Kompleksianalyysi, viikko 7

Kompleksianalyysi, viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division

Fourier-muunnoksesta Laplace-muunnokseen Tarkastellaan seuraavassa kausaalisia signaaleja eli signaaleja x(t), joille x(t) 0 kaikilla t < 0 (ennen ajanhetkeä t = 0 signaali on nollasignaali). Korvataan Fourier-muunnoksessa iω muuttujalla s, jolloin F(x)(ω) = e iωt x(t)dt sij. = e st x(t)dt. Integraalia 0 0 e st x(t)dt merk. = L(x)(s) sanotaan signaalin x(t) Laplace-muunnokseksi, missä yleisesti sallitaan s C. Kausaaliselle signaalille siis Fourier-muunnos pisteessä f on sama kuin Laplacemuunnos pisteessä s = iω, eli F(x)(f) = L(x)(iω). 0 2 / 25

Näytteistys Digitaalisessa maailmassa meillä ei ole jatkuvia signaaleja, vaan pelkästään näytteitä niistä. Aikadiskreettejä signaaleja voidaan kuvata jonojen avulla. Otetaan kausaalisesta signaalista x(t) näytteitä tasaisin aikavälein t, jolloin jatkuvasta signaalista saadaan diskreetti jono signaalin arvoja pisteissä k t: x(t) näytteistys (x(0),x( t),x(2 t),...) = (x(k t)) k=0. Jatkossa usein oletetaan, että t = 1. Tämä ei rajoita yleistä tapausta, sillä jono (x(k t)) k=0 voidaan nimetä uudelleen asettamalla y(k) = x(k t) ja tarkastelemalla jonoa (y(k)) k=0 alkuperäisen sijaan. 3 / 25

Näytteistyksen havainnollistus Alla oleviin kuviin on piirretty kausaalinen signaali ja siitä tasaisin aikavälein otetut näytteet (mustat pisteet). Kuva 1 : Näytteistys signaalista x(t) = sint aikavälein t = π 4. Kuva 2 : Näytteistys signaalista x(t) = exp( t) yksikköaikavälein. 4 / 25

Laplace-muunnoksen diskretisointi Jos t on pieni, niin dt t ja Laplace-muunnoksen integraali on likimain summa 0 x(t)e st dt x(k t)e k ts t. k=0 Merkitään z = e s t, missä nyt z = e tre(s) ja arg(z) = tim(s), jolloin oikean puolen summa on muotoa missä y(k) = x(k t). t y(k)z k, k=0 5 / 25

Z-muunnos Nyt voidaan asettaa määritelmä Määr. 1 Jonon (x(k)) k=0 Z-muunnos on X(z) := Z(x)(z) = x(k)z k. Jos meillä on ei-kausaalinen jono (x(k)) k=, niin Z-muunnos määritellään asettamalla X(z) = x(k)z k (1) k= k=0 Tämän vuoksi Määritelmän 1 muunnosta kutsutaan myös yksipuoliseksi Z-muunnokseksi ja kaavan (1) muunnosta kaksipuoliseksi Z-muunnokseksi. 6 / 25

Z-muunnos Koska yksipuolinen Z-muunnos on yleisempi, käsitellään jatkossa ainoastaan sitä. Lisäksi Huomautus 1 Ellei toisin mainita, jatkossa käsitellään ainoastaan kausaalisia signaaleja x(t), jotka on diskretisoitu yksikköaikavälein. Tarkastelemme siis jonoja (x(n)) n=, joille x(n) = 0 kaikilla n < 0. Koska jono häviää negatiivisissa kokonaislukupisteissä, aloitetaan indeksointi nollasta ja jonoa merkitään (x(n)) n=0. Usein jätetään myös indeksointi merkitsemättä ja jonoa merkitään yksinkertaisesti x(n). Tulkinta: Z-muunnoksen voidaan siis ajatella olevan aikadiskreetin näytejonon Laplace-muunnos. 7 / 25

Esimerkkejä Z-muunnoksen laskemisessa on hyödyksi geometrisen sarjan summakaava z k = 1, z < 1. 1 z Esim. 1 k=0 Laske jonon (x(n)) n=0, missä x(n) = exp(σn) ja σ R, Z-muunnos. Millä z:n arvoilla sarja suppenee. Milloin yksikköympyrä {z C : z < 1} sisältyy suppenemisalueeseen? Esim. 2 Olkoon X(z) = 1 b z kausaalisen jonon x(n) Z-muunnos. Mikä on kyseinen jono ja millä z:n arvoilla muunnos on määritelty? 8 / 25

Z-muunnoksen ominaisuuksia Koska Z-muunnos on diskretisoitu Laplace-muunnos, on sillä samanlaisia ominaisuuksia kuin Laplace-muunnoksella. Seuraavaan taulukkoon on koottu tärkeimpiä ominaisuuksia. Jono Z-muunnos Ominaisuus αx(n) +βy(n) αx(z)+βy(z) Lineaarisuus x(n n 0 ) z n 0 X(z) Aikasiirto a n x(n) X(a 1 z) Skaalaus z-puolella nx(n) Muunnoksen derivointi x(n) X(z) Kompleksikonjugointi x(n) y(n) X(z)Y(z) Konvoluution muunnos Yllä merkinnällä x(n) y(n) tarkoitetaan diskreettiä konvoluutiota x(n) y(n) = z dx(z) dz n x(k)y(n k), n = 0,1,2,... k=0 9 / 25

Diskreetti Fourier-muunnos Rajoittamalla Z-muunnoksen argumentti z yksikköympyrälle { z = 1} saadaan argumentille eksponenttiesitys z = e iω, ω R. Tällöin Z-muunnos voidaan kirjoittaa muodossa X(ω) merk. = Z(x)(e iω ) = n= x(n)e iωn, jota sanotaan diskreetiksi Fourier-muunnokseksi. Huomaa, että kausaaliselle jonolle (x(n)) n=0 X(ω) = x(n)e iωn, n=0 joka on diskretisoitu Laplace-muunnos rajoitettuna yksikköympyrälle. 10 / 25

Diskreetti LTI-systeemi Aikadiskreettejä systeemejä voidaan kuvata mustalaatikkomallilla x(n) h(n) y(n) Systeemin heräte on jono (x(n)) n=0 ja vaste on jono (y(n)) n=0 = L((x(n)) n=0 ), missä L on systeemin toiminnan määräävä funktio. Yleensä käytetään merkintää y(n) = L(x(n)). Tärkeän erikoistapauksen muodostavat lineaariset (Linear), aikainvariantit (Time Invariant) LTI-systeemit. 11 / 25

Diskreetti kausaalinen LTI-systeemi Lineaarisuus ja aikainvarianttisuus tarkoittavat seuraavaa. Systeemi on (i) lineaarinen, jos L(αx 1 (n)+βx 2 (n)) = αl(x 1 (n))+βl(x 2 (n)); (ii) aikainvariantti, jos L(x(n n 0 )) = y(n n 0 ). Siis, jos tunnetaan yksittäisten jonojen x 1 (n) ja x 2 (n) vasteet, niin niiden lineaarikombinaation αx 1 (n)+βx 2 (n) vaste on jonojen x 1 (n) ja x 2 (n) vasteiden y 1 (n) ja y 2 (n) lineaarikombinaatio αy 1 (n)+βy 2 (n). Toisaalta, jos herätettä viivästetään n 0 aikayksikköä, niin vasteessa näkyy täsmälleen sama viive. Sanotaan, että systeemi on kausaalinen, jos ajanhetken n vaste y(n) riippuu ainoastaan herätteen x(k) arvoista ajanhetkillä k n (so ei myöhemmin tulevista arvoista). 12 / 25

Impulssivaste Mikä tekee LTI-systeemien analyysin helpoksi, on se hämmästyttävä tosiasia, että systeemin toiminnan määrää täysin aikadiskreetin yksikköimpulssin { 1, n = 0, δ(n) = 0, n 0. vaste, jota merkitään h(n) = L(δ(n)) ja sanotaan systeemin impulssivasteksi. Voidaan nimittäin osoittaa, että kausaalisen LTI-systeemin vaste määräytyy kaavalla y(n) = n h(n k)x(k), n = 0,1,2,..., (2) k=0 kaikille kausaalisille herätteille x(n). 13 / 25

Siirtofunktio Kaavan (2) mukaan vaste on impulssivasteen ja herätteen konvoluutio y(n) = h(n) x(n). Sovelluksissa tarkastellaan usein aikapuolen sijaan taajuuspuolta, eli halutaan tietää systeemin toiminta eri taajuuksilla. Ottamalla kaavassa (2) puolittain Z-muunnos, saadaan missä Y(z) = H(z)X(z), (3) H(z) = h(k)z k (4) k=0 on systeemin siirtofunktio. Siirtofunktio on siis impulssivasteen Z-muunnos. 14 / 25

Esimerkki Esim. 3 Systeemin impulssivaste on h(k) = a k, a C. Laske siirtofunktio H(z). Millä z:n arvoilla H(z) { on määritelty? Määrää askelvaste eli 0, k < 0 vaste kun heräte on x(k) = 1, k 0. 15 / 25

Siirtofunktio Systeemin toiminnan määrää siis täysin impulssivasteen ohella siirtofunktio. Koska siirtofunktio on määritelmän mukaan kompleksinen sarja, ei ole selvää onko se aina määritelty. Sarjan (4) suppenemisalue on luentoviikon 5 mukaan aina origokeskisen ympyrän ulko-osa edellyttäen, että sarja ylipäänsä suppenee. Impulssivaste ja siirtofunktio muodostavat Z-muunnosparin h(k) H(z), k = 0,1,... Laurentin kehitelmän mukaan h(k) = 1 H(z)z k 1 dz, 2πi S r missä S r sulkee sisäänsä kaikki H(z):n navat. Z-käänteismuunnos 16 / 25

Esimerkkejä Rationaalifunktion Z-käänteismuunnos on usein helpompi määrätä kompleksisen käyräintegraalin kuin osamurtohajotelman avulla. Esim. 4 Diskreetin kausaalisen LTI-systeemin siirtofunktio on H(z) = Määrää systeemin impulssivaste h(k). Esim. 5 z z 2 1 12 z 1, z > 1 3. 12 Olkoon H(z) = 2z3 3z 2 z erään kausaalisen LTI-systeemin (z 1) 2 (z 3) siirtofunktio. Määrää systeemin impulssivaste 17 / 25

BIBO-stabiilisuus Yleensä LTI-systeemeiltä edellytetään stabiilisuutta. Määritellään mitä stabiilisuudella tarkoitetaan. Määr. 2 (BIBO-stabiilisuus) Diskreetti LTI-systeemi (digitaalinen suodatin) on stabiili (BIBO stable), jos vaste (y(n)) n=0 on rajoitettu aina kun heräte (x(n)) n=0 on rajoitettu. BIBO tulee sanoista Bounded Input Bounded Output Stabiilisuus voidaan luonnehtia impulssivasteen avulla. Lause 1 Diskreetti LTI-systeemi on stabiili jos ja vain jos h(k) <. 18 / 25

Todistus jos : Olkoon (x(k)) k=0 rajoitettu, eli Vaste on ja y(n) = y(n) k eli y(n) on rajoitettu. vain jos sivuutetaan. x(k) K, k = 0,1,... h(k)x(n k), n = 0,1,2,... k=0 h(k) x(n k) K h(k) }{{} K k }{{} < <, 19 / 25

Stabiilisuus ja H(z):n navat Siirtofunktio on usein (supistetussa muodossa oleva) rationaalifunktio H(z) = A(z) B(z), missä A:lla ja B:llä ei ole yhteisiä tekijöitä. Tällöin stabiilisuus voidaan luonnehtia siirtofunktion napojen avulla. Lause 2 Olkoon kausaalisen diskreetin LTI-systeemin siirtofunktio rationaalifunktio. Tällöin systeemi on stabiili jos ja vain jos kaikki navat ovat yksikköympyrän sisällä. 20 / 25

Taajuusvastefunktio Jos yksikköympyrä sisältyy alueeseen, jossa Z-muunnos on äärellisenä olemassa, niin merkitsemällä z = e iω saadaan taajuusvastefunktio H(ω) = H(e iω ) = h(n)e iωn, n=0 joka on siis kausaalisen jonon h(n) diskreetti Fourier-muunnos. Usein taajuusvastefunktio on järkevä jakaa amplitudivasteeseen H(ω) ja vaihevasteeseen Arg(H(ω)). 21 / 25

Esimerkki Esim. 6 Tarkastellaan differenssiyhtälöä y(n) = a 1 y(n 1)+a 2 y(n 2)+x(n), missä a i R. (a) Määrää vastaavan systeemin siirtofunktio ja tutki millä ehdoilla systeemi on stabiili. (b) Määrää stabiilissa tapauksessa systeemin taajuusvastefunktio. (b) Parametrisoi siirtofunktio napojen pituuden ja vaihekulman suhteen ja tutki parametrien vaikutusta taajuusvastefunktioon. 22 / 25

Esimerkin 6 amplitudivasteita Esimerkin 6 amplitudivaste eri parametrien arvoilla, kun navalle on käytetty merkintää z 1 = re iω. Kuva 3 : Amplitudivaste, kun r = 0.8 ja ω = π 4, ω = π 2 ja ω = 3π 4. Kuva 4 : Amplitudivaste, kun ω = π 2 ja r = 0.5, r = 0.75 ja r = 0.95. 23 / 25

Lopetetaan kurssi seuraavaan Tampereen teknillisen yliopiston matematiikan emeritusprofessori Armo Pohjavirran lausahdukseen: Insinöörille matematiikka on kuin kulmakarvat. Eihän niistä mitään varsinaista hyötyä ole, mutta otapa pois, niin johan on kumman näköinen. 24 / 25

Mutta tähänpä onkin hyvä lopettaa tämä kurssi. Kiitoksia mielenkiinnosta! 25 / 25