Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät

Transkriptio

1 Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics

2 Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x) = c 1 + c x F(s)ds, F(s) = s f (t)dt. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos / 8

3 Greenin funktio Osittaisintegroimalla x Reunaehdot F(s)ds = / x sf(s) { u() = u(1) = Reuna-arvotehtävän ratkaisu: u(x) = x 1 Greenin funktion G(x, s) = x sf (s)ds = { (1 s)f (s)ds u(x) = { 1 x (x s)f (s)ds. c 1 = c = 1 (1 s)f (s)ds x (x s)f (s)ds. s(1 x), jos s x x(1 s), josx s 1. G(x, s)f (s)ds. avulla Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 3 / 8

4 Ratkaisun olemassaolo Greenin funktio: G(x, ) ja G(, s) lineaarinen; Jatkuva, symmetrinen ((G(x, s) = G(s, x)); Ei-negatiivinen: G(x, s) 1 G(x, s)ds = 1 x(1 x). Ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys: Jokaiselle f C ([,1]) on olemassa yksikäsitteisesti määrätty u C ([.1]), joka on malliongelman ratkaisu ja sille on esitys 1 u(x) = G(x,s)f (s)ds. Säännöllisyys: If f C m ([,1]), niin u C m+ ([,1]). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 4 / 8

5 Maksimiperiaate Monotonisuus-ominaisuus: Jos f (x), niin myös u(x). Maksimiperiaate: u 1 8 f, sillä u(x) 1 1 G(x,s) f (s) ds f G(x,s)ds = 1 x(1 x) f. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 5 / 8

6 Differenssiapproksimaatio Hilaparametri h = 1 n, Solmupisteet {x j} n j=, x j = jh; Solmupisteapproksimaatio: u j u(x j ) u j 1 u j + u j+1 h u(x j 1) u(x j ) + u(x j ) h u (x j ). Differenssiyhtälöryhmä: u j 1 u j + u j+1 h = f j = f (x j ), j = 1,...,n 1. Reunaehdot u = u n = Matriisiyhtälö Au = f, A = h tridiag( 1,, 1), u = [u 1,...,u n 1 ] T, f = [f 1,...,f n 1 ] T. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 6 / 8

7 Yhtälöryhmän ominaisuuksia Matriisi on diagonaalisesti dominantti ja positiivisesti definiitti: n 1 u T Au = h [u1 + uj 1 + (u j u j 1 ) ]. j= Differenssiyhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu Matriisi A on ns. M-matriisi: Matriisi A on säännöllinen, sen ei-diagonaalialkioille on voimassa a ij ja sen käänteismatriisin kaikki alkiot ovat ei-negatiivisia. Diskreetti maksimiperiaate: f u Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 7 / 8

8 Differenssioperaattori Diskreetti funktioavaruus V h = {v h : {x,...,x n } R}. V h = {v h V h v h (x ) = v h (x n ) = } Merkintä: v j = v h (x j ) Määritellään ensimmäisen ja toisen kertaluvun differenssioperaattorit: D h v h (x j ) = v j+1 v j h L h v h (x j ) = v j 1 v j + v j+1 h Differenssiyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa:etsi u h V h siten, että L h u h (x j ) = f (x j ), j = 1,...,n 1. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 8 / 8

9 Differenssioperaattorin ominaisuuksia Diskreetti sisätulo: Funktioille v h,w h V h määritellään n (v h,w h ) h := h c k v k w k, k= missä c = c n = 1 ja c k = 1, 1 k n 1. Diskreetti normi: v h = (v h,v h ) 1. Lemma 8.1 L h on symmetrinen: (L h v h,w h ) h = (v h,l h w h ) h, v h,w h V h. L h on positiivisesti definiitti: (L h v h,v h ) h, v h V h ja yhtälö on voimassa vain jos v h =. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 9 / 8

10 Lemman todistus Osittaissummaus -identiteetti: w n v n w v = = n 1 [w j+1 v j+1 w j v j ] j= n 1 [(w j+1 w j )v j + (v j+1 v j )w j+1 ] j= n 1 n 1 (w j+1 w j )v j = w n v n w v (v j+1 v j )w j. j= j= Symmetrisyys: Koska w n = w = v n = v = w 1 = v 1 =, niin n 1 (L h w h, v h ) h = h 1 (w j+1 w j )(v j+1 v j ) = (w h, L h v h ) h. j= Positiivisuus: (L h v h, v h ) h = h 1 n 1 j= (v j+1 v j ). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 1 / 8

11 Diskreetti Poincaré n epäyhtälö Määritellään kaikille v h V h diskreetti normi { n 1 v h h,1 := h ( v j+1 v j ) h j= ) }1 D h v h h. Positiivisuus: (L h v h,v h ) h = v h h,1, v h V h. Lemma 8. Poincaré n epäyhtälö: v h h 1 v h h,1, v h V h. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 11 / 8

12 Lemman 8. todistus Kaikille j = 1,...,n 1 : v j = h j 1 v k+1 v k k= h. Minkowski n epäyhtälö: j 1 vj = h [ k= Näin ollen kaikille v h V h : v k+1 v ] k j 1 h j h k= ( vk+1 v ) k. h v h sillä nh = 1. n 1 n 1 j 1 ( = h vj h vk+1 v ) jh k h j=1 j=1 k= = h (n 1)n v h h,1 1 v h h,1, Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 1 / 8

13 Stabiilisuus Differenssiyhtälön vaihtoehtoinen muoto n 1 h J=1 L h u h (x j ) = f (x j ), j = 1,...,n 1 n 1 L h u h (x j )u h (x j ) = h j=1 f (x j )u h (x j ) u h h,1 = (L h u h,u h ) h = (f,u h ) h Poincaré n ja Cauchy-Schwarzin epäyhtälöiden nojalla u h h 1 (L hu h,u h ) h 1 f h u h h Stabiilisuus: u h h 1 f h Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 13 / 8

14 Konsistenssius Oletus: f C () ([,1]). Tällöin u C (4) ([,1]). Lokaali typistysvirhe: τ h (x j ) = L h u(x j ) f (x j ), j = 1,...,n 1 Keskeisdifferenssikaavan virheen nojalla: τ h (x j ) = u (x j ) f (x j ) + h 1 u(4) (η j ) = + h 1 u(4) (η j ) Lokaalille typistysvirheelle τ h h, max j n τ h(x j ) h 1 f () h,. Differenssimenetelmä on konsistentti differentiaaliyhtälön reuna-arvotehtävän kanssa. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 14 / 8

15 Diskreetti Greenin funktio Diskreetti Greenin funktio: Jokaiselle hilapisteelle x k määritellään G k V h siten, että L hg k = e k, missä e k V h siten, että e k (x j ) = δ k,j, 1 j n 1. Huom! G k (x j ) = G(x k,x j ). Ratkaisu-operaattori T h : T h g = n 1 k=1 g(x k)g k, g V h. Tällöin Lause 8.3 n 1 n 1 L h T h f = f (x k )L h G k = f (x k )e k = f. k=1 k=1 Oletetaan, että f ([.1]). Tällöin differenssiapproksimaation solmupistevirheelle e(x j ) = u(x j ) u h (x j ) on voimassa arvio u u h h, h 96 f h,. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 15 / 8

16 Lauseen 8.3 todistus Koska u h (x j ) = h n 1 k=1 G(x j,x k )f (x k ), niin u h h, 1 8 f h, Lokaalin typistys virheen nojalla on voimassa L h (u u h )(x j ) = τ h (x j ). Edellisen stabiilisuustuloksen ja konsistenssiuden nojalla u u h h, 1 8 τ h h, h 96 f h, h 96 f Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 16 / 8

17 Yleinen kahden pisteen reuna-arvotehtävä Reuna-arvotehtävä Lu(x) = (a(x)u (x)) + γ(x)u(x) = f (x), < x < 1 u() = d, u(1) = d 1. Tunnetut suureet: Vakiot d ja d 1 Funktiot a(x), γ(x), f (x) jatkuvia Lisäksi: γ(x) ja a(x) a > Ju(x) = a(x)u (x) on funktioon u(x) liittyvä virtaus (vuo) pisteessä x. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 17 / 8

18 Differenssiapproksimaatio Perushila x j = jh, j =,...,n; Keskipistehila x j+ 1 = (x j + x j+1 )/, j =,...,n 1. Differenssioperaattori L h w h (x j ) = J j+ 1 (w h ) J j 1(w h ) + γ(x j )w h (x j ), h missä virtauksen approksimaatiot pisteissä x j on J j+ 1 (w h ) = a(x j+ 1 ) w h(x j+1 ) w h (x j ). h Differenssimenetelmä: Etsi u h V h siten,että L h u h (x j ) = f (x j ), j = 1,...,n 1 u h (x ) = d, u h (x n ) = d 1. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 18 / 8

19 Esimerkki Esim. 1 Määrää RAT:n u (x) + u(x) = 1 u() = u(1) = ratkaisun approksimaatio differenssimenetelmällä, kun h = 1 n. Virtaus Ju(x) = u (x), γ(x) = 1 ja f (x) = 1 Virtauksen approksimaatio J j+ 1(u h ) = u h(x j+1 ) u h (x j ) h = u j+1 u j h. Differenssiyhtälö J j+ 1 (u h ) J j 1(u h ) + u h (x j ) = 1, j = 1,...,n 1. h Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 19 / 8

20 Matriisimuoto u j 1 u j +u j+1 h + u j = 1, j = 1,...,n 1 Matriisiyhtälönä Au = f Jäykkyysmatriisi missä Oikean puolen vektori A = h tridiag(a,d,a) + diag(c), a = [1, 1,, 1] T R n d = [,, ] T R n 1 c = [1, 1, 1] T. f = [1, 1, 1] T Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos / 8

21 Ratkaisun kuvaaja (n=) Approksimaation arvot hilapisteissä ympyröity; Tarkka ratkaisu jatkuva viiva Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 1 / 8

22 Differenssimenetelmän matriisimuoto Differenssiyhtälö voidaan yleisesti kirjoittaa muodossa missä Au = [h triadiag(a,d,a) + diag(c)]u = f, a = [a3,a5 + a3,a3,,a n 3] T d = [a1 c = [γ 1,,γ n 1 ] T d + a5,,a n 3 + a n 1] T 1d 1 f = [f 1 + a1 h,f,,f n,f n 1 + a n h ] T. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos / 8

23 Yleiset reunaehdot Dirichlet n reunaehto: u() = d Neumann in reunaehto: J(u)(1) = g 1 Neumann in reunaehto diskretisoidaan ns. peilikuvaus-tekniikalla: Jos ψ(x) on riittävän sileä, niin sen katkaistu Taylorin kehitelmä pisteessä x n on ψ n = ψ n 1 + ψ n+ 1 h 8 ψ (η n ) Valitaan ψ = J(u) ja ei huomioida h -termiä: J n+ 1 (u h ) = g 1 J n 1(u h ). Diff. yhtälön approksimaatiopisteessä x n : J n 1 (u h ) J n+ 1 (u h ) + γ n u n = f n h Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 3 / 8

24 Neumannin reunaehto Sijoittamalla reunaehdon approksimaatio differenssiapproksimaatioon saadaan: J n 1(u h ) g 1 + γ n u n = f n. h u Sijoittamalla J n 1(u h ) = a n u n 1 n 1 h saadaan lopulta u n 1 a n 1 h + ( a 1 n h edelliseen yhtälöön + γ n )u n = g 1 h + f n. joka on approksimaatio pisteessä x n. Muissa pisteissä käytetään diff.yhtälön differenssiapproksimaatiota. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 4 / 8

25 Summer is coming!!!! Kukkivat kasvit pölläyttävät itiönsä taivaalle. Tarkastellaan itiöiden vertikaalista jakaumaa suurella alueella Gravitaation vaikutuksen lisäksi itiöt hajaantuvat ilmakehään diffuusion vaikutuksesta. Perusmallissa Diffusiviteetti on vakio ν = 1 m /s Asettumisnopeus β =.3 m/s Jätetään huomiotta pienen mittakaavan horisontaalinen kulkeutuminen ja konvektio Olkoon x korkeus. Tällöin konsentraation tasapainojakauma u(x) noudattaa DY:ä νu (x) + βu (x) =, < x < H u() = u, νu (H) + βu(h) =. Ratkaistaan differenssimenetelmällä konsentraation approksimaatio, kun H = 1 m. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 5 / 8

26 Differenssiapproksimaatio Diff.yhtälön approksimaatio ν u j 1 u j + u j+1 h + β u j+1 u j 1 h =, j = 1,...,n 1 Reunaehdon J(u)(H) := νu (H) = βu(h) diskretisointi peilikuvaustekniikalla: J n+ 1 (u h ) = βu n J n 1(u h ) ν u n+1 u n = βu n ν u n u n 1 tai u n+1 u n 1 = β h h h ν u n Sijoitetaan yhtälön differenssiapproksimaatioon pisteessä x n : ν u n+1 u n + u n 1 h + β u n+1 u n 1 h =. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 6 / 8

27 Yhtälöryhmä Differenssiapproksimaatio johtaa siis yhtälöryhmään (tridiagonaalinen; mutta ei symmetrinen) ( ν h β h )u k 1 + ν h u k + ( ν h + β h )u k+1 =, k = 1,...,n 1 ν h u n 1 + ( β h + ν h + β ν )u n =. Ratkaistaan, kun h = H/1 ja h = H/1. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 7 / 8

28 Kuvaajat Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 8 / 8