MEI-55 Mallintamisen perusteet Harjoitus 2 Tehtävä Dyadin a b, jossa a,b R 3 jälki on skalaari jota merkitään tr(a b) ja määritellään pistetulona tr(a b) = a b. (). Mikäli vektorit a ja b on annettu suorakulmaisessa ortonormaalissa kannassa ê i, eli esimerkiksi a = a i ê i = a ê +a 2 ê 2 +a 3 ê 3, niin määritä tr(a b). 2. Toisen kertaluvun tensori A on edelä mainitussa kannassa kirjoitettuna muotoa Ratkaisu Määritä tra. Einsteinin summaussääntöä käytten saadaan kompaktisti A = A ij ê i ê j. (2) tr(a b) = a b = (a i ê i ) (a j ê j ) = a i b j ê i ê j = a i b j δ ij = a i b i. Toisen kertaluvun tensorin jälki vastaavasti Tehtävä 2 tr(a) = tr(a ij ê i ê j ) = A ij tr(ê i ê j ) = A ij ê i ê j = A ij δ ij = A ii. Vektorin a gradientin integraali voidaan laskea lausekkeella grada dv = a n da, (3) jossan onpinnan yksikköulkonormaali.määritelläänalueen R 3 keskimääräinen infinitesimaalinen muodonmuutos ε yhtälöllä vol() ε = εdv. (4) Näytä, että vol() ε = 2 (u n +n u)da, (5) jossa vektori u on siirtymäkenttä ja n on reunapinnan yksikköulkonormaali. Täten keskimääräinen muodonmuutos alueessa riippuu vain siirtymän u reuna-arvoista. Täydetävää tietoa: Kyseinen yhtälö on keskeisessä roolissa materiaalimallien muodostamisessa, jossa mikroskaalassa ratkaistut suureet muunnetaan homogenisoimalla makroskaalan suureiksi käyttäen hyväksi edustavaa tilavuusalkiota (engl. representative volume element).
Ratkaisu Sijoitetaan muodonmuutostensorin lauseke vol() ε = εdv = (gradu 2 +(gradu)t )dv = (u n +(u n) T )da 2 = 2 Mieti mten todistaisit yhtälön (3). Tehtävä 2 (u n +n u)da. Tarkastelleen oheisen kuvan mukaista kaksileikkeistä liimaliitosta, jota kuormitetaan vetävällä vaakasuoralla voimalla F. Johda tasapainoyhtälö liitosalueen jännitystilan määrittämiseksi. Liitosaslueen pituus on L, uloimpien leikkeiden paksuus h/2 ja keskimmäisen leikkeen paksuus on h ja leikkeiden leveys b. Oleta, että leikkeissä vaikuttava normaalivoima on vakio leikkeen korkeuden suhteen ja liukuma γ liimaliitoksessa, jonka paksuus on t h, voidaan olettaa paksuussuunnassa vakioksi ja se voidaan laskea leikkeiden välisestä vaakasuorasta siirtymäerosta γ = u 2 u, t jossau onkeskimmäisenleikkeenvaakasuorasiirtymäjau 2 onulkopuolistenleikkeiden vaakasuora siirtymä. Ota symmetria huomioon ja tarkastele liitosalueen tasapainoa oheisen kuvan mukaisesti. Mikä on liitosalueen leikkausjännityksen jakauma? Liiman leikkauskerroin on G S ja liitettävien leikkeiden kimmokerroin on E. 2 F F F 2 Ratkaisu bhσ 2 2(x) bhσ 2 2(x+dx) bτ bhσ 2 (x) bhσ 2 (x+dx) Kehittämällä termi σ (x+dx) Taylorin sarjaksi saadaan σ (x+dx) σ (x)+ dσ (x) dx. 2
Vastaavasti σ 2 :lle. Täten saadaan kuvan vapaakappaleille tasapainoyhtälöt 2 bhdσ 2 dx τbdx =, dx 2 bhdσ dx+τbdx =. dx Merkitään jatkossa derivaattaa paikkakoordinaatin x suhteen suureen oikeassa yläkulmassa olevalla pilkulla. Ottamalla huomioon liimaliitoksen konstitutiivinen yhtälö τ = G S γ = G S (u 2 u )/t ja leikkeiden σ i = Eε i = Eu i, saadaan u 2 2 th u + 2 th G S Eliminoidaan u 2 alemmasta yhtälöstä E (u 2 u ) =, (6) G S E (u 2 u ) =. (7) u 2 = u th 2 EG Su, ja sijoittamalla tämä yhtälöön (6), saadaan neljännen kertaluvun tavallinen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö u (4) 4 G S th E u =. Merkitään k 2 = 4G S /(the) (huomaa, että k:n dimensio on pituuden dimension käänteisarvo), saadaan u (4) k 2 u = (8) Yritteellä u (x) = exp(rx) saadaan karakteristinen yhtälö r 4 k 2 r 2 =, josta r =, ja r = ±k, joten yhtälön (8) yleinen ratkaisu on muotoa u = A+Bx+Cexp(kx)+Dexp( kx), (9) jossa A, B, C ja D ovat integroimisvakioita. Mallinnuksen oleellinen osa on reunaehtojen määrittäminen. Neljännen kertaluvun reuna-arvotehtävälllä on asetettava neljä reunaehtoa, kaksi kummassakin päässä. Asetetaan x-koordinaatiston origo keskimmäisen leikkeen vasempaan päähän. Keskimmäisen leikkeen vasen pää on jännityksetön ja oikealla vaikuttaa jännitys σ = F/bh, täten σ () = Eu () =, () σ (L) = Eu (L) = F/bh. () Toiset kaksi reunaehtoa saadaan uloimpien leikkeiden reunaehdoista, eli σ 2 () = Eu 2() = E(u () (E/G 2 S)u ()) =, (2) σ 2 (L) = Eu 2(L) = E(u (L) (E/G 2 S)u (L)) =. (3) Reunaehdoista () ja () saadaan yhtälöt B +kc kd =, (4) B +kexp(kl)c kexp( kl)d = F bhe, (5) 3
ja vastaavasti ehdoista (2) ja (3) saadaan Vakioden arvoiksi saadaan B kc +kd = F bhe, (6) B kexp(kl)c +kexp( kl)d =. (7) B = F 2bhE, C = exp( kl)(exp( kl)+) F exp( kl) 2bhEk, D = +exp( kl) F exp( 2kL) 2bhEk. Huomaa, että integroimisvakiota A ei voida määrittää näistä reunaehdoista. Mieti miksi! Huomaa myös, että olen kirjoittanut kaikki eksponenttilausekkeet siten, että niissä ei esiinny lauseketta exp(kl). Tämä on erityisen tärkeää lausekkeiden numeerisen evaluoinnin kannalta. Leikkeiden ja 2 normaalijännitysten ja sauman leikkausjännitysten lausekkeet ovat siten { σ (x) = + +exp( kl) } F exp( 2kL) [exp[k(x L)] exp( kx)] 2bh, (8) { σ 2 (x) = +exp( kl) } F exp( 2kL) [exp[k(x L)] exp( kx)] 2bh, (9) { } +exp( kl) F τ(x) = exp( 2kL) [exp[k(x L)]+exp( kx)] 4bh klh L. (2) Ongelmassa on siten kaksi dimensiotonta suhdetta, jotka määrittävät käyttäytymisen, eli Gs h L kl = 2 E t h, ja h L, jossa tietenkin dimensiottomaan vakioon kl vaikuttaa liiman ja leikkeen kimmovakioiden suhde G S /E ja leikkeen ja liimasauman paksuussuhde h/t. Leikkausjännitysten resultantin on tietenkin oltava L τ bdx = F/2. Jännitysjakaumien kuvaajat kun L/h = parametrin kl arvoilla,5, ja 2. Parametrin kl kasvaessa muodostuu voimistuvat reunahäiriöt kun kl > liitosalueen reunoille. Mieti oheisten tulosten perusteella miten niissä näkyvät mallin rajoitteet. 4
.8 σbh/f.6.4.2.2.4.6.8.8 σ2bh/f.6.4.2.2.4.6.8.5.4 τ bh/f.3.2..2.4.6.8 5