Zornin lemman nojalla joukossa E on siis maksimaalinen alkio (G, g). Kun näytetään, että G = E, niin väite on todistettu (L := g kelpaa).

Transkriptio

1 f ( n) n 9. Hahnin ja Banachin lauseista 9.1. Sublineaarikuvauslause. Seuraavassa erilaisiin Hahnin ja Banachin lauseisiin lähdetään tutustumaan puhtaasti lineaarialgebrallisesta versiosta. Määritelmä 9.1. Vektoriavaruuden E reaaliarvoinen funktio p: E R on sublineaarinen, jos a) p(λ x) = λ p(x) kaikille λ 0 ja x E, b) p(x + y) p(x) + p(y) kaikille x E ja y E. Esimerkki 9.2. a) Vektoriavaruuden E seminormi p on sublineaarinen kuvaus. (Seminormi on kuten normi, mutta ei vaadita p(x) = 0 = x = 0.) b) Reaalisen vektoriavaruuden E lineaarimuoto on sublineaarinen kuvaus. Sublineaarisen funktion ei siis tarvitse olla ei-negatiivinen. c) Rajoitetuille kompleksisille lukujonoille kuvaus (x k ) k=1 lim sup k Re x k on sublineaarinen. Tämän esimerkin avulla on helppo todeta, että sublineaariselle funktiolle ehto p(λ x) = λ p(x), kun λ < 0, ei välttämättä toteudu. d) Olkoot E ja F reaalisia vektoriavaruuksia, T : E F lineaarikuvaus ja p: F R sublineaarinen. Tällöin p T : E R on sublineaarinen. Lause 9.3 (Hahn ja Banach). Olkoot E reaalinen vektoriavaruus, F E vektorialiavaruus, p: E R sublineaarikuvaus ja l: F R lineaarimuoto siten, että l(y) p(y) kaikille y F. Tällöin on olemassa lineaarimuoto L: E R siten, että L F = l ja L(x) p(x) kaikille x E. Todistuksen ideana on tarkastella kaikkia niitä lineaarimuodon f laajennuksia johonkin E:n aliavaruuteen, jotka toteuttavat vaaditun epäyhtälön. Zornin lemman avulla näytetään, että näiden laajennusten joukossa on maksimaalinen laajennus. Todistuksen työläin kohta on näyttää, että aidossa aliavaruudessa määritelty lineaarimuoto voidaan laajentaa yhtä dimensiota laajempaan aliavaruuteen niin, että sublineaarikuvauksen antama rajoite toteutuu laajennuksellekin. Maksimaaliselle laajennukselle tämä tarkoittaa, että se on määritelty kaikkialla. Separoituvalle normiavaruudelle Zornin lemman käytön voi ainakin joissakin tilanteissa välttää; laajentaminen voidaan tällöin tehdä kasvavan aliavaruusjonon avulla tiheään aliavaruuteen. Jos esiintyvät funktiot ovat jatkuvia, saadaan laajennukset koko avaruuteen tavanomaisella tavalla. Laajentamisen perusidea on seuraava: Jos F on E:n aito aliavaruus, valitaan x 1 E \ F ja asetetaan F 1 := F {x 1 } = F x 1. Jos l 1 : F 1 R on lineaarimuodon l mikä tahansa lineaarinen laajennus, on l 1 (x + λ x 1 ) = l 1 (x) + λ l 1 (x 1 ) = l(x) + λ c kaikille x F ja λ R, missä c := l 1 (x 1 ) R. Kääntäen, mikä tahansa c R ja määrittely l 1 (x + λ x 1 ) := l(x) + λ c kaikille x F ja λ R antaa lineaarimuodolle l laajennuksen aliavaruuteen F x 1. Lauseessa kaivattua laajennusta varten pitää varmistaa, että vakio c voidaan valita niin, että ehto l(x) + λ c p(x + λ x 1 ) kaikille x F ja λ R toteutuu.

2 Todistus. Olkoon E kaikkien sellaisten parien (V, h) joukko, missä V on E:n vektorialiavaruus ja h: V R on lineaarimuoto siten, että V F, h F = l ja h(v) p(v) kaikille v V. Määritellään joukkoon E järjestys asettamalla (V 1, h 1 ) (V 2, h 2 ), jos V 1 V 2 ja h 2 V1 = h 1. Tällöin jokaisella E:n osaketjulla on yläraja E:ssä. Nimittäin, jos {(V α, h α ) α A} on E:n osaketju, niin sen yläraja on (V, h ), missä V := α A V α ja h (x) := h α (x), kun x V α. Huomaa, että osaketjun alkioita voidaan verrata. Tästä seuraa, että yhdiste V on vektorialiavaruus ja funktio h on hyvin määritelty. Nimittäin, kun (V α, h α ) ja (V β, h β ) ovat osaketjun alkioita, on esimerkiksi V β V α. Tällöin h α Vβ = h β. Jos x V β, on h β (x) = h α (x). Zornin lemman nojalla joukossa E on siis maksimaalinen alkio (G, g). Kun näytetään, että G = E, niin väite on todistettu (L := g kelpaa). Tehdään antiteesi: G E. Laajennuksen konstruktio: Tällöin on olemassa y 1 E siten, että y 1 G. Olkoon G 1 G:n ja y 1 :n virittämä vektorialiavaruus, G 1 := G {y 1 } = G y 1 (summa on suora, koska y 1 G). Jokainen x G 1 on tällöin muotoa x = y + λ y 1, missä y G ja λ R. Määritellään lineaarikuvaus g 1 : G 1 R asettamalla g 1 (y +λ y 1 ) := g(y)+λ c, missä c R valitaan seuraavasti: Selvästi g 1 on g:n laajennus. Jotta (G 1, g 1 ) E, on oltava (1) g 1 (y + λ y 1 ) = g(y) + λ c p(y + λ y 1 ) kaikille λ R ja y G. Osoitetaan, että tämän ehdon toteuttava luku c on olemassa. Kun tämä on osoitettu, saadaan (G 1, g 1 ) E sekä lisäksi (G, g) (G 1, g 1 ) ja G G 1, mikä on ristiriidassa alkion (G, g) maksimaalisuuden kanssa, joten väite seuraa. Rajoite-ehto: Luvun c valintaa varten havaitaan aluksi, että kaikilla x, y G funktion p sublineaarisuuden nojalla on voimassa g(y) g(x) = g(y x) p(y x) p(y + y 1 ) + p( y 1 x). Siis p( y 1 x) g(x) p(y + y 1 ) g(y). Tästä seuraa, että luvuille A := sup( p( y 1 x) g(x)) ja B := inf (p(y + y 1) g(y)) x G y G pätee A B. Valitaan c R siten, että A c B. Tällöin (2) (3) c p(y + y 1 ) g(y) kaikille y G ja p( y 1 y) g(y) c kaikille y G. Sijoitetaan epäyhtälöön (2) vektorin y tilalle y/λ, missä λ > 0, ja kerrotaan epäyhtälö puolittain luvulla λ. Tällöin saadaan (4) λ c λ p(y/λ + y 1 ) λ g(y/λ) = p(y + λ y 1 ) g(y). Negatiivisille luvuille λ sublineaarisuusehdosta saadaan p(λ x) = p(( λ) ( x)) ( λ) p( x) eli p(λ x) λ p( x). Kun epäyhtälössä (3) vektorin y tilalle sijoitetaan y/λ, missä λ < 0, ja epäyhtälö kerrotaan puolittain luvulla λ, päädytään samaan epäyhtälöön (4). Koska epäyhtälö (4) pätee oletuksen nojalla myös, kun λ = 0, toteuttaa näin valittu luku c alunperin vaaaditun epäyhtälön (1). 2

3 Huomautus 9.4. Edellinen todistus löytyy jo Banachilta [1, II.2]. Oleellisesti samaa todistustapaa on käytetty kirjoissa [2, I.1], [3, 4.8], [4, Theorem 14.9], [5, II.6], [8, III.3] (tässä näytetään, että p on konveksi riittää), [10, Theorem 3.2], [11, Theorem 5.16], [12, Théorème II.1], [14, III.1] ja [15, IV.1]. Rudinin kirjassa [11, Theorem 5.16] osoitetaan suoraan jäljempänä oleva seuraus 9.7, vaikka esitetty todistus onkin lähinnä sama kuin tässä esitetyt todistukset tiivistettynä k.o. lausetta varten. Monista Hahnin ja Banachin lauseista on muunnelmat yleisempiin topologisiin vektoriavaruuksiin; ks. [7] tai [10] Sublineaarikuvauslauseen seurauksia. Seuraus 9.5 (Hahn ja Banach). Olkoot (E, ) reaalinen normiavaruus, F E aliavaruus ja f : F R lineaarimuoto, jolle f(x) x kaikille x F. Tällöin on olemassa lineaarimuoto g : E R siten, että g(x) = f(x) kaikille x F ja g(x) x kaikille x E. Todistus. Asetetaan p: E R, p(x) := x. Tällöin p on sublineaarinen, joten edellisen lauseen nojalla on olemassa lineaarimuoto g : E R siten, että g F = f ja g(x) x kaikille x E. 3 Tällöin g(x) = g( x) x = x, joten g(x) x kaikille x E. Seuraava lemma selvittää, mikä yhteys on kompleksilineaarisella kuvauksella ja sen reaaliosalla. Muistettakoon, että kompleksisen vektoriavaruuden E kuvaus f on kompleksilineaarinen, jos f(x + y) = f(x) + f(y) ja f(λ x) = λ f(x) kaikille x, y E ja λ C. Vastaavasti f on reaalilineaarinen, jos edellinen pätee kaikille x, y E ja λ R. Selvästi jokainen kompleksilineaarinen kuvaus on reaalilineaarinen, mutta ei kääntäen. Esimerkiksi c: z = x + i y z = x i y, C C, on reaalilineaarinen, mutta ei kompleksilineaarinen. Samoin r : z = x+i y x, C R, on reaalilineaarinen, mutta ei kompleksilineaarinen. Sen sijaan h: z = x+i y z = x+i y, C C, on kompleksilineaarinen. Tälle kuvaukselle on Re h: z = x + i y Re z = x = r(z). Tässä r(z) i r(i z) = x i Re(i x y) = x i ( y) = x + i y = z = h(z). Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että tämä kuvausten r ja h välinen yhteys pätee yleisesti: Lemma 9.6. Olkoon E kompleksinen vektoriavaruus. a) Olkoon f : E R reaalilineaarinen. Määritellään f(x) := f(x) i f(i x), kun x E. Tällöin f : E C on kompleksilineaarinen ja Re f = f. b) Olkoot h: E C on kompleksilineaarinen ja f := Re h. Määritellään f kuten edellisessä kohdassa. Tällöin on f = h. c) Olkoot p: E R seminormi ja f : E C kompleksilineaarinen. Tällöin f(x) p(x) kaikille x E, jos ja vain jos Re f(x) p(x) kaikille x E.

4 d) Jos (E, ) on kompleksinen normiavaruus ja f : E C jatkuva kompleksilineaarikuvaus, niin f = Ref. Seuraus 9.7 (Bohnenblust, Sobczyk ja Suhomlinov). Olkoot (E, ) kompleksinen normiavaruus, F E aliavaruus ja f : F C kompleksilineaarinen kuvaus, jolle f(x) x kaikille x F. Tällöin on olemassa kompleksilineaarinen kuvaus g : E C siten, että g(x) = f(x) kaikille x F ja g(x) x kaikille x E. Todistus. Asetetaan f 1 := Re f. Edellisen seurauksen 9.5 nojalla on olemassa reaalilineaarinen kuvaus g 1 : E R siten, että g 1 F = f 1 ja g 1 (x) x kaikille x E. Asetetaan g(x) := g 1 (x) i g 1 (i x), kun x E. Edellisen lemman 9.6 nojalla tällä kuvauksella on halutut ominaisuudet. Seuraus 9.8. Olkoot (E, ) normiavaruus, F E aliavaruus ja x 0 F siten, että Tällöin on olemassa f E siten, että δ := d(x 0, F ) := inf{ x 0 x x F } > 0. f = 1, f(x 0 ) = δ ja f(x) = 0 kaikille x F. Todistus. Tarkastellaan aliavaruuden F ja vektorin x 0 virittämää aliavaruutta G := F {x 0 } = F x 0 (summa on suora, koska x 0 F ). Tällöin jokaisella z G on yksikäsitteinen esitys z = x + λ x 0, missä x F ja λ K. Asetetaan g : G K, g(x + λ x 0 ) := λ δ. Osoitetaan, että tällä kuvauksella on aliavaruudessa G halutut ominaisuudet. Kaivattu f E löydetään Hahnin ja Banachin seurauslauseen 9.5 avulla. Selvästi g : G K on lineaarinen ja ker g = F. Lisäksi g(x 0 ) = δ. Kun λ 0 ja x F, on δ:n määritelmän nojalla x + λ x 0 = λ λ 1 x + x 0 λ δ = g(x + λ x 0 ). Siis g 1, joten g G. Olkoon (x n ) n=1 F siten, että x 0 x n δ. Tällöin g(x n ) = 0, joten δ = g(x 0 ) g(x n ) = g(x 0 x n ) g x 0 x n g δ. Siis g = 1. Seuraus 9.9. Olkoot (E, ) normiavaruus ja x E \ {0}. Tällöin on olemassa f E siten, että f = 1, ja f(x) = x. 4 Todistus. Sovelletaan edellistä seurausta aliavaruuteen F = {0}. Seuraus Olkoot (E, ) normiavaruus ja x E. Tällöin x = sup{ f(x) f E, f 1}.

5 9.3. Konveksien joukkojen erottelusta. Monisteessa [6, luku VI] Hahnin ja Banachin lauseita lähestytään geometrisella tavalla, tarkastelemalla aluksi konveksien joukkojen ja hypertasojen välistä käyttäytymistä. Tämä lähestymistapa ja useat seuraavista tuloksista lienevät peräisin Stanislaw Mazurilta. Vektoriavaruuden V osajoukko A on konveksi, jos kaikille x A, y A ja λ [0, 1] myös (1 λ) x + λ y A, t.s. jos se sisältää pisteitään yhdistävät janat. Määritelmä Olkoon V vektoriavaruus. Joukon A V Minkowskin funktionaali (tai mittausfunktio) p A : V [0, ] määritellään asettamalla p A (x) := inf{λ > 0 λ 1 x A}. Esimerkki Osoitetaan, että normiavaruuden E avoimen yksikköpallon A := B(0; 1) Minkowskin funktionaali on p A (x) = x. Koska λ 1 0 A kaikille λ > 0, on p A (0) = 0. Olkoon x 0. Tällöin r x/ x A, jos ja vain jos 0 r < 1. Siis p A (x) x /r kaikille r (0, 1), joten p A (x) x. Toisaalta, kun µ > p A (x) on olemassa λ < µ siten, että λ 1 x A. Tällöin λ 1 x < 1, joten x < λ. Siis x p A (x). Lemma Olkoon A normiavaruuden E konveksi osajoukko, jolle 0 int A. Tällöin (i) jos B(0; r) A, niin p A (x) 1 r x ; (ii) p A on sublineaarinen; (iii) jos A on avoin, on A = {x E p A (x) < 1}. Todistus. (i) Kun x 0 ja 0 < λ < r, on λ x/ x B(0; r), joten p A (x) x /λ. Koska λ (0, r) on mielivaltainen, seuraa väite. (ii) Sublineaarisuuden määritelmän 9.1 homogeenisuusehdon tarkistaminen jätetään lukijan tehtäväksi. Jälkimmäistä ehtoa varten olkoot x E, y E ja ε > 0. Tällöin on olemassa λ > 0 ja µ > 0 siten, että λ 1 x A, µ 1 y A, λ p A (x) + ε ja µ p A (y) + ε. (Tapaus, jossa p A (x) = tai p A (y) =, on selvä; p A (x) = λ 1 x A kaikille λ > 0.) Koska A on konveksi, on x + y λ + µ = λ x λ + µ λ + µ λ + µ y µ A. Siis p A (x + y) λ + µ p A (x) + p A (y) + 2ε. Väite seuraa tästä. (iii) Jos p A (x) < 1, on olemassa λ (0, 1) siten, että λ 1 x A. Koska 0 A, on x = λ λ 1 x + (1 λ) 0 A. Toisaalta, jos p A (x) 1, on λ 1 x A kaikille λ < 1. Koska E \ A on suljettu, on 5 x = lim λ 1 λ 1 x E \ A. Lemma Olkoon B normiavaruuden E avoin konveksi osajoukko, jolle 0 B. Tällöin on olemassa f E siten, että Todistus. Olkoon aluksi K = R. Re f(x) < 0 kaikille x B.

6 Kiinnitetään x 0 B. Olkoon A := x 0 + B = {x x 0 x B}. Tällöin B on avoin, konveksi, 0 A ja y 0 := x 0 A. Joukon A Minkowskin funktionaali on tällöin reaaliarvoinen, sublineaarinen ja lemman 9.13 kohdan (iii) nojalla p A (y 0 ) 1. Määritellään lineaarimuoto l yksiulotteiseen aliavaruuteen y 0 = {t y 0 t R} asettamalla l(t y 0 ) := t p A (y 0 ). Tällöin kaikille y y 0 on l(y) p A (y). Positiivisille t on l(t y 0 ) = t p A (y 0 ) = p A (t y 0 ). Jos taas t < 0, on l(t y 0 ) 0 p A (t y 0 ). Hahnin ja Banachin sublineaarikuvauslauseen 9.3 nojalla lineaarimuodolla l on laajennus L koko avaruuteen E niin, että L(x) p A (x) kaikille x E. Lineaarimuoto L jatkuva, sillä lemman 9.13 ensimmäisen kohdan nojalla saadaan L(x) = max{l(x), L( x)} max{p A (x), p A ( x)} 1 r x, kun B(0; r) A. Koska l(y 0 ) = p A (y 0 ) 1, lemman 9.13 kolmannen kohdan nojalla saadaan kaikille z B, z = x + x 0 = x y 0, missä x A, L(z) = L(x) L(y 0 ) p A (x) 1 < 0. Tapaus K = C saadaan edellisestä lemman 9.6 avulla. Aiemmin Fréchet n ja Rieszin esityslauseen yhteydessä ([6, 9.5]) tarkasteltiin lyhyesti normiavaruuden E hypertasoja. Hypertasoksi sanottiin nollasta eroavan lineaarimuodon ydintä, t.s. muotoa H = {x E f(x) = 0} = ker f olevia joukkoja, missä f : E K on nollasta eroava lineaarikuvaus. Hypertasosta H osoitettiin, että se on suljettu tai tiheä sen mukaan, onko määrittelevä lineaarimuoto f jatkuva vai ei ([6, lause 9.39]). Reaalisen normiavaruuden tapauksessa hypertason H = ker f avulla avaruus E voidaan jakaa puoliavaruuksiin H := {x E f(x) 0} ja H + := {x E f(x) 0} tai vastaaviin avoimiin puoliavaruuksiin H 0 := {x E f(x) < 0} ja H 0 + := {x E f(x) > 0}. Joukot H ja H + ovat suljettuja ja H 0 ja H 0 + avoimia, jos f on jatkuva. Edellisen lemman tulos voidaan reaalisen normiavaruuden tapauksessa ilmaista muodossa: on olemassa suljettu hypertaso H siten, että B H 0. Yleistetään nyt hypertaso tarkoittamaan affiinia aliavaruutta, t.s. muotoa H = a + ker f olevaa joukkoa, missä a E ja f : E K on lineaarikuvaus, f 0. Koska nollasta eroava lineaarimuoto on surjektio, on affiini aliavaruus yhtä lailla esitettävissä muodossa H = {x E f(x) = α}, missä α K. Kuten aliavaruuksille affiini aliavaruus {x E f(x) = α} on suljettu tai tiheä sen mukaan, onko määrittelevä lineaarimuoto f jatkuva vai ei. Edellisessä lemmassa oletus 0 B on epäoleellinen. (Sitä tarvittiin vain siihen, että Minkowskin funktionaali on määritelty origon suhteen.) Jos x 0 E \B, päästään siirrolla x x + x 0 lemman mukaiseen tilanteeseen. Vastakkaisella siirrolla reaaliselle normiavaruudelle saadaan: on olemassa suljettu hypertaso H = {x E f(x) = α} siten, että x 0 H ja B {x E f(x) < α}. Seuraavaan lauseeseen on yhdistetty monisteen [6] Banachin erottelulauseen reaalinen ja kompleksinen muoto ([6, seuraukset ja 21.11]). Lause Olkoot A ja C normiavaruuden E konvekseja osajoukko. Oletetaan, että A on avoin ja A C =. Tällöin on olemassa f E siten, että Re f(x) < Re f(y) kaikille x A ja y C. 6

7 Lauseesta reaaliselle normiavaruudelle saadaan myös seuraava: Olkoon α R siten, että sup x A f(x) α inf y C f(y). Joukot A ja C voidaan erottaa suljetulla hypertasolla H = {x E f(x) = α} siten, että A {x E f(x) α} ja C {y E f(y) α}. Todistus. Olkoon B := A C = {x y x A, y C}. Tällöin B on konveksi ja esityksen B = y C ( y + A) nojalla myös avoin. Koska A C =, on 0 B. Lemman 9.14 nojalla on olemassa f E siten, että Re f(z) < 0 kaikille z B. Kun x A ja y C, on x y B, joten Re f(x) Re f(y) = Re f(x y) < 0. Lause Olkoot A ja C normiavaruuden E konvekseja osajoukko. Oletetaan, että A on suljettu, C on kompakti ja A C =. Tällöin on olemassa f E ja ε > 0 siten, että Re f(x) Re f(y) + ε kaikille x A ja y C. Reaaliselle normiavaruudelle sanotaan, että hypertaso {x E f(x) = α} erottelee joukot A ja C tarkasti, jos on olemassa ε > 0 siten, että f(x) α ε kaikille x A ja f(y) α + ε kaikille y C. Lauseen mukaisesti reaalisen normiavaruuden suljetut konveksit joukot, joista ainakin toinen on kompakti, voidaan siis erottaa tarkasti. Todistus. Olkoot A ε := {x E d(x, A) < ε} = A + B(0; ε) ja C ε := {x E d(x, C) < ε} = C + B(0; ε). Tällöin joukot A ε ja C ε ovat konvekseja ja avoimia. Lisäksi A ε C ε =, kun ε > 0 on tarpeeksi pieni. Nimittäin, jos A ε C ε kaikille ε > 0, valitsemalla ε = 1 löydetään a n n A ja c n C siten, että a n c n 2. n Koska C on kompakti, jonolla (c n ) n on suppeneva osajono, c nk c C. Tällöin myös a nk c. Koska A on suljettu, on c A. Siis A C. Olkoon nyt A ε C ε =. Edellisen lauseen nojalla on olemassa f E siten, että Re f(x) < Re f(y) kaikille x A ε ja y C ε. Siis kaikille x A, y C ja u, v B(0; 1) on Re f(x + ε u) < Re f(y + ε v). Tästä saadaan lemman 9.6 kohdan d avulla Re f(x) + ε f Re f(y) ε f Biduaali. Olkoon (E, ) normiavaruus. Kun f E on kiinteä, on kuvaus x f(x), E K, lineaarinen. Vastaavasti, kun x E on kiinteä, on kuvaus f f(x), E K, lineaarinen. Koska f(x) f x, on kumpikin e.m. kuvauksista jatkuva. Erityisesti siis jälkimmäinen kuvaus on jatkuva lineaarikuvaus E K eli se on biduaalin (E ) = E alkio. Asetetaan (5) j = j E : E E, (j(x))(f) := f(x). Seurauksen 9.10 tulos voidaan nyt ilmaista muodossa: j(x) = x kaikille x E, joten j : E E on lineaarinen isometria. Kuvaus j on siis lineaarinen isometrinen bijektio kuvajoukolleen j(e) E, joten normiavaruus E voidaan ajatella upotetuksi biduaaliinsa E. Koska biduaali E on normiavaruuden E duaaliavaruutena täydellinen, saadaan seuraava (aiemmin eri tavalla todistettu) 7

8 Lause Olkoon (E, ) normiavaruus. Tällöin on olemassa Banachin avaruus Ẽ siten, että E Ẽ, ja että E on Ẽ:n tiheä aliavaruus. Banachin avaruus Ẽ on normiavaruuden E täydentymä. Todistus. Edellä olleen perusteella j : E E on lineaarinen isometria Banachin avaruuteen E. Kuvajoukon sulkeuma j(e) on tällöin Banachin avaruuden E suljettuna aliavaruutena Banachin avaruus. Normiavaruus E on isometrisesti isomorfinen kuvajoukkonsa j(e) kanssa, joten ne on luonnolista samaistaa keskenään. Tällöin E = j(e) on Banachin avaruuden j(e) =: Ẽ tiheä aliavaruus. Määritelmä Normiavaruus (E, ) on refleksiivinen, jos kuvaus j E : E E, (j E (x))(f) := f(x), on surjektio. Huomautus Refleksiiviselle avaruudelle E kuvaus j : E E on siis isometrinen isomorfismi. Erityisesti E itse on Banachin avaruus. Mutta vaikka E ja E olisivat isometrisesti isomorfiset keskenään, ei E välttämättä ole refleksiivinen (ks. [14, Aufgabe I.4.8]). Avaruuden refleksiivisyys selvitetään siis nimenomaan kuvauksen j E avulla. Määritelmä Olkoot E ja F normiavaruuksia sekä T B(E; F ). Operaattorin (= jatkuvan lineaarikuvauksen) T transpoosi eli duaalikuvaus on lineaarikuvaus T t : F E, f f T eli (T t f)(x) := f(t x). Lause Olkoot E ja F normiavaruuksia sekä T B(E; F ). Tällöin operaattorin T transpoosi on jatkuva ja T t = T. Todistus. Tranpoosin jatkuvuus seuraa tavanomaisella normiarvioinnilla: Kun x E ja f F, on (T t f)(x) = f(t x) f T x f T x, joten T t f f T. Siis T t T. Käänteistä epäyhtälöä varten tarvitaan seurausta Olkoon x E. Valitaan f F siten, että f = 1 ja f(t x) = T x. Tällöin joten T T t f T t Heikko suppeneminen. T x = f(t x) = (T t f)(x) T t f x, Määritelmä Olkoon E normiavaruus. Joukko A E on heikosti rajoitettu, jos sup f(x) < kaikille f E. x A Lause Normiavaruuden E osajoukko A on heikosti rajoitettu, jos ja vain jos se on rajoitettu. Todistus. Rajoitettu joukko on selvästi heikosti rajoitettu. Olkoon A heikosti rajoitettu. Tehdään antiteesi: A ei ole rajoitettu. Tällöin jokaiselle n Z + on olemassa x n A siten, että x n n. Jokaiselle n Z + olkoon ϕ n : E K, ϕ n (f) := f(x n ), t.s. ϕ n = j E (x n ). 8

9 Sovelletaan tasaisen rajoituksen periaatetta lineaarikuvausjonoon (ϕ n ) n=1. (Huomaa, että E on Banachin avaruus.) Oletuksen mukaan ϕ n (f) = f(x n ) sup f(x) <, x A joten jono (ϕ n ) n=1 on pisteittäin rajoitettu. Tasaisen rajoituksen periaatteen (verkkosivun Tasaisen rajoituksen periaatteesta, lause 7.1; vaihtoehtoisesti [6, lause 19.9 ja huomautus 19.8]) nojalla normien ϕ n jono on rajoitettu, ϕ n M kaikille n Z +, joten f(x n ) = ϕ n (f) M f kaikille n Z + ja kaikille f E. Seurauksen 9.10 nojalla x n M kaikille n Z +. Tämä on vastoin antiteesiä. Määritelmä Olkoot E normiavaruus ja (x n ) n=1 E. Jono (x n ) n suppenee heikosti kohti vektoria x E, jos f(x n ) f(x) kaikille f E. Aiemmin on osoitettu: Hilbertin avaruuden rajoitetulla jonolla on heikosti suppeneva osajono. Osoitetaan, että tämä tulos yleistyy helposti refleksiivisille Banachin avaruuksille. Oleellinen aputulos on seuraava: Lause Olkoon E normivaruus siten, että sen duaali E on separoituva. Tällöin E on separoituva. Todistus. Kun E on separoituva, on myös S E := {f E f = 1} separoituva. Olkoon {f n n Z + } tiheä S E :ssä. Jokaiselle n Z + valitaan x n E siten, että f n (x n ) 1 ja x 2 n = 1. Osoitetaan, että F := {x n n Z + } on tiheä E:ssä. Olkoon f E siten, että f F = 0. Jos f 0, niin voidaan olettaa, että f = 1. Valitaan f j S E siten, että f f j 1. Tällöin 4 1 f 2 j(x j ) = f j (x j ) f(x j ) f f j x j 1. 4 Siis on oltava f = 0, joten F on tiheä E:ssä. Lause Refleksiivinen Banachin avaruus on separoituva, jos ja vain jos sen duaali on separoituva. Lause Refleksiivisen Banachin avaruuden E rajoitetulla jonolla on heikosti suppeneva osajono. Todistus. Olkoon (x n ) n=1 avaruuden E jono, jolle x n M kaikille n Z +. Oletetaan aluksi, että E on separoituva. Tällöin myös E on separoituva. Olkoon {f n n Z + } tiheä E :ssä. Diagonaalimenetelmällä löydetään osajono (n j ) j=1 siten, että jono (f k (x nj )) j=1 suppenee kaikille k Z +. Osoitetaan, että jono (f(x nj )) j=1 suppenee kaikille f E. Olkoot f E ja ε > 0. Valitaan k Z + siten, että f f k ε. Tällöin f(x nj ) f(x ni ) 2M f f k + f k (x nj ) f k (x ni ) (2M + 1)ε, kun j ja i ovat riittävän suuria. Siis jono (f(x nj )) j=1 on Cauchyn jono, joten se suppenee. Tarkastellaan lineaarikuvausta l: E K, f lim j f(x nj ). 9

10 Nyt l(f) = lim f(x nj ) lim f x nj M f. j j Siis l E. Koska E on refleksiivinen, on olemassa x E siten, että l = j E (x), t.s. l(f) = f(x) kaikille f E. Siis lim j f(x nj ) = f(x) kaikille f E. Tämä tarkoittaa, että jono (x nj ) j=1 suppenee heikosti kohti vektoria x. Yleisessä tapauksessa olkoon E 0 := {x n n Z + }. Tällöin E 0 on separoituva ja refleksiivinen, ks. [6, Lause 24.3]. Edellä todistetun perusteella on olemassa osajono (x nj ) j=1 ja x E 0 siten, että lim j f(x nj ) = f(x) kaikille f E0. Olkoon f E. Tällöin f E0 E0, joten lim j f(x nj ) = f(x). Tämä tarkoittaa, että osajono (x nj ) j=1 suppenee heikosti kohti vektoria x. Lause 9.28 (Mazur). Olkoon (x n ) n=1 normiavaruuden E jono, joka suppenee heikosti kohti pistettä x E. Tällöin on olemassa vektoreiden x n konveksien kombinaatioiden jono (y n ) n=1, jolle y n x 0, kun n. Muista: vektoreiden x 1,..., x n konveksi kombinaatio on muotoa n k=1 λ k x k, missä λ k 0 ja n k=1 λ k = 1. Todistus. Olkoon A vektoreiden x k, k Z +, muodostaman joukon suljettu konveksi verho, t.s. A on joukon { n n } λ k x k λk 0, λ k = 1, n Z + k=1 sulkeuma. Tällöin A on suljettu ja konveksi. Osoitetaan, että x A. Sovelletaan lausetta 9.16 joukkoihin A ja C := {x}. Jos x A, on olemassa ε > 0 ja f E siten, että Erityisesti siis kaikille n Z + on k=1 Re f(z) Re f(x) + ε kaikille z A. Re f(x n ) Re f(x) + ε. Mutta, koska oletuksen mukaan x n x heikosti, kaikille g E on g(x n ) g(x), kun n. Edellinen epäyhtälö ei siis voi olla voimassa. Huomautus Hahnin ja Banachin lauseille löytyy kirjallisuudesta erilaisia sovelluksia. Tässä muutamia: (i) Normiavaruuksien duaaliavaruuksien karakterisoimien [1, IV.4], [9, No. 35, 36, 52 ja 87], [15, IV.9]. (ii) Äärellisesti additiivisen mitan ongelma: [1, II.3] ja [4, Ex ]. (iii) Poissonin integraali ja maksimiperiaate polynomeille [11, ] (jälkimmäisen osalta vrt. [13, Lemma 3.119]). (iv) Konveksien joukkojen erottelu hypertasoilla: Esitettynä edellisten lauseiden sovelluksena ks. [2, I.2], [5, II.6], [14, III.2] ja [15, IV.6]. Muista poiketen luentomonisteessa [6, VI.20, VI.21] Hahnin ja Banachin lauseet on esitetty näiden erottelulauseiden seurauksena. (v) Laplacen yhtälön Greenin funktion olemassaolo: [3, 4.9]. (vi) Momenttiongelma ( millä ehdolla on olemassa mitta µ siten, että t j dµ(t) = α j j N ): [1, IV.7], [9, No. 53], [15, IV.5] ja [14, Satz III.1.13 ja s. 131]. 10

11 Viitteet [1] Stefan Banach: Theory of linear operations, North Holland Mathematical Library, 1987; alunperin Théorie des operations linéares, Monografie Matematyczne 1, Warszawa, [2] Haïm Brezis: Analyse fonctionelle. Théorie et applications, 2 e tirage, Collection mathématiques appliqueés pour la maîtrise, Masson, [3] Avner Friedman: Foundations of modern analysis, Dover Publications, Inc., 1982; alunperin Holt-Rinehart-Winston, [4] Edwin Hewitt ja Karl Stromberg: Real and abstract analysis. A modern treatment of the theory of functions of a real variable, Third printing, Graduate Texts in Mathematics 25, Springer-Verlag, [5] Friedrich Hirzebruch ja Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis, Hochschultaschenbücher Band 296, Bibliographisches Institut, Mannheim, [6] Lauri Kahanpää: Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua osa II, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, [7] Lauri Kahanpää: Topologiset vektoriavaruudet ja distribuutiot. Suoraviivaista ajattelua osa III, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 68, [8] Michael Reed ja Barry Simon: Methods of modern mathematical physics I: Functional analysis, Academic Press, 1972; II: Fourier analysis, self-adjointness, [9] Frigyes Riesz ja Béla Sz.-Nagy: Functional analysis, Dover Publications, Inc, 1990; alunperin Leçons d analyse fonctionelle, Académiai Kiadó, 1952; engl. käännös Functional Analysis, Frederick Ungar Publishing Co., [10] Walter Rudin, Functional analysis: Tata McGraw-Hill, 1982; alunperin McGraw-Hill, [11] Walter Rudin: Real and complex analysis, Second edition, Tata McGraw-Hill, 1979; alunperin McGraw-Hill, [12] Laurent Schwartz: Analyse Hilbertienne, Collection Méthodes, Hermann, [13] Karl Stromberg: An introduction to classical real analysis, Wadsworth International Mathematics Series, [14] Dirk Werner: Funktionalanalysis, Vierte, überarbeitete Auflage, Springer-Lehrbuch, Springer, [15] Kôsaku Yosida, Functional analysis: Fourth Edition, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Band 123, Springer-Verlag,