9. Paramerise malli, esimoini Rakeneellise malli paramereillä a priori ulkina & merkiys Black box-malli parameri vain laskennan/soviuksen apuvälineiä Tarkasellaan pääosin diskreeiaikaisia malleja 3. harjoiusyössä malli epälineaarinen jakuva-aikainen
Rakeneellise malli Fysikaalisin ai vasaavin perusein rakenneuja malleja osa paramereisa mahd. unneu, esim. massa, poikkipinaala jne. osa esimoiava: kikakeroime,... Merkinä d dx x( ) = f ( x( ), u( ), ); yˆ( ) = h( x( ), u( ), ) y^( ) on siis mallin ennuseu ulosulo hekellä paramerivekorilla Valkoinen miauskohina (eli y()=h(x(),u(),)+e()) ei vaikua ennuseeseen kohinaa ei voida ennusaa => aseeaan =0 (huom. jos kohinalla on rakennea, se kannaaa huomioida)
Black box -malli Yleinen lineaarinen diskreeiaikainen malli on muooa y()=η()+w() w() = häiriöermi η() = häiriöön ulosulo Termi muooa h()=g(q,)u(), w()=h(q,)e() G() ja H() lineaarisia suoimia käyännössä raionaalisia (muooa polynomi/polynomi) ja (asympooisesi) sabiileja G(q,)=B(q,)/F(q,), H(q,)=C(q,)/D(q,) paramerivekori koosuu polynomien B,F,C ja D keroimisa b i,f i,h i,d i (ja kohinan varianssisa) rakenneparameri n b, n c, n d, n f ja n k (kuollu aika)
Erilaisia mallirakeneia Box-Jenkins (BJ): G(q)=B(q)/F(q), H(q)=C(q)/D(q) Oupu error (OE): H(q)= eli n c =n d =0 w() poikkeama odellisen ja miaun ulosulon välillä huom. ei lineaarinen paramerien suheen ARMAX: A(q)y()=B(q)u()+C(q)e() kohina kokee saman dynamiikan kuin u järkevää kun kohina ulee prosessiin sen alkupäässä ARX: A(q)y()=B(q)u()+e() (myös yhälövirhemalli) lineaarinen paramerien suheen Käyö: määrää aseluvu, esimoi parameri käyännössä useia eri mallirakeneia ja aselukuja verraaan
Ennusaminen Usein mallin käyöarkoius ennusaminen Millainen on em. mallien ennuse? OE: y^(,)=g(q,)u() ARX: y^(,)=(-a(q))y()+b(q)u() (huom. ero edelliseen!) Enä kun H poikkeaa :sä eli kohinalla rakennea? jaeaan yksinkeraisesi H:lla puoliain ja korvaaan e() odousarvollaan! => y^(,)=[-h - (q,)]y()+h - (q,)g(q,)u() edellyys: (-H - ) asymp. sabiili
Mallien sovius Ennusevirhemeneelmä: valise s.e. ennuse on hyvä oimiva hyvyyskrieeri ennusevirheen varianssi määr. ennusevirhe ε()=y()-y^(,) ja hyvyyskrieeri 2 V ( ) = ε (, ) ^= arg min V () voidaan osoiaa, eä V () ei ole uulesa emmau PS on ennusevirhemeneelmien erikoisapaus MIMO-malli: ε 2 () mariisiarvoinen, arviaan sopiva reaaliarvoinen kuvaus: de, race,... V (^)on kohinan e() varianssin esimaai =
Lineaarinen regressio Regressio: malli muooa y()= T φ()+e(), φ() vekori, jossa viiväseyjä u():n ja y():n arvoja sisälää viiveoperaaoripolynomien keroime miausa => mariisi X=[φ(),φ(2),...,φ()] sekä ulosulo Y()=[y(),...,y()] => ^=(X T X) - X T Y Ei syyä käyää jos mallissa kohinalla rakennea =>soveluu ARX-mallien paramerien esimoiniin Ongelmia: viiväsey y:n ja u:n arvo keskenään kollineaarisia (koesuunnieluongelma) periaaeessa y ja e korreloiva jonkin verran vaikka kohina olisikin valkoisa (PS-oleukse!)
Ieraiivinen minimoini Malli epälineaarisia paramerien suheen, kun kohinalla rakennea PS ei onnisu Tarviaan ieraiivinen meneelmä kyseessä epälineaarinen rajoiamaon opimoiniehävä Gradienimeneelmä: k+ = k -α k V ( k ) α k viivahaun avulla haeava askelpiuus Toisen keraluvun meneelmä: sovelleaan ewonieroinia opimirakaisun välämäömiin ehoihin välämäön eho V ()=0 ieroini k+ = k -α k [V ( k )] - V ( k )
Derivaaojen laskena (9.6 s.255) Kohdefunkio Gradieni Hessen mariisi koko Hessen mariisi => ewon-raphson ieroini hyläään viimeinen ermi => Gauss-ewon Derivaaa lausekkeissa riippuva mallirakeneesa = = i i y y V 2 )), ˆ( ) ( ( 2 ) ( = = i i i y y y d d V )), ˆ( ) ( )(, ˆ( ) ( ' = = + = i i i T i i y y y d d y d d y d d V 2 2 )), ˆ( ) ( ))(, ˆ( ( )), ˆ( ))(, ˆ( ( ) ( ' '
Esimerkki syseemi y()=0.9*y(-)+0.2*log(abs(y(-i)+e ()))+0.5*u(-)+e 2 () ARMAX(2,2,2,) Measured and simulaed model oupu 25 20 5 0 5 0-5 -0-5 -20 0 50 00 50 200 250 300 350 400 450 500 Time
Mikä on hyvä malli? Mallin laau on yheydessä mallin käyöarkoiukseen hyvä sääösuunnielumalli voi olla huono simuloinimalli Mallin laau liiyy sen kykyyn kuvaa syseemin oimina syseemin ja mallin ulosulo riiävän samanlaise Hyvä malli yleisää, s. mallin ominaisuude eivä riipu esimoinidaasa Tilasollise ominaisuude keino miaa ää harhaisuus: esimaaien konvergenssi vääriin arvoihin huom. kirjan bias on löysäsi määriely eroeava mallirakeneen vaikuus ja idenifioinikokeen vaikuus paramerien varianssi: samalla sisäänmenolla saadaan eri ulosulo (eli esimoiaessa saadaan eri malli)
Parameriesimaaien harha Miä apahuu, kun ->oo? Olkoon ennusevirheen varianssi Eε 2 (,)=V() Jos ennusevirhe on valkoisa kohinaa, suuren lukujen lain mukaan 2 2 V ( ) = ε (, ) Eε (, ) = = V ( ) Ennusevirhe ei ole riippumaon (esim. väärä malli), mua hyvin yleisen ehojen valliessa yo. päee asympooisesi Lisäksi suppeneminen on asaisa => * arg minv ( ) = Eli esimaai minimoi ennusevirheen varianssin (mua ei konvergoi odellisiin arvoihin=harha) haiaako? w.p.
Esimerkki: väärä mallirakenne (Ljung 999) Olkoon daa peräisin prosessisa y()+a 0 y(-)=b 0 u(-)+e 0 ()+c 0 e 0 (-) Sovieaan ARX-malli y^( )+ay(-)=bu(-) Ennusevirheen varianssi on E(y()-ay(-)+bu(-)) 2 =...= r 0 (+a 2-2aa 0 )+b 2-2bb 0 +2ac 0 (r0=ey 2 (), ei riipu a:sa eikä b:sä) Ennusevirheen minimoiva a^, b^: a^=a 0 -c 0 /r 0 ;b^=b 0 ; Ea^<>a eli esimaai on harhainen Ennusevirheen varianssi näillä a^, b^ on +c 02 -c 02 /r 0 odellisilla parameriarvoilla a 0 ja b 0 varianssi on +c 02 eli suurempi Siis: vaikka parameriesimaai on harhainen, se uoaa pienemmän ennusevirheen varianssin
Tulos aajuusasossa * = limˆ = arg min G π π 0 ( e iω ) G( e iω, ) 2 H Φ * u ( ω) ( e iω ) 2 dω V ():n minimoiva esimaai lähesyy arvoa, joka saa mallin aajuusvaseen mahdollisimman lähelle syseemin vasea painoeuna ohjauksen spekrillä kohinan spekrin kääneisluvulla Koesuunnielu: valiaan u:n aajuusominaisuude sopivasi => hyvä sovius mielenkiinoisilla aajuuksilla Jos sovius on äydellinen, u:n spekri ei vaikua kunhan se poikkeaa nollasa
Rakeneellinen idenifioiuvuus Oleeaan eä on olemassa 0 s.e. ennusevirhe on valkoisa kohinaa Tällöin = 0 anaa hyvyyskrieerin minimin Jos oleeaan, eä y^( 0 )=y^( ) => = 0, niin ˆ 0 Rakeneellinen idenifioiuvuus (Bellman & Åsröm 970) : päeekö yo. eho? idenifioiuvuus ymmärreään syseemin ominaisuuena :mallin rakenne saaaa esää idenifioinnin esim. kaksi paramerivekoria uoaa samanlaisen inpu-oupu käyäyymisen => ongelmia Myös deerminisinen idenifioiuvuus
Esimerkki (9.): asaviramooori Valiaan iloiksi kulma-aseno y() ja nopeus ω() ja ohjaukseksi jännie u(): Tässä d d 0 0 x( ) = x( ) u( ), 0 / + / τ β τ τ JR =, β 2 fr + k k fr + k Syseemissä on 5 parameriä, mua mallissa vain 2 vaikka mallin parameri saaaisiin esimoiua, niisä saadaan vain 2 yheyä syseemin paramerien välille ällä parameroinnilla idenifioini ei onnisu = 2
Vaaimukse heräeelle Millainen sisäänmeno arviaan, joa parameriesimaai ylipääään konvergoisiva? Inuiiivisia uloksia: idenifioinikokeen piäisi heräää syseemin mielenkiinoise moodi sisäänmenon aajuussisälö oleellisessa asemassa Jakuvasi heräävyyden käsie (seur. lueno) kvaniaiivisia uloksia heräeen laadun ja parameriesimoinnin onnisumisen välille
Esimerkki (9.6) Ennusemalli y^( )=au(-)+bu(-2), =(a b) valiaan u vakio-ohjaus u 0 :ksi Todellinen ennuse on ällöin y^( )=(a+b)u 0 (-) kaikki parameri a ja b, joiden summa on sama, anava saman ennuseen a ja b eivä ole idenifioiuvia (ällä heräeellä) syseemi on kuienkin rakeneellisesi idenifioiuva
Paramerisimaaien varianssi Voidaan osoiaa, eä parameriesimaain ^ kovarianssimariisille P päee ˆ ˆ T P = E( 0 )( 0 ) λr jossa R=Eψ(, 0 )ψ T (, 0 ) ja ψ(,)=d/dy^(,) P riippuu kohinan varianssisa daapiseiden lukumääräsä ennuseen gradienisa (herkkyys!) huom. kirjan oleus harhaomuudesa! Parameriesimaai asympooisesi normaalijakauuneia => ilasollisen merkisevyyden esaus -esillä
Esimoinnin ongelmalähee Syseemi Id.koe Daa Mallirakenne Sovius väärä mallirakennne esimaaori harhainen suuri varianssi rak.idenifioiuvuusongelma mallin ai syseemin paramereja ei löydeä huono idenifioinikoe suuri varianssi, paramereja ei löydeä harhaisuus ei haiaa huono homma huono homma kunhan mallin käyöarkoius ei ole paramerien esimoini!
Yheenveo Perusidea: haeaan paramerivekori joka minimoi ennusevirheen varianssin siä kuvaa neliöllinen hyvyyskrieeri V () sovius: minimoi ennusevirheen varianssi esimaain varianssi riippuu kohinan varianssisa, daan määräsä ja ennuseen herkkyydesä paramerin suheen Lähesymisavan euja: yleinen käyeävyys, monipuolisuus uloksena simuloiniin soveluva malli (Haioja): periaaeessa arviaan näkemys syseemin rakeneesa laaja laskenauki arpeen