Optimoitimeetelmät Kirjallisuutta: Rardi Roald R.: Optimizatio i Operatios Research, 998 Wisto Waye L.: Operatios Research. Applicatios ad Algorithms, 3rd editio, 994. Matemaattie mallius ja ogelmie ratkaisu Kaikille tuttua (?) o fysikaaliste ilmiöide matemaattie mallius Newtoi, Eisteii je. laeilla. Tällä kurssilla pyritää mallitamaa ihmiste suorittamie operaatioide suuittelua. Tällaisia ovat esimerkiksi työvuoroje suuittelu ja käytettävissä olevie varoje tuottava ivestoiti. Malli muodostaa tällöi ogelma oleelliste piirteide kuvaamisee tarvittavie muuttujie ja relaatioide joukko. Operaatioaalyysi (operatios research, maagemet sciece, Uterehmesforschug, issledowaie operacij) o kvatitatiiviste meetelmie systemaattista käyttöä eri orgaisaatioide toimiassa esiityvä päätökseteo avustamiseksi. Operaatioaalyysiä suoritettaessa muodostetaa ogelmalle matemaattie malli, jota aalysoimalla pyritää saamaa selvät toimitaohjeet päätöksetekoa varte. Aalysoiti tarkoittaa yleesä toimia jokilaista optimoitia. Erilaiste toimitavaihtoehtoje vertailu täytyy perustua yhteismitallisii suureisii, jotka kuvaavat orgaisaatio tulevaa meestystä. Tällaie kriteeri o usei raha (suuri tuotto tai pieimmät kustaukset), joskus myös aika (opei tapa tehdä jotaki). Todellise elämä ogelmat ovat aia valitettava moimutkaisia. Siksi ratkaisussa yleesä joudutaa käyttämää apua tietokoetta. Malli atama tulos o kuiteki vai päätösehdotus ja lopullise päätökse tekee ihmie käyttäe lisäksi apuaa kokemusta, ituitiota ja tervettä järkeä.. Sovellutuksista Operaatioaalyysi o osoittautuut hyödylliseksi erittäi moissa liike-elämä, teollisuude, julkishallio sekä puolustusvoimie päätökseteko-ogelmissa. Esimerkki. Tarkastellaa pietä timattitukkukauppaa pitävää Mortimer Middlemaia (MM). Useita kertoja vuodessa häe o käytävä Atwerpeissä täydetämässä varastojaa. Timatit maksavat siellä 700 $ karaatilta, ja miimiostokse timattipörssistä o oltava aia vähitää 00 karaattia. Timatit Mortimer myy kultasepille 200 $ voitolla karaatilta. Jokaie Atwerpei matka maksaa 2000 $ ja kestää viiko. Timattie viikottaie kysytä o ollut keskimääri 55 karaattia viikossa ja edellise vuode tilaetta viikottai esittää kuva Ku vuode alussa varastossa oli 00 karaattia ja Atwerpei ostot oheise kuva
2 mukaisia ii voidaa laskea viikottaiset varastotilateet. Oletetaa, että jos varastosta ei löydy tarpeeksi timatteja, ii ostaja ei jää odottamaa täydeyserä tuloa vaa ostaa timattisa joltaki kilpailijalta. Varastoidut timatit täytyy vakuuttaa ja iihi o sitoutuut pääomaa. MM o estimoiut, että varasto ylläpito maksaa 0.5% häe maksamastaa hiasta eli 0. 005 700 = 3.5 $ karaatilta viikossa, ja häestä tutuu että edellise vuode toteutueessa varastotilateessa häellä o varsiki loppuvuodesta ollut liia paljo tavaraa. Kuiteki eljää viikkoa o timatteja ollut liia vähä ja MM o meettäyt se takia seuraavat tilaukset ja tämä takia hä ei ole saaut iistä tarjolla olevaa 200 $ voittoa karaatilta. Ylläolevassa tilateessa ovat varastoitikustaukset 38409 $, meetetystä myyistä saamattomat voitot 3600 $ ja matkakustaukset 24000 $ eli yhteesä 94009 $. Voiko MM toimia järkevämmi?.2 Optimoiti ja operaatioaalyysi Operaatioaalyysissa pyritää mallitamaa edellise kohda esimerki kaltaisia päätökseteko-ogelmia ja koko prosessia voidaa esittää kaaviolla
3 ogelma mallius malli tarkkailu aalyysi toimeepao ehdotus johtopäätökset Esimmäisessä vaiheessa suoritetaa mallius, jossa määritellää muuttujat, parametrit ja vakiot sekä iide väliset relaatiot. Aalyysivaiheessa tutkitaa mallia ja pyritää selvittämää mitä johtopäätöksiä siitä saadaa. Nämä johdetaa siis mallista ja e voivat olla koviki huooja. Jos e äyttävät järkeviltä, voidaa e esittää päätöksetekijälle toimeepaoa varte. Mikäli ratkaisu ei toimi riittävä hyvi, täytyy palata alkuu ja parataa mallia. Mallia muodostettaessa o otettava siihe mukaa a) päätöksetekijä tekemät päätökset, b) päätöksiä rajoittavat ehdot, c) kriteerit joilla voidaa verrata eri päätöste paremmuutta. Edellise kohda esimerkissä MM o päätöksetekijä ja hä tekee jatkuvasti erilaisia päätöksiä, mutta tällaisissa varasto hallitatapauksissa yksikertaistaa usei tilaetta ja rajoitutaa kahtee päätöksee. Mikä o se varasto koko (reorder poit), joho saavuttaessa suoritetaa täydeys ja mikä o tällaise täydeyserä suuruus. Rajoitukset ovat yt yksikertaisia. Selvästikää ei kumpikaa päätös voi saada egatiivisia arvoja. Lisäksi täydeyserä koo täytyy olla vähitää 00. Päätöste vertailukriteeriä ovat selvästiki kokoaiskustaukset. Mortimeri tavoitteea o miimoida varasto ylläpito-, täydeys- ja meetety myyi kustauste summaa. Siis yritetää määrätä eiegatiiviset varasto ja tilauserä koot, jotka miimoivat kokoaiskustaukset. Lisäksi tilauserä o oltava vähitää 00. Optimoitimalleissa esitetää päätöksiä päätösmuuttujia ja etsitää arvoja, jotka miimoivat tai maksimoivat iide avulla muodostettuje kohdefuktioide arvoja ku pysytellää rajoituste sallimalla alueella. Timattiesimerkissä päätösmuuttujat ovat q: kullaki matkalla hakitu timattierä koko r: se varasto taso joka saavuttamie aiheuttaa lisätilaukse tarpee. Rajoitukset ovat q 00 r 0, mutta kohdefuktio c(q,r): kokoaiskustaukset käytettäessä päätösmuuttujia q ja r matemaattie muoto jää vielä avoimeksi Esimerkki. (dieettiogelma). O käytettävissä eri ruoka-aietta (: hahemaksa, 2:
4 osterit, 3: musta kaviaari, 4: VSOP-kojakki,, 2: ruisleipä, : suolasilakat, : rasvato piimä), joide yksikköhiat c j tuetaa. Tarkastellaa m eri ravietta (: c- vitamiii, 2; rauta,, m : eergiamäärä), joide päivittäiset tarpeet b i eri ikäisille, erilaista työtä tekeville ja eri sukupuolta oleville ihmisille tuetaa. Määrättävä mahdollisimma halpa päivittäie ruokavalio, ku tuetaa yhde ruoka-aieyksikö j sisältämä ravitee i määrä a ij. Päätösmuuttujiksi otetaa päivittäi ruoka-aietta j kulutettavat määrät x j,,,, jolloi ogelma matemaattiseksi malliksi saadaa lieaarie optimoititehtävä mi cx j j s.t. ax ij j bi,,, m xj 0,,, eli matriisimuodossa mi c T x s.t. Ax b x 0. Tässä s.t. o lyheys saoista subject to. Käytetää seuraavassa vektorista ja matriisista lihavoitua merkitää. Ideksoidaa yläideksillä itse vektoria ja alaideksillä se kompoettia. Kysymystä siitä, oko malli hyvä voidaa miettiä se jälkee, ku parametreille o kerätty datat ja tehtävä o ratkaistu. Sovellutuksea voidaa esittää vuode 995 syyskuu hitataso mukaie ratkaisu. Parametrie A ja b arvot o saatu Osmo Turpeise kirjasta Ruoka-aietaulukko, 992 ja hitatiedot c kerätty Kupittaa Citymarketista ja Alkosta. Parametriarvoia o käytetty arvoja =08, m=9, jolloi ratkaisuiksi o saatu Mies 20-39 v. kevyt työ (opiskelija?) 3.64 mk/vrk kulutusmaito 3.0 dl audamaksa 5.0 g paprika 9.8 g porsaa muuaie 33.7 g vehäjauho 670 g Naie 20-39 v. kevyt työ (opiskelija?) 2.9 mk/vrk kulutusmaito 3.3 dl audamaksa 5. g paprika 0.9 g porsaa muuaie 2.6 g vehäjauho 48 g. Kyseessä o operaatioaalyysi harjoitustyö Mari Alho, Meri Karvoseoja, Niia Koivisto ja Maarit Lehtoe. Tässä oli yksikertaie kohdefuktio, mutta palataa takaisi timattiesimerkkii. Jotta saataisii aikaa kohdefuktio siiheki, tehdää oletus, että timattie kysytä tapahtuu vakioopeudella 55 karaattia viikossa. Vaikka tämä ei todellisuudessa pidäkää tarkasti paikkaasa, ii sitä käyttämällä ogelma yksikertaistuu ja kuiteki saavutetut tulokset ovat usei hyviä. Varasto koo kuvaaja aja fuktioa o yt sahaterä muotoie. Saamme erilaiset tapaukset tilateissa, joissa meillä o varmuusvarastoa
5 ei ole varmuusvarastoa eikä meetettyä myytituottoa ja o meetettyä myytituottoa Vaikka varmuusvarasto o vakiokysytäopeude tapauksessa tarpeeto, se auttaa tilateissa, joissa kysytä oki keskimääräistä suurempi. Mikäli varasto täydeystaso saavuttamise ja täydeykse saapumise väliaikaa varasto loppuu keske, meetetää imittäi myytituottoa. Kahdessa esimmäisessä tapauksessa o yhde jakso (sahaterä) pituus q/55 viikkoa, mutta viimeisessä tapauksessa tähä tulee lisäksi suureista q ja r riippuva aika, jolloi varasto o tyhjä. Aalyysi olisi helpompi tapauksessa, jossa meetettyä myytiä ei olisi. Esimerkkitapauksessa voidaa lisätä tilauserää q yhdellä yksiköllä, jolloi saadaa aia yksi yksikkö eemmä myytyä (200 $), ja tämä peittäisi varastoitikustaukset 200/3.5 57. viiko ajalta. Koska varastoa kuiteki o täydeetty aia 4-6 viiko välei, tehdää yksikertaistava lisäoletus: ei meetettyä myytituottoa. Koska viiko kestävä Atwerpei matka aikaa timatteja kysytää 55 karaattia, o
6 meidä siis vaadittava, että r 55. Muute meetettäisii 55 r karaattia joka jakso aikaa. Varmuusvarasto suuruus o yt r 55 ja se o piei varasto määrä. Suuri varasto koko o r 55 + q ja keskimääri siellä o r 55 + q/2 karaattia. Yhde jakso kokoaiskustaus o yt 35. q q r 55+ + 2000 2 55 ja jakamalla se jakso pituudella q/55 saadaa keskimääräie kustaus viikossa 2000 55 35. q r 55+ 2 +. q Optimoititehtävämme o siis 2000 55 mi 35. q r 55+ 2 + q s.t. q 00, r 55. Ratkaisu o sallittu (feasible) jos päätösmuuttujie saamat arvot toteuttavat kaikki rajoitukset. Optimaaliset ratkaisut ovat sellaisia sallittuja ratkaisuja, jotka tuottavat kohdefuktio (fuktioide) arvoille parhaat mahdolliset ratkaisut. Esimerkiksi edellä q = 200, r = 90 o sallittu ratkaisu. Helposti ähdää, että r* = 55 o optimaalie täydeystaso arvo. Ku se sijoitetaa kohdefuktioo, saadaa yhde muuttuja fuktio q 2000 55 cq ( ) = 35. +, 2 q joka o graafisesti esitettyä 500 000 500 Derivoimalla saadaa optimaalie ratkaisu 00 200 300 400 2200055 q* = 250.7 35. joka toteuttaa myös rajoitukse q 00. Ku se sijoitetaa kohdefuktioo, saadaa kokoaiskustauksiksi 877.50 $ viikossa eli 45630 $ vuodessa. Tämä o paljo pieempi kui yhde vuode toteutueet kokoaiskustaukset 94009 $..3 Herkkyysaalyysi, malli ratkeavus ja valiidisuus Timattiesimerkissä oletettii tuetuksi kysytäopeus, varastoitikustaus ja matkakustaus Atwerpeii. Tällaisia suureita, kutsumme parametreiksi. Jos iille
aetaa erilaiset arvot, saamme uude ratkaisu. Voimme esittää tilaetta kaavioa 7 systeemi raja parametrit päätösmuuttujat sisältävä malli ja se aalyysi tulokset Edellä suoritettu aalyysi voidaa suorittaa yleisestiki. Merkitää d: viikottaie kysytä (55 karaattia) f: varasto kiiteä täydeyskustaus (2000 $) h: varastoitikustaus karaatilta viikossa (3.5 $) s: meetetystä myyistä aiheutuva kustaus karaatilta (200 $) l: varastotäydeykse toimitusaika ( viikko) m: piei tilaus (00 karaattia) Silloi saadaa ratkaisuksi 2 fd q* = h r* = ld mikäli q* m ja q* ld. Ylläoleva optimaalise eräkoo (ecoomic order quatity, EOQ) kaava o esimmäisiä operaatioaalyysi sovellutuksia ja sitä o käytetty paljo. Joskus siitä o käytetty imeä Wilsoi kaava, vaikka se o kehittäyt Harris vuoa 95 ja tietysti Wilsoki, mutta vasta 98. Nyt ku meillä o käytettävissämme yleiset kaavat, voimme esimerkissä varioida parametrie arvoja, jotka ovat usei vaikeita määrätä luotettavasti. Jos Atwerpei matka maksaisiki 000 $ ii optimaalie eräkoko olisi q* = 77.3 ja kustauste ollessa 3000 $ taas q* = 307.. 500 000 500 00 200 300 400
8 Parametrie arvoje vaikutukse tutkimista matemaattise malli tuottamii tuloksii saotaa herkkyysaalyysiksi. Herkkyysaalyysi täytyisi aia liittää systeemie aalyysii. Edellie esimerkki o siitä harviaie, että ratkaisu saadaa suljetussa muodossa ja se helpottaa aalysoitia. Malli ratkeavuudella (tractability) ymmärretää sitä kuika hyvi sitä pystytää ratkaisemaa. Normaalisti emme kuitekaa saa ratkaisua suljetussa muodossa, vaa joudumme hakemaa umeerisia ratkaisuja jollaki algoritmilla. Aia ei kuitekaa mallia pystytä ratkaisemaa ollekaa. Malli valiidisuudella ymmärretää sitä astetta, jolla siitä saadut johtopäätökset pitävät paikkasa todelliselle systeemille. Yleesä operaatioaalyysissä täytyy tasapaioilla malli valiidisuude ja ratkeavuude välillä..4 Deskriptiiviset mallit ja simuloiti Simuloiissa jäljitellää (tavallisesti tietokoeessa) todellista systeemiä. Timattiesimerkissä voidaa tutkia jollai (r,q) pari arvolla systeemi käyttäytymistä viikottai käyttäe kohdassa. esitettyjä todellisia viikottaisia kysytöjä vuode ajalta. Joka viiko kohdalla täytyy. selvittää saapuuko MM Atwerpeistä mukaaa q karaati timattierä 2. tutkia, oko varasto koko q jolloi tarvitaa tavarahakitamatka 3. vähetää varastosta kyseise viiko kysytä Ku käytetää edellä saatuja optimiarvoja q* = 25 ja r* = 55 sekä varasto alkutilaa 00, saadaa seuraava simuloitihistoria, jossa m o kulloiki myyty määrä
9 viikko alku- kysytä myyti- varastoiti- täydeys- meetetty varasto määrä kustaus kustaus tuotto 00 94 94 85.5 0 0 2 6 54 6.2 2000 9600 3 25 52 52 787.5 0 0 4 99 64 64 584.5 0 0 5 35 69 69 353.5 0 0 6 66 69 66 0.5 0 600 7 0 68 0 0.0 2000 3600 8 25 47 47 798.0 0 0 9 204 68 68 595.0 0 0 0 36 56 56 378.0 0 0 80 62 62 7.5 0 0 2 8 44 8 2.9 2000 5200 3 25 4 4 808.5 0 0 4 20 46 46 654.5 0 0 5 64 84 84 427.0 0 0 6 80 94 80 9. 0 2800 7 0 8 0 0.0 2000 3600 8 25 52 52 787.5 0 0 9 99 67 67 58.0 0 0 20 32 26 26 46.5 0 0 2 06 59 59 269.5 0 0 22 47 77 47 50.2 2000 6000 23 25 42 42 805.0 0 0 24 209 59 59 630.0 0 0 25 50 507.5 0 0 26 39 67 67 37.0 0 0 27 72 25 25 20.0 0 0 28 47 60 47 64.4 2000 2600 29 25 4 4 808.5 0 0 30 20 42 42 66.5 0 0 3 68 47 47 507.5 0 0 32 2 66 66 308.0 0 0 33 55 20 20 57.5 2000 0 34 286 46 46 920.5 0 0 35 240 36 36 777.0 0 0 36 204 69 69 595.0 0 0 37 35 64 64 360.5 0 0 38 7 83 7 06.3 0 2400 39 0 42 0 0.0 2000 8400 40 25 38 38 82.0 0 0 4 23 3 3 724.5 0 0 42 200 50 50 62.5 0 0 43 50 77 77 392.0 0 0 44 73 64 64 43.5 0 0 45 9 27 9 5.2 2000 3600 46 25 96 96 70.5 0 0 47 55 57 57 444.5 0 0 48 98 95 95 78.5 0 0 49 3 46 3 0.3 2000 8600 50 25 56 56 780.5 0 0 5 95 68 68 563.5 0 0 52 27 42 42 37.0 0 0 2620.6 20000 67000
0 Simuloitu 52 viiko kokoaiskustaus o 0862 $. Tätä voi verrata viime vuode kokoaiskustauksii 94009 $ ja EOQ malli tuottamaa arvoo 45630 $. Simuloiilla saadaa usei hyviä tuloksia ja ylläoleva laskelma olisi hyvä, mikäli jokaisea vuotea kysytä olisi tarkallee edellä esitety mukaie. Siiä o kuiteki käytettävä kiiteitä parametriarvoja (edellä q* = 25 ja r* = 55) ja tällaista meettelyä voidaa kutsua deskriptiiviseksi malliksi. Parametrie arvoje vaikutus lopputuloksee voidaa selvittää vai suorittamalla koko simuloitiprosessi uudellee..5 Numeerie haku, tarkat ja heuristiset ratkaisut Merkitää suureella c(q,r) simuloiilla saatua kokoaiskustausta ku siiä o käytetty arvoja q ja r. Optimoitiogelmaa o siis yt mi c(q,r) s.t. q 00, r 55. Numeerisessa haussa pyritää systemaattisella kokeilulla määräämää sallituissa rajoissa olevat ja mahdollisimmat hyvät arvot päätösmuuttujille. Tutuu järkevältä aloittaa jatkuvalla EOQ mallilla saamistamme arvoista. Kokeillaa esiksi 0 yksikö lisäyksiä r arvoihi, jolloi saadaa tulokset q 0 = 25 r 0 = 55 c(q 0,r 0 ) = 0862 q = 25 r = 65 c(q,r ) = 0842 q 2 = 25 r 2 = 75 c(q 2,r 2 ) = 63254 q 3 = 25 r 3 = 85 c(q 3,r 3 ) = 63054 q 4 = 25 r 4 = 95 c(q 4,r 4 ) = 64242 Kiiitetää sitte paras saaduista r=85 ja kokeillaa erilaisilla q arvoilla, jolloi q 5 = 26 r 5 = 85 c(q 5,r 5 ) = 9593 q 6 = 24 r 6 = 85 c(q 6,r 6 ) = 7278 mutta e eivät paraa tulosta. Saatu tulos parai oleellisesti, mutta se ei tarvitse olla optimaalie. Jos lähdetää liikkeelle pisteestä q 0 = 25, r 0 = 45, saadaa aalogisesti q 0 = 25 r 0 = 45 c(q 0,r 0 ) = 56904 q = 25 r = 55 c(q,r ) = 59539 q 2 = 25 r 2 = 35 c(q 2,r 2 ) = 56900 q 3 = 25 r 3 = 25 c(q 3,r 3 ) = 59732 q 4 = 26 r 4 = 35 c(q 4,r 4 ) = 5493 q 5 = 27 r 5 = 35 c(q 5,r 5 ) = 58467 Saatii edellisiä parempi tulos q = 26, r = 35 joka aiheuttaa kustaukset 5493. Tällaisella haulla saadut johtopäätökset pätevät varmasti vai tutkituissa pisteissä ja riippuvat siis kohdefuktio muodosta ja hakutiheydestä. Kuiteki äyttää ilmeiseltä, että EOQ malli tuottama eräkoko q = 25 o varsi luotettava. Tarkka optimiratkaisu o sallittu ratkaisu, joka o todistettavasti vähitää yhtä hyvä kui mikä tahasa sallittu ratkaisu. Heuristie eli likimääräie ratkaisu saadaa optimoitimeettelyllä, joka ei takaa tarkkaa optimaalisuutta. Olemme umeerisella haulla löytäeet timattiogelma heuristise optimi, mutta pitäisikö meidä määrätä tarkka optimi? Usei tarka ratkaisu vaatimat malli yksikertaistukset tuottavat huoompia ratkaisuja kui tarkemma malli ratkaisemie
heuristisesti. Heuristise ratkaisu huoo puoli o taas se, ettei meillä ole mikäälaista käsitystä siitä kuika paljo parempia ratkaisuja o mahdollisuus saavuttaa..6 Determiistiset ja stokastiset mallit Jos emme hyväksy oletusta siitä, että viikottaiset kysyät toistuvat joka vuosi idettisiä, joudumme turvautumaa satuaismuuttujii. Tuemme siis vai kysytöje jakautuma, joka yhtä realisaatiota o käytetty edellä. Yksikertaisuude vuoksi voidaa olettaa, että kysyät D t viikolla t ovat toisistaa riippumattomia ja idettisesti jakautueita. Tarkasteltaessa edelläolevaa dataa, saadaa kysyöille empiiriset frekvessit, jotka o esitetty oheisessa kuvassa 0 5 0 20 30 40 50 60 70 80 90 yhteäisellä viivalla. Jakautumaa voidaa silloi käyttää katkoviivoilla esitettyä käyrää, jolloi kysyä tiheysfuktio saa arvo 0.02 välillä [40, 69) sekä arvo 0.02/3 väleillä [0, 40) ja [70, 99) Stokastisessa simuloiissa (jota yleesä kutsutaa lyhyesti simuloiiksi) geeroidaa kysyät käyttäe aettua jakautumaa. Yhdellä kertaa saadaa siis yksi realisoiti kysytöje muodostamalle satuaisvektorille. Jokaista tällaista kysytävektoria aalysoidaa kohda.4 mukaisesti. Ku suoritetaa tämä 200 kertaa käyttäe edellä saatuja parhaita päätöksiä q=26, r=35 ja ylläolevaa kysyä jakautumaa, saadaa satuaiste vuosittaiste kokoaiskustauste C(26, 35) keskiarvoksi 57374 $ ja empiiriseksi frekvessiksi Kustaukset vaihtelevat välillä 52445 $ 69539 $ ja tähä osuu aikaisemmi saamamme tulos 5493 $. Simuloitia käytetää paljo, koska se mahdollistaa moimutkaiste systeemie tutkimise. Kuiteki meillä o yt 200 ajolla vasta selvitetty kustauste käyttäytymie
2 yhdelle päätösmuuttujie arvoparille. Lisäksi tarvitaa statistisia meetelmiä saatuje tuloste luotettavuude arvioitii. Yleisesti o satuaismuuttujia sisältävie stokastiste mallie aalysoiti huomattavasti hakalampaa kui determiististe mallie ja erityisesti tämä pitää paikkasa optimoiissa. Se takia käytetää paljo determiistisiä malleja, joissa satuaiset suureet korvataa determiistisillä parametreilla, ja iilläki o usei saatu hyviä tuloksia. 2. Determiistiset optimoitimallit 2. Päätösmuuttujat, rajoitukset ja kohdefuktiot Esimerkki. Crude Petroleum yhtiö valmistaa öljyjalostamossaa saudiarabialaisesta ja veezuelalaisesta raakaöljystä besiiiä, letokoebesiiiä sekä voiteluöljyä. Jokaisesta saudiarabialaisesta raakaöljytyyristä saadaa 0.3 tyyriä besiiiä, 0.4 tyyriä letokoebesiiiä ja 0.2 tyyriä voiteluöljyä. Veezuelalaisesta öljystä puolestaa saadaa 0.4 tyyriä besiiiä, 0.2 tyyriä letokoebesiiiä ja 0.3 tyyriä voiteluöljyä. Saudiarabialaista öljyä o saatavissa 9000 tyyriä päivittäi 20 $ tyyrihitaa ja veezuelalaista öljyä 6000 tyyriä päivässä. Pieempie kuljetuskustauste takia veezuelalaie raakaöljy maksaa vai 5 $ tyyriltä. Yhtiö o tehyt jakelusopimuksia, joide mukaa se täytyy päivässä toimittaa 2000 tyyriä besiiiä, 500 tyyriä letokoebesiiiä ja 500 tyyriä voiteluöljyä. Mite tämä voidaa tehdä mahdollisimma kaattavasti? Malliukse esimmäiseä vaiheea täytyy määrätä päätösmuuttujat, joilla siis esitetää tehtäviä päätöksiä. Tässä yksikertaisessa esimerkissä o ilmeistä, että päätöksiä ovat kummastaki lähteestä peräisi olevie jalostettavie raakaöljyje määrät, ja määritellää x : saudiarabialaistä öljyä päivittäi jalostettava määrä tuhasia tyyreiä x 2 : veezuelalaista öljyä päivittäi jalostettava määrä tuhasia tyyreiä. Kustaki päätösmuuttujista täytyy aia selkeästi esittää se merkitys ja laatu. Päätösmuuttujie arvot ovat toistaiseksi tutemattomia ja o havaittu edulliseksi valita periteisee tapaa valita kirjaimia aakkosto loppupäästä. Muut formuloiissa tarvittavat suureet ovat parametreja, joilla tässä o aettu umeroarvot. Esiksi kaattaa miettiä luoolliset rajoitukset, jotka seuraavat päätösmuuttujie mielekkyydestä. Esimerki tapauksessa ei voida jalostaa egatiivista määrää, jote saamme ehdot x 0, x 2 0. Tällaiset ei-egatiivisuusrajoitukset ovat tavallisimmat, mutta joskus voi päätösmuuttuja saada vai kokoaislukuarvoja (kokoaislukumuuttuja) tai pelkästää arvoja 0 ja (biäärie muuttuja). O tärkeää ottaa luoolliset rajoitukset mukaa, sillä ratkaisualgoritmit eivät ymmärrä mitää ilmeisiä ehtoja vaa kaikki ehdot o puettava eksplisiittisee muotoo. Varsiaiset rajoitukset ovat muita ehtoja, jotka rajoittavat päätösmuuttujie valitaa. Jakeluu o saatava riittävä määrä tuotteita, jote o oltava 0.3x + 0.4x 2 2.0 (besiii) 0.4x + 0.2x 2.5 (letokoebesiii) 0.2x + 0.3x 2 0.5 (voiteluöljy).
3 Lisäksi raaka-aieide saatavuus o rajallie, jote x 9 x 2 6 (saudiöljy) (Veezuela öljy). Kohdefuktioita ovat e päätösmuuttujie fuktiot, joita optimoiissa pyritää maksimoimaa tai miimoimaa. Esimerkkitapauksessa tavoitteita o vai yksi ja pyrimme miimoimaa ostettava raakaöljy hia 20x + 5x 2, joka laatua o tuhat dollaria päivässä. Merkitää tätä tavoitetta mi 20x + 5x 2 ja saamme malliettua ogelma optimoititehtäväksi mi 20x + 5x 2 s.t. 0.3x + 0.4x 2 2.0 0.4x + 0.2x 2.5 0.2x + 0.3x 2 0.5 x 9 x 2 6 x 0, x 2 0. (kokoaiskustaus) 2.2 Graafie ratkaisu Edelläkuvatu kaltaisia kaksidimesioisia ogelmia voidaa ratkaista graafisesti. Jokaie päätösmuuttujapari (x, x 2 ) pystytää esittämää graafisesti tasossa. Näi voidaa muodostaa sallittuje pisteide joukko, jossa kaikki rajoitukset toteutuvat. Esimerkkitapauksessa saadaa Kohdefuktio arvot c(x, x 2 ) = 20x + 5x 2 muodostavat yt 3-dimesioise avaruude taso, mutta voimme esittää sitä karta tavoi kaksiulotteisea piirtämällä se tasa-arvokäyriä 20x + 5x 2 = h tasolle. Tässä kiiostaa vai sallittuje pisteide joukko ja siiä saadaa
4 Kuvasta o helppo määrätä optimiratkaisut, jotka toteuttavat tavoitteet sallituista pisteistä parhaite. Siis optimipisteide täytyy sijaita sillä tasa-arvokäyrällä, joka saa pieimmä arvo sallitulla alueella. Esimerkissä piste x * = 2, x 2 * = 3.5 o tehtävä yksikäsitteie ratkaisu. Optimaalie kustaus o silloi 92.5 tuhatta dollaria päivässä. Harjoitustehtävä. Käytettävissä o 80 metriä aitaa ja sillä o aidattava mahdollisimma suuri suorakaiteemuotoie alue. Muodosta tehtävästä matemaattie optimoitimalli sekä ratkaise se graafisesti muodostamalla sallittuje pisteide joukko ja piirtämällä siihe tasa-arvokäyriä. Optimoitiogelma ratkaisu voi olla yksikäsitteie tai sillä voi olla useampia optimaalisia ratkaisuja. Edellisessä tapauksessa optimi tuottava tasa-arvokäyrä koskettaa sallittuje pisteide joukkoa vai yhdessä pisteessä. Jos se kulkee useamma kui yhde sallitu pistee kautta, ovat e kaikki optimaalisia. Kohdefuktio arvo o tieteki äissä kaikissa idettie. Harjoitustehtävä. Tutki graafisesti öljyjalostusesimerkkiä tapauksessa, jossa kohdefuktio o muuettu muotoo mi 20x + 0x 2 ja määrää tehtävä kaikki optimiratkaisut Mikäli mitkää päätösmuuttujie arvot eivät toteuta kaikkia rajoituksia eli sallittuje pisteide joukko o tyhjä, ei itse optimoititehtävällä voi olla ratkaisuja. Harjoitustehtävä. Tutki öljyjalostusesimerkkiä tapauksessa, jossa kumpaaki raakaöljylaatua o saatavissa 2000 tyyriä päivässä ja osoita, ettei tehtävällä ole silloi ratkaisua. Toie tilae, jossa optimoititehtävällä ei ole ratkaisua, o sellaie, jossa päätösmuuttuja sallitut arvot tuottavat mielivaltaise hyviä (rajoittamattomia) kohdefuktioide arvoja. Raakaöljyesimerkissä päädytää tähä mikäli Saudiarabia maksaa 2 dollaria jokaisesta tyyristä eikä rajoita millää tavoi ostettava raakaöljy määrää.
5 2.3 Realistiset optimoitimallit Käytäö ogelmissa saattaa olla jopa miljooia muuttujia ja satojatuhasia rajoituksia, jote graafie ratkaisu o käyttökelvoto. Esimerkki. Maissi tuottajalla o toimitaa l=20 paikassa ja se tuottaa m=25 laatua maissituotteita =30 alueelle. Sitä kiiostaa tuotato- ja kuljetuskustauste miimoimie. Piee miettimise jälkee havaittii, että seuraavie parametrie - kuki tuottee valmistuskustaus kussaki toimipaikassa (dollaria pussilta) - kuki toimipaika kapasiteetti (toeia) - kuhuki tuotepussii tarvittavie maissitoie lukumäärä - kuki tuottee tarve kullaki myytialueella pusseia - kuki tuottee kuljetuskustaus kultaki toimipaikalta kulleki myytialueelle arvot voidaa käsittää vakioiksi. Tehtävässä täytyy käyttää ideksoituja muuttujia ja kaattaa käyttää samasta asiasta aia samoja ideksejä. Valitaa toimipaikkoje ideksiksi i, tuotteide ideksiksi j ja myytialueide ideksiksi k. Päätöksiä ovat tuotatomäärät ja lähetettävät tavaramäärät. Valitaa siis päätösmuuttujiksi x ij : laitoksella i tuotetu tavara j määrä pusseia y ijk : laitokselta i myytialueelle k lähetetty tuottee j määrä pusseia jolloi iitä o yhteesä 20 25+ 2025 30 = 5500 kappaletta. Tehtävä parametreja ovat p ij : laitoksella i tuotetu tavara j tuotatokustaus pussilta u i : laitokse i tuotatokapasiteetti maissitoeia a j : tuottee j yhtee pussillisee tarvittava maissitoie määrä d jk : tuottee j tarve alueella k pusseia s ijk : kuljetuskustaus lähetettäessä pussi tuotetta j laitokselta i alueelle k. Ku oletetaa, että kustaukset ovat lieaarisia, saadaa optimoitimalliksi l m l m ij ij + ijk ijk k= m mi px s y s.t. ax u l k= y y j ij i ijk ijk d = x jk ij x ij 0,,,l;,,m (kokoaiskustaukset),,,l (kapasiteetti),,,m; k=,, (kysyät),,,l;,,m (tasapaioehto) y ijk 0,,,l;,,m; k=,, Tehtävässä o 20 kapasiteetti-, 750 kysytä-, 500 tasapaio- ja 5500 eiegatiivisuusrajoitusta. 2.4 Lieaariset ja epälieaariset optimoititehtävät Edelliset esimerkit ovat lieaarisia optimoititehtäviä (liear programmig). Niille o voimassa
6 ) verraollisuus ts. kuki päätösmuuttuja vaikutus kohdefuktioo ja rajoituksii o suoraa verraollie se arvoo, 2) additiivisuus ts. kuki päätösmuuttuja vaikutus kohdefuktioo ja rajoituksii o riippumato muide päätösmuuttujie arvoista, 3) jaollisuus ts. kuki päätösmuuttuja o jatkuva eli se voi saada mielivaltaisia reaalilukuarvoja, 4) determiistisyys ts. tehtävä parametrit ovat vakioita eikä satuaismuuttujia 5) tavoitteita o vai yksi. Ehdot ) ja 2) takaavat malli malli lieaarisuude. Mikäli ehto 3) ei ole voimassa, o kysymys diskreetistä optimoiista (katso kohta 2.5 ja luvut ja 2), joka ratkaisuja voidaa approksimoida pyöristämällä vastaava lieaarise optimoititehtävä ratkaisu kokoaisluvuiksi. Mikäli ehto 4) ei ole voimassa, o kyseessä stokastie optimoiti. Mikäli tavoitteita o useampia, puhutaa moitavoiteoptimoiista. Yleie epälieaarie optimoititehtävä voidaa kirjoittaa muodossa max f( x,, ) mi x s.t. gi( x,, x) = bi,,,m jossa f ja g i ovat päätösmuuttujie x i aettuja fuktioita ja b i aettuja parametreja. Fuktioista f ja g i vähitää yhde tulee olla epälieaarie ja jaollisuusoletukse 3) tulee olla voimassa. Teoreettisissa tarkasteluissa oletetaa tavallisesti, että rajoituksissa siirretää muuttujista riippuvat termit epäyhtälö vasemmalle puolelle ja vakiotermi oikealle puolelle. Esimerkki. Tarkastellaa E-mart kauppaketju maioskustauste budjetoitia. Ketju myy m=2 eri tuoteryhmää (vaatteet, lelut, makeiset, CD-levyt je) ja maioskampajoita o =5 tyyppiä (vaatteide myytiluettelo, vaatemaios lehdessä, lelumaios televisiossa je).tarkoituksea o optimoida rajoitettu maiostusbudjetti. Oletetaa tuetuksi b: maiostusbudjeti suuruus p i : tuoteryhmä i lisämyyistä saatava yksikkötuotto,,,m s ij : parametri, joka kertoo kampajaa j käytety rahamäärä vaikutukse tuoteryhmä i myyi lisäyksee. Päätösmuuttuja olkoo x j : kampajaa j käytetty rahamäärä. Nyt ei tuu järkevältä olettaa lieaarista mallia, jossa maiostukse aiheuttama myyi lisäys olisi verraollisuusoletukse mukaista muotoa s ij x j. O melko selvää, että realistisessa mallissa lisäys pieeee koko aja satsaukse x j kasvaessa. Siis jokaie lisäeuro tuottaa aia joki verra vähemmä kui edellie, ts rajatuotto pieeee. Hyvi yksikertaie lauseke, joka toteuttaa tällaise vaatimukse o s ij log(x j + ). Silloi saadaa epälieaarie optimoititehtävä
7 m max pi sijlog( xj+ ) s.t. x b j x j 0,,,. (lisätuotto) (budjettirajoitus) 2.5 Diskreetit optimoititehtävät Diskreetit päätösmuuttujat saavat arvoja umeroituvista joukoista. Tavallisimmi o kyseessä jompikumpi joukoista {0,, 2, 3, } ja {0, }. Edellisessä tapauksessa o kyseessä yleie kokoaislukumuuttuja ja jälkimmäisessä biäärie päätösmuuttuja. Jos kaikki päätösmuuttujat ovat samatyyppisiä, meillä o kokoaislukuoptimoiti- tai biäärioptimoititehtävä. Usei o osa päätösmuuttujista jatkuvia ja osa diskreettejä, jolloi o kyseessä lieaarie tai epälieaarie sekaoptimoititehtävä (mixed-iteger programmig). Esimerkki. Betlehem Steel Co valaa terästä muoteissa erikokoisiksi aihioiksi (igot) jotka tuotao myöhemmissä vaiheissa kuumeetaa ja iistä valmistetaa valssaamalla levyjä, puristamalla putkia je. Valmistettavia tuotteita o =30 erilaista ja kuki aihiolaji sopii eemmä tai vähemmä hyvi kuhuki tuotteesee. Mahdollisia aihiotyyppejä o ehdotettu m=600 kappaletta, mutta ii mota ei kaata valmistaa, vaa o päätetty tyytyä p=6 erilaisee tyyppii. Pyritää miimoimaa käyttämättä jäävä materiaalimäärä. Kaikista aihiolaaduista ei saada millää kaikkia tuotteita, ja merkitää I j : iide aihioide i joukko, joista pystytää tekemää tuotetta j c ij : hukka-aiee määrä valmistettaessa aihiosta i tuotetta j. Kuki aihiotyypi kohdalla täytyy tehdä päätös otetaako se käyttöö vai ei. Näitä valitoja o luoollista kuvata biäärisillä arvoilla 0 ja. Useimmite valitaa arvoa kuvaamaa se vaihtoehto, jossa tapahtuu jotaki eli tässä tapauksessa se että aihio otetaa käyttöö. Siis päätösmuuttuja olkoo, jos aihio i valitaa y i = 0, muute Tämä ei vielä riitä, vaa tarvitaa vielä i j xij =, jos aihiosta tehdää tuote 0, muute O huomattava, että äi määritellyt päätösmuuttujat y i ja x ij eivät ole riippumattomia sillä x ij voi saada arvo vai mikäli y i =. Saamme siis lieaarise biäärise optimoititehtävä mi m iij cx ij ij s.t. y p i x ij = ii j,,, x ij y i,,,; i I j y i {} 0,,,,m x ij {} 0,,,,; ii j (hukkamateriaali) (valitaa korkeitaa p) (tuotteelle j yksi aihio) (vai valituille aihioille)
8 Yleisesti mikäli päätösmuuttujie optimiarvot ovat se verra suuria, ettei murto-osilla ole käytäö merkitystä, kaattaa käyttää jatkuvia päätösmuuttujia (pussie lukumäärä maissiesimerkissä), vaikka e luoteeltaa olisivatki kokoaislukuja. Kokoaislukuoptimoititehtävä ratkaisemie o imittäi oleellisesti vaikeampaa. Esimerkki 2. Purdue yliopistossa o m=2000 kurssia ja tettikautea täytyisi orgaisoida iide suorittamie =30 tettitilaisuudessa ii, että mahdollisimma harvalla opiskelijalla olisi kuutelemasa kurssi tetit samaaikaisesti. Jotta pystyisimme formuloimaa tehtävä, täytyy tietää e ik : sekä kurssi i että k kuutelevie opiskelijoide määrä, i < k m. Päätösmuuttujaksi o yt luoollista valita, jos kurssi itetitää tilaisuudessa j,,, m;,, xij = 0, muute Silloi kurssie i ja k tetti osuu yhtäaikaa e x x ik ij kj opiskelijalle ja saamme siis kvadraattise biäärise optimoititehtävä m m mi e x x s.t. k=+ i x ij = ik ij kj (päällekkäisyyksie luku),,,m (kurssille i yksi tetti) x ij {} 0 2.6 Moitavoiteoptimoiti,,,,m;,,. Edelläkuvatu kaltaiset ogelmat, joissa päätöksetekokriteerejä o vai yksi, toimivat hyvi moissa liike-elämä ogelmissa, joissa maksimoidaa voittoa tai miimoidaa kustauksia. Usei esiityy kuiteki päätöksetekoa, missä keskeää ristiriitaisia kriteerejä o useita. Esimerkki. Kutie maakäytö suuittelu o tyypillie tilae, jossa o vaikea tulla toimee yhdellä päätöksetekokriteerillä. Tarkastellaa esimerkiksi erää Chicago esikaupukialuee kaavoitusta. Siellä o =47 aluetta, joita voidaa käyttää seuraavii m=7 tarkoituksii i maakäytö laji yhde perhee talot 2 useamma perhee talot 3 myymälät 4 toimistot 5 tuotatolaitokset 6 koulut ja virastot 7 puistot Kriteerejä mietittäessä päädyttii seuraavaa viitee.. Yhteesopivuus: kuika hyvi suuiteltu kaava sopii aluee ja se lähiympäristö ykyisee käyttöö.
9 2. Liikee: aika joka kuluu kaava aiheuttamii matkoihi alueelle ja alueelta. 3. Verovaikutus: lisäätyeide kualliste palveluje kuluje suhde lisäätyeesee verotuottoo. 4. Ympäristövaikutukset: kaavoituksesta aiheutuva ympäristö huooemie 5. Kualliset laitokset: uusie asukkaide tarvitsemie kouluje, päiväkotie ym kualliste palveluje sekä kuallistekiika rakeuskustaukset. Ku merkitää tehtävä parametreja symboleilla c ij : yhteesopivuuskerroi käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j t ij : lisäätyyt matkustusaika käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j r ij : yhteiskua vuosimeot käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j e ij : ympäristö huooemie käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j f ij : kua pääomakustaukset käytettäessä eekkeri tarkoituksee i alueella j ja päätösmuuttujia x ij : tarkoituksee i alueella j käytettyje eekkerie lukumäärä, saadaa tavoitteet max mi mi mi mi m m cx ij ij tx ij ij m rx ij ij m m ex ij ij fx ij ij. Otetaa käyttöö lisäparametrit, b j : tehottomasti käytettyje eekkereide määrä alueella j l i : tarkoituksee i vähitää kaavoitettavie eekkereide määrä u i : tarkoituksee i eitää kaavoitettavie eekkereide määrä o j : kallioide, vesijättöje ym. käyttökelvottomie eekkereide määrä alueella j ja huomioidaa, että asuot vaativat välttämättä samalle alueelle ostoskeskuksia, puistoja, kouluja sekä päiväkoteja. Näitä vaatimuksia voidaa esittää parametreilla s i : yhde perhee asuoksi varatu eekkeri implikoima tarve tarkoituksee i d i : usea perhee asuoksi varatu eekkeri implikoima tarve tarkoituksee i. Lopulta saadaa moitavoiteoptimoititehtävä
20 max mi mi mi mi m m cx ij ij tx ij ij m rx ij ij m m m ex ij ij fx ij ij s.t. x = b x x ij ij ij l i i j (yhteesopivuus) (liikee) (verot) (ympäristö) (kualliset palvelut),,, (maakäyttö),,,m (piei käyttömäärä) u,,,m (suuri käyttömäärä) x7 j oj,,, (käyttökelvoto maa) xij sx i j + dix2 j, 3,6,7;,, (aiheutetut tarpeet) x ij 0,,,m;,, (ei-egatiivisuus). Tällaisessa ogelmassa tavoitteet ovat yleesä ristiriitaiset, eikä optimaalisuude määrittely ole ii yksikertaista kui tapauksessa, jossa päätösmuuttujia o vai yksi. Samate tehtävä ratkaisu vaikeutuu. Harjoitus. Muodosta graafisesti tehtävä max 3z + z 2 mi z z 2 s.t. z + z 2 3 z 0, z 2 0 optimi kummaki kriteeri suhtee eriksee. Mite määriteltäisii koko tehtävä optimaalisuus? 3. Paratava haku 3. Lokaaliset ja globaaliset optimit Yleesä emme saa optimiratkaisua suljetussa muodossa, vaa meidä o jollai optimoitialgoritmilla etsittävä ykyistä ratkaisuehdokasta parempi piste, josta sitte jatketaa samalla tavoi kues olemme tyytyväisiä saamaamme ratkaisuu. Yllä termi ratkaisu merkitsee vektoria, jossa kuki päätösmuuttuja o saaut kiiitety lukuarvo. Tällaise ratkaisu ei tarvitse olla optimaalie eikä välttämättä edes sallittu. Merkitää lähtöratkaisua x 0, seuraavaa ratkaisua x je. Esimerkki. Tarkastellaa 3 kaupukia palveleva hypermarketi optimaalista sijoittamista. Kaupukie keskipisteet ovat (, 3), (, 3) ja (0, 4) sekä asukasluvut 60000, 20000 ja 30000. Oletetaa, että hypermarket voidaa sijoittaa muute vapaasti, mutta se tulee olla vähitää 0.5 yksikö päässä kuki kaupugi keskustasta. Kokemus o