Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys o dt/τ kute Drude mallissaki relaksaatioaika τ riippuu elektroi vyöideksistä ja elektroi paikasta faasiavaruudessa, ts τ = τ r, k Määritellää jakaumafuktio g r, k, t site, että vyöllä hetkellä t faasiavaruude tilavuudessa dr pistee r, k ympäristössä olevie elektroie lukumäärä o g r, k, tdr /4π 3 ermisessä tasapaiossa jakaumafuktio redusoituu Fermi-distribuutiofuktioksi fe k, missä fe = e E µ/k B + Jakautumafuktio lasku Jakaumafuktiosta oletamme, että elektroi törmäykse jälkeie distribuutiofuktio o täysi riippumato törmäystä välittömästi edeltävästästä jakaumasta g r, k örmäyksessä elektroi siis uohtaa kaike se tiedo, joka sillä mahdollisesti oli termisestä epätasapaiosta 2 jos elektroi jakauma pistee r ympäristössä paikallisessa lämpötilassa r oudattaa tasapaiodistribuutiota g r, k, t = gr, 0 k = e Ek µr/k B r +, ii törmäykset eivät muuta jakaumafuktio muotoa örmäykset siis pitävät yllä paikallista termistä tasapaioa Jakautumafuktio differetiaali dg r, k, t esittää iitä elektroeja, jotka törmättyää hetkellä t ovat aikavälillä dt siroeet pistee r ympäristöö Huomataa, että dg ei riipu jakaumafuktio yksityiskohtaisesta muodosta oletus Se voidaa ii olle määrittää mitä tahasa jakaumaa käyttäe koska tasapaiojakauma muoto ei muutu törmäyksissä oletus 2, yksikertaisi tapa suuree dg määräämiseksi o käyttää jakaumaa g 0 r, k vyöllä paika r läheisyydessä olevista aaltovektori k omaavista elektroeista aikavälillä dt siroavie osuus o dt/τ r, k jotta tasapaiojakauma säilyisi törmäyksistä huolimatta muuttumattomaa, täytyy vyölle siroeide elektroie lukumäärä olla sama kui vyöltä siroeide elektroie lukumäärä Saamme siis relaatio dg r, k, t = dt τ r, k g0 r, k Vyöllä faasiavaruude pistee r, k lähistöllä tilavuudessa dr hetkellä t olevie elektroie lukumäärä o dr dn = g r, k, t 4π 3 2 Olkoo r t, k t se vyöhö liittyvie semiklassiste liikeyhtälöide ratkaisu, joka hetkellä t = t kulkee pistee r, k kautta: r t = r, k t = k Jaetaa hetkellä t pistee r, k ympäristössä tilavuudessa dr vyöllä olevat dn elektroia ryhmii se mukaa, milloi e viimeksi törmäsivät: Semiklassiste liikeyhtälöide perusteella elektroi, joka viimeie hetkeä t edeltävä törmäys sattui aikavälillä t, t +, o peräisi pistee r t, k t ympäristö tilavuuselemetistä dr Relaksaatioaika-aproksimaatio mukaa pistee r t, k t tilavuuselemetistä dr aikaa siroeide elektroie lukumäärä o dn = τ r t, k t g0 r t, k t dr 4π 3 Liouville teoreema mukaa semiklassiset liikeyhtälöt säilyttävät faasiavaruude tilavuude, jote dr = dr dr, ja siis dn = τ r t, k t g0 r t, k t dr 4π 3 Osa elektroeista dn siroaa ee hetkeä t Olkoo P r, k; t, t todeäköisyys sille, että elektroi ei siroa aikavälillä t, t Elektroeista dn päätyy siis τ r t, k t g 0 r t, k t P r, k; t, t kappaletta hetkellä t pistee r, k tilavuuselemettii dr dr 4π 3
Jokaie elektroeista dn o peräisi jostaki viimeisestä siroasta, ts dn = dr 4π 3 gr 0 t, k t P r, k; t, t τ r t, k t Vertaamalla tätä lausekkeesee 2 saadaa g r, k, t = gr 0 t, k t P r, k; t, t τ r t, k t Käytetää lyhyyde vuoksi merkitöjä gt = g r, k, t g 0 t = g 0 rt, kt τt = τ rt, kt P t, t = P r, k; t, t Distribuutiofuktio voidaa yt kirjoittaa muotoo gt = τt g0 t P t, t arkastellaa iitä vyö elektroeja, joide liikeradat hetkellä t kulkevat pistee r, k kautta Fuktio P t, t ilmoittaa, mikä o iide elektroie osuus, jotka eivät törmää aikavälillä t, t Koska aikavälillä t, t + törmäykse todeäköisyys o /τt, väheee P tällä samalla aikavälillä kute P t, t = P t, t + dt τt ästä saadaa todeäköisyydelle differetiaaliyhtälö Reuaehdo toteuttava ratkaisu o t P t, t = P t, t τt P t, t = P t, t = e t d t/τ t Sijoittamalla differetiaaliyhtälö distribuutiofuktio lausekkeesee saadaa gt = g 0 t t P t, t Ku itegroidaa osittai ja huomataa, että jokaie elektroi siroaa joskus, ts P t, = 0, saadaa distribuutiofuktiolle lauseke gt = g 0 t P t, t d g0 t Distribuutiofuktio gt o siis tasapaiojakauma fuktio g 0 t plus korjaustermi asapaiojakauma g 0 t oli g 0 r, k = e Ek µr/k B r + Se aikariippuvuus o siis termeissä E k t, r t ja µr t, jote dg 0 t = g0 k E + g0 r dr + g0 µ rµ dr Semiklassiste liikeyhtälöide mukaa o Nyt dr = v k = h ke h = e Er, t + c v k Hr, t k E = ev E + c v H = ev E, sillä opeus v o kohtisuorassa Loretz-voimaa v H vastaa Fermi-fuktio fe = e E µ/k B + avulla jakauma g voidaa yt kirjoittaa muotoo gt = g 0 t + f v P t, t ee µ E µ Yksikertaistuksia Piei sähkökettä ja lämpötilagradietti Oletetaa sähköketä oleva ii heiko ja lämpötilagradieti ii piee, että idusoituva virra laskemiseksi o tarpee ottaa huomioo vai äistä lieaarisesti riippuvat termit Koska ämä esiityvät jakaumafuktio gt lausekkeessa jo eksplisiittisesti lieaarisia, ei ketä E tai gradieti riippuvuutta ole tarpee eää ottaa mukaa todeäköisyytee P t, t ämä voidaa siis laskea ollaketässä ja vakiolämpötilassa 2 Paikasta riippumato kettä,lämpötilagradietti ja relaksaatioaika Distribuutio gt lausekkee itegradi o yt riippumato paikkavektorista r t Aioa ajasta t riippuva suure o k t mahdollisesti myös E ja, joka seki riippuu ajasta vai, jos systeemii vaikuttaa mageettikettä Fermifuktio f o seki ajasta riippumato, sillä se o aioastaa mageettiketässä säilyvä liikevakio E k fuktio Itegradi riippuvuus ajasta t o siis pelkästää termeissä P t, t ja vk t ja mahdollisesti ketässä E ja gradietissa 3 Eergiasta riippuva relaksaatioaika Jos elektroie sirota riippuu merkittävästi aaltovektorista k, ii koko relaksaatioaikamalli soveltuvuus o kyseealaista Siksi tässä mallissa usei oletetaa lisäksi, että τ riippuu aaltovektorista aioastaa eergia E k välityksellä Koska E k säilyy
magettiketässä, τt ei riipu ajasta t odeäköisyyde P t, t lauseke voidaa yt itegroida: P t, t d t = exp = e t t /τe k t τ t Sijoittamalla tämä jakauma g lausekkeesee saadaa gk, t = g 0 k + vkt e t t /τek eet µt Ek µ DC johtavuus Jos mageettikettä H o olla, ii kt ei riipu ajasta t Sähköketä ja lämpötilagradieti ollessa staattisia ja lämpötila lisäksi paikasta riippumato saadaa tällöi jakaumafuktioksi gk = g 0 k ee vkτek Määritelmä mukaa gkdr /4π 3 oli tietyllä vyöllä pistee r, k ympäristössä tilavuudessa dr olevie elektroie lukumäärä Paikassa r kyseise vyö kotribuutio virtatiheytee o siis j = e 4π 3 vkgk Virtatiheys riippuu siis lieaarisesti ketästä E g 0 k o isotrooppie, jote g 0 v = 0, ja voidaa kirjoittaa muotoo j = σ E Kokoaisvirtatiheys saadaa summaamalla yli kaikkie osittai täytettyje vöide Kirjoittamalla kokoaisvirtatiheys edellee yo muotoo johtavuustesori σ o summa Huom 3 Lämpötila ollessa olla Fermifuktio redusoituu askelfuktioksi ja se derivaatta deltafuktioksi: f = δe E F Koska semiklassiste liikeyhtälöide mukaa o vk = h kfek, voidaa johtavuustesori lausekkeessa itegroida osittai: σ = e 2 τe F 4π 3 h fek kvk Koska f o askelfuktio θe F E, itegroiti ulottuu vai miehitettyje tiloje yli Efektiivie massatesori määriteltii kute M k = h kvk Johtavuus voidaa siis kirjoittaa muotoo σ = e 2 τe F 4π 3 M k miehitetyt Koska M o periodise fuktio gradietti, se alkeiskopi yli laskettu itegraali häviää Voimme siis kirjoittaa myös σ = e 2 τe F miehittämättömät 4π 3 M k Voidaa siis ajatella, että virtaa kuljettavatki aukot, kuha vaihdetaa efektiivise massatesori merkki Huom 4 Jos M o diagoaalie, ts σ = σ M µν = m δ µν eri vöitä vastaavista johtavuustesoreista σ = = e 2 4π 3 τ E kv kv k E=E k Huom esori σ ei yleesä ole diagoaalie, ts virta ja sähkökettä eivät ole yhdesuutaisia O kuiteki helppo ähdä, että kuutiosymmetrisissä kiteissä virta ja idusoiva sähkökettä ovat yhdesuutaisia Huom 2 Fermifuktio derivaatta o huomattavasti ollasta poikkeava aioastaa Fermipia Ek = E F läheisyydessä ämä o yhteesopiva se aikaisemma havaio kassa, että täydet vyöt eivät kuljeta virtaa ja riippumato aaltovektorista k, redusoituu johtavuus Drude malli mukaiseksi lausekkeeksi σ µν = e2 τ m δ µν AC johtavuus Oletetaa, että sähköketä aikariippuvuus o muotoa Distribuutiofuktio o yt gk, t = g 0 k + vkt Et = Eωe iωt e t t /τek eeωe iωt µt Ek µ
Jos mageettikettä o olla ja ajasta ja paikasta riippumato, saadaa jakaumaksi gk = g 0 eeω vk k /τek iω Johtavuus lasketaa aiva samoi kui DC tapauksessaki Vyö kotribuutio johtavuutee riippuu yt frekvessistä kute σ ω = e 2 τ E kv kv k 4π 3 iωτ E k E=E k ämä o sama kui DC johtavuus jaettua termillä iωτ Semiklassise malli paikkasapitävyys voidaa tarkistaa rajalla ωτ Malli atama johtavuustesori o tällöi σ ω = e2 iω 4π 3 v kv k f E=E k Kirjoittamalla jällee hvk f/ = k fek ja itegroimalla osittai saadaa johtavuude kompoeteiksi σ µν ω = e2 iω 4π 3 fe k 2 E k h 2 k µ k ν Ehto ωτ voidaa tulkita ehdoksi τ, ts elektroit eivät törmäile oisaalta törmäyksettömässä tilateessa o suhteellise suoraviivaista laskea kvattimekaaisesti ulkoise sähköketä aiheuttamat lieaariset korjaukset Blochi tiloihi Ku korjatuissa Blochi tiloissa lasketaa virtaoperaattori odotusarvot pitäytye vai sähköketä lieaarisii termeihi, päädytää johtavuustesori kvattimekaaisee lausekkeesee Osoittautuu, että tämä o ekvivaletti semiklassise tulokse kassa edellyttäe, että hω o piei verrattua kaikkie miehitettyje vöide eergiarakoihi ermie johtavuus arkastellaa ii pietä kiiteä aiee aluetta, että lämpötila voidaa ajatella oleva siellä vakio ällä alueella lämpömäärä muutos o suoraa verraollie etropia muutoksee: dq = ds ermie virtatiheys j q o site lämpötila ja etropiavirtatiheyde j s tulo: j q = j s ermodyamiika esimmäise pääsääö mukaa o ds = du µ dn Etropia-, eergia- ja hiukkasvirtatiheyksille o siis vastaavasti voimassa j s = j E µj Aalogisesti varausvirtatiheyde j = 4π 3 ev kg k, ku elektroit kuljettavat varaukse e asemasta eergiaa E k tai lukumäärääsä, voidaa kirjoittaa j E = 4π 3 E kv kg k j = 4π 3 v kg k Sijoittamalla ämä termise virtatiheyde lausekkeesee saadaa j q = 4π 3 E k µv kg k Ku merkitää E = E + e µ, saadaa mageettiketässä H = 0 ja tasaisessa sähköketässä jakaumafuktiolle lauseke gk = g 0 k + τek vk ee + Ek µ Määritellää tesorit L α site, että L α = = e 2 4π 3 ja matriisit L ij site, että τekvkvkek µ α, L = L 0 L 2 = L 2 = e L L 22 = e 2 L2 Sekä varaus- että termie virtatiheys voidaa kirjoittaa äide matriisie avulla kute j = L E + L 2 j q = L 2 E + L 22 Määrittelemällä apusuure σe = e 2 τe δe Ekvkvk 4π3 voidaa L α kirjoittaa hiema yksikertaisempaa muotoo L α = de { E µ α σe Huom Metalleilla o f/ = δe E F tarkkuudella k B /E F 2 Metalli DC johtavuus o siis samalla tarkkuudella σe F
esori L α voidaa laskea soveltamalla Sommerfeldi kehitelmää HEfEdE µ lausekkeesee L α = = HEdE + π2 6 k B 2 H µ kb 6 + 7π4 360 k B 4 H µ + O µ Edellee huomioidaa, että defe d de E µα σe kemiallie potetiaali toteuttaa ehdo µ E F suure f/ poikkeaa merkittävästi ollasta vai alueella Ok B eergia E = µ ympäristössä tesoreissa L ja L 2 esiityvä tekijä saa iide itegradit häviämää pisteessä E = µ ällöi kertalukuu k B /E F 2 saakka saadaa matriiseille L lausekkeet missä L = σe F = σ L 2 = L 2 = π2 3e k B 2 σ L 22 = π2 3 k 2 B e 2 σ, σ = σe E=EF Nämä lausekkeet ovat voimassa myös useamma osittai miehitety vyö tapauksessa ällöi matriisielemetit σ ij E o laskettava summaa yli kaikkie osittai miehitettyje vöide Oletetaa koejärjestely oleva sellaise, että varausvirtaa j = L E + L 2 ei kulje, ts j = 0 Kettä E voidaa silloi kirjoittaa muotoo E = L L 2 Sijoitetaa tämä termise virra lausekkeesee Ku merkitää j q = L 2 E + L 22 j q = K, ähdää, että termie johtavuustesori K o K = L 22 L 2 L L 2 Metalleilla termi σ o tyypillisesti kertalukua σ/e F, jote tesori K jälkimmäie termi o kertalukua k B /E F 2 L 22 verrattua esimmäisee termii Useimmissa tapauksissa ei puolijohteissa pitää ii olle paikkasa 2 K = π2 kb σ 3 e ämä o Wiedema-Frazi laki