Fysiikan matemaattiset menetelmät II

Transkriptio

1 Fysiikan matemaattiset menetelmät II Christofer Cronström Fysikaalisten tieteiden laitos, teoreettisen fysiikan osasto Helsingin yliopisto 9. tammikuuta 2006

2 i Esipuhe Tämä teos perustuu useana vuonna Helsingin yliopiston fysikaalisten tieteiden laitoksen teorettisen fysiikan osastolla pitämiini luentoihin Fysiikan matemaattiset menetelmät II. Kirja on kuitenkin näiden luentojen laajennettu ja täydennetty kokonaisuus, joka soveltuu myös itseopiskeluun. Kirjassa on seitsemän lukua, joista ensimmäinen on suurelta osin Fourier n integraalien kertausta. Fourier n integraalien avulla tässä luvussa esitetään Poissonin yhtälön, diffuusioyhtälön ja aaltoyhtälön ratkaisut. Toinen luku käsittelee edellistä yleisemmin lineaarisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, niiden luokittelua sekä esimerkkejä muuttujien erotteluun perustuvasta ratkaisumenetelmästä erilaisin reunaehdoin. Kolmas luku sisältää toisen kertaluvun yhden muuttujan lineaaristen differentiaaliyhtälöiden sarjaratkaisumenetelmän. Menetelmää sovelletaan neljännessä luvussa erikoisfunktioiden, erityisesti Besselin funktioiden sekä Hermiten, Laguerren ja Legendren polynomien ja funktioiden konstruoimiseen. Laajahkon neljännen luvun tarkoitus on olla enemmän kuin pelkkä luettelo mainittujen erikoisfunktioiden ominaisuuksista. Esitetyt metodit ovat suurelta osin analyyttisten funktioiden teorian sovelluksia, minkä tuntemus on yleensäkin hyödyllistä. Luvussa viisi käsitellään variaatiolaskua laajemmin kuin fyysikoille suuntautuvissa matemaattisten menetelmien kirjoissa on tapana. Luvun viimeinen alaluku, jossa analysoidaan variaatio-ongelmia sidosehtojen vallitessa, alkaa yleistason esityksellä ilman sidos- ja reunaehtojen seikkaperäisiä yhteensopivuustarkasteluja jotka olisivat vieneet suhteettoman paljon tilaa. Luku päättyy klassisen mekaniikan variaatioperiaatteiden analyysiin sekä holonomisten että ei-holonomisten sidosehtojen tapauksessa. Tämä analyysi on relevantti myös sellaisten kvanttimekaanisten systeemien tapauksissa, joissa on sidosehtoja. Luvussa kuusi on lyhyt esitys Sturmin ja Liouvillen teoriasta, joka käsittelee tietyntyyppisten differentiaaliyhtälöiden ominaisarvo-ongelmaa. Tässä johtavana metodina on erityisesti Rayleigh n-ritzin variaatioperiaatteen sovellus k. o. differentiaaliyhtälöihin reunaehtoineen. Viimeinen eli seitsemäs luku on johdatus niihin Hilbertin avaruuden käsitteisiin ja menetelmiin, jotka ovat tarpeen erityisesti kvanttimekaniikan kannalta. Luku päättyy Hilbertin avaruuden lineaaristen rajoitettujen operaattorien, erityisesti kompaktien ja hermiittisten operaattorien teoriaan, joka on tärkeä myös muiden sovellusten kuin kvanttimekaniikan kannalta.

3 ii Sellaisenaan tämä teos lienee hieman liian laaja yhden lukukauden neljän viikkoluentotunnin mittaiseksi kurssiksi. Tiettyjen alalukujen otsikot on merkitty tähdellä *. Ainakin nämä alaluvut voidaan tarvittaessa jättää vähemmälle huomiolle, ilman että kokonaisuuden omaksuminen sanottavasti kärsii. Matemaattisia menetelmiä opitaan laskemalla, ei vain lukemalla. Tämäkin kirja on tarkoitettu luettavaksi kynän ja paperin kanssa niin, että aina tarvittaessa voi tarkistaa päättelyt kaavasta toiseen. Mahdollisten painovirheidenkin takia tämä on suotavaa. Tässä teoksessa on 2428 numeroitua kaavaa. Vaikka olen pyrkinyt tarkkuuteen, on mahdollista, että painovirheitä sittenkin on jäänyt korjaamatta. Otan mielihyvin vastaan korjausehdotuksia. Fil. yo. Jussi Lehtola on ystävällisesti ja tarmokkaasti tarkistanut ja korjannut käsikirjoituksen kieliasun ja on tehnyt muitakin parannusehdotuksia sekä auttanut kuvien piirtämisessä ja joidenkin LaTeX-ongelmien selvittämisessä. Lausun hänelle parhaimmat kiitokseni. Dos. Mikko Sainio on lukenut koko käsikirjoituksen ja kiitän häntä rakentavista ja kannustavista kommenteista. Dos. Claus Montonen on myös lukenut suuria osia tekstistä ja tehnyt parannusehdotuksia, joista olen kiitollinen. Tampereella Christofer Cronström

4 Sisällys 1 Fourier n integraaleista Fourier n muunnos, kertausta Cauchyn ja Weierstrassin singulaariset integraalit Laplace-muunnos Mellin-muunnos *Eulerin Γ- ja B-funktiot Sovelluksia osittaisdifferentiaaliyhtälöihin Poissonin yhtälö R 3 :ssa Diffuusioyhtälö *Aaltoyhtälö, Kirchhoffin kaava Osittaisdifferentiaaliyhtälöistä Differentiaaliyhtälöiden luokittelusta Reuna-arvo-ongelmista Poissonin yhtälön reuna-arvoprobleema Muuttujien erottelu Laplacen yhtälö suorakulmaisessa R 3 :ssa Dirichlet n ongelma suorakaiteessa *Separoituvat koordinaatistot R 3 :ssa iii

5 iv SISÄLLYS Oikein asetetut ongelmat Laplacen yhtälö pallokoordinaateissa *Palloharmoniset funktiot Y lm Schrödingerin yhtälö Pallosymmetrinen Schrödingerin yhtälö Yhden muuttujan differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun lineaariset yhtälöt Lineaaristen yhtälöiden yleisistä ominaisuuksista Erikoispisteet ja niiden luokittelu Hypergeometrinen yhtälö Yleinen sarjaratkaisumenetelmä Ratkaisut kun s r 1 r 2 0, 1, 2, Toinen ratkaisu kun s r 1 r 2 = 0, 1, 2, Ratkaisut säännöllisen pisteen ympäristössä *Asymptoottisista ratkaisuista *Sarjaratkaisujen suppenemisesta Fysiikan tavallisimmat erikoisfunktiot Legendren funktiot Legendren funktiot P λ (z) ja Q λ (z) Legendren polynomit P l (z) Polynomien P l (x) ortonormitusrelaatiot Sarjakehitelmistä a l P l (z) Polynomien P l (z):n muodostajafunktio Legendren liittofunktiot P m l (x) *Laplacen integraaliesitykset funktioille P m l (x)

6 SISÄLLYS v *Legendren polynomien yhteenlaskuväittämä Besselin funktiot Muuttujien separointi sylinterikoordinaatistossa Besselin funktiot J ±ν (z) origon z = 0 ympäristössä Weberin ja Hankelin funktiot Y ν ja H 1,2 ν Besselin funktioiden palautuskaavat Funktioiden J n (z) muodostajafunktio Poissonin integraaliesitys J ν (z):lle Funktiot J ±(n+ 1 )(z) Tasoaallon pallo-aaltokehitelmä *Asymptoottisista kehitelmistä Laguerren polynomit ja Coulombin ongelma Vetyatomin Schrödingerin yhtälö Vety-atomin diskreetti energiaspektri Laguerren yhtälöiden polynomiratkaisut Laguerren polynomien ortonormitus Laguerren polynomien muodostajafunktio *Laguerren liittopolynomien muodostajafunktio *Vetyatomin radiaalinen normitusintegraali Hermiten polynomit ja harmoninen värähtelijä Kvanttimekaaninen harmoninen värähtelijä Hermiten polynomit H n (z) Muodostajafunktio polynomeille H n (z) Palautuskaavat H n (z):lle Polynomin H n (z) normitusintegraali *Harmonisen värähtelijän operaattorialgebra

7 vi SISÄLLYS 5 Variaatiolaskua Johdanto, brachistochronongelma Funktionaalit ja niiden ääriarvo-ongelmat Variaatiolaskun perusongelma Eulerin yhtälö Maksimi- ja minimitarkasteluja Legendren ehdot ääriarvoille Brachistochronongelman ratkaisu Minimipinnan ongelman ratkaisu Perusongelma n:lle muuttujalle Maksimi- ja minimitarkastelu. Legendren lause Perusongelman yleistyksiä Funktionaalit, jotka riippuvat korkeimmista derivatoista Useammat riippuvaiset muuttujat Rayleigh n-ritzin variaatioperiaate Homogeeninen integraaliyhtälö Isoperimetriset ongelmat, Eulerin lause Sovelluksia Eulerin-Lagrangen kertojasääntö Holonomisia sidosehtoja *Ei-holonomisia sidosehtoja *D Alembert n ja Hamiltonin periaatteet *Sidosehdot ja D Alembert n periaate *Ei-holonomisen systeemin liikeyhtälöt

8 SISÄLLYS vii 6 Sturmin ja Liouvillen teoria Johdanto Lisää reunaehdoista Erikoisfunktiot ja Sturm-Liouville- yhtälöt Variaatioperiaatteet Ominaisarvoratkaisuista u(x, λ) Ominaisarvoratkaisujen olemassaolo Ominaisarvojen asymptoottinen jakauma Ominaisarvoratkaisujen täydellisyydestä *Ortogonaalikehitelmistä funktioluokassa L 2 wr Hilbertin avaruuksista Johdanto Lineaariset vektoriavaruudet Sisätuloavaruus, normi ja metrisointi Cauchyn-Schwarzin-Bunjakovskin epäyhtälö Hilbertin vektoriavaruus l Suppeneminen l 2 :ssa Normiavaruus *Sisätulon olemassaolo normiavaruudessa Hilbertin funktioavaruus L Suppeneminen funktioavaruudessa L Hilbertin ja Banachin avaruudet Separoituva Hilbertin avaruus Kuvaus L 2 :n ja l 2 :n välillä

9 viii SISÄLLYS 7.6 Kuvaukset normi- ja Hilbertin avaruudessa Lineaariset rajoitetut funktionaalit Lineaarisista operaattoreista Käänteisoperaattori Banachin avaruudessa Adjungoitu operaattori Hilbertin avaruudessa Hermiittiset ja unitaariset operaattorit Lineaarioperaattorin spektri Kompaktit operaattorit Määritelmä, perusominaisuudet Kompaktit operaattorit ja funktionaaliyhtälöt Hilbertin-Schmidtin operaattorit Hilbertin-Schmidtin integraalioperaattorit Kompaktit hermiittiset operaattorit Ominaisarvo-ongelma Spektraalilause Viitteet 389