Osittaisdifferentiaaliyhtälöt, sl. 2006 Ari Lehtonen
Esipuhe Tätä tekstiä kirjoitettaessa on käytetty apuna lähinnä viiteluettelossa mainittuja kirjoja [1] ja [7] sekä [4] (vähänlaisesti) ja [3] (varsin vähän). Kurssin tarkoitus on tutustuttaa lukija osittaisdifferentiaaliyhtälöiden klassiseen teoriaan. Koska alan klassinenkin teoria on erittäin laaja ja teknisesti vaikeaa, olisi tälle suppealle kurssille sisältönsä perusteella parempi pitkänlainen nimi Satunnaisesti valittuja kohtia osittaisdifferentiaaliyhtälöiden klassisesta teoriasta. Yhtälöiden ratkaisuille on pyritty löytämään esitys sarjana tai integraalina. Sarjaesityksiä varten alussa on käyty läpi hieman Fourier n sarjojen teoriaa. Fourier n integraaleja kurssilla ei käsitelty, joten esimerkiksi reaaliakselin lämmönjohtumisyhtälöä varten perusratkaisua ei ole johdettu. Kurssille tarpeelliset esitiedot löytyvät usean muuttujan funktioiden differentiaalija integraalilaskennasta. Lisäksi tavallisten differentiaaliyhtälöiden perusteiden tunteminen ei ole haitaksi. Kurssin aikana kertynyttä materiaalia on saatavana osoitteessa http://www.maths.jyu.fi/ lehtonen/opetus/ody2006/. 1 Viimeksi muutettu 19.11.2006.
Kirjallisuutta [1] Arne Broman, Introduction to partial differential equations. From Fourier series to boundaryvalue problems, Dover Publications, Inc., 1989; alunperin Addison-Wesley, 1970. [2] Richard Courant und David Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik Band I, Dritte Auflage, Heidelberger Taschenbücher 30, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, 1924; Band II, Zweite Auflage, Heidelberger Taschenbücher 31, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, 1937. Kirjapari löytyy myös englanninkielisenä Methods of mathematical physics I&II ; osa I on lähinnä käännös, osa II on kirjoitettu suurelta osalta uudestaan. [3] Emmanuele DiBenedetto, Partial Differential Equations, Birkhäuser, 1995. [4] Gerald B. Folland, Introduction to partial differential equations, Mathematical Notes, Princeton University Press, 1976. [5] David Gilbarg and Neil S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Classics in Mathematics, Springer, 2001; alunperin Revised Third Printing, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 224, Springer-Verlag, 1998. [6] S. L. Sobolev, Partial differential equations of mathematical physics, Dover Publications, Inc., 1989; engl. käännös Pergamon Press, 1964. [7] S. Zaidman, Une introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles, Université de Montréal, 1989. [8] Stephen Abbott, Understanding analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2001. [9] Shmuel Agmon, Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, Van Nostrand Mathematical Studies #2, 1965. [10] Tom M. Apostol, Mathematical analysis, 2nd edition, 5th printing, Addison Wesley, 1981; ensimmäinen laitos 1957. [11] Vladimir I. Arnold, Ordinary differential equations, third edition, Springer, 1992; alkuperäinen venäjänkielinen 3. laitos 1984. [12] Martin Braun, Differential equations and their applications, Fourth edition, Springer, 1993. [13] Haïm Brezis, Analyse fonctionelle. Théorie et applications, 2 e tirage, Collection mathématiques appliqueés pour la maîtrise, Masson, 1987. [14] Richard Courant and F. John, Introduction to Calculus and Analysis, Volume I, Reprint of the 1989 Edition, Classics in Mathematics, Springer, 1999; Volume II/1, 2000; Volume II/2, 2000. [15] Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Third (enlarged and corrected) printing, Academic Press, 1969; alunperin Fondements de l Analyse Moderne, Gauthier Villars, 1960. [16] Jean Dieudonné, Infinitesimal Calculus, Hermann, Paris 1971; alunperin Calcul infinitésimal, Hermann, Paris 1968. [17] Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Inc., 1982; alunperin Holt-Rinehart-Winston, 1970. [18] Werner Greub, Lineare Algebra, Heidelberger Taschenbücher Band 179, Springer-Verlag, 1976; alunperin Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 97, 1958. [19] Karl E. Gustafson, Partial differential equations and Hilbert space methods, Second edition, John Wiley & Sons, 1987. [20] Edwin Hewitt and Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Third printing, Graduate Texts in Mathematics 25, Springer-Verlag, 1975. iii
KIRJALLISUUTTA iv [21] Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Dover Publications, Inc., 1976; alunperin John Wiley & Sons Inc., 1968. [22] A. Langenbach, Vorlesungen zur höheren Analysis, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1984. [23] Louis Nirenberg, Lectures on linear partial differential equations, second printing, CBMS Regional Conference Series in Mathematics 17, American Mathematical Society, 1976. [24] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Second edition, Tata McGraw-Hill, 1979; alunperin McGraw-Hill, 1966. [25] Laurent Schwartz, Theorie des distributions, Nouv. éd., corr., refondue et augm., Paris, 1966. Schwartz sai Fielsin mitalin distribuutioteoriastaan 1950. [26] Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, 2 e Èdition revue et corrigée. Hermann, 1965. [27] Michael Spivak, Calculus on Manifolds, Corrected printing, Addison-Wesley, 1968. [28] Karl Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth International Mathematics Series, 1981. [29] Mimitri Vvedensky, Partial differential equations with Mathematica, Addison-Wesley, 1993. [30] Friedrich Hirzebruch und Winfried Scharlau, Einführung in die Funktionalanalysis, Hochschultaschenbücher Band 296, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1971. [31] Lauri Kahanpää, Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua osa II, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, 2004. [32] Tosio Kato, Perturbation theory for linear operators, Reprint of the 1980 Edition, Classics in Mathematics, Springer, 1995; alunperin Corrected printing of the Second Edition, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 132, Springer-Verlag, 1980. [33] Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1972; II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, 1975. [34] Frigyes Riesz and Béla Sz.-Nagy, Functional Analysis, Dover Publications, Inc, 1990; alunperin Leçons d analyse fonctionelle, Académiai Kiadó, 1952; engl. käännös Functional Analysis, Frederick Ungar Publishing Co., 1955. [35] Walter Rudin, Functional Analysis, Tata McGraw-Hill, 1982; alunperin McGraw-Hill, 1973. [36] Laurent Schwartz, Analyse Hilbertienne, Collection Méthodes, Hermann, 1979. [37] Dirk Werner, Funktionalanalysis, Vierte, überarbeitete Auflage, Springer-Lehrbuch, Springer, 2002. [38] Kôsaku Yosida, Functional Analysis, Fourth Edition, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Band 123, Springer-Verlag, 1974.
MERKINTÖJÄ v Merkintöjä Merkintä Selitys N Luonnolliset luvut 0, 1, 2, 3,... Z + Positiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... Ω R n :n alue (avoin ja yhtenäinen osajoukko) Q Q = Ω (0, ) tai Q = Ω (0, T ) b (f g) f(x)g(x) dx, funktioiden f ja g sisätulo a b f 2 (f f) = a f(x)2 dx, funktion f normi f sup{ f(x) x D}, funktion f : D R sup-normi supp f joukon {x Ω f(x) 0} sulkeuma, kun f : Ω R on jatkuva α α 1 +... α n, kun α = (α 1,..., α n ) N n x α x α 1 1... x αn n, kun x = (x 1,..., x n ) R n ja α = (α 1,..., α n ) N n D α f α 1+ +α n f/ x α 1 1... x αn n, kun α = (α 1,..., α n ) N n C(Ω) jatkuvien funktioiden f : Ω R joukko C(Ω) f C(Ω), jotka voidaan laajentaa jatkuviksi sulkeumaan Ω C k (Ω) k kertaa jatkuvasti derivoituvat funktiot f : Ω R C k (Ω) f C k (Ω), joille D α f C(Ω), kun α k C b (Ω) f C(Ω), joille sup x Ω f(x) < Cb k(ω) f C(Ω), joille Dα f C b (Ω), kun α k C b (Ω) = C b (Ω) C(Ω) (= C(Ω), jos Ω on rajoitettu) Cb k(ω) f C b(ω), joille D α f C b (Ω), kun α k C c (Ω) f C(Ω), joille supp f on Ω:n kompakti osajoukko Cc k (Ω) = C c (Ω) C k (Ω) C (Ω) = k N Ck (Ω) C (Ω) = k N Ck (Ω) Cb (Ω) = k N Ck b (Ω) Cb (Ω) = k N Ck b (Ω) Cc (Ω) = k N Ck c (Ω)
Sisältö Esipuhe ii Kirjallisuutta iii Merkintöjä v 1. Määritelmiä 1 2. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöistä 2 2.1. Esimerkkejä 2 2.2. Pintaparvi 4 2.3. Karakteristiset käyrät I 5 2.4. Karakteristiset käyrät II 9 2.5. Cauchyn tehtävä 11 2.6. Cauchyn ja Kovalevksin lause 12 3. Lämmönjohtumisyhtälö I 15 4. Fourier n sarjoista 16 5. Lämmönjohtumisyhtälö: ratkaisun yksikäsitteisyys 22 5.1. Ratkaisun olemassaolo 24 6. Aaltoyhtälö I 28 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avulla 28 6.2. Muuttujanvaihto 30 6.3. Epähomogeeninen yhtälö 31 6.4. Energiaperiaate 32 6.5. Energiaperiaate lämmönjohtumisyhtälölle 33 6.6. Energiaperiaate II 34 7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista 36 7.1. Sturmin-Liouvillen tehtävät 41 7.2. Elliptiset operaattorit 43 8. Lämmönjohtumisyhtälö II 46 8.1. Lämpöydin 46 8.2. Operaattoripuoliryhmä 53 8.3. Matriisin eksponenttifunktio 55 8.4. Ratkaisun monotonisuudesta 58 9. Poissonin integraali 60 9.1. Poissonin integraali 60 9.2. Konjugaattifunktio 63 10. Maksimiperiaate Laplace-yhtälölle 66 10.1. Maksimiperiaate 66 10.2. Keskiarvo-ominaisuus 69 10.3. Harnackin epäyhtälö 76 11. Poissonin yhtälö 78 11.1. Perusratkaisu 78 11.2. Stokesin kaava 82 11.3. Greenin funktio 83 vi