Tortai 6..999 = Geometria o hyvä tapa kuvata ykikertaiia kappaleita, mutta kappaleie tullea äärettömä moimutkaiiki, käy iie kuvaamie klaie geometria avulla mahottomaki. Eimerkiki rataviiva pituue määrittämie o tuettu ogelma. Äärettömä moimutkaiia kappaleita tutkivaa geometriaa kututaa fraktaaligeometriaki. Jotta pääemme alkuu, kutumme aluki fraktaaleiki kappaleita, jotka eivät ykikertaitu mittakaavaa uureettaea. Seuraavaa tarkateltava käyrä o hyvä eimerkki fraktaalita. Sampo Tieuu Olkoo jaa AB: Korvataa tämä murtoviivalla: Tämä muootuu eljätä oajaata AC, C, E jaeb, joie pituu o r = AB, jolloi koko murtoviiva pituueki aaaa 4 AB. Ku jokaie äi aauita oajaoita korvataa vielä amalaiella murtoviivalla, aaaa euraava toie atee murtoviiva: -atee murtoviiva kootuu 4 jaata, joie pituu o AB. Kuva : raktaalie kukkakaali -ateie murtoviiva pituu o ii 4 AB. O elvää, että käyrä pituu kavaa : kavaea, jote ku operaatio toitetaa äärettömä mota kertaa aaaa käyrä joka pituu o ääretö. Tällaiia rajatulla alueella eiityviä äärettömä pitkiä kappaleita rakalaie matemaatikko Beoit Maelbrot (*94) alkoi kutua fraktaaleiki (egl. fractal). Saa fraktaali tulee Latia kiele aata fractu, joka tarkoittaa murtuutta, murrettua tai epäääöllitä. Samaa alkuperää ovat myö eglaikiele aat fractio ja fragmet. Vaikka Maelbrot ottiki käyttöö fraktaali-aa, hä ei uikaa ollut eimmäie fraktaaleja tutkiut matemaatikko. Jo vuoa 904 ruotalaie matemaatikko Helge vo Koch eitti eellä käitelly murtoviiva, joka o ittemmi tuettu Kochi käyrää. raktaalite käyrie mittaamie Käyrä uuruu ) määritetää yleeä jakamalla käyrä oajaoihi ja lakemalla äie pituuet yhtee. Samoi voiaa taokuvio uuru määrittää jakamalla kuvio pieii eliöihi ja lakemalla yhtee iie ivuje toiet poteit (eliö alaha o e ivu toie potei). Sama periaate toimii avaruukappaleel- ) Saaa uuruu käytetää tää yhteiimitykeä kokoa kuvaaville uureille kute pituu, pita-ala ja tilavuu.
Tortai 6..999 la, ku jaetaa e kuutioihi ja laketaa kuutioie ivuje kolmaet poteit yhtee. äi voiaa verrata kekeää kappaleita, joie ulottuvuukie määrä o ama. Huomaa kuiteki, että eimerkiki ykiulotteie käyrä pita-ala o olla ja taokuvio pituu ääretö. Samalla tavalla voiaa mitata myö fraktaaliia kappaleita: Jaetaa kappale oii, joie halkaiija o pieempi tai yhtä uuri kui r ite että oia tulee maholliimma vähä. (kappalee halkaiijalla tarkoitetaa uurita mahollita etäiyyttä e kahe pitee välillä.) Laketaa äie oie halkaiijat yhtee korotettua poteii. Rajaarvoa, jota tämä luku lähetyy, ku r lähetyy ollaa kutumme kappalee Hauorff-mitaki ja merkitemme itä h :lla. h = r = r + r + r + + r i= 0 i 0... Voiaa havaita, että kaavata aaaa aia joko olla tai ääretö, ku poikkeaa kappalee ulottuvuukie lukumäärätä. Tätä voi kokeilla jakamalla eimerkiki jaa oii ja lakemalla oie avulla h jaalle, joka pituu o. Seuraavaa eimerkiä jaa o jaettu kappaleeee yhtä uuria oia. h = r + r + r + r + + r 0... Koka kaikki oajaat ovat yhtä pitkiä, ii h = = = Havaitaa, että ku =, ii h = =, : arvota riippumatta. Ku taa > ataa lim = 0 toii aoe läheee ollaa, ku läheee ää- retötä. Ja ku <, ii lim =, eli =0 = = = =0 = = Kuva : raktaaliia käyriä läheee ääretötä, ku läheee ääretötä. Sama voiaa toeta eliöllä, joka halkaiija o (Voiaa ooittaa, että talouellii tapa peittää eliö r-läpimittaiilla kappaleilla o käyttää ääöllieti ijoitettavia pieiä eliöitä): h = = = Voiaa vataavati toeta h: oleva :tä riippumato jo ja vai jo =. Sitä : arvoa, jolla h o :tä riippumato kututaa kappalee Hauorff-Beicovitchimeioki ). Merkitemme itä :llä. Vataavati merkitemme h :tä H:lla. Eukliiille kappaleille = T, ku T :llä merkitää kappalee topoita imeiota eli ulottuvuukie lukumäärää (käyrälle T =, pialle T =) : ja H: merkity tuleeki eille vata fraktaalite käyrie yhteyeä. Eimerkki: Määritä Kochi käyrä Hauorff-Biicovitch imeio. Ratkaiu: Approkimoiaa murtoviivalla Kochi käyrää, joka päie välie etäiyy o. Ku ) Olemme määritelleet Hauorff-mita ja Hauorff-Beicovitch-imeio eimerki avulla, illä iie oikeaoppie määritelmä o turha moimutkaie tää eitettäväki. Se o kuiteki havaiollieti elitettyä K. J. alcoeri kirjaa ractal Geometry - Mathematical ouatio a Applicatio (990). eellä eitetty jaa korvaamie murtoviivalla uoritetaa kertaa, voiaa aatua käyrää kutua Kochi käyrä atee approkimaatioki. atee approkimaatio kootuu 4 :tä oajaata, joie pituu o. Ku jo- kaie oajaa korvataa ympyrällä, jolla o yhtä uuri halkaiija, aaaa kappale, joka peittää Kochi käyrä. Tällöi Kochi käyrä Hauorff-mitaki aaaa: h = ( ) 4 4 h = 4 = Otetaa yhtälötä puolittai aritmi. h = + 4 h = + 4 ( ) h 0 tai h jo ja vai jo h tai h. jote 4 = 0 = 4 8 = = 5 4 =, 9 = = Vatau: 4 =, 6859507 Tämä avulla voiaa la-
Tortai 6..999 kea myö Kochi käyrä Hauorff-mitta: Kuva 4a: Etelämateree rataviivaa ( 4 ) H = + H = H = 0 = (äi käytettäeä kymmekataita aritmia voit käyttää myö muita aritmeja, kuha vaihat kataluvu oikeaki.) Voiaa ooittaa, että mille tahaa kappaleelle pätee T S, miä S o e avaruue ulottuvuuluku, joa käyrä eiityy. Tämä voiaa yleitää ite, että kappalee K Hauorf-Beicovitch-imeio o uurempi tai yhtä uuri kui mikä tahaa K: oajouko ja pieempi tai yhtä uuri kui mikä tahaa kappalee, joka voiaa eittää K: muotoie kappaleie uioia. yt voiaa määritellä fraktaali uuetaa kappaleeki, joka Hauorff-Beicovitch-imeio o uurempi kui e topoie imeio. > T Muita imeioita Hauorff-Beicovitch-imeio liäki o muitaki. fraktaaliimeioita, joilla voiaa kuvata kappaleie omiaiuukia. Ueimmia tapaukia ämä ovat kekeää yhtä- Kuva 4b: Eri hieoja lumikiteitä Sampo Tieuu Eteläapa pitä- viä, mutta o tapaukia, joia e aavat eriuuria arvoja. Moet iitä eroavat toiitaa kuiteki vai määritelmältää. äitä määritelmitä ja imitykitä moet lähteet atavat ritiriitaita tietoa, eikä iitä käitellä tää. Määrittelemme. Moimutkaiuuimeio (egl. imilarity imeio) iteää eri mittakaavoia toitavalle fraktaalille. Iteää toitava fraktaali voiaa muootaa. akiooma ja tuotatoääö avulla. Akiooma o tuottamie lähtökohta ja tuotatoäätö kertoo mite kappalee oia korvataa toiilla, eimerkiki Kochi käyrä tapaukea akiooma o jaa, ja tuotatoäätö o jaa korvaamie em. eljätä oajaata muootuvalla murtoviivalla. Määrittelemme yt: =, r miä o oajaoje määrä jaa paikalle aetettavaa murtoviivaa, ja r iie pituu uhteea käyrä päie väliee etäiyytee. imeio kuvaa tää tapaukea ite aiaa käyrä moimutkaitumita tarkatelu mittakaava kavaea. Se voiaa yleitää kokemaa kaikelaiia käyriä: = lim, miä o iie r 0 r r-äteite palloje määrä, joka tarvitaa käyrä peittämiee. Moia tapaukia kute Kochi käyrä kohalla, =, mikä lukija voi haluteaa lakea. Moimutkaiuuimeio ja Hauorff-Beicowitch-imeio eivät ole ama aia, mutta e ovat ueimmia tapaukia yhtä uuret, mikä johota moimutkaiuuimeiota käytetää uei Hauorff-Beicowitch-imeio arvaamiee illoi ku e lakemie o huomattavati vaikeampaa. Tapaukia, joia tämä ei ole mahollita, ei käitellä tää artikkelia. 4
Tortai 6..999 Koko pituue kymmekataie aritmi 4,5,5,5,5,5 Mittauykikö pituuue (km) kymmekataie aritmi Atarkti Suur-Saimaa marmorikuvio (0 000 000 * uureo) Victoriajärvi Somali kaakkoiraikko Kochi käyrä Kuva 5: Rataviivoje pituukie aritmi riippuvuu mittajaa pituue aritmita. (=-k, miä k tarkoittaa uora kulmakerroita.) Harjoitu : a) k. Catori joukko ytyy ku jaa jaetaa kolmee oaa, ja iitä poitetaa kekimmäie. Sama toitetaa jäljelle jääeille kahelle alkuperäie jaa kolmaoalle. je. Määritä Catori jouko moimutkaiuuimeio ja Hauorff- Beicowitch-imeio eellie kappalee peruteella. b) Määritä ääöllie p-kulmio moimutkaiuuimeio. c) Muootetaa yleie Catori joukko euraavati: Otetaa jaa, joka pituu o r. Poitetaa iitä pätkä, joka etäiyy jaa päätyy o ar, ja joka pituu o br. Määritä tämä jouko moimutkaiuuimeio a: ja b: uhtee. imeio käite Saa imeio aattaa aluki tutua harhaajohtavalta (egl. imeio ulottuvuu), mutta e o hyvi peruteltavia. Hauorff-Beicovitch-imeiolla o moia yhteiiä piirteitä eukliite (eli epäfraktaalite ) kappaleie ulottuvuuluvu kaa, ja ite aiaa moia tapaukia eukliita imeiota voiaa pitää Hauorff- Beicovitch-imeio erikoitapaukea. Eimerkiki eukliite kappaleie uuruue (pituu, pita-ala, tilavuu...) kavamie mittakaava mukaa riippuu kappalee ulottuvuuluvuta. Ykiulotteie kappalee pituu o verraollie uureouhtee eimmäiee poteii, taokuvio ala o verraollie uureouhtee eliöö ja vataavati tilavuu e kuutioo. Samoi fraktaalie kappalee uuruu (Hauorff-mitta) o verraollie mittakaava :tee poteii. Hauorff-mitta vataa myö ikäli eukliiia mittoja, että kappalee eljäoa Hauorff-mitta o eljäoa koko kappalee mitata. (Huom. lakettaea Kochi käyrä murto-oie pituukia eellä johetulla kaavalla h= o muitettava, että Kochi käyrä eljäoa päie välie etäiyy o kolmaoa alkuperäie käyrä pituueta.) Hauorff-Beicovitch-imeio kuvaa myö itä, kuika hyvi kappale täyttää avaruue. Eimerkiki kuvaa alemma käyrä topoie imeio o, mutta e Hauorff- Beicovitch-imeio o. Tämä käyrä kulkee rajatu taoaluee jokaie pitee kautta. raktaale a luooa Luoo ilmiöie mallitamie o yki fraktaaligeometria tärkeimmitä ovellukita. Luoto o täyä fraktaaleja muituttavia kohteita. (ykyite teorioie mukaa maailmakaikkeu kootuu jakamattomita peruhiukkaita, jote mikää luooa eiityvätä ei voia käyttää termejä fraktaali tai fraktaalie, mutta luootieteilijä mittakaavaa iitä voiaa ueimmite käitellä fraktaaleia.) Moet kavit äyttävät fraktaaliilta, amoi pilvet, galakit ja hiukkate liikeraat. Rataviiva lieee kuiteki kaikkei tuetui eimerkki luoo fraktaalita. Vaikka moet kartta- ja 5
Tortai 6..999 tietoaakirjat ilmoittavatki maie kohalla iie rataviiva pituue ekä paljoko yhteitä rajaa iillä o rajaaapureiea kaa, ei äillä luvuilla ole mitää merkitytä ii kaua kui iie yhteyeä ei ilmoiteta mittautarkkuutta. Rataviiva äeäie pituu o imittäi täyi riippuvaie mittautarkkuueta. Ku laiva euraa raikkoa, e kulkee paljo lyhyemmä matka kui ratatietä kulkeva kävelijä, koka laiva, toii kui kallioeiämää hakatu tie, ei tarvite poiketa jokaiee lahepohjukkaa. Ja jo halutaa vielä tarkempia mittoja, voiaa kiertää jokaie hiekajyväe ympäri. Toellite kappaleie fraktaaliimeiot Rataviiva Moimutkaiuuimeiota voi arvioia eimerkiki approkimoimalla itä murtoviivoilla, joie kaikki oajaat ovat yhtä pitkiä kute kuvaa a. Moimutkaiuuimeio o tällöi r = =, r r miä r o koko käyrä pituu mitattua mittajaalla, joka pituu o r. (Kaava o em. fraktaaliimeio kaava muuo, joka allii mikä tahaa pituumittaykikö käyttämie r: ilmoittamiee. Se tuo myö paremmi eille rataviiva pituumuutoke kuimääritelmää käyttämämme moimutkaiuuimeio kaava.) r merkitee r: muutota, ku r muuttuu r verra. Para tulo aaaa, ku tehää ueita mittaukia ja etitää graafieti mittautulokia parhaite kuvaava uora. moimutkaiuuimeio o ite aiaa =-k, miä k o tämä uora kulmakerroi. Harjoitu : Määritä kuva 5 peruteella iiä eitettyje rataviivoje Moimutkaiuuimeiot. Harjoitu : Määritä kuva 4B lumikiemuootelma moimutkaiuuimeio. Moimutkaiuuimeio voi määrittää myö piirtämällä käyrä ruutupaperille ja lakemalla moeko ruuu kautta e kulkee, tai lakemalla motako tiety kokoita ympyrää tai eliötä e peittämiee tarvitaa. Ruutuje tai ympyröie halkaiija ja iie määrä välillä o vataava yhtey kui oajaoje pituukilla ja määrällä Korkeampia ulottuvuukia Siiä miä rataviiva tai maapia korkeukäyrä pituu o ääretö, voiaa myö materee pita-ala katoa oleva ääretö. Maapia moimutkaiuuimeio määrittämie ei ole aiva yhtä ykikertaita kui rataviiva, mutta e oituu amalla periaatteella: joko approkimoimalla maapitaa yhä pieemmillä kolmioilla, mikä o käytäölliempi tapa, tai jakamalla tila pieii kuutioihi kute tao jaettii eliöihi. Jälkimmäie tapa o käytäöllie, ku kohteea o eimerkiki pilvi, joka veipitoiuu o mitattu e jokaiea piteeä. Joka tapaukea fraktaalite pitoje imeioie kokeellie määrittämie o työlätä ilma tietokoetta. Sovellukia Uue ajattelutava liäki fraktaaligeometria o johtaut moii käytäö ovellukii. Se peruteella o kehitetty mm. ykittäite kaaumolekyylie liikkeeee ja ääee liittyviä laketameetelmiä. raktaaligeometria tuomaa tietoa maa piamuooita o myö käytetty meetykellieti eimerkiki luoollie äköite maiemie luomieki avaruuaiheiii elokuvii. raktaaleja o kaikkialla. iie avulla voiaa kuvata lähe kaikkea elävitä orgaimeita galakie muotoihi ekä maa kekittymiee uiverumia. Kaikkei mielekiitoiita o, että jopa puhtaat matemaattiet lakutoimituket voivat yyttää fraktaaleita. Tätä eimerkkiä ovat. Julia joukot, joita voi lukea liää eimerkiki em. K. J. alcoeri kirjata. Termejä approkimoia Muootaa approkimoitava kappalee muotoa lähetyviä aetut ehot täyttäviä ykikertaiempia kappaleita. kappale Tää artikkelia: yleiimity aoille pitejoukko, käyrä, avaruukappale je. uuruu käytetää tää yhteiimitykeä kokoa kuvaaville uureille kute pituu, pita-ala ja tilavuu lim fx ( ) Raja-arvo, jota f(x) lähetyy, ku x lähetyy a:ta. x a b fx ( ) = f( a) + fa ( + ) + fa ( + ) +... + fb ( ) x= a. Atarktike raikko:,9, Victoriajärvi:,6, Suur-Saimaa:,67, Somalia kaakkoiraikko:,0, Marmorikuvio:,66, Kochi käyrä:,6. 058, = a+ ( b a) b = c) lim r pr ST Vatauket:. a) = = 0, 609 b) lim 6