ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V
Luentoviikko 3 Tavoitteet Sähköpotentiaali Sähköpotentiaali Sähköpotentiaalin määrittäminen Tasapotentiaalipinnat Potentiaaligradientti Kapasitanssi ja eristeet Kondensaattorit ja kapasitanssi Sarja- ja rinnankytketyt kondensaattorit Sähkökentän energia Eristeet Eriste molekyylitasolla Gaussin laki eristeissä 2 (31)
Luentoviikko 3 Tavoitteet Tavoitteena on oppia mitä sähköpotentiaali tarkoittaa ja mikä on sen merkitys miten varauskokoelman johonkin avaruuden pisteeseen tuottama potentiaali lasketaan miten tasapotentiaalipintoja käytetään potentiaalin havainnollistamiseen miten sähköpotentiaalia käytetään sähkökentän laskemiseen kondensaattoreiden olemus ja miten lasketaan kondensaattorin varauskykyä kuvaava suure analysoimaan yhteenkytkettyjä kondensaattoreita laskemaan kondensaattoriin varastoidun energian määrä mitä eristeet ovat ja miten niitä voi käyttää parantamaan kondensaattoreita 3 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(2 5)) Sähköpotentiaali Sähköpotentiaali Normalisoidaan potentiaalienergia U testivarauksella q 0 Saadaan potentiaalienergia per testivarausyksikkö eli sähköpotentiaali eli potentiaali V = U q 0 Yksikkönä voltti, [V] = J/C def = V Sähkökentän tekemä työ W a b = U = q 0 (V a V b ) = q 0 V ab, missä V a on potentiaali pisteessä a ja V b potentiaali pisteessä b (varaus siirtyy a b) V ab on pisteen a potentiaali pisteen b suhteen eli pisteiden välinen potentiaaliero eli pisteiden välinen jännite, tulkinnat: (I) V ab on sähköisen voiman yksikkövaraukselle tekemä työ, kun varaus siirtyy a b (II) V ab on ulkoisen voiman yksikkövaraukselle tekemä työ, kun varaus siirretään sähköistä voimaa vastaan b a 4 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(2 5)) Sähköpotentiaali Sähköpotentiaalin laskeminen Pistevarauksen tuottama potentiaali (ei riipu testivarauksesta q 0 ) V = U q 0 = 1 4πɛ 0 q r Pistevarausjoukon tuottama potentiaali V = U = 1 q i q 0 4πɛ 0 i r i Jatkuvan varausjakautuman tuottama potentiaali V = 1 dq 4πɛ 0 r (r i on varauksen q i etäisyys (r on varausalkion dq etäisyys kenttäpisteestä) kenttäpisteestä) Huomaa: Lausekkeiden antama potentiaali häviää, kun etäisyys kaikista varauksista kasvaa rajatta; näin ei ole, jos varausjakautuma itsessään ulottuu äärettömyyteen (potentiaali ei ehkä häviä) 5 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(2 5)) Sähköpotentiaali Potentiaali ja sähkökenttä Sähkökenttä annettu = potentiaali laskettavissa sähkökentästä Sähkökentän tekemä työ W a b = b b F d l = q0 a a E d l Potentiaalin määritelmästä seuraa potentiaaliero b V ab = V a V b = E d l a (kun sähköinen voima siirtää varausta) Tulos on integrointireitistä riippumaton 6 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(2 5)) Sähköpotentiaali Sähköpotentiaalin käytös + Liikutaan kohti lähdettä (r 0) +q:ta lähestyttäessä potentiaali kasvaa (on yhä positiivisempi) q:ta lähestyttäessä potentiaali pienenee (on yhä negatiivisempi) Sähkökenttä osoittaa pienenevän potentiaalin suuntaan Sähkökentän yksikkö [E] = N/C = V/m Jos siirtyvä q = 1e ja siirtävä V ab = 1V, potentiaalienergian muutos U a U b = qv ab = 1eV 1.6022 10 19 J (energiamitta elektronivoltti) 7 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(2 5)) Sähköpotentiaalin määrittäminen Sähköpotentiaalin määrittäminen Esimerkki: varatun tuottama johdepallon potentiaali Tyypillisesti on [ainakin] kaksi mahdollisuutta määrittää sähköpotentiaali: 1. Jos tunnetaan varausjakauma, V = 1 dq 4πɛ 0 r b 2. Jos tunnetaan sähkökenttä, V ab = V a V b = E d l a Johdepallolle (säde R) annettu varaus (q) jakautuu tasaisesti pallon pinnalle, pallon sisäsähkökenttä on nolla ja ulkokenttä on ulospäin säteittäinen: q E = 4πɛ 0 r 2 ˆr, r > R Pallon ulkopuolella näkyy pistelähteen potentiaali V = q 4πɛ 0 r, r > R, ja pallon sisällä potentiaali on vakio V(R) = q/(4πɛ 0 R) (miksi vakio 0?) 8 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(2 5)) Sähköpotentiaalin määrittäminen Varatun johdepallon tuottama potentiaali + + + + R + + + + + + + + V V(R) V(R)/2 V(R)/3 1R 2R 3R r 9 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(2 5)) Tasapotentiaalipinnat Tasapotentiaalipinnat ja kenttäviivat Sähkökenttää havainnollistettiin kenttäviivoilla (kuvan siniset viivat) Potentiaalia voi havainnollistaa tasapotentiaalipinnoilla = pinta, jolla potentiaali on vakio = kahdessa dimensiossa kartan korkeuskäyrään verrattava viiva (kuvan katkoviivat) Tasapotentiaalipinnat eivät leikkaa tai kosketa toisiaan (voivat leikata itsensä) ovat kohtisuorassa kenttäviivoja vastaan 10 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(2 5)) Tasapotentiaalipinnat Tasapotentiaalit ja johteet Kun johteen varaukset ovat levossa, johteen pinta on tasapotentiaalipinta Sähkökenttä on kohtisuorassa johteen pintaa vastaan, tuore perustelu: Johteen sisällä kenttä on nolla Jos kentässä olisi johdepinnan suuntainen komponentti, johteen pinnan molemmin puolin suljettua reittiä siirretylle varaukselle tehty työ ei olisi nolla = kyseessä ei olisi konservatiivinen voima Ristiriidassa lähtötilanteen (sähköstatiikan) kanssa = johteen pinnalla sähkökentän tangentiaalikomponentti häviää Koko johdekappale on samassa potentiaalissa ( E = 0 = Vab = 0) Maa (tai muu suuri johdekappale) on sähkötekniikan mielessä varausvarasto, joka voi vastaanottaa tai luovuttaa varausta rajattomasti kyseessä on sähköinen maa, ja kytkentä maahan on maadoitus; maan tasapotentiaaliksi valitaan yleensä nolla volttia (esim. sääilmiöt ovat niin suuria, että maassakin voi olla potentiaalieroja) 11 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(2 5)) Tasapotentiaalipinnat Ontelo johteessa Jos johteessa on varauksia sisältämätön ontelo, ontelon seinämillä ei ole varauksia, tuore perustelu: Ontelon seinämä on tasapotentiaalipinta Jos piste P ontelossa olisi eri potentiaalissa kuin seinämä ja jos piste ympäröitäisiin onteloon mahtuvalla Gaussin pinnalla, huomattaisiin, että Gaussin pinnalla on sähkökenttä = Gaussin pinnan sisällä on varausta Ontelossa ei kuitenkaan ole varauksia, joten ontelossa potentiaalin täytyy olla vakio ja kenttä on nolla = pintavaraustiheys (σ = ɛ 0 E ) on nolla Mieti: tasapotentiaalipinnan ja Gaussin pinnan ero? 12 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(2 5)) Potentiaaligradientti Potentiaaligradientti Edellä V a V b = b E d l (a:n potentiaali b:n suhteen) a Toisaalta jos summataan infinitesimaaliset potentiaalimuutokset dv jokaisen d l:n kohdalla matkalla b:stä a:han, V a V b = Kaikille a,b pitäisi päteä ( E = Ex î + E y ĵ + E z ˆk) b a dv = b a a b dv = E d l = dv = E d l = Ex dx + E y dy + E z dz Kun sallitaan yhden muuttujan kerrallaan muuttua, saadaan ratkaistuksi E x = V x, E y = V y, E z = V z E = V Sähkökenttä on potentiaalin negatiivinen gradientti ( : luento 1, kalvo 25) ja osoittaa pienenevän potentiaalin suuntaan Radiaaliselle sähkökentälle (pallo, sylinteri) pätee E r = V r b a dv 13 (31)
Sähköpotentiaali (YF 23(2 5)) Potentiaaligradientti Eri geometrioita Pistevaraus E r = V r = [ r Varattu sylinteri (säde R) E r = [ λ ln R r 2πɛ 0 r q 4πɛ 0 r ] = ] = λ 2πɛ 0 r, q 4πɛ 0 r 2 r > R Rengasvarauksen (säde a) akselilla (x-akselilla) E x = x [ 1 4πɛ 0 ] Q = 1 Qx x 2 + a 2 ( 4πɛ 0 x 2 + a 2) 3/2 14 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Kondensaattorit ja kapasitanssi Kondensaattori Kondensaattori varastoi sähköistä potentiaalienergiaa ja varausta Käyttökohteita: pulssilaserien energialähteet, dynaamiset virtapiirit, kiihtyvyysanturit... Muodostuu (yksinkertaisimmillaan) kahdesta toisistaan eristetystä johdekappaleesta Eristeenä tyhjiö, ilma tms. ei-johtava materiaali Johtekappaleilla aluksi nollanettovaraus Elektroneja siirretään johdekappaleelta toiselle: kondensaattori varataan (ladataan) ja samalla tehdään sähköistä työtä Tehty työ varastoituu kondensaattorin sähkökentän energiaksi Varaamisen jälkeen johdekappleiden varaukset ovat erimerkkiset mutta yhtä suuret (+Q ja Q): kondensaattorin nettovaraus on yhä nolla Johdekappaleiden välinen sähkökenttä on verrannollinen kappaleiden varaukseen = potentiaaliero V ab on verrannollinen varaukseen Q 15 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Kondensaattorit ja kapasitanssi Kapasitanssi C Kondensaattorin kapasitanssi C = Q V ab [C] = C V def = F = faradi Kapasitanssi mittaa kondensaattorin kykyä varastoida energiaa Yksinkertaisella väliaineella eristetyn kondensaattorin kapasitanssi riippuu vain kondensaattorin geometriasta (koosta ja muodosta) ja eristeaineen tyypistä Huomaa: (kursivoitu) C on kapasitanssi, (antiikva-)c on coulombi Levykondensaattori on yksinkertainen (ja tärkeä) perusrakenne: Kaksi A-pinta-alaista levyä (välimatka d) varataan potentiaalieroon V ab, jolloin toisella levyllä on varaus +Q ja toisella Q Sähkökenttä suurten lähekkäisten levyjen välillä on lähes vakio eli E = Q ɛ 0 A = V A ab = Ed = C = ɛ 0 d (levykondensaattori) 16 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Kondensaattorit ja kapasitanssi Kondensaattorigeometrioita Levykondensaattori Pallokondensaattori Sylinterikondensaattori L r b r a r b r a C = ɛ 0 A d r a r b L C = 4πɛ 0 C = 2πɛ r b r 0 a ln(r b /r a ) 17 (31)
Kondensaattorit sarjassa V +Q Q +Q Q C 1 C 2 V 1 V 2 = V +Q Q C eq Kondensaattorien C 1 ja C 2 yli potentiaaliero V Kondensaattorilevyillä varaukset +Q ja Q Vastaava (eli ekvivalentti) kondensaattori C eq : V 1 = Q C 1, V 2 = Q C 2 ja V = V 1 + V 2 = V = Q C eq = Q C 1 + Q C 2
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Sarja- ja rinnankytketyt kondensaattorit Kondensaattorit sarjassa (jatkoa) Vastinkytkennälle saatiin Q C eq = Q C 1 + Q C 2 = 1 C eq = 1 C 1 + 1 C 2 N kondensaattoria sarjassa (kaikilla kondensaattorilevyillä varaus on suuruudeltaan sama) 1 N = C eq i 1 C i (sarjakytketyt kondensaattorit) 19 (31)
Kondensaattorit rinnan V +Q 1 Q 1 C 1 +Q 2 Q 2 C 2 = V +Q Q C eq Kondensaattorien yli potentiaaliero V Kondensaattoreilla erisuuret varaukset Vastaava kondensaattori C eq : Q 1 = C 1 V ja Q 2 = C 2 V Q = Q 1 + Q 2 = (C 1 + C 2 )V = C eq V N kondensaattoria rinnan (jokaisen osakondensaattorin jännite on sama) N C eq = i C i (rinnankytketyt kondensaattorit)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Kondensaattorit energiavarastoina ja sähkökentän energia Kondensaattorin varaaminen Kondensaattorien hyödyllisyys perustuu niiden kykyyn varastoida energiaa Määritetään kondensaattorin varaamiseen tarvittava työ: Jos kondensaattorin jännite ja varaus ovat kesken varaamisen v ja q ja kondensaattorissa siirretään varaus dq, tehdään työ dw = vdq = (q/c) dq Lopulta kondensaattorin jännite on V ja varaus Q Kokonaistyö saadaan integroimalla W W = dw = 1 Q qdq = Q2 0 C 0 2C Kondensaattorin potentiaalienergia (vrt. jousen potentiaalienergia) U = Q2 2C = 1 2 CV2 = 1 2 QV Kapasitanssi mittaa kondensaattorin kykyä varastoida energiaa ja varausta 21 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Kondensaattorit energiavarastoina ja sähkökentän energia Sähkökentän energiatiheys Varausten (elektronien) siirtäminen kondensaattorin johdekappaleelta toiselle vaatii työtä sähkökenttää vastaan = voimme ajatella, että energia varastoituu kondensaattorin sähkökenttään 1 2 Kondensaattorin energiatiheys (energia tilavuusyksikössä) u = CV2 tilavuus Esim. levykondensaattorin kapasitanssi C = ɛ 0 A/d, potentiaaliero V = Ed ja tilavuus = Ad = u = 1 2 ɛ 0E 2 (sähköenergiatiheys tyhjiössä, yleispätevä tulos) Sähkökentän energian käsite on vaihtoehtoinen tapa tulkita varausjoukon potentiaalienergia Onko tyhjiö tyhjä? 22 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Eristeet Eristeet Tähän asti kondensaattorilevyjen (eli johdekappaleiden realisaatioiden) välissä on ollut tyhjiö ( ilma) Käytännössä levyjen välissä on eristeainetta (eristettä) 1. Eriste pitää levyt (luotettavasti) erillään 2. Suurempi jännite (suurempi kentänvoimakkuus) mahdollinen ennen läpilyöntiä 3. Jos levyjen väliin lisätään eristettä, huomataan, että kapasitanssi C 0 (kapasitanssi, kun levyjen välissä ilmaa) kasvaa kertoimella K = ɛ r = suhteellinen permittiivisyys = eristevakio > 1 arvoon C (kapasitanssi, kun levyjen välissä eristettä): K = C C 0 (eristevakion määritelmä) K on suuruusluokkaa 1 (tyhjiö)... 5 10 (lasi)... jopa 80 (vesi) 23 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Eristeet Indusoitunut varaus ja eristeen polarisaatio Kondensaattorilevyjen väliin eristettä = C kasvaa, jännite V pienenee (jos Q vakio) = sähkökenttä pienenee E 0 E: σ σ E = E 0 K (jos Q on vakio) eriste on polarisoitunut eristeseen on indusoitunut pintavarausta Sähkökenttä on muuttunut indusoituneen pintavaraustiheyden σ i vuoksi (oletus: σ i E): E 0 = σ ɛ 0 E = σ netto ɛ 0 = indusoitunut pintavaraustiheys σ i = σ = σ σ i = σ ɛ 0 Kɛ 0 ( 1 1 ) K σ σ i σ i σ 24 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Eristeet Permittiivisyys Permittiivisyys ɛ (= materiaalin ominaisuus) ɛ = Kɛ 0 Levykondensaattorin kapasitanssi eristeen kanssa C = KC 0 = Kɛ 0 A d = ɛ A d Sähköenergiatiheys materiaalissa u = 1 2 Kɛ 0E 2 = 1 2 ɛe2 Tyhjiössä (ja likimain ilmassa) K = 1 ja ɛ = ɛ 0 25 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Eristeet Läpilyönti Kun sähkökentän voimakkuus esimerkiksi ilmassa nousee riittävän suureksi (E m 3 10 6 V/m), ilmamolekyylit ionisoituvat ja ilma alkaa johtaa sähkövirtaa Varatun johdepallon potentiaalia ei voi nostaa rajatta: suuri potentiaali nostaa sähkökentän niin suureksi, että syntyy koronapurkaus (lievää kipinöintiä) tai (eristeen, ilman) läpilyönti (oikosulkuvirta eristeen läpi) Mitä pienempi on johdepallon säde, sitä suurempi on kenttä pallon pinnalla = koronapurkauksen välttämiseksi on syytä käyttää suurisäteisiä elektrodeja (ellei tavoite ole purkauksen synnyttäminen, vrt. lasertulostin) Ukkosenjohdattimessa tylppä (pyöreä) kärki on parempi kuin terävä Suurin kentänvoimakkuus, jonka aine sietää, on aineen läpilyöntikestävyys (esim. polypropyleenille E m 7 10 7 V/m) Läpilyönti esim. kondensaattorissa voi polttaa eristeeseen reiän ja pilata komponentin 26 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Indusoituneen varauksen molekyylimalli Sähköinen polarisaatio Molekyylit Ideaalisessa eristeessä ei ole vapaita varauksia, jotka voisivat liikkua ulkoisessa kentässä pintavaraukseksi ja kumota ulkoisen kentän vaikutuksen mistä eristeen pintavaraus tulee? Molekyyleillä voi olla pysyvä dipolimomentti, joka on seurausta elektronien epätasaisesta jakautumisesta molekyylissä Tällaisia polaarisia molekyylejä ovat esim. H 2 O, HCl muttei CO 2 O p 2 p 2 H O p p 1 H H p Cl C p 1 O (Kuvassa elektronegatiiviset atomit ovat sinisellä, elektropositiiviset punaisella) 27 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Indusoituneen varauksen molekyylimalli Sähköinen polarisaatio Polaaristen molekyylien suunta Ilman ulkoista kenttää polaariset molekyylit suuntautuvat lämpöliikkeen vuoksi yleensä satunnaisesti Kokonaisuudella ei ole dipolimomenttia Ulkoinen sähkökenttä suuntaa dipolit osittain Lämpöliike sotkee edelleen molekyylien suuntausta Matalassa lämpötilassa suuntaus on likimain täydellinen 28 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Indusoituneen varauksen molekyylimalli Sähköinen polarisaatio Atomit Pallosymmetrian vuoksi yksittäisillä atomeilla ei ole dipolimomenttia Ulkoinen sähkökenttä siirtää negatiivisia elektroneja ja positiivisia ytimiä toistensa suhteen = atomeille indusoituu dipolimomentti + + p Eext Ei ulkoista kenttää Ulkoinen kenttä Eext 29 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Indusoituneen varauksen molekyylimalli Sähköinen polarisaatio Polarisaatio mikroskooppisesti Polaariset molekyylit sähkökentässä Osittainen suuntautuminen Ei-polaariset molekyylit sähkökentässä Polarisoituminen = (atomeilla) dipolimomentti Polarisoitumisen takia eristeelle syntyy pintavaraus, joka tuottaa ulkoista kenttää pienentävän sähkökentän (eristeen sisällä nettovaraustiheys = 0) Eristeen varaus on sidottua varausta, koska (molekyylien) varaus ei voi liikkua vapaasti Johteen varausta voi lisätä tai poistaa tai siirtää, joten se on vapaata varausta + + + + + + + + + 30 (31)
Kapasitanssi ja eristeet (YF 24) Gaussin laki eristeissä Gaussin laki eriste johde-rajapinnassa Sovelletaan Gaussin lakia eristeen ja johteen rajapintaan (esim. kondensaattorissa) käytetään Gaussin pintana tonnikalapurkkia : E d Q encl A = = EA = (σ σ i)a & ɛ 0 σ i = σ ( 1 1 ) K ɛ 0 = EA = σa Kɛ 0 KEA = σa ɛ 0 Johde E = 0 E Eriste σ σ i K E:n vuo on σa/ɛ0 :n suuruinen, joten Gaussin laki eristeessä on K E d A = Q encl-free ɛ 0 (eristeessä) Q encl-free on vapaa varaus Gaussin (eli integrointi-) pinnan sisällä 31 (31)