f : [a, b] R on absoluuttisesti jatkuva, jos kaikilla ε > 0 on δ > 0, jolle k f(b j ) f(a j ) < ε j=1 aina, kun ]a 1, b 1 [,..., ]a k, b k [ [a, b] ovat erillisiä välejä ja m ( k j=1]a j, b j [ ) = k (b j a j ) < δ. j=1 Huomautus 21. (1) f on absoluutisesti jatkuva = f on tasaisesti jatkuva. (Käytä määritelmää välille [x, y], k = 1.) Implikaatio toiseen suunta ei ole totta (Cantorin funktio kelpaa esimerkiksi). (2) Jos f, g : [a, b] R ovat absoluuttisesti jatkuvia ja c R, niin funktiot cf, f + g ja fg ovat absoluuttisesti jatkuvia. Lause 9.4 (bsoluuttisen jatkuvuuden karakterisointi). Olkoon f : [a, b] R. Funktio f on absoluutisesti jatkuva jos ja vain jos f on derivoituva melkein kaikilla x ]a, b[, f L 1 ([a, b]) ja f(x) = f(a) + f dm [a,x] kaikilla x [a, b]. Todistus. Suunta = vaatii paljon työtä, kts. [2, Luku 3]. Todistus tehdään Reaalianalyysi-kurssilla. Näytetään, että funktion absoluuttinen jatkuvuus seuraa lauseen kolmesta ehdosta. Olkoon ε > 0. Koska f L 1 ([a, b]), niin Lauseen 9.2 nojallla on δ > 0, siten, että E f dm < ε aina, kun E [a, b] ja m(e) < δ. Jos nyt ]a 1, b 1 [,...,]a k, b k [ [a, b] ovat erillisiä välejä, joille k (b j a j ) < δ, j=1 53

niin oletuksen, Lauseen 6.4 ja Lemman 6.5 mukaan on k k f(b j ) f(a j ) = f(a) + f dm f(a) j=1 = j=1 k j=1 k j=1 [a,b j ] [a j,b j ] [a,b j ] f dm f dm = [a,a j ] mistä funktion f absoluuttinen jatkuvuus seuraa. f dm = k j=1 ]a j,b j [ [a,a j ] k j=1 f dm < ε, f dm [a j,b j ] f dm Huomautus 22. (1) On derivoituvia funktioita f : [a, b] R, jotka eivät ole absoluuttisesti jatkuvia. Esim. f : [0, 1] R, jolle f(x) = x 2 cos( π x 2 ), kun x ]0, 1], f(0) = 0. (2) Jos f : [a, b] R on Lipschitz-jatkuva eli on L > 0, siten, että f(x) f(y) L x y kaikilla x, y [a, b] niin f on absoluuttisesti jatkuva (valitse δ = ε/l). (3) f(x) = x on absoluuttisesti jatkuva välillä [ 1, 1] (f on derivoituva väleillä [ 1, 0[ ja ]0, 1]). (4) Jos f on derivoituva ja f on rajoitettu, niin f on absoluuttisesti jatkuva. Harj. (VL: f(x) f(y) = f (ξ) x y joillain ξ ]x, y[, joten f on Lipschitz vakiolla M = max f (z).) Määritelmä 9.5. Funktion f : [a, b] R kokonaisheilahtelu välillä [a, b] on { k } V f (a, b) = sup f(x i ) f(x i 1 ) : k N, a = x 0 < x 1 < < x k = b. Funktio f on rajoitetusti heilahteleva, jos V f (a, b) <. Huomautus 23. (1) Jos f on monotoninen, niin V f (a, b) = f(b) f(a). (2) f : [a, b] R on rajoitetusti heilahteleva, jos ja vain jos f on rajoitetusti heilahteleva osaväleillä [a, c] ja [c, b] kaikilla c ]a, b[. (3) Kaikilla c ]a, b[ on V f (a, b) = V f (a, c) + V f (c, b). Lemma 9.6. Jos f : [a, b] R on absoluuttisesti jatkuva, niin f on rajoitetusti heilahteleva. Todistus. Pitää näyttää, että on 0 M <, jolle k f(x i ) f(x i 1 ) M, aina, kun a = x 0 < x 1 < < x k = b ja k N. 54

Otetaan absoluuttisen jatkuvuuden määritelmän lukua ε = 1 vastaava δ > 0 ja n N, jolle b a n < δ. Olkoon a = x 0 < x 1 < < x k = b välin [a, b] jako. Voidaan olettaa, että pisteet x kj = a + j b a, j = 0, 1,..., n n ovat mukana jaossa. Tällöin jokaisen osavälin pituus on pienempi kuin δ. (Jos x i = y 0 < y 1 <... y s = x i+1, niin kolmioepäyhtälön nojalla on s f(x i ) f(x i+1 ) f(y j ) f(y j 1 ).) Nyt absoluuttisen jatkuvuuden nojalla saadaan k n f(x j ) f(x j 1 ) f(x j ) f(x j 1 ) j=1 x ki 1 x j <x ki Siten V f (a, b) n <. j=1 n ε = n. Lause 9.7. Olkoon f : [a, b] R. Funktio f on rajoitetusti heilahteleva, jos ja vain jos on kasvavat funktiot u ja v, u, v : [a, b] R, joille f = u v. 23.10 ============================= Todistus. Oletetaan ensin, että f on rajoitetusti heilahteleva. Määritellään funktiot u ja v, u(x) = V f (a, x) ja v(x) = V f (a, x) f(x), x [a, b], missä heilahtelu V f (a, x) on määritelty samoin kuin V f (a, b) yllä. Tällöin f = u v. Funktioiden u ja v kasvavuuden todistamista varten olkoot x, y [a, b], x < y. Heilahtelun määritelmästä seuraa, että ja u(y) u(x) = V f (x, y) 0 v(y) v(x) = V f (a, y) f(y) V f (a, x) + f(x) = V f (x, y) (f(y) f(x)) f(y) f(x) (f(y) f(x)) 0, joten u ja v ovat kasvavia. Toinen suunta jätetään harjoitustehtäväksi. 55

Huomautus 24. Jos f : [a, b] R on rajoitetusti heilahteleva, niin (1) f on derivoituva m.k. x [a, b]. (Seuraa Lauseesta 9.7 sillä monotoniset funktiot ovat derivoituvia melkein kaikkialla.) (2) f on rajoitettu, mitallinen ja Riemann-integroituva (3) Jos f on absoluuttisesti jatkuva, niin m(f(e)) = 0 aina, kun E [a, b] ja m(e) = 0. Siten mitallisten joukkojen kuvat ovat mitallisia (Harj4. Teht.5.). Esimerkki 9.8. Esimerkin 4.18 Cantorin funktiolle on f(1) f(0) = 1 0 = f dm, joten Lauseen 9.4 mukaan f ei ole absoluuttisesti jatkuva. Koska f on kasvava, niin se on Lauseen 9.7 perusteella rajoitetusti heilahteleva. [0,1] 10. L p -avaruuksista Määritelmä 10.1. Olkoon R n mitallinen ja olkoon f : R mitallinen. Funktion f L p -normi (joukossa )/ L p ()-normi on ( 1/p f p = f L p () = f dm) p [0, ], kun 1 p < ja f = f L () = ess sup { f(x) : x } = inf { t > 0 : f(x) t m.k. x }. Merkitään Huomautus 25. L p () = { } f : R : f on mitallinen ja f p <. (1) f : R mitallinen, 1 p < = f p mitallinen (Harj. 5.) (2) Jos f, g : R ovat mitallisia ja f = g m.k. joukossa, niin f p = g p. (3) Jos f L p (), niin f < m.k. joukossa. (4) Cavalierin kaavan (Lause 7.4) mukaan on (muuttujanvaihto s p = t) (10.1) f p dm = m ( { f p > t} ) dt = p s p 1 m ( { f > s} ) ds. 0 Tämän avulla nähdään, että jos 1 p < q < ja m() <, niin L q () L p (): Olkoon s = {x : f(x) > s}. Nyt 1 f p dm = p s p 1 m( s ) ds + p s p 1 m( s ) ds 0 1 m() + q s q 1 m( s ) ds = m() + f q dm <. 1 56 0

(5) L -normi on funktion f yläraja mitan mielessä: f L () = inf { t > 0 : m ( {x : f(x) > t} ) = 0 }. Joukkoa L () sanotaan joskus oleellisesti rajoitettujen funktioiden joukoksi. (6) Jos m() < ja f L (), niin f = lim p f p. (7) Jos m() <, niin L () L p () kaikilla 1 p < (aito osajoukko): f p dm f p m(). (8) Infimum saavutetaan :n määritelmässä eli f(x) f m.k. x (Harj.) Esimerkki 10.2. (1) Olkoon = [1, [ ja f : R, f(x) = 1/x. Koska f(x) 1 kaikilla x, niin Seurausta 7.2 käyttäen nähdään, että f L p () jos ja vain jos f p dm = 1 dx <. Siten f L p () jos ja vain jos p > 1. x p (2) Olkoon f : ]0, 1[ R, f(x) = 1/ x. Tällöin f = ja f L p (]0, 1[) jos ja vain jos 1 p < 2. (3) (ina ei ole f = max f(x) :) Olkoon f : [0, 1] R, { 1, kun x [0, 1[, f(x) = 2, kun x = 1. Tällöin f = 1 2 = max x [0,1] f(x). Ongelmia ja niiden korjauksia - L p -avaruudet. Joukot L p () eivät ole vektoriavaruuksia sillä summa f + g ei välttämättä ole määritelty. Ongelma on kuitenkin vain nollamittaisessa joukossa. Lisäksi p ei ole oikea normi sillä se on m.k. samoille funktioille sama. Korjataan nämä ongelmat määrittelemällä ekvivalenssirelaatio joukkoon L p (), 1 p : f g f(x) = g(x) m.k. x. Funktion f L p () määräämä ekvivalenssiluokka on [f] = { g L p () : g f } ja tekijäavaruus L p () = L p ()/ = { [f] : f L p () } on L p -avaruus. L p () on vektoriavaruus ja varustettuna normilla [f] p = f p normiavaruus. Käytännössä ekvivalenssiluokan sijaan käytetään sen edustajaa, jota voidaan muuttaa nollamittaisessa joukossa. Normia merkitään yleensä f p. 57

L p () on vektoriavaruus: c[f] = [cf] ja [f] + [g] = [f + g], nämä ovat hyvin määriteltyjä, sillä f ja g ovat äärellisiä m.k. ja kaavat eivät riipu edustajan valinnasta. Kuvaus p : L p () R on normi: (1) [f] p 0 kaikilla f L p (), (2) [f] p = 0 jos ja vain jos [f] = [0], (3) c[f] p = c [f] p kaikilla c R, (4) [f] + [g] p [f] p + [g] p kaikilla f, g L p () (kolmioepäyhtälö, todistetaan myöhemmin) Seuraava Hölderin epäyhtälö on tärkeä työkalu L p -avaruuksissa. Lause 10.3 (Hölder). Olkoon f L p (), g L q (), missä p, q [1, ] ja 1/p + 1/q = 1. Tällöin fg L 1 () ja fg L 1 () f L p () g L q (). Huomautus 26. (1) Jos p, q ]1, [, niin Hölderin epäyhtälö sanoo siis, että ( ) 1/p ( 1/q. fg dm f p dm f dm) q (2) Jos luvut p ja q ovat kuten Hölderin epäyhtälön oletuksissa, niin niitä sanotaan toistensa konjugaattieksponenteiksi. Usein konjugaattieksponenttiparia merkitään p, p. Huomaa parit p = 1, p = ja p = 2 = p. 29.10 ============================= Hölderin epäyhtälön todistuksessa tarvitaan Youngin epäyhtälöä. Lemma 10.4 (Youngin epäyhtälö). Olkoot a, b [0, [ ja olkoot p, q ]1, [, joille 1/p + 1/q = 1. Tällöin ab ap p + bq q. Todistus. Määritellään f : [0, [ R, f(x) = ap + bq ax. Näytä, että f(x) 0 p q tarkastelemalla derivaattoja f ja f. (f :lla yksi nollakohta a p/q ja f (a p/q ) > 0, joten funktiolla f on minimi f(a p/q ) = 0.) Hölderin epäyhtälön todistus. p = 1, q = : Koska g(x) g m.k., niin f(x)g(x) g f(x) m.k. x. Siten fg 1 = fg dm g f dm = g f 1. 1 < p < : Jos f p = 0, niin f = 0 m.k. joukossa ja siten fg = 0 m.k. Tällöin myös fg 1 = 0. (Samoin funktiolle g). Voidaan siis olettaa, että f p > 0 ja g q > 0. Lisäksi voidaan olettaa, että f(x) < ja g(x) < kaikilla x. Käytetään Youngin epäyhtälöä lukuihin a = f(x) f p ja b = g(x) g q, 58

jolloin saadaan epäyhtälö 1 f(x) g(x) 1 f p q q p f p f(x) p + 1 p q g q g(x) q. q Integroinnin ominaisuuksia käyttämällä saadaan 1 fg dm 1 f p q q p f p f p dm + 1 p p g q q = 1 p + 1 q = 1, g q dm mistä väite seuraa. Seuraus 10.5. Jos m() < ja 1 p q, niin L q () L p () ja kaikilla f L q (). f p ( m() ) 1/p 1/q f q Todistus. Käytä Hölderin epäyhtälöä funktioille f p ja χ, eksponentti q/p. Harj. Huomautus 27. (1) Jos 1 < p q < ja m() > 0, niin Seurauksen 10.5 normiestimaatti kirjoitetaan usein keskiarvointegraalien f dm = 1 f dm avulla m() ( ) 1/p ( 1/q. f p dm f dm) q (2) Jos Seurauksessa 10.5 m() > 0, niin inkluusio on aito. (3) Jos m() =, niin sisäkkäisyydestä ei voi sanoa mitään. Esim. L 2 (]1, [) L 1 (]1, [); tarkastele funktioita f(x) = 1/x. Lause 10.6 (Minkowskin epäyhtälö - -epäyhtälö L p :ssä). Olkoon 1 p. Olkoot f, g L p (). Tällöin f + g L p () ja f + p p f p + g p. Todistus. p = 1: Seuraa kolmioepäyhtälöstä ja integraalin lineaarisuudesta (Huomautus 15). p = : Olkoon f = {x : f(x) > f } ja g = {x : g(x) > g }. Nyt m( f ) = m( g ) = 0 ja f(x) + g(x) f(x) + g(x) f + g kaikilla x \ ( f g ). Siten f + g f + g. 1 < p < : Muuttamalla funktioita tarvittaessa nollamittaisessa joukossa, voidaan olettaa, että f(x) < ja g(x) < kaikilla x. Näytetään ensin, että f + g L p (). Koska f(x) + g(x) p ( f(x) + g(x) ) p ( 2 max{ f(x), g(x) } ) p 2 p( f(x) p + g(x) p), 59

niin ( ) f + g p dm 2 p f p dm + g p dm < ja siten f + g L p (). Normiarvio saadaan arvioimalla f(x) + g(x) p = f(x) + g(x) f(x) + g(x) p 1 f(x) f(x) + g(x) p 1 + g(x) f(x) + g(x) p 1 käyttämällä Hölderin epäyhtälöä summasta saataviin integraaleihin. Normiavaruudesta (X, ) saadaan metrinen avaruus määrittelemällä d(x, y) = x y. Jos normiavaruus on metrisenä avaruutena täydellinen eli X:n Cauchy-jonot suppenevat X:ssä, niin se on Banach avaruus. Lause 10.7 (Riesz-Fischer). L p () on Banach-avaruus kaikilla 1 p. Todistus. Myöhemmin, jos ehditään. Huomautus 28. (1) Lauseen 10.7 todistuksen ja raja-arvon yksikäsitteisyyden avulla saadaan seuraava tulos: Jos f i, f L p (), i N ja lim f i f p = 0 (eli f i f L p ():ssa), niin on osajono (f il ), jolle f il (x) f(x) m.k. x. (2) Luvun p = 2 konjugaattieksponentti on p = 2. varuus L 2 () on sisätuloavaruus sisätulona (f g) = fg dm, kun f, g L 2 (). Tällöin L 2 ()-normi tulee sisätulosta (f f) = f 2 2. Täydellinen sisätuloavaruus on Hilbert-avaruus. Yleistä mittateoriaa 11. Ulkomitta Olkoon X joukko ja P(X) = { : X} joukon X potenssijoukko. Määritelmä 11.1. Joukkofunktio µ : P(X) [0, ] on ulkomitta joukossa X, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (1) µ ( ) = 0, (2) jos B X, niin µ () µ (B) (monotonisuus), (3) jos i X, i N, niin µ ( i ) µ ( i ) (subadditiivisuus). Huomautus 29. (1) Vertaa Lebesguen ulkomitan m Lauseeseen 2.5. 60

(2) Usein Määritelmän 11.1 ehdot toteuttavia joukkofunktioita sanotaan mitoiksi. Ole tarkkana kun luet kirjallisuutta. Esimerkki 11.2. (1) m R n :ssä (2) Jos f : [0, ] on mitallinen, niin { } µ (E) = inf f dm : B M, E B B on ulkomitta. (3) Diskreetti mitta: µ () = 1, jos, µ ( ) = 0. (4) Diracin (pisteeseen keskittynyt) mitta: Olkoon x 0 X ja { 1, jos x 0, δ x0 () = 0, jos x 0 /. Tällöin δ x0 on ulkomitta. Huomaa, että δ x0 ({x 0 }) = 1. (5) Lukumäärämitta : P(X) [0, ], { joukon alkoiden lukumäärä, jos on äärellinen, () =, jos ei ole äärellinen. (6) Jos µ 1 ja µ 2 ovat ulkomittoja joukossa X ja 0 a <, niin aµ 1 ja µ 1 + µ 2 ovat ulkomittoja. Samaan tapaan kuin Lebesgue-mitalle, yleisestä ulkomitasta saadaan täysadditiivinen mitta rajoittumalla mitallisiin joukkoihin; mitallisuuden määritelmäkin on sama. Määritelmä 11.3 (Carathéodoryn ehto). Olkoon µ ulkomitta joukossa X. Joukko X on µ -mitallinen, jos µ (E) = µ (E ) + µ (E \ ) kaikilla E X. Mitallisia joukkoja merkitään Γ µ = { X : on µ -mitallinen } Huomautus 30. (1) Subadditiivisuuden nojalla joukon X mitallisuuden tarkastamiseksi riittää näyttää, että µ (E) µ (E ) + µ (E \ ) kaikilla E X. (2) X ja ovat mitallisia kaikille ulkomitoille; voi olla, että muita mitallisia joukkoja ei ole. Esimerkki 11.4. Katso Esim. 11.2 (1) Diskreetin mitan ainoa mitalliset joukot ovat X ja : Jos X, X,, niin testijoukolle X on µ ( X) + µ (X \ ) = 1 + 1 = 2 > 1 = µ (X). (2) Diracin mitalle ja lukumäärämitalle kaikki joukot ovat mitallisia. Harj. 61

Lemma 11.5. Olkoon µ ulkomitta ja X. Jos µ () = 0, niin on µ - mitallinen. Todistus. (Vertaa Lemmaan 2.8) Olkoon E X. Koska E ja E \ E, niin µ :n monotonisuuden nojalla on µ (E) µ (E \ ) = µ (E \ ) + µ (E ). Siten on µ -mitallinen. Lause 11.6. Olkoon µ ulkomitta joukossa X. Tällöin (1) jos, B X ovat µ -mitallisia, niin \ B on µ -mitallinen. Erityisesti X \ on µ -mitallinen. (2) jos i X, i N, ovat µ -mitallisia, niin i on µ -mitallinen. (3) jos i X, i N, ovat µ -mitallisia ja erillisiä, niin ( ) µ i = µ ( i ). (4) jos i X, i N, ovat µ -mitallisia, niin i on µ -mitallinen. Todistus. Väitteet todistetaan kuten Lebesguen ulkomitan vastaavat ominaisuudet luvussa 2. Korvaa m ulkomitalla µ ja R n joukolla X. Huomaa, että leikkauksen ja yhdisteen mitallisuus toimii myös äärelliselle määrälle joukkoja. (Valitse yhdisteelle i = ja leikkaukselle i = 1 kun i k ja käytä numeroituvan joukkokokoelman tuloksia.) Huomautus 31. Muista, että kokoelma Γ joukon X osajoukkoja on σ-algebra (joukossa X), jos (1) Γ (2) Γ = X \ Γ (3) i Γ, i N = i Γ. Lauseesta 11.6 saadaan siis seuraava tulos. Lause 11.7. Olkoon µ ulkomitta joukossa X. Tällöin µ on σ-algebra ja joukkofunktio µ = µ Γµ : Γ µ [0, ], on täysadditiivinen mitta eli (1) µ( ) = 0, (2) jos i Γ µ, i N, ovat erillisiä, niin ( ) µ i = µ( i ). Seuraava lause vastaa Lebesgue-mitan Lausetta 2.20, jonka avulla saadaan erotuksen ja sisäkkäisten joukkojen yhdisteen ja leikkauksen mitat. Todistus on sama. Lause 11.8. Olkoon µ ulkomitta ja i Γ µ, i N. Tällöin 62

(1) jos 1 2 ja µ( 1 ) <, niin (2) jos i i+1 kaikilla i N, niin µ( 2 \ 1 ) = µ( 2 ) µ( 1 ), µ ( i ) = lim µ( i ), (3) jos i i+1 kaikilla i N ja µ( i0 ) < jollain i 0 N, niin Esimerkki 11.9. Olkoon µ ( i ) = lim µ( i ). i = {i, i + 1,... } = {n N : n i}. Tällöin 1 2... ja i =. Joukot i ovat -mitallisia ja lim ( i) = 0 = ( ) i, joten Lause 11.8 (3) ei toimi ilman oletusta µ( i0 ) < jollain i 0 N. 11.1. Metrinen ulkomitta. Metrisessä avaruudessa Borel-joukkojen mitallisuuden tarkastamiseen riittää näyttää, että µ on additiivinen aidosti erillisille joukoille (additive on separated sets). Borel-joukot määritellään kuten Luvussa 2.1: metrisen avaruuden X pienin σ-algebra, joka sisältää avoimet (suljetut) joukot, on Borel-joukkojen kokoelma. Ulkomitta, jolle Borel-joukot ovat mitallisia, on Borelmitta. Määritelmä 11.10. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja µ ulkomitta joukossa X. Jos µ ( B) = µ () + µ (B) aina, kun, B X ja niin µ on metrinen ulkomitta. dist(, B) = inf { d(a, b) : a, b B } > 0, Lause 11.11. Olkoon X = (X, d) metrinen avaruus ja µ ulkomitta joukossa X. Tällöin Borel-joukot (erityisesti siis avoimet ja suljetut joukot) ovat mitallisia jos ja vain jos µ on metrinen ulkomitta. Todistus. Oletetaan ensin, että µ on metrinen ulkomitta. Koska Γ µ on σ-algebra, niin riittää näyttää, että jokainen suljettu joukko on mitallinen. Olkoon S X suljettu ja olkoon E X. Subadditiivisuuden nojalla riittää näyttää, että (11.1) µ (E) µ (E S) + µ (E \ S). Voidaan olettaa, että µ (E) <. Olkoon kaikille j N, { } S j = x X : d(x, S) 1. j Nyt dist(e \ S j, E S) 1 j > 0, joten oletuksen ja monotonisuuden nojalla on µ (E \ S j ) + µ (E S) = µ ( (E \ S j ) (E S) ) µ (E). 63

Riittää siis näyttää, että lim j µ (E \ S j ) = µ (E \ S). (Lausetta 11.8 ei saa käyttää, sillä joukkojen mitallisuutta ei tiedetä.) Koska E\S 1 E \ S 2 E \ S, niin monotonisuuden nojalla on lim j µ (E \ S j ) µ (E \ S). 5.11 ============================= Olkoon E k = Joukko S on suljettu, joten Subadditiisuuden nojalla on { } 1 x E : < d(x, S) 1 = E (S k+1 k k \ S k+1 ). E \ S = ( E \ S j ) ( k=j E k ). µ (E \ S) µ ( ) E \ S j + µ (E k ) ja siten riittää näyttää, että k=j µ (E k ) 0, kun j. Tämä on totta, jos k=1 µ (E k ) <. Näytetään, että näin on. Jos k j 2, niin dist(e k, E j ) > 0 ja siten µ (E k ) = µ ( ) E k µ (E) < k parillinen k parillinen ja vastaavasti parittomille indekseille. Siten sarja k=1 µ (E k ) suppenee ja väite seuraa. Oletetaan sitten, että Borel-joukot ovat mitallisia. Olkoot, B X ja dist(, B) = a > 0. Määritellään kaikille x pallot ( B x = B x, a ) { = y X : d(x, y) < a } 2 2 k=j ja joukon peite U = x B x. 64

Joukko U on avointen joukkojen yhdisteenä avoin, joten se on mitallinen oletuksen mukaan. Mitallisuuden määritelmä testijoukolle E = B antaa µ ( B) = µ ( ( B) U ) + µ ( ( B) \ U ) = µ () + µ (B), sillä U ja U B =. Huomaa, että m on metrinen ulkomitta (Harj.4 Teht. 2). 12. Ulkomitan konstruointi - Miten mittoja tehdään? Lebesguen ulkomitan määritelmässä mitattava joukko R n peitettiin numeroituvalla määrällä avoimia välejä ja valittiin näistä peitteistä tilavuudeltaan pienin. Matkitaan tätä: avoimille väleille ja välin geometriselle mitalle tarvitaan korvaajat. Määritelmä 12.1. Kokoelma K P(X) on joukon X peite, jos (1) K, (2) on E i K, i N, joille X = E i. Joukkofunktio h: K [0, ], jolle h( ) = 0, määrää esimitan { µ () = inf h(e i ) : E i K, E i }. Huomaa, että koska K, niin myös äärelliset yhdisteet kokoelman K joukkoja kelpaavat mikäli ne peittävät joukon. Lause 12.2. Olkoon K joukon X peite ja h: K [0, ] esimitta. Tällöin µ on ulkomitta joukossa X. Todistus. Kuten Lauseen 2.5 todistus: (1) Koska h( ) = 0, niin µ ( ). (2) Olkoot B X. Jos B E i, E i K, niin E i ja siten µ () µ (B). (3) Olkoot 1, 2, X. Voidaan olettaa, että µ ( i ) < kaikilla i. Olkoon ε > 0. Jokaiselle i on joukot E i,k K, k N, joille i k=1 E i,k ja h(e i,k ) < µ ( i ) + ε 2. i k=1 65

Nyt i k=1 E i,k = i,k=1 E i,k ja siten ( ) µ i h(e i,k ) = h(e i,k ) (µ ( i ) + ε ) 2 i = i,k=1 µ ( i ) + ε. k=1 Koska tämä on totta kaikilla ε > 0, niin väite seuraa. Huomautus 32. (1) Jos K, niin µ () h(). Huomaa, että ei välttämättä ole µ () = h(), katso Esim. 12.3(4). (2) Ulkomitta µ on säännöllinen, jos kaikille X on µ -mitallinen E, jolle E ja µ () = µ (E). Jos peitteen K joukot ovat µ -mitallisia, niin µ on säännöllinen, katso [1, Thm 2.37]. (3) Esimitan avulla tehty ulkomitta ei välttämättä ole metrinen ulkomitta. Harj. Esimerkki 12.3. (1) Jos K = {I R n : I on avoin väli} { } ja h(i) = v(i) kaikilla väleillä I, niin µ = m. Koska v(i) = v(i), niin samaan mittaan päädytään, jos peitteeksi otetaan kompaktit välit tai kaikki R n :n välit. (2) Olkoon K = P(R n ), 0 s < ja h s = (diam ) s, missä diam = sup { x y : x, y }, diam = 0, on joukon halkaisija. (3) Olkoon K = { B(x, r) : x R n, 0 < r < } { } ja h s (B(x, r)) = (2r) s = (diam B(x, r)) s, h s ( ) = 0. Kohtien (2) ja (3) peitteistä ja esimitoista saadaan Hausdorff-mitat, joita käsitellään luvussa 12.2. Ne yleistyvät metrisiin avaruuksiin. (4) Diracin pisteeseen x 0 = 0 R keskittynyt mitta saadaan (esimerkiksi) seuraavasti: Olkoon X = R, K = {, X, ], 0[, ]0, [, ] 1, 1[} ja 0, jos =, ], 0[ tai ]0, [, h() = 1, jos =] 1, 1[, 3, jos = R. Jos 0, niin ] 1, 1[ ], 0[ ]0, [, joten µ () 1 + 0 + 0 = 1. Toisaalta pisteen x = 0 peittämiseen tarvitaan peitteen K joukoista ] 1, 1[ tai R, joten µ () 1. Siten µ () = 1. Jos 0 /, niin ], 0[ ]0, [ ja siten 0 µ () 0 + 0 = 0. Siten µ = δ 0. Huomaa, että µ (R) = δ 0 (R n ) = 1 < 3 = h(r). 66

6.11 ============================= 12.1. Carathéodoryn konstruktio metriselle ulkomitalle. Olkoon X = (X, d) metrinen avaruus ja K joukon X peite. Olkoon { K n = E K : diam E 1 }. n Jos K n on joukon X peite kaikilla n N, niin K on joukon X hieno peite. Jos K on joukon X hieno peite ja h: K [0, ] esimitta, niin { } µ n() = inf h(e i ) : E i K n, E i on ulkomitta kaikilla n N Lauseen 12.2 nojalla. Koska K n+1 K n kaikilla n N, niin 0 µ n() µ n+1() kaikilla X ja kaikilla n N. Siten jono (µ n()) n N on kasvava ja on raja-arvo µ () = lim µ n n() = sup µ () [0, ]. Tällöin µ on esimitasta h Carathéodoryn konstruktiolla saatu ulkomitta. Lause 12.4. Olkoon X metrinen avaruus. Olkoon K joukon X hieno peite ja olkoon h: K [0, ] esimitta. Tällöin (Carathéodoryn konstruktion antama) µ on metrinen ulkomitta. Todistus. µ on ulkomitta: Harj. µ on metrinen: Olkoot, B X, joille dist(, B) = a > 0. Subadditiivisuuden nojalla riittää näyttää, että n N µ ( B) µ () + µ (B). Olkoon n N siten, että 0 < 1/n < a/2 ja olkoon ε > 0. Olkoot E i K n joukkoja, joille B E i ja µ n( B) h(e i ) < µ n( B) + ε. Voidaan olettaa, että E i tai B E i kaikilla i N. 67

Koska kukin peittävistä joukoista E i leikkaa vain täsmälleen toista joukoista ja B, niin µ n( B) + ε > h(e i ) = h(e i ) + h(e i ) ja siten µ n() + µ n(b) i:e i µ n( B) µ n() + µ n(b). i:e i B Kun n, niin saadaan haluttu epäyhtälö µ ( B) µ () + µ (B). Lauseista 11.11 ja 12.4 seuraa, että Carathéodoryn konstruktion antamalle ulkomitalle Borel-joukot ovat mitallisia. 12.2. Hausdorff-mitat. Olkoon X = (X, d) metrinen avaruus ja 0 < s <. Peitteestä K = { E X : E suljettu } ja esimitasta h: K [0, ], h(e) = (diam E) s Carathéodoryn konstruktiolla saatua ulkomittaa sanotaan Hausdorffin s-ulotteiseksi mitaksi ja merkitään missä H s () = lim δ 0 H s δ(), { } Hδ() s = inf (diam E i ) s : E i suljettu, E i, diam E i δ. Huomautus 33. (1) Usein käytetään muita peitteitä (avoimet joukot, kaikki joukot, pallot) tai sopivaa kerrointa summassa. Tällä ei ole isoa merkitystä, sillä yleensä ollaan kiinnostuneita vain siitä, onko H s () = 0, H s () = vai 0 < H s () <. (2) Lauseen 12.4 nojalla H s on metrinen ulkomitta ja siten Borel-joukot ovat mitallisia. (3) Ulkomitalla H s δ on vähän mitallisia joukkoja (Harj.) Ulkomittaa Hs δ, varsinkin kun δ =, sanotaan Hausdorffin s-sisällöksi. (4) H 0 = Hausdorffin s-ulotteinen mitta kertoo siis joukon s-ulotteisen mitan dimensioitten s joukossa. Jos s on suurempi kuin joukon dimensio, niin H s () = 0 ja jos s on pienempi kuin :n dimensio, niin H s () =. Lemma 12.5. Olkoon X ja 0 < s < t <. (1) Jos H s () <, niin H t () = 0. (2) Jos H t () > 0, niin H s () =. Todistus. 68

(1) Olkoot ε, δ > 0 ja olkoot E i, i N, suljetut joukot, joille E i, diam E i δ ja (diam E i) s < Hδ s () + ε. Käyttäen oletusta t > s ja tietoa diam E i δ, saadaan Hδ() t (diam E i ) t δ t s (diam E i ) s < δ t s( Hδ() s + ε ). Kun ε 0, saadaan H t δ () δt s H s δ () δt s H s (). Koska t s > 0, niin δ 0 antaa H t () = 0. (2) Vastaavasti, harj. Määritelmä 12.6. Joukon X Hausdorff-dimensio on dim H () = inf { s : H s () = 0 } = sup { s : H s () = }. Huomautus 34. (1) Jos dim H () = s, niin voi olla H s () = 0, H s () = tai 0 < H s () <. (2) Jos 0 < H s () < jollain s, niin s = dim H (). Huomautus 35. R n :ssä: (1) H 1 on 1-ulotteinen (ei kovin hyvä) ulkomitta R n :ssä: n = 1: H 1 () = m 1() kaikille R. n 2: H 1 (B(x, r)) = 2r. Jos J R n on jana, niin H 1 (J) on janan J pituus. H 1 ( B 2 (x, r)) = H 1 ({y R 2 : x y = r}) = 2r = diam S 1 (x, r). (2) H 1 on parempi pituuden mittaamiseen, sillä H 1 (Γ) = Γ:n pituus aina, kun Γ on säännöllinen käyrä. 69

(3) On vakio c n > 0, jolle H n () = c n m () kaikilla R n. (4) H s (R n ) = 0 kun s > n. Siten dim H (R n ) n kaikilla R n. 12.11 ============================= (5) Jos R n on k-ulotteinen aliavaruus, niin dim H () = k. (6) Mittoja H s, 0 < s <, s / N, käytetään fraktaalityyppisten joukkojen mittaamiseen. (7) Jos R n, niin H s (t) = t s H s () kaikilla t 0 ja H s (t + ) = H s () kaikilla t R. Esimerkki 12.7. (1) Cantorin joukolle dim H (C) = log 2 ja 0 < H log 2 log 3 log 3 (C) <. Perustelua: Vaiheessa k jäljelle jää 2 k suljettua väliä J k,i, joiden jokaisen pituus on ( 1 3 )k. Nyt joukolle C k = 2k J k,i saadaan H s ( 1 3 )k (C k ) 2 k v(j k,i ) s = ( 2 3 s ) k 0, jos 2 3 s < 1, 1, jos 2 3 s = 1,, jos 2 3 s > 1, kun k ja 2 = 1 log 2 = s log 3 s = log 2. 3 s log 3 Voidaan näyttää, että 0, jos s > log 2, log 3 H s (C) = 1, jos s = log 2 log 3,, jos s < log 2 log 3, mistä seuraa, että dim H (C) = log 2 log 3. (2) Von Kochin lumihiutalekäyrä L, dim H (L) = log 4 log 3. 13. bstraktit mitta-avaruudet Määritelmä 13.1. Olkoon X epätyhjä joukko ja olkoon Γ σ-algebra joukossa X. Joukkofunktio µ: Γ [0, ] on mitta, jos (1) µ( ) ( = 0, ) (2) µ i = µ( i) aina, kun joukot i Γ, i N, ovat erillisiä. (additiivisuus) Tällöin (X, Γ, µ) on mitta-avaruus. Mitta µ on äärellinen, jos µ(x) <, ja σ- äärellinen, jos on E i Γ, i N, joille µ(e i ) < kaikilla i ja X = E i. Esimerkki 13.2 (σ-algebroita). (1) {, X} (pienin), P(X) (suurin) (2) Γ µ ulkomitalle µ, erityisesti Lebesgue-mitalliset joukot M 70

(3) {, X,, X \ } kaikilla X. Esimerkki 13.3 (mittoja). (1) Jokaisessa σ-algebrassa on ainakin 2 (mielenkiinnotonta) mittaa µ 1 ja µ 2 : µ 1 () = 0 kaikilla Γ, µ 2 ( ) = 0 ja µ 2 () = kun Γ \. (2) Jos µ on ulkomitta, niin (X, Γ µ, µ ) on mitta-avaruus. (3) X = R n, µ = m, Γ = Borel-joukot, (4) X, Γ = P(X), µ = δ x0, x 0 X, (5) X, Γ = P(X), µ =, (6) Jos f : R n [0, ] on mitallinen, niin X = R n, Γ = M, µ, missä µ() = f dm, on mitta-avaruus. Esimerkki 13.4. (1) m on σ-äärellinen (käytä palloja B(0, i), i N) mutta ei äärellinen. (2) δ x0 on äärellinen (3) Jos f L 1 (R n ), niin µ() = f dm, M, on äärellinen mitta. Lemma 13.5. Olkoon (X, Γ, µ) mitta-avaruus. Tällöin (1) jos, B Γ ja B, niin µ() µ(b) (monotonisuus) (2) jos i Γ, i N, niin ( ) µ i µ( i ) subadditiivisuus. Todistus. (1) Koska Γ on σ-algebra, niin B \ = B C Γ. Erillisten joukkojen ja B \ avulla saadaan µ(b) = µ() + µ(b \ ) µ(). (2) Määritellään joukkojen i avulla erilliset joukot B 1 = 1 Γ, B 2 = 2 \ 1 = 2 C 1 Γ, B k = k \ ( k 1 i ) = k ( k 1 i ) C Γ, joille B i = i. dditiivisuuden ja kohdan (1) nojalla on ( ) ( ) µ i = µ B i = µ(b i ) µ( i ). Ulkomitan rajoittuma mitallisiin joukkoihin on mitta. Kääntäen mitan avulla saadaan ulkomitta. 71

Lause 13.6. Olkoon (X, Γ, µ) mitta-avaruus. Tällöin on ulkomitta µ, jolle (1) µ() = µ () kaikilla Γ, (2) jokainen Γ on µ -mitallinen. Todistus. Määritellään µ : P(X) [0, ], { µ () = inf µ(e i ) : E i Γ, E i }. Koska Γ on joukon X peite, µ( ) = 0 ja µ(e) 0 kaikilla E X, niin µ on Lauseen 12.2 nojalla ulkomitta. Ulkomitan määritelmästä ja Lemmasta 13.5 seuraa, että µ () = µ() kaikilla Γ. µ -mitallisuus: Olkoon Γ. Olkoon E X ja ε > 0. Ulkomitan µ määritelmän mukaan on joukot E i Γ, i N, joille E E i ja µ(e i ) < µ (E) + ε. Nyt monotonisuuden, σ-algebran ominaisuuksien ja mitan täysadditiivisuuden ja subadditiivisuuden nojalla on µ (E ) + µ (E \ ) µ ( ( E i ) ) + µ ( ( E i ) \ ) Kun ε 0, saadaan ja siten on µ -mitallinen. ( ( ) ) ( = µ ( ) ) E i + µ E i \ = µ ( ) E i µ(e i ) µ (E) + ε. µ (E ) + µ (E \ ) µ (E) 13.11 ============================= Edellistä tulosta ja Lausetta 11.8 käyttäen saadaan laskukaavat yleisessä mittaavaruudessa. Seuraus 13.7. Olkoon (X, Γ, µ) mitta-avaruus ja i Γ, i N. Tällöin (1) jos 1 2 ja µ( 1 ) <, niin (2) jos i i+1 kaikilla i N, niin µ( 2 \ 1 ) = µ( 2 ) µ( 1 ), µ ( i ) = lim µ( i ), (3) jos i i+1 kaikilla i N ja µ( i0 ) < jollain i 0 N, niin µ ( i ) = lim µ( i ). 72

Huomautus 36. Mitta ei välttämättä ole ulkomitan määräämä. Ulkomittaan µ liittyvä luonnollinen σ-algebra on Γ µ, mitta voi elää pienemmässä σ-algebrassa, esim. (R n, Borel joukot, m). 13.1. Täydelliset mitat. Jos [0, 1] R on epämitallinen joukko, niin E = { (x, 0) R 2 : x } R 2 ei ole Borel-joukko mutta se on Lebesgue-mitallinen R 2 :ssa sillä m(e) = 0: Funktio f : R R 2, f(x) = (x, 0) on jatkuva ja f 1 (E) =, joka ei ole mitallinen. Jos E olisi Borel-joukko, niin Lauseen 4.5 perusteella olisi mitallinen. Voi siis olla joukot E B X, joille B Γ, µ(b) = 0 mutta E / Γ (Valitse edellä nollamittaiseksi Borel-joukoksi esim. B = [0, 1] {0} R 2 ). Ulkomitan µ määräämälle mitalle tämä ei ole mahdollista, sillä nollamittaiset joukot ovat aina µ -mitallisia. Määritelmä 13.8. Mitta-avaruus (X, Γ, µ) on täydellinen, jos E Γ aina, kun E jollain Γ, jolle µ() = 0. Lause 13.9. Olkoon (X, Γ, µ) mitta-avaruus, Γ = { N : Γ ja N B jollain B Γ, jolle µ(b) = 0 } ja µ: Γ [0, ], µ( N) = µ(). Tällöin Γ on σ-algebra ja mitta-avaruus (X, Γ, µ) on täydellinen (mitta-avaruuden (X, Γ, µ) täydellistymä). Todistus. [1, Thm 2.27], Moniste. Esimerkki 13.10. Epätäydellinen mitta R:ssä: Γ = {, R}, µ: Γ [0, [, µ() = 0 kaikilla Γ. 14. bstraktia integraaliteoriaa Olkoon (X, Γ, µ) mitta-avaruus. Yleistetään Lebesguen integraaliteoria korvaamalla R n joukolla X, Lebesgue-mitalliset joukot σ-algebralla Γ ja m mitalla µ. Määritelmä 14.1. Olkoon Γ. Funktio f : R on (Γ)-mitallinen, jos alkukuva f 1( ]a, ] ) = { x : f(x) > a } Γ kaikilla a R. Jos Γ = B ja f on mitallinen, niin sanotaan, että f on Borel-mitallinen/Borelfunktio. Vastaavilla todistuksilla kuin Luvussa 4 saadaa mitallisuuden karakterisaatiot. Lause 14.2. Olkoon Γ ja f : R. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) f on mitallinen, (2) {x : f(x) a} Γ kaikilla a R, f 1 ([a, ]) (3) {x : f(x) < a} Γ kaikilla a R, f 1 ([, a[) (4) {x : f(x) a} Γ kaikilla a R. f 1 ([, a]) 73

Lause 14.3. Olkoon Γ ja f : R. Tällöin (1) jos f 1 ( ) Γ ja f 1 (]a, b[) Γ kaikilla a, b R, niin f on mitallinen. (2) jos f on mitallinen, niin f 1 ( ) Γ, f 1 ( ) Γ ja f 1 (B) Γ jokaisella Borel-joukolla B (erityisesti, jos B on numeroituva yhdiste tai leikkaus suljetuista tai avoimista joukoista). Huomautus 37. (1) Olkoon Γ ja f : R. Joukko {E R : f 1 (E) Γ} on σ-algebra. Harj. (2) Funktion mitallisuus riippuu σ-algebrasta Γ. Esimerkki 14.4. (1) Jos X = R n, Γ = M ja µ = m, niin mitallisen funktion määritelmä on sama kuin Luvussa 4. (2) Jos Γ = P(X), niin kaikki funktiot f : R, X, ovat mitallisia (, δ x0 ). (3) Jos Γ = {, X}, niin vain vakiofunktiot ovat mitallisia. (4) Jos X = R n, Γ = B, µ = m, niin mitallisia funktioita (Borel-funktiot) on vähemmän kuin Lebesgue-mitallisia funktioita. 14.1. Luvun 4 mitallisuustulosten yleistyksiä: Lemma 14.5. Olkoon (X, Γ, µ) mitta-avaruus. (1) Olkoot, B Γ, B ja olkoon f : R mitallinen. Tällöin f B : B R on mitallinen. (2) Olkoot i Γ, i N, erillisiä ja olkoot f i : i R mitallisia. Tällöin f : i R, f(x) = f i (x) kun x i, on mitallinen. (3) Olkoon Γ ja olkoon f : R. Funktio f on mitallinen jos ja vain jos nollajatko f on mitallinen. (4) Olkoon Γ ja olkoon f : R. Funktio f on mitallinen jos ja vain jos f + ja f ovat mitallisia. Jos f on mitallinen, niin f on mitallinen. Lause 14.6. Olkoon Γ. Olkoot f, g : R mitallisia. Tällöin f + g (jos määritelty) ja f g ovat mitallisia. 14.2. Ylä- ja alaraja-arvot. Kurssin ensimmäisessä osassa käsittelemättä jääneissä tuloksissa ja todistuksissa (mitallisten funktioiden rajafunktion mitallisuus, Fatoun lemma, Dominoidun konvergenssin lauseen todistus) tarvitaan funktiojonojen ylä- ja alaraja-arvoja. Olkoon (a i ), a i R, lukujono. Merkitään c k = inf{a i : i k} ja b k = sup{a i : i k}, jolloin c k a k b k kaikilla k N. Koska jono (c k ) on kasvava ja jono (b k ) vähenevä, niin on raja-arvot lim c k = sup{c k } R ja lim b k = inf {b k k k} R. k N k N 74

Määritelmä 14.7. Jonon (a i ), a i R kaikilla i N, alaraja-arvo on ja yläraja-arvo Esimerkki 14.8. lim a i = lim inf a i = lim c k = lim inf a i = sup inf k k i k k N lim a i = lim sup a i = lim b k = lim k sup k i k (1) Olkoon a i = ( 1) i. Jonolle ( 1, 1 1, 1,... ) on a i = inf c k = inf{a k, a k+1,... } = inf{1, 1} = 1 i k a i sup k N i k kaikilla k N, joten lim inf a i = 1. Vastaavasti lim sup a i = 1. 19.11 ============================= (2) Olkoon a i = ( i) i. Jonolle ( 1, 2 2, ( 3) 3, 4 4,... ) on lim inf a i = ja lim sup a i =. Ominaisuuksia. (1) lim inf a i lim sup a i. (2) lim inf a i = lim sup a i jos ja vain jos on raja-arvo lim a i. Tällöin lim inf a i = lim sup a i = lim a i : Jos lim inf a i = lim sup a i = b, niin lim k c k = lim k b k = b. Koska c k a k b k kaikilla k N, niin on oltava lim k a k = b. Jos lim k a k = b R, niin kaikilla ε > 0 on i ε N siten, että kun i i ε. Siten on b ε < a i < b + ε b ε inf a i sup a i b + ε, i k i k kun k i ε. Tästä seuraa, että lim inf a i = lim sup a i = b. Tapaukset ± todistetaan samaan tapaan. (3) Jonolla (a i ) on osajonot (a ij ) ja (a ik ), joille lim j a ij = lim inf a i ja lim k a ik = lim sup a i. (4) Jos a i M kaikilla i i 0, niin lim sup a i M. Vastaavasti, jos a i m kaikilla i i 0, niin lim inf a i m. (5) Kaikilla ε > 0 on N N, jolle a i < L + ε kaikilla i N ja a i > L ε äärettömän monella i N L = lim sup a i. (lim inf a i vastaavasti) 75 a i.