0 (Ω) ovat Hilbertin avaruuksia, joissa sisätulo on
|
|
- Urho Mikkola
- 4 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 f ( n Funktionaalianalyysi n B. Sobolevin avaruudet 1 Ks. moniste 15.4 ja määritelmä Monisteen mukaan Banachin avaruus H 1,p (0, 1 on normiavaruuden C 1 p(0, 1 = {f C 1 (0, 1 f, f L p (0, 1} täydentymä, kun normina on f f p + f p. Toisinaan kätevämpi on tämän kanssa ekvivalentti normi f 1,p = ( 1/p. f p p + f p p Tätä normia käytetään jatkossa. Tällöin H 1,2 (0, 1 on Hilbertin avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f g 1,2 = (f g 2 + (f g 2, missä ( 2 on L 2 (0, 1:n tavallinen sisätulo. Olkoot R n rajoitettu alue ja 1 < p < sekä p = p/(p 1. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että on riittävän sileä (esim. reuna on (n 1- ulotteinen C -alimonisto R n :ssä. Merkitään k u = u/ x k, V = {u C 1 ( u L p (, k u L p (, k = 1,..., n}, ( n 1/p ( n 1/p, u 1,p = ( u p + k u p = u p p + k u p p ja H 1,p ( = avaruuden V täydentymä normin 1,p suhteen. Selvästi H 1,p ( L p (. Lisäksi k v p v 1,p kaikille v V, joten kuvaukset k : V L p ( laajenevat jatkuviksi lineaarikuvauksiksi D k : H 1,p ( L p (. Tämä laajennus määrätään seuraavasti: Olkoon u H 1,p ( ja (v j j=0 V siten, että u v j 1,p 0, kun j. Tällöin D k u on jonon ( k v j j=0 raja-arvo L p (:ssa. Olkoon Cc 1 ( kaikkien jatkuvasti derivoituvien funktioiden ϕ: R joukko, joille supp ϕ on kompakti. Kun ϕ Cc 1 (, on (distribuutioderivaatta ( D k u ϕ dx = lim k v j ϕ dx j ( = lim v j k ϕ dx = u k ϕ dx, j missä kohdassa ( on käytetty osittaisintegrointia. Huomaa, että Cc 1 ( L p ( ja että Hölderin epäyhtälön nojalla kuvaus w w ϕ on jatkuva lineaarifunktionaali L p ( R, kun ϕ Cc 1 (. Luentomonisteen määritelmän mukaisesti D k u on siis funktion u distribuutioderivaatta. Ks. myös jäljempänä kohtaa E, Sobolevin avaruuksien ominaisuuksia. Asetetaan H 1,p 0 ( = avaruuden C 1 c ( täydentymä normin 1,2 suhteen = aliavaruuden C 1 c ( sulkeuma H 1,p (:ssa. Avaruus H 1,p 0 ( on Sobolev-avaruuden H 1,p ( suljettu aliavaruus; sen avulla kuvataan funktioita, jotka häviävät alueen reunalla. Erityisesti H 1,2 ( ja H 1,2 0 ( ovat Hilbertin avaruuksia, joissa sisätulo on ( n (u v 1,2 = D k u D k v + u v dx. 1 S. L. Sobolev, Sur un théorème de l analyse fonctionelle, Mat. Sbornik 4 (46, 1938, (venäjänkielinen, tiivistemä ranskaksi. Sobolev käsitteli hekkojen derivaattojen avulla määriteltyjä funktiojoukkoja, ei normitäydentymää. Ks. E ja (5. 1
2 2 C. Laplacen yhtälö C.1. Heikko ratkaisu. Tarkastellaan yhtälöä (1 u + λu = f, missä u = n x 2 k 2 u, f on annettu funktio ja λ R, λ > 0. Etsimme yhtälölle ratkaisua u, joka toteuttaisi reunaehdon u(x = 0, kun x, t.s. etsimme Dirichlet n reuna-arvotehtävän { u + λu = f alueessa, u = 0 alueen reunalla, ratkaisua. Seuraavat tarkastelut hahmottavat ideoita, jotka täsmentämällä ongelmalle löydetään ratkaisu; tässä yksityiskohdat sivuutetaan. Jotta saisimme yhtälön muotoon, johon voidaan soveltaa funktionaalianalyyttisiä menetelmiä, kerrotaan yhtälö puolittain funktiolla v ja osittaisintegroidaan (oletetaan aluksi, että esiintyvät funktiot on riittävän säännöllisiä; kaksi kertaa jatkuvasti differentioituvia alueen reunaa myöten. Koska u = 0 reunalla, saadaan divergenssilauseen avulla ( u + λuv dx = ( n k u k v + λuv dx = ( n D k u D k v + λuv dx, missä u D k u on tavallisen derivaatan u k u laajennus Sobolev-avaruuteen H 1,2 0 (. Asetetaan ( n a λ (u, v := D k u D k v + λuv dx. Tällöin a λ (u, v on hyvinmääritelty kaikille u, v H 1,2 0 (, ja yhtälön (1 ratkaisulle u on (2 a λ (u, v = f v dx kaikille v H 1,2 0 (. Kääntäen, funktiota u H 1,2 0 (, joka toteuttaa ehdon (2, kutsutaan yhtälön (1 heikoksi ratkaisuksi. Kuten pian nähdään, heikon ratkaisun olemassaolo on helppo osoittaa. Sen sijaan se, millä ehdoilla heikko ratkaisu on klassinen ratkaisu (s.o. kahdesti jatkuvasti differentioituva :ssa ja jatkuva reunaa myöten, on hankalampi ongelma. C.2. Galerkinin menetelmä. Koska Hilbert-avaruus H 1,2 0 ( separoituva, on olemassa jono (e j j H 1,2 0 ( siten, että (i e j ovat lineaarisesti riippumattomat, ja (ii span{e 1, e 2,...} = {e 1, e 2,...} on tiheä avaruudessa H 1,2 0 (. Tällöin aliavaruudet V n := span{e 1, e 2,..., e n } muodostavat kasvavan jonon H 1,2 0 (:n aliavaruuksia, joille n V n on tiheä avaruudessa H 1,2 0 (. Bilineaarimuoto (u, v a λ (u, v rajoitettuna avaruuteen V n V n on positiivinen ja sitä vastaava matriisi A kannan {e 1, e 2,..., e n } suhteen on kääntyvä. Kuvaus v
3 f v dx, V n R, on lineaarinen ja sitä vastaa vektori F R n. Täten yhtälöllä Au = F eli (3 a λ (u, v = f v dx, kaikille v V n on yksi (ja vain yksi ratkaisu u = u n avaruudessa V n. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että λ 1. Määrätään ratkaisuille u n a-priori -arvio. Sijoittamalla yhtälöön (3 v = u n, saadaan Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla u n 2 1,2 a λ (u n, u n = f u n dx f 2 u n 2 f 2 u 1,2, joten u n 1,2 f 2. Siis jono ( u n 1,2 n on rajoitettu. Koska Hilbert-avaruus on refleksiivinen, ja refleksiivisen avaruuden rajoitettu ja suljettu joukko on heikosti jonokompakti, on jonolla (u n n heikosti suppeneva osajono. Tämä tarkoittaa, että on olemassa osajono, jota edelleen merkitään (u n n, ja u H 1,2 0 ( siten, että u n u heikosti, eli (u n v 1,2 (u v 1,2 kaikille v H 1,2 0 (. Rellichin lemman nojalla upotuskuvaus H 1,2 0 ( L 2 ( on kompakti operaattori. Tästä seuraa, että heikosti suppeneva jono (u n n suppenee L 2 (:ssa. Tällöin kaikille v H 1,2 0 ( on a λ (u n, v a λ (u, v, kun n. Yhtälöstä (3 päädytään haluttuun yhtälön (1 seuraavasti: Olkoon k N ja v k V k. Valitaan n k. Tällöin yhtälöstä (3 saadaan a λ (u n, v k = f v k dx, ja kun n, on (4 a λ (u, v k = f v k dx. Kun v H 1,2 0 ( on mielivaltainen, on olemassa jono (v k k siten, että v k V k ja v k v, kun k. Haluttu yhtälö (1 saadaan, kun yhtälössä (4 annetaan k. Huomautus C.1. (i Rellichin lemman käyttö edellä on jossain määrin turhaa, mutta sen avulla on helppo tehdä seuraava yleistys: yhtälössä (1 termi λu voidaan korvata termillä a(xu, missä a L ( ja jollakin λ > 0 on voimassa a(x λ m.k. x. (ii Edellä selitettyä menetelmää, approksimointia äärellisulotteisilla aliavaruuksilla, voidaan käyttää myös joidenkin epälineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseen, esim. u+g(u = f, missä g : R R. Tällöin aliavaruuden V n yhtälön Au = F vastine on epälineaarinen ja jo sen ratkaiseminen voi olla mutkikasta. (iii Tilanne on mutkikkaampi, kun λ 0. Tällöin homogeenisella yhtälöllä u+ λu = 0 voi olla ratkaisuja u H 1,2 0 (, u 0. Tällaiset funktiot u ovat yhtälön (1 ominaisfunktioita ja vastaavat luvut λ ominaisarvoja. Esimerkiksi, jos = (0, π (0, π, niin ainakin funktiot u(x, y := sin(nx sin(my ovat reuna-arvotehtävän u + λu = 0, u = 0, ratkaisuja, kun λ := n 2 m 2, 3
4 4 ja n, m N. Tilanteen tarkempi selvittely onnistuu perehtymällä kompaktien operaattorien spektraalieoriaan ja Fredholmin vaihtoehtolauseeseen. D. Laxin ja Milgramin lemma Seuraava lemman avulla yhtälön (2 ratkaisun olemassaolo on helppo näyttää. Lause D.1 (Laxin ja Milgramin lemma. Olkoot H reaalinen Hilbertin avaruus ja B : H H R jatkuva bilineaarimuoto, t.s. on olemassa M R s.e. kaikille x, y, z H ja λ, µ R (i B(λx + µy, z = λb(x, z + µb(y, z, (ii B(x, λy + µz = λb(x, y + µb(x, z, (iii B(x, y M x y. Oletetaan lisäksi, että B on koersiivinen, t.s että (iv on olemassa c > 0 s.e. B(x, x c x 2 kaikille x H. Tällöin jokaiselle f H on olemassa yksikäsitteinen v H s.e. B(v, y = f(y kaikille y H. Todistus. Olkoot x H ja g(y = B(x, y. Ehdon (ii nojalla g on lineaarinen, ja ehdon (iii nojalla g(y = B(x, y M x y, joten g on jatkuva. Siis g H, ja Fréchet n ja Rieszin esityslauseen nojalla on olemassa yksikäsitteinen z H s.e. g(y = (z y kaikille y H. Merkitään Ax = z. Tällöin B(x, y = (Ax y kaikille y H. Korvataan x lineaarikombinaatiolla λx + µz. Tällöin (A(λx + µz y = B(λx + µz, y = (i λb(x, y + µb(z, y = λ(ax y + µ(az y = (λax + µaz y. Yksikäsitteisyyden perusteella A(λx + µz = λax + µaz, joten A on lineaarinen. Sijoitetaan y = Ax ehdossa B(x, y = (Ax y. Tällöin (Ax Ax = B(x, Ax (iii M x Ax, joten Ax M x, ja A on siis jatkuva. Operaattori A on injektio, sillä jos Ax = 0, on 0 = (Ax x = B(x, x c x 2, joten x = 0. Itse asiassa yleisemmin on voimassa epäyhtälö Ax c x kaikille x H: c x 2 B(x, x = (Ax x Ax x. Operaattori A on surjektio: Oletaan aluksi, että kuvajoukko A(H =: H 0 on suljettu. Tehdään antiteesi: H 0 H. Tällöin on olemassa y H s.e. y H 0 ja y 0, t.s. (Ax y = 0 kaikille x H. Erityisesti 0 = (Ay y = B(y, y c y 2, joten y = 0. Siis antiteesi on väärä. Kuvajoukko on suljettu: Olkoot y H 0 ja (y n n H 0 s.e. y n y. Olkoon x n H s.e. Ax n = y n. Tällöin epäyhtälön Ax c x nojalla c x n x m A(x n x m = y n y m. Koska jono (y n n on Cauchyn jono, on myös (x n n Cauchyn jono. Olkoon x = lim n x n. Tällöin y = lim n y n = lim n Ax n = Ax A(H. Fréchet n ja Rieszin lauseen nojalla on olemassa F H s.e. f(y = (F y kaikille y H. Nyt B(v, y = f(y kaikille y H (Av y = (F y kaikille y H Av = F. Koska A on isomorfismi, tällainen v löytyy ja se on yksikäsitteinen. Esimerkki D.2. Yhtälön (2 ratkeavuus seuraa helposti Laxin ja Milgramin lemmasta. Ensinnäkin, välittömästi nähdään, että bilineaarimuoto a λ toteuttaa edellisen lauseen ehdot. Erityisesti, jos λ = 1, a 1 on H 1,2 0 (:n sisätulo, jollainen aina toteuttaa Laxin ja Milgramin lemman ehdot. Toisekseen, kun f L 2 (, on v f v dx
5 jatkuva lineaarifunktionaali H 1,2 0 ( R: f v dx f 2 v 2 f 2 v 1,2. Erityisesti yhtälön a 1 (u, v = f v dx v H1,2 0 ( ratkeavuus seuraa suoraan Fréchet n ja Rieszin esityslauseesta. Poincarén epäyhtälön (Lause E.10 nojalla myös arvo λ = 0 kelpaa: yhtälöllä u = f on yksikäsitteinen heikko ratkaisu u H 1,2 0 (. Laxin ja Milgramin lemman vahvuus on kuitenkin siinä, että sen nojalla myös seuraavalla, huomattavasti yleisemmällä reuna-arvotehtävällä on ratkaisu: Olkoon ( n a(u, v := a j,k D j u D k v + a 0 uv dx, kun u, v H 1,2 0 (, j, missä a j,k, a 0 L (. Oletetaan, että on olemassa c > 0 siten, että n a j,k (xξ j ξ k c ξ 2 ja a 0 (x c m.k. x. j, Tällöin a(u, v toteuttaa Laxin ja Milgramin lemman ehdot. Lemman nojalla yhtälöllä a(u, v = f v dx v H1,2 0 ( on siis tasan yksi ratkaisu. Tämän yhtälön ratkaisu u H 1,2 0 ( voidaan tulkita seuraavan (ns. divergenssimuotoisen 2 reunaarvotehtävän ratkaisuksi n D k (a j,k D j u = f alueessa, j, u = 0 reunalla. E. Sobolevin avaruuksien ominaisuuksia Funktiolla u L p ( on heikko derivaatta (eli distribuutioderivaatta u j L 1 loc ( muuttujan x j suhteen, jos (5 u v dx = u j v dx kaikille v Cc 1 (. x j Tässä joukko L 1 loc ( koostuu kaikista mitallisista funktioista u: R, joille u K L 1 (K kaikille kompakteille joukoille K. Koska C 1 c ( on L p (:n tiheä aliavaruus, on heikko derivaatta yksikäsitteinen silloin, kun se on olemassa. Merkitään D j u = u j = u:n heikko derivaatta muuttujan x j suhteen. Asetetaan W 1,p ( = {u L p ( D j u L p ( j = 1,..., n}, ja 3 ( n 1/p. u 1,p = u p p + D j u p p j=1 5 2 Kun merkitään A(x = (a j,k (x n j,, voidaan yhtälö esittää muodossa div(a(x u = f. 3 Sobolevin avaruuksille on historiallisista syistä johtuen kaksi erilaista määritelmää ja myös kaksi erilaista merkintää, H ja W, vaikka Meyersin ja Serrinin lauseen perusteella kyse onkin samasta avaruudesta. Näin myös W 1,p 0 ( tarkoittaa samaa kuin H 1,2 0 (. Lisäksi tapauksessa p = 2 käytetään usein merkintöjä H 1 ( = H 1,2 ( ja H0 1 ( = H 1,2 0 (. Myös merkintöjä H1 p(, H 1,p (, jne. käytetään.
6 6 Lause E.1 (Meyers ja Serrin. H = W. 4 Tarkemmin sanottuna H 1,p ( = W 1,p (. Lisäksi heikko derivaatta D j u on sama kuin tavallisen derivaatan laajennus jatkuvaksi lineaarikuvaukseksi D j : H 1,p ( L p (. Inkluusio H W on helppo todeta. Osittaisintegroinnilla nähdään, että C 1 ( H 1,p ( W 1,p (. Kun u H 1,p (, on olemassa jono (v n n=1 C 1 ( H 1,p ( siten, että v n u H 1,p (:ssä. Tällöin v n u L p (:ssa ja on olemassa u j L p ( siten, että j v n u j L p (:ssa. Koska Cc 1 ( L p (, saadaan Hölderin epäyhtälön nojalla kaikille v Cc 1 ( v v n dx x j u v v n dx ja v dx u j v dx x j x j Lause E.2. Aliavaruus C 1 ( koostukoon jatkuvista funktioista u: R siten, että niiden osittaisderivaatat u x j : R voidaan jatkaa jatkuviksi funktioiksi R. Tällöin C 1 ( on W 1,p (:n tiheä aliavaruus. Itse asiassa voidaan osoittaa, että myös Cc (R n on W 1,p (:n tiheä aliavaruus. Tämä tarkoittaa, että kaikille ε > 0 ja u W 1,p ( on olemassa v Cc (R n siten, että v u 1,p ε. Monien Sobolevin avaruuksien ominaisuuksien tarkasteluissa voidaan vedota L p - avaruuksien vastaaviin ominaisuuksiin. Osa ominaisuuksista periytyy tuloavaruuteen (L p ( n+1, kun se varustetaan normilla ( n 1/p. (f 0,..., f n = f j p p Tällöin kuvaus W 1,p ( (L p ( n+1, u (u, D 1 u,..., D n u, on isometrinen upotus. Koska W 1,p ( on täydellinen, voidaan se tulkita tulon (L p ( n+1 suljetuksi aliavaruudeksi. j=0 Lause E.3. Kun 1 < p <, on W 1,p ( separoituva. Lause E.4. Kun 1 < p <, on W 1,p ( tasaisesti konveksi ja siis refleksiivinen. Tämän todistamisessa voidaan vedota L p (:n tasaiseen konveksisuuteen. Tällöin myös (L p ( n+1 on tasaisesti konveksi, kun tulojoukossa normina käytetään juuri yllä valittua normia. Tällöin sen suljettu aliavaruus W 1,p ( on tasaisesti konveksi. Lause E.5 (Rellichin lemma. Upotus W 1,p ( L p ( on kompakti. Tässä tilanteeessa upotuksen kompaktisuus tarkoittaa, että jokainen W 1,p (:ssa heikosti suppeneva jono suppenee L p (:n normin mielessä, tai yhtäpitävästi, että jokaisella W 1,p (:n rajoitetulla jonolla on L p (:n normin mielessä suppeneva osajono. Yleisemmin on voimassa: Upotus W 1,p 0 ( L p ( on kompakti jokaiselle rajoitetulle alueelle. Sen sijaan mielivaltaiselle alueelle upotuksen W 1,p ( L p ( ei tarvitse olla kompakti; ks. [4, Band II, VII.8.2]. 4 Lause tunnetaan Meyersin ja Serrinin lauseena (vuodelta 1964, koska heidän julkaisemansa artikkeli, jonka otsikko on juuri H = W, sisälsi k.o. tuloksen helppolukuisessa muodossa. Saman tuloksen olivat kuitenkin jo aiemmin todistaneet Friedrichs (1944, Deny ja Lions ( , Gagliardo (1958 ja Babich (1953.
7 Lause E.6 (Sobolevin upotuslause. (i Jos 1 p < n, niin W 1,p ( L p (, missä 1 = 1 1. p p n (ii Jos p = n, niin W 1,p ( L q ( kaikille q [1,. (iii Jos p > n, niin W 1,p ( C(. Lisäksi jokainen u W 1,p ( on Hölderjatkuva eksponentilla α = 1 n/p, t.s. on olemassa vakio M siten, että u(x u(y M x y α kaikille x, y. Tässä viimeiseen kohtaan on syytä tehdä seuraava täsmennys: jokaiselle u W 1,p ( on olemassa u 0 C( siten, että u(x = u 0 (x m.k. x. Koska kaksi L p -funktiota samastetaan, jos ne eroavat toisistaan vain nollamittaisessa joukossa, ei L p -funktion f rajoittuma f reunalle ole mielekäs. Toisaalta, jatkuvalla funktiolle u C( rajoittuma u on reunalla jatkuva funktio. Sobolevin upotuslauseen nojalla voidaan toivoa, että Sobolevin avaruuden funktiolle jotain parempaa kuin L p -funktioille on voimassa. Lemma E.7. Olkoon = R n 1 (0, = {x = (x, x n R n x R n 1, x n > 0}. Tällöin on olemassa vakio C > 0 siten, että ( 1/p u(x, 0 p dx C u 1,p u Cc 1 (R n. R n 1 Lause E.8 (Jälki. Rajoittuma C 1 ( C(, u u, voidaan laajentaa jatkuvaksi lineaarikuvaukseksi W 1,p ( L p (, λ, missä λ on Lebesguen (n 1- ulotteinen mitta reunalla. Lause E.9. Sobolevin avaruuden W 1,p 0 ( duaali (W 1,p 0 ( =: W 1,p (, missä 1 < p < ja = 1, koostuu lineaarikuvauksista F : W 1,p p p 0 ( R siten, että on olemassa f 0,...,f n L p (, joille n F (v = f 0 v dx + f j D j v dx kaikille v W 1,p 0 (. Muodollisesti siis (tai distribuutioteorian mielessä on F = f 0 n j=1 D jf j. Lause E.10 (Poincarén epäyhtälö. On olemassa vakio C siten, että ( n 1/p v p C D j v p p kaikille v W 1,p 0 (. j=1 Poincarén epäyhtälön nojalla normit 1,p ja v ( n j=1 D jv p p 1/p ovat ekvivalentteja normeja Sobolevin avaruudessa W 1,p 0 (. Lause E.11 (Poincarén ja Wirtingerin epäyhtälö. Olkoon sileä ja konveksi. Tällöin on olemassa vakio C siten, että ( n 1/p v v p C D j v p p j=1 j=1 7
8 8 kaikille v W 1,p (, missä on :n mitta ja v = 1 :ssa. v(x dx = v:n keskiarvo Lemma E.12. Olkoon G: R R jatkuvasti derivoituva siten, että G(0 = 0 ja G on rajoitettu. Kun u W 1,p (, on G u W 1,p ( ja (G u = (G u u. x j x j Tämä on kohtalaisen helppo nähdä vetoamalla Sobelevin avaruuden täydentymämääritelmään. Olkoon (u n n=1 C 1 ( W 1,p ( jono siten, että u n u W 1,p (:ssa. Olkoon G (t M. Tällöin väliarvolauseen nojalla G(u n G(u M u n u, josta seuraa, että G(u n G(u L p (:ssa. Toisaalta, G(u n x j = G (u n u n x j G (ud j u, kun n. Nimittäin, G (u n u ( n G (ud j u = G un (u n D j u + (G (u n G (ud j u =: A n + B n. x j x j Tässä A n 0 L p (:ssa. Toisaalta, B n 0 m.k. ja B n p (2M p D j u p L 1 (, joten Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseen nojalla B n 0 L p (:ssa. Huomattavasti vaikeampi on näyttää, että funktion G jatkuvasta derivoituvuudesta voidaan luopua. Esimerkiksi, jos G on jatkuva ja paloittain jatkuvasti derivoituva siten, että G(0 = 0 ja G on rajoitettu, niin edellisen lauseen väite pätee. Näin esimerkiksi max{u, 0} W 1,p (, kun u W 1,p (. F. Konveksi projektio Muistutus: Vektoriavaruuden H osajoukko K on konveksi, jos u, v K = (1 tu + tv K kaikille t [0, 1]. Lause F.1. Olkoot H reaalinen Hilbertin avaruus, K H epätyhjä suljettu, konveksi joukko ja f H. Tällöin on olemassa tasan yksi u K siten, että (6 f u = min f v. v K Piste u voidaan karakterisoida ehdolla (7 u K ja (f u v u 0 kaikille v K. Lähin piste u =: P K f on vektorin f konveksi projektio joukolle K. Todistus. Olkoon d = inf v K f v. Tällöin on olemassa jono (v k K siten, että d k := f v k d, kun k. Osoitetaan, että jono (v k on Cauchyn jono. Suunnikassäännön nojalla 5 f v k + v l 2 + v k v l 2 = (d2 k + d 2 l. Koska K on konveksi, on v k+v l K. Siis f v k+v l 2 d 2, joten 2 2 v k v l (d2 k + d 2 l d 2 0, 5 a + b 2 + a b 2 = 2 a b 2 ; valitse a = f v k ja b = f v l.
9 kun k, l. Tästä seuraa, että jono (v k on Cauchyn jono. Koska H on täydellinen, on jonolla raja-arvo u H. Koska v k K ja K on suljettu, on u = lim k v k K. Ratkaisu on yksikäsitteinen: Jos u on toinen lähin piste, niin suunnikassäännön nojalla saadaan f u + u 2 + u u 2 = (d2 + d 2 = d 2. Tässä u+u K, joten f u+u 2 d 2. Siis 2 2 u u 2 d 2 d 2 = 0, 2 joten u u = 0. Ehtojen (6 ja (7 yhtäpitävyys, (6 = (7: Olkoot w V ja v = (1 tu + tw, missä t (0, 1]. Tällöin v K, joten f u f v = (f u t(w u. Tällöin f u 2 f u 2 2t(f u w u + t 2 w u 2. Siis 2(f u w u t w u 2, josta epäyhtälö (7 seuraa, kun t 0. (7 = (6: Toteuttakoon u K ehdon (7. Tällöin u f 2 v f 2 = u f 2 (v u+(u f 2 = u v 2 +2(u f v u 0 kaikille v K. Huomautus F.2. Lauseen ensimmäinen väite, lähimmän pisteen olemassaolo ja yksikäsitteisyys, ei edellytä avaruuden reaalisuutta. Seuraus F.3. Olkoot H (reaalinen tai kompleksinen Hilbertin avaruus, V H suljettu aliavaruus ja f H. Tällöin on olemassa tasan yksi u V siten, että f u = min f v. v V Piste u voidaan karakterisoida ehdolla u V ja f u V. Todistus. Suljettu aliavaruus on suljettu ja konveksi, joten lähimmän pisteen olemassaolo ja yksikäsitteisyys seuraavat edellisestä lauseesta. Tapauksessa K = R, saadaan ehdon (7 nojalla kaikille v V ja t > 0, joten (f u tv u 0 (f u v t 1 (f u u. Kun t, saadaan (f u v 0. Vaihtamalla v vastavektorikseen, saadaan (f u v 0. Kääntäen, jos u V ja f u V, niin kaikille v V saadaan (f u v u = (f u v (f u u = 0. 9
10 10 Tapaus K = C: Lainataan edellisen lauseen ehtojen (7 ja (6 yhtäpitävyyden todistusta. Toteuttakoon u K ehdon (6. Olkoot w V ja v = u + tw, missä t C, jolloin v V. Tällöin Kun t > 0, saadaan f u 2 f u 2 2 Re(f u tw + tw 2. 2 Re(f u w t w 2. Kun t 0, saadaan Re(f u w 0. Korvaamalla w vastavektorillaan, saadaan Re(f u w 0, joten Re(f u w = 0. Korvaamalla w vektorilla iw, saadaan 0 = Re(f u iw = Im(f u w, joten (f u w = 0. Kääntäen olkoon u V ja f u V. Tällöin kaikille v K on v u V, joten Pythagoraan lauseen nojalla u f 2 v f 2 = u f 2 (v u + (u f 2 = u v 2 0. Huomautus F.4. Kun V H on suljettu aliavaruus, on konveksi projektio f P V f jatkuva lineaarikuvaus, ja sitä on tapana kutsua ortogonaaliprojektioksi. Konveksille joukolle K H konveksi projektio f P K f on Lipschitz-jatkuva (todistus: HT. Esimerkki F.5. Tarkastellaan konveksia projektiota yhtälöön (1 liittyen. Olkoon ( n a λ (u, v := D k u D k v + λuv dx, kun u, v W 1,2 (. Tällöin a 1 on Sobolevin avaruuden W 1,2 ( sisätulo, a 1 (u, v = (u v 1,2. Kun K W 1,2 ( on epätyhjä, suljettu ja konveksi joukko, on pisteen F W 1,2 ( konveksille projektiolle u K voimassa a 1 (F u, v u 0 kaikille v K. Olkoon f L 2 (. Tällöin v f(xv(x dx on jatkuva lineaarifunktionaali W 1,2 ( R, joten Fréchet n ja Rieszin esityslauseen nojalla on olemassa F W 1,2 ( siten, että f(xv(x dx = a 1(F, v kaikille v W 1,2 (. Tässä tilanteessa konveksin projektion karakterisoi variaatioepäyhtälö (8 a 1 (u, v u f(x(v(x u(x dx kaikille v K. Pisteen F konveksille projektiolle u yhtäpitävä ehto on, että u minimoi etäisyyden v F 1,2 tai yhtäpitävästi normin neliön v F 2 1,2. Koska v F 2 1,2 = v 2 1,2 2(F v 1,2 + F 2 1,2 ja F 2 1,2 on vakio, on F :n konveksi projektio u K myös seuraavan minimiongelman ratkaisu: { } 1 min a 2 1(v, v f(xv(x dx v K. Erityisesti, kun valitaaan K = W 1,2 0 (, joka on W 1,2 (:n suljettu aliavaruus, ovat seuraavat tehtävät yhtäpitäviä (muista: nyt epäyhtälöehdon sijasta on käytettävissä
11 ehto u F K eli (u F v 1,2 = 0 v K: u W 1,2 0 ( ja (9 a 1 (u, v = f(xv(x dx kaikille v W 1,2 0 (; (10 u minimoi funktion v 1a 2 1(v, v f(xv(x dx W 1,2 0 (:ssa. Dirichlet n periaatteeksi kutsutaan menetelmää ratkaista yhtälö (9 etsimällä tehtävälle (10 ratkaisu. Huomaa, että tässä minimoitavana on ( v(x 2 + v(x 2 dx f(xv(x dx. 1 2 Kun Dirichlet n periaatetta 1800-luvulla käytettiin osoittamaan, että Dirichlet n tehtävällä on ratkaisu, sorrutiin usein siihen yksinkertaiseen virheeseen, että inf = min. Minimoitavana oleva funktio (10 on helppo todeta alaspäin rajoitetuksi, joten sen alarajojen joukosta löytyy suurin. Mutta kuten konveksin projektion olemassaolotodistuksesta tiedämme, ei ole selvää, että minimoiva jono suppenisi. Suppenevuuden takaamiseksi projektiolauseessa oletetaan, että tarkasteltava sisätuloavaruus on täydellinen. Kun minimiä 1800-luvulla tavoiteltiin, ei käytössä ollut Sobolevin avaruuksia vaan ratkaisuksi koitettiin etsiä liian sileitä funktioita. Edelliset tarkastelut voidaan jälleen helposti yleistää: Olkoon ( n a(u, v = a j,k D j u D k v + a 0 uv dx, kun u, v W 1,2 (, j, missä a j,k, a 0 L (. Oletetaan, että a j,k = a k,j ja että on olemassa c > 0 siten, että n a j,k (xξ j ξ k c ξ 2 ja a 0 (x c m.k. x. j, Tällöin (u, v a(u, v toteuttaa sisätulolle asetetut ehdot. Lisäksi u a(u, u on Sobolevin avaruuden W 1,2 ( normin 1,2 kanssa ekvivalentti normi. Dirichlet n periaatteen muotoilu tähän tapaukseen jääköön harjoitustehtäväksi. Esimerkki F.6. (Jatkoa: esteongelma. Tarkastellaan vielä konveksiin joukkoon K = {v W 1,2 0 ( v ψ} liittyvää tilannetta. Tässä ψ W 1,2 ( siten, että ψ 0 reunalla. Jokaiselle f L 2 ( varaatioepäyhtälöllä (8 on siis tasan yksi ratkaisu u K. Ratkaisu u W 1,2 0 ( voidaan tulkita seuraavan ongelman ratkaisuksi: Olkoon I = {x u(x = ψ(x}. Tällöin u ψ alueessa, u + u f alueessa, u + u = f joukossa \ I. u = ψ joukossa I, u = 0 reunalla, 11
12 12 Viitteet [1] Tom M. Apostol, Mathematical analysis, 2nd edition, 5th printing, Addison Wesley, 1981; ensimmäinen laitos [2] Stefan Banach, Theory of Linear Operations, North Holland Mathematical Library, 1987; alunperin Théorie des operations linéares, Monografie Matematyczne 1, Warszawa, [3] Haïm Brezis, Analyse fonctionelle. Théorie et applications, 2 e tirage, Collection mathématiques appliqueés pour la maîtrise, Masson, [4] Richard Courant und David Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik Band I, Dritte Auflage, Heidelberger Taschenbücher 30, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, 1924; Band II, Zweite Auflage, Heidelberger Taschenbücher 31, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, [5] Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Third printing, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 61, SIAM, [6] Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Third (enlarged and corrected printing, Academic Press, 1969; alunperin Fondements de l Analyse Moderne, Gauthier Villars, [7] Jean Dieudonné, Infinitesimal Calculus, Hermann, Paris 1971; alunperin Calcul infinitésimal, Hermann, Paris [8] Gerald B. Folland, Introduction to partial differential equations, Mathematical Notes, Princeton University Press, [9] Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Inc., 1982; alunperin Holt-Rinehart-Winston, [10] Werner Greub, Lineare Algebra, Heidelberger Taschenbücher Band 179, Springer-Verlag, 1976; alunperin Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 97, [11] Edwin Hewitt and Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Third printing, Graduate Texts in Mathematics 25, Springer-Verlag, [12] Friedrich Hirzebruch und Winfried Scharlau, Einführung in die Funktionalanalysis, Hochschultaschenbücher Band 296, Bibliographisches Institut, Mannheim, [13] Lauri Kahanpää, Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua osa II, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, [14] Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Dover Publications, Inc., 1976; alunperin John Wiley & Sons Inc., [15] A. Langenbach, Vorlesungen zur höheren Analysis, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin [16] Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1972; II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, [17] Frigyes Riesz and Béla Sz.-Nagy, Functional Analysis, Dover Publications, Inc, 1990; alunperin Leçons d analyse fonctionelle, Académiai Kiadó, 1952; engl. käännös Functional Analysis, Frederick Ungar Publishing Co., [18] Walter Rudin, Functional Analysis, Tata McGraw-Hill, 1982; alunperin McGraw-Hill, [19] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Second edition, Tata McGraw-Hill, 1979; alunperin McGraw-Hill, [20] Laurent Schwartz, Analyse Hilbertienne, Collection Méthodes, Hermann, [21] Karl Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth International Mathematics Series, [22] Dirk Werner, Funktionalanalysis, Vierte, überarbeitete Auflage, Springer-Lehrbuch, Springer, [23] Kôsaku Yosida, Functional Analysis, Fourth Edition, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Band 123, Springer-Verlag, 1974.
on Hilbertin avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f g) 1,2 = (f g) 2 + (f g ) 2, missä ( ) 2 on L 2 (0, 1):n tavallinen sisätulo.
f ( n n 6. Sobolevin avaruudet 1 Monisteen [7, 15.4 ja määritelmä 15.26] mukaan Banachin avaruus H 1,p (0, 1 on normiavaruuden C 1 p(0, 1 = {f C 1 (0, 1 f, f L p (0, 1} täydentymä, kun normina on f f p
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt, sl Ari Lehtonen
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt, sl. 2006 Ari Lehtonen Esipuhe Tätä tekstiä kirjoitettaessa on käytetty apuna lähinnä viiteluettelossa mainittuja kirjoja [1] ja [7] sekä [4] (vähänlaisesti) ja [3] (varsin
LisätiedotFunktionaalianalyysi. että näiden laajennusten joukossa on maksimaalinen laajennus. Työläin kohta todistuksessa
f ( n) Funktionaalianalyysi n H. Hahnin ja Banachin sublineaarikuvauslause Määritelmä H.1. Olkoon E vektoriavaruus. Kuvaus p: E R on sublineaarinen, jos a) p(λx) = λp(x) kaikille λ 0, x E, b) p(x + y)
LisätiedotZornin lemman nojalla joukossa E on siis maksimaalinen alkio (G, g). Kun näytetään, että G = E, niin väite on todistettu (L := g kelpaa).
f ( n) n 9. Hahnin ja Banachin lauseista 9.1. Sublineaarikuvauslause. Seuraavassa erilaisiin Hahnin ja Banachin lauseisiin lähdetään tutustumaan puhtaasti lineaarialgebrallisesta versiosta. Määritelmä
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
Lisätiedotarvoja. Niiden muodostamaa joukkoa kutsutaan T resolventtijoukoksi ja merkitään
f ( n) Funktionaalianalyysi n J. Kompaktien operaattorien spektri Seuraavassa käsitellään lyhyesti rajoitettujen operaattorien spektraaliteoriaa ja erityisesti Fredholmin-Rieszin-Schauderin teoriaa kompaktien
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotMathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Funktionaalianalyysi Sekalaisia harjoituksia MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Jatkuu... Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into
LisätiedotMerkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä
Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 4 4. Yleistetty Cantorin joukko 5 5. Vito Volterran esimerkki 6 6. Analyysin peruslauseesta 8 Kirjallisuutta 9. Cantorin
Lisätiedot4. Hilbertin avaruudet
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006 ja kevät 2008 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 hienosäätöä)
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedotp-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta
p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta Jarkko Siltakoski Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 R N x alue B(x 0, r) E E E int E E U E Merkintöjä
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedotr 1 Kuva 1. Cantorin joukon ensimmäiset sukupolvet. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä s=1
Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 5 4. Yleistetty Cantorin joukko 6 5. Vito Volterran esimerkki 7 6. Analyysin peruslauseesta 9 Kirjallisuutta. Cantorin
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
LisätiedotHILBERTIN AVARUUKSISTA
HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotB k := on tiheä G δ -joukko.
f ( n) n 7. Tasaisen rajoituksen periaatteesta 7.1. Singulariteettien kondensaatioperiaate. Täydennetään luentomonisteessa [6, 19] esitettyjä tasaisen rajoituksen periaatetta ja Banacin ja Steinausin lausetta
Lisätiedot9. Dualiteetti. Todistus. Väite seuraa suoraan Lauseesta 6.6, koska skalaarikunta K on täydellinen.
128 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 9. Dualiteetti Jos E on vektoriavaruus, niin merkintä E = L(E, K) tarkoittaa avaruuden E algebrallista duaalia. Duaalin E ovat avaruuden E lineaarisia muotoja. Jos
Lisätiedotvan der Waals-Cahn-Hilliardin energiafunktionaalin minimointiongelma
van der Waals-Cahn-Hilliardin energiafunktionaalin minimointiongelma Miikka Kuisma Pro Gradu-tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2019 Tiivistelmä: Miikka Kuisma,
LisätiedotDirichlet n reuna- ja ominaisarvotehtävät eräälle ei-hypoelliptiselle differentiaalioperaattorille
Dirichlet n reuna- ja ominaisarvotehtävät eräälle ei-hypoelliptiselle differentiaalioperaattorille Jussi Ilmari Pehkonen Matematiikan laitos Helsingin yliopisto 30.5.1996 URN:NBN:fi-fe19991250 (PDF-versio)
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä
Lisätiedot1 Lineaarialgebraa Vektoriavaruus Lineaarikuvaus Zornin lemma ja Hamelin kanta... 10
Sisältö I Banachin avaruudet 5 1 Lineaarialgebraa 7 1.1 Vektoriavaruus................................. 7 1.2 Lineaarikuvaus................................. 8 1.3 Zornin lemma ja Hamelin kanta........................
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotA posteriori-virhearvio Uzawan algoritmille Stokesin yhtälön ratkaisemiseksi
A posteriori-virhearvio Uzawan algoritmille Stokesin yhtälön ratkaisemiseksi Tommi Brander Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2010 Sisältö
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSI 2017
FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 JOUNI PARKKONEN Nämä ovat muistiinpanoni funktionaalianalyysin kurssille kevätlukukaudella 2017. Tekstiä ei ole luettu äärimmäisen huolella puhtaaksi eikä sitä ole viilattu julkaisemista
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Lukijalle Nämä ovat muistiinpanoni metristen avaruuksien kurssille syyslukukaudella 2017. Kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Peruskäsitteiden (metriikka,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotKompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta
Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Lauri Horttanainen Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008 Sisältö Johdanto 2 1. Sisätuloavaruuden
Lisätiedot2. Normi ja normiavaruus
8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotVariaatiolaskenta. Petri Juutinen
Variaatiolaskenta Petri Juutinen 25. lokakuuta 25 Sisältö Johdanto 2 2 Ääriarvo-ongelmista R n :ssä 2. Puolijatkuvuus................................ 2.2 Konveksit joukot ja funktiot.........................
Lisätiedot4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä
LisätiedotEsimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi
. Pinnoista.. Pinnan määritelmästä. Monisteen [] määritelmän 4.. mukainen pinta S on sama olio, jollaista abstraktimmassa differentiaaligeometriassa kutsutaan avaruuden R n alimonistoksi (tarkemmin upotetuksi
Lisätiedot5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π
78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
LisätiedotOlkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on
1. Differentiaalimuodon integraalista II 1.1. ektorikentän pintaintegraali. (Ks. [2, 2.1] ja [2, 2.2.2] Olkoot S R 3 sileä alkeispinta ja ϕ: U S sen parametriesitys. Pinnan suunnistukseksi valitaan seuraavassa
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 26. huhtikuuta 2017 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 1 / 115 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L),
Lisätiedotf(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?
102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotLidskiin lause trace-luokan operaattoreille. Joona Lindström
Lidskiin lause trace-luokan operaattoreille Joona Lindström HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot4. LINEAARIKUVAUKSET
86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Lisätiedot