Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma, Keskee raja-arvolause, Normaaljakauma, Odotusarvo, Otos, Otoshajota, Otosjakauma, Otoskoko, Otosvarass, Rppumattomuus, Stadardotu ormaaljakauma, Suhteelle frekvess, Suhteelle osuus, Todeäkösyys, Ykskertae satuasotos, Varass Otos ja otosjakaumat Ykskertae satuasotos Olkoo X 1, X,, X ykskertae satuasotos jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto o f(x). Tällö havaot X 1, X,, X ovat rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x): X1, X,, X X f( x), = 1,,, Otostuusluku Olkoo X 1, X,, X ykskertae satuasotos jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto o f(x). Olkoo T = g(x 1, X,, X ) jok satuasmuuttuje X 1, X,, X (mtalle) fukto. Satuasmuuttujaa T kutsutaa (otos-) tuusluvuks. Oletetaa, että otokse pommse jälkee satuasmuuttujat X 1, X,, X saavat havatuks arvoksee havatoarvot x 1, x,, x : X 1 = x 1, X = x,, X = x Tällö tuusluku T = g(x 1, X,, X ) saa havatuks arvoksee t fukto g arvo psteessä (x 1, x,, x ): t = g(x 1, x,, x ) TKK @ Ilkka Mell (006) 1/1
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Otosjakauma Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta f(x) ja olkoo T = g(x 1, X,, X ) jok otostuusluku. Koska tuusluku T o satuasmuuttuja, sllä o todeäkösyysjakauma, jota kutsutaa tuusluvu T otosjakaumaks. Tuusluvu T otosjakauma muodostaa tlastollse mall el todeäkösyysmall tuusluvu T arvoje satuasvahtelulle otoksesta tosee. TKK @ Ilkka Mell (006) /
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakaumat Artmeette keskarvo ja otosvarass Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja varass o σ. Tällö havaot X 1, X,, X ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jolla kaklla o sama odotusarvo ja varass: X 1, X,, X E(X ) = µ, = 1,,, Var(X ) = D (X ) = σ, = 1,,, Otokse omasuuksa vodaa kuvata havatoarvoje artmeettsella keskarvolla ja varasslla. Määrtellää havatoje X 1, X,, X artmeette keskarvo kaavalla X 1 X = 1 = Määrtellää havatoje X 1, X,, X otosvarass kaavalla 1 s = ( X X) 1 = 1 Huomaa, että sekä artmeette keskarvo X että otosvarass s ovat havatoje X 1, X,, X fuktoa satuasmuuttuja, jode saamat arvot vahtelevat satuasest otoksesta tosee. Artmeettse keskarvo odotusarvo ja varass Havatoje X 1, X,, X artmeettsella keskarvolla X o em. oletuste pätessä seuraava odotusarvo ja varass: E( X ) = µ σ = = Var( X) D ( X) Huomaa, että havatoje X 1, X,, X artmeettse keskarvo X varass otoksessa o aa peemp ku havatoje varass, jos otoskoko > 1. Lsäks artmeettse keskarvo varass X peeee, jos otoskoo aetaa kasvaa. Artmeettse keskarvo X stadardpokkeamaa D( X ) = σ kutsutaa tavallsest keskarvo keskvrheeks ja se kuvaa artmeettse keskarvo otosvahtelua oma odotusarvosa µ ympärllä. TKK @ Ilkka Mell (006) 3/3
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Otosvarass odotusarvo Havatoje X 1, X,, X otosvarasslla s o em. oletuste pätessä seuraava odotusarvo: E(s ) = σ Artmeettse keskarvo otosjakauma Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ). Tällö havaot X 1, X,, X ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(µ,σ ): X 1, X,, X X ~ N(µ,σ ), = 1,,, Havatoje X 1, X,, X artmeette keskarvo X oudattaa em. oletuste pätessä ormaaljakaumaa parametre µ ja σ / : Ertysest σ X N µ, E( X ) = µ σ = = Var( X) D ( X) mkä pätee myös lma ormaalsuusoletusta. Artmeettse keskarvo approksmatve otosjakauma Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja varass o σ. Tällö keskesestä raja-arvolauseesta seuraa, että havatoje artmeette keskarvo X oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest (asymptoottsest) ormaaljakaumaa parametre µ ja σ / : X a σ N µ, TKK @ Ilkka Mell (006) 4/4
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Otosvarass otosjakauma Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ). Tällö havaot X 1, X,, X ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(µ,σ ): X 1, X,, X X ~ N(µ,σ ), = 1,,, Olkoo s havatoje X 1, X,, X otosvarass. Satuasmuuttuja ( 1)s /σ oudattaa em. oletuste pätessä χ -jakaumaa vapausaste ( 1): ( 1) s χ ( 1) σ Lsäks vodaa osottaa, että artmeette keskarvo X ja otosvarass s ovat satuasmuuttuja rppumattoma: X s Ste suoraa Studet t-jakauma määrtelmä mukaa X µ t = t( 1) s/ em. oletuste pätessä. TKK @ Ilkka Mell (006) 5/5
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Suhteellse frekvess otosjakauma Frekvess ja suhteelle frekvess Olkoo A S jok otosavaruude S tapahtuma ja olkoo p = Pr(A) q = 1 Pr(A) = 1 p Pomtaa otosavaruudesta S ykskertae satuasotos, joka koko o. Olkoo f A-tyyppste alkode frekvess el lukumäärä otoksessa ja f pˆ = vastaava suhteelle frekvess el osuus. Huomaa, että sekä frekvess f että suhteelle frekvess pˆ = f / ovat satuasmuuttuja, jode saamat arvot vahtelevat satuasest otoksesta tosee. Frekvess odotusarvo, varass ja otosjakauma Frekvess f odotusarvo ja varass: E( f) = p Var( f ) = D ( f ) = pq jossa q = 1 p. Frekvess f oudattaa otoksessa bomjakaumaa parametre ja Pr(A) = p: f B(, p) Suhteellse frekvess odotusarvo ja varass Suhteellse frekvess pˆ = f / odotusarvo ja varass: E( pˆ ) = p pˆ pq = pˆ = Var( ) D ( ) jossa q = 1 p. Huomaa, että suhteellse frekvess ˆp varass peeee, jos otoskoo aetaa kasvaa. Suhteellse frekvess pˆ = f / stadardpokkeamaa D( pˆ ) = pq kutsutaa tavallsest suhteellse frekvess keskvrheeks ja se kuvaa suhteellse frekvess otosvahtelua oma odotusarvosa p ympärllä. TKK @ Ilkka Mell (006) 6/6
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Suhteellse frekvess otosjakauma Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa, että suhteelle frekvess ˆp otoksessa oudattaa em. oletuste pätessä suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: p pq ˆ a N p, TKK @ Ilkka Mell (006) 7/7
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.1. (a) (b) Koe valmstaa kuulalaaker kuula, jode halkasjat vahtelevat satuasest oudattae ormaaljakaumaa parametre µ = 10 mm, σ = 0.01 mm Pomtaa kuule joukosta ykskertae satuasotos, joka koko = 10. Olkoot X ja s kuule halkasjode artmeette keskarvo ja otosvarass otoksessa. Mtkä ovat artmeettse keskarvo X ja otosvarass s muuokse ( 1)s /σ jakaumat otoksessa? Ääestäjstä 5 % kaattaa puoluetta ABC. Pomtaa ääestäje joukosta ykskertae satuasotos, joka koko = 1000. Mkä o puoluee ABC kaattaje suhteellse osuude f/ approksmatve jakauma otoksessa? Tehtävä 8.1. Mtä opmme? Tehtävä (a)-kohdassa tarkastellaa artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakauma. Tehtävä (b)-kohdassa tarkastellaa suhteellse osuude (approksmatvsta) otosjakaumaa. Tehtävä 8.1. Ratkasu: (a) Oletukse mukaa havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa = 10 µ = 10 mm σ = 0.01 mm = 0.0001 mm Ste kuule halkasjode artmeette keskarvo X oudattaa otoksessa ormaaljakaumaa N(µ,σ /), jossa µ = E( X ) = 10 mm σ 0.0001 = Var( X) = D ( X) = = 0.00001 mm 10 Olkoo s kuule halkasjode varass otoksessa. Tällö satuasmuuttuja ( 1)s /σ oudattaa otoksessa χ -jakaumaa vapausaste 1 = 10 1 = 9 TKK @ Ilkka Mell (006) 8/8
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa (b) Olkoo A = satuasest valttu ääestäjä kaattaa puoluetta ABC Oletukse mukaa Pr(A) = p = 0.5 Pomtaa ääestäje joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o = 1000. Puoluetta ABC kaattave ääestäje suhteelle frekvess pˆ = f / otoksessa oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: p pq ˆ a N p, jossa ss p = Pr(A) = 0.5 q = Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = 0.75 Ste puoluee ABC kaattaje suhteelle frekvess pˆ = f / otoksessa oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa parametre E( pˆ ) = p = 0.5 ˆ ˆ pq 0.5 0.75 0.1875 1000 1000 Var( p) = D ( p) = = = = 0.0001875 TKK @ Ilkka Mell (006) 9/9
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.. (a) (b) Meste ptuus eräässä maassa vahtelee satuasest oudattae ormaaljakaumaa parametre µ = 180 cm, σ = 5 cm Pomtaa meste joukosta ykskertae satuasotos, joka koko = 100. Olkoot X ja s ptuukse artmeette keskarvo ja otosvarass otoksessa. Mtkä ovat artmeettse keskarvo X ja otosvarass s muuokse ( 1)s /σ jakaumat otoksessa? Koee valmstamsta mutteresta 5 % o vallsa. Pomtaa mutterede joukosta ykskertae satuasotos, joka koko = 100. Mkä o vallste mutterede suhteellse osuude f/ approksmatve jakauma otoksessa? Tehtävä 8.. Mtä opmme? Tehtävä (a)-kohdassa tarkastellaa artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakauma. Tehtävä (b)-kohdassa tarkastellaa suhteellse osuude (approksmatvsta) otosjakaumaa. Tehtävä 8.. Ratkasu: (a) Oletukse mukaa havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa = 100 µ = 185 cm σ = 5 cm = 5 cm Ste meste ptuukse artmeette keskarvo X oudattaa otoksessa ormaaljakaumaa N(µ, σ /), jossa µ = E( X ) = 185 cm σ 5 = Var( X) = D ( X) = = 0.5 cm 100 Olkoo s meste ptuukse varass otoksessa. Tällö satuasmuuttuja ( 1)s /σ oudattaa otoksessa χ -jakaumaa vapausaste 1 = 100 1 = 99 TKK @ Ilkka Mell (006) 10/10
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa (b) Olkoo A = satuasest valttu mutter o valle Oletukse mukaa Pr(A) = p = 0.05 Pomtaa muuterede joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o = 100. Vallste mutterede suhteelle frekvess pˆ = f / otoksessa oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: p pq ˆ a N p, jossa ss p = Pr(A) = 0.05 q = Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = 0.95 Ste vallste mutterede suhteelle frekvess pˆ = f / otoksessa oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa parametre E( pˆ ) = p = 0.05 kasvaa. ˆ ˆ pq 0.05 0.95 0.0475 100 100 Var( p) = D ( p) = = = = 0.000475 TKK @ Ilkka Mell (006) 11/11
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Huomautuksa tehtäv 8.1. ja 8..: (1) Tehtäve 8.1. ja 8.. deaa o kertoa stä, mllasa ovat tavaomaste havaosta laskettave otostuuslukuje jakaumat perusjoukossa, jos havatoje jakauma perusjoukossa tuetaa. () Otostuuslukuje jakauma koskevat tulokset ovat kutek epäoperatoaalsa, koska jakaume parametreja e yleesä tueta. (3) Jos havatoje jakauma parametreja e tueta, e vodaa pyrkä estmomaa el arvomaa otoksesta saatuje tetoje perusteella; ks. lukua Tlastollste malle parametre estmot. (4) Perusjouko parametre arvosta tehtyjä oletuksa vodaa pyrkä testaamaa tlastollsest otoksesta saatuje tetoje perusteella; ks. lukua Tlastollste hypoteese testaus. (5) Myös perusjouko jakauma tyyppä koskeva oletuksa vodaa pyrkä testaamaa tlastollsest otoksesta saatuje tetoje perusteella; ks. lukua Yhteesopvuude, homogeesuude ja rppumattomuude testaame. TKK @ Ilkka Mell (006) 1/1
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.3. Olkoot X, = 1,,, rppumattoma ormaaljakautueta satuasmuuttuja, jode odotusarvo E(X ) = µ ja varass Var(X ) = σ. Tarkastellaa seuraava todeäkösyyksä: (1) Pr(X > µ + σ) () Pr(X 1 + X + + X > (µ + σ)) (3) Pr( X > µ + σ) Tehtävät: (a) Määrää todeäkösyys (1). (b) Todsta, että todeäkösyys () o peemp ku todeäkösyys (1), jos >1. (c) Todsta, että todeäkösyys () peeee, ku +. (d) Todsta, että todeäkösyys (3) o sama ku todeäkösyys (). (e) Määrää todeäkösyys (), ku = 10. Tehtävä 8.3. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat samaa ormaaljakaumaa ja vertallaa yksttäse muuttuja, muuttuje summa ja muuttuje artmeettse keskarvo jakauma. Tehtävä 8.3. Ratkasu: Oletukse mukaa X1, X,, X X N( µσ, ), = 1,,, (a) Helpost ähdää, että X µ Pr( X > µ + σ) = Pr > 1= Pr( Z > 1) σ jossa stadardotu satuasmuuttuja Z = µ σ X oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: Z N(0,1) TKK @ Ilkka Mell (006) 13/13
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Normaaljakauma taulukode mukaa Pr( Z 1) = 0.8413 jote komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa kysytty todeäkösyys o Pr( Z > 1) = 1 Pr( Z 1) = 0.1587 (b)&(c) Olkoo Tällö Y = X = 1 E(Y) = µ Koska satuasmuuttujat X, = 1,,, o lsäks oletettu rppumattomks, Var(Y) = σ Ste kaklle > 1 pätee Pr( ( )) Pr Y µ Y > µ + σ = > = Pr( Z > ) < Pr( Z > 1) σ jossa stadardotu satuasmuuttuja X µ Z = σ oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: Z N(0,1) Todeäkösyydet Pr( Z > ) muodostavat adost väheevä lukujoo, jos + (d) Tulos o trvaalst sama ku kohdassa (c), koska Pr( X > µ + σ ) = Pr( Y > ( µ + σ )) TKK @ Ilkka Mell (006) 14/14
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa (e) Jos = 10, (c)-kohdasta seuraa, että Pr( X1+ X + + X > ( µ + σ )) = Pr( X + X + + X > 10( µ + σ )) 1 10 = Pr( Z > 10) = Pr( Z > 3.16) jossa stadardotu satuasmuuttuja X µ X 10µ Z = = σ σ 10 oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: Z N(0,1) Normaaljakauma taulukode mukaa Pr( Z 3.16) = 0.999 jote komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa kysytty todeäkösyys o Pr( Z > 3.16) = 1 Pr( Z 3.16) = 0.0008 TKK @ Ilkka Mell (006) 15/15
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.4. Oletetaa, että havaot X, = 1,,, 100 muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(1,4). Määrää todeäkösyys, että havatoje artmeette keskarvo X saa suurempa arvoja ku 1.1. Tehtävä 8.4. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa artmeettse keskarvo otosjakaumaa. Tehtävä 8.4. Ratkasu: Oletetaa, että havaot X, = 1,,, 100 muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa µ = 1 σ = 4 Olkoo havatoje X, = 1,,, 100 artmeette keskarvo 100 1 1 X = X = X = 1 100 = 1 Oletukssta seuraa, että satuasmuuttuja X oudattaa ormaaljakaumaa parametre µ ja σ / : jossa ss σ X N µ, µ = 1 σ 4 1 = = = 0.04 100 5 Tehtävää o määrätä todeäkösyys Pr( X > 1.1) TKK @ Ilkka Mell (006) 16/16
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Selväst X µ 1.1 µ Pr( X > 1.1) = Pr > σ / σ / 1.1 1 = Pr Z > / 100 = Pr > 0.5 ( Z ) jossa stadardotu satuasmuuttuja X µ Z = σ / oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: Z N(0,1) Normaaljakauma taulukode mukaa Pr(Z 0.5) = 0.6915 jote komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa kysytty todeäkösyys o Pr( X > 1.1) = Pr( Z > 0.5) = 1 Pr( Z 0.5) = 1 0.6915 = 0.3085 TKK @ Ilkka Mell (006) 17/17
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.5. Oletetaa, että suomalaste meste ptuus o ormaaljakautuut parametre µ = 175 cm ja σ = 5 cm. Pomtaa meste joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o 100. Määrää lukuarvo, jota suurempa arvoja havatoje artmeette keskarvoa saa todeäkösyydellä 0.01. Tehtävä 8.5. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa artmeettse keskarvo otosjakaumaa. Tehtävä 8.5. Ratkasu: Oletetaa, että havaot X, = 1,,, 100 muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa µ = 175 σ = 5 Olkoo havatoje X, = 1,,, 100 artmeette keskarvo 100 1 1 X = X = X = 1 100 = 1 Oletukssta seuraa, että satuasmuuttuja X oudattaa ormaaljakaumaa parametre µ ja σ / : jossa ss σ X N µ, µ = 175 σ 5 1 = = = 0.5 100 4 Tehtävää o määrätä lukuarvo, jota suurempa arvoja havatoje artmeette keskarvo X saa todeäkösyydellä 0.01. Koska σ X N µ, stadardotu satuasmuuttuja X µ Z = σ / oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: Z N(0,1) TKK @ Ilkka Mell (006) 18/18
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Normaaljakauma taulukosta äemme, että Pr(Z.33) = 0.9901 0.99 Komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa Pr(Z >.33) = 1 Pr(Z.33) 1 0.99 = 0.01 Saamme ste epäyhtälö X µ Z = >.33 σ / josta artmeettselle keskarvolle saadaa ehto σ 5 X > µ +.33 = 175 +.33 = 176.165 100 Ste Pr( X 176.165) = 0.01 TKK @ Ilkka Mell (006) 19/19
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.6. Oletetaa, että havaot X, = 1,,, 101 muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(1,4). Määrää lukuarvo, jota peempä arvoja havatoje otosvarass saa todeäkösyydellä 0.01. Tehtävä 8.6. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa otosvarass otosjakaumaa. Tehtävä 8.6. Ratkasu: Oletetaa, että havaot X, = 1,,, 101 muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa µ = 1 σ = 4 Olkoo havatoje X, = 1,,, 101 artmeette keskarvo 101 1 1 X = X = X = 1 101 = 1 ja otosvarass s 1 X X 1 X X 101 = ( ) = ( ) 1 = 1 100 = 1 Oletukssta seuraa, että satuasmuuttuja jossa ( 1) s V = σ σ = 4 = 101 oudattaa χ -jakaumaa vapausaste ( 1): V χ (100) Tehtävää o määrätä lukuarvo, joka erottaa χ -jakauma vasemmalle häälle todeäkösyysmassa, joka koko o 0.01. χ -jakauma taulukosta ähdää suoraa, että ku Pr(V 70.065) = 0.01 V χ (100) TKK @ Ilkka Mell (006) 0/0
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Koska ( 1) s 100s V = = = 5s σ 4 saamme epäyhtälö 5s 70.065 josta otosvarasslle s saadaa ehto Ste s.803 Pr( s.803) = 0.01 TKK @ Ilkka Mell (006) 1/1
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.7. Oletetaa, että suomalaste meste ptuus o ormaaljakautuut parametre µ = 175 cm ja σ = 5 cm. Pomtaa meste joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o 101. Määrää lukuarvo, jota suurempa arvoja otosvarass saa todeäkösyydellä 0.01. Tehtävä 8.7. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa otosvarass otosjakaumaa. Tehtävä 8.7. Ratkasu: Oletetaa, että havaot X, = 1,,, 101 muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa µ = 175 σ = 5 Olkoo havatoje X, = 1,,, 101 artmeette keskarvo 101 1 1 X = X = X = 1 101 = 1 ja otosvarass s 1 X X 1 X X 101 = ( ) = ( ) 1 = 1 100 = 1 Oletukssta seuraa, että satuasmuuttuja jossa ( 1) s V = σ σ = 5 = 101 oudattaa χ -jakaumaa vapausaste ( 1): V χ (100) Tehtävää o määrätä lukuarvo, joka erottaa χ -jakauma okealle häälle todeäkösyysmassa, joka koko o 0.01: χ -jakauma taulukosta ähdää suoraa, että ku Pr(V 135.807) = 0.01 V χ (100) TKK @ Ilkka Mell (006) /
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Koska ( 1) s 100s V = = = 4s σ 5 saamme epäyhtälö 4s 135.807 josta otosvarasslle s saadaa ehto Ste s 33.9518 Pr( s 33.9518) = 0.01 TKK @ Ilkka Mell (006) 3/3
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.8. Oletetetaa, että teemme 100 tosstaa rppumatota Beroull-koetta, jossa kostukse kohteea oleva tapahtuma A todeäkösyys o 0.. Määrää todeäkösyys, että tapahtuma A suhteelle frekvess tostoje joukossa o suuremp ku 10. Tehtävä 8.8. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa suhteellse frekvess (approksmatvsta) otosjakaumaa. Tehtävä 8.8. Ratkasu: Olkoo f = tapahtuma A frekvess tostoje joukossa f pˆ = = tapahtume A suhteelle frekvess tostoje joukossa = tostoje lukumäärä Koska tostoje lukumäärä = 100 o melko suur, vomme melko hyv approksmoda suhteellse frekvess ˆp otatajakaumaa ormaaljakaumalla: jossa p pq ˆ a N p, p = 0. q = 1 p = 0.8 = 100 Ste stadardotu satuasmuuttuja pˆ p Z = pq/ oudattaa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Z a N(0,1) Koska 10 1 = = 0.1 100 10 tehtävää o määrätä todeäkösyys Pr ( p ˆ > 0.1) TKK @ Ilkka Mell (006) 4/4
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Selväst pˆ p 0.1 p Pr( pˆ > 0.1) = Pr > pq/ pq/ 0.1 0. = PrZ > 0. 0.8 /100 = Pr >.5 ( Z ) jossa stadardotu satuasmuuttuja pˆ p Z = pq/ oudattaa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Z a N(0,1) Normaaljakauma taulukode mukaa Pr(Z.5) = 0.006 jote komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa kysytty todeäkösyys o Pr( pˆ > 0.1) = Pr( Z >.5) = 1 Pr( Z.5) = 1 0.006 = 0.9938 TKK @ Ilkka Mell (006) 5/5
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.9. Oletetaa, että 30 % suomalassta kaattaa NATO:o lttymstä. Pomtaa suomalaste joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o 100. Määrää todeäkösyys, että NATO: kaattaje suhteelle osuus otoksessa o peemp ku 0 %. Tehtävä 8.9. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa suhteellse frekvess (approksmatvsta) otosjakaumaa. Tehtävä 8.9. Ratkasu: Olkoo f = NATO: kaattaje frekvess otoksessa f pˆ = = NATO: kaattaje suhteelle frekvess otoksessa = otoskoko Koska otoskoko = 100 o melko suur, vomme melko hyv approksmoda suhteellse frekvess ˆp otosjakaumaa ormaaljakaumalla: jossa p pq ˆ a N p, p = 0.3 q = 1 p = 0.7 = 100 Ste stadardotu satuasmuuttuja pˆ p Z = pq/ oudattaa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Z a N(0,1) Tehtävää o määrätä todeäkösyys Pr ( p ˆ < 0.0) TKK @ Ilkka Mell (006) 6/6
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Selväst pˆ p 0.0 p Pr( pˆ < 0.0) = Pr < pq/ pq/ 0. 0.3 = PrZ < 0.3 0.7 /100 = Pr <.18 ( Z ) jossa stadardotu satuasmuuttuja pˆ p Z = pq/ oudattaa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Z a N(0,1) Normaaljakauma taulukode mukaa kysytty todeäkösyys o Pr(Z.18) = 0.0146 TKK @ Ilkka Mell (006) 7/7