Perusfysiikka IIa: lämpöoppia ja termodynamiikkaa

Transkriptio

1 1 Perusfysiikka IIa: lämpöoppia ja termodynamiikkaa Lämpöoppi käsittelee lämpöilmiöitä yleensä kuten lämpölaajenemista aineen sulamista ja höyrystymistä lämmön siirtymistä Termodynamiikka on formaalinen tarkastelu mekaanisen energian, työn ja lämmön kytkennästä ensimmäinen pääsääntö on energian säilymislaki toinen pääsääntö kertoo tapahtumien aikakehityksen entropiaksi nimetyn suureen kautta 15 Lämpötila ja lämpö 15-1 Johdanto Lämpötila on kvantitatiivinen kuvaus kuumasta ja kylmästä Lämpö on lämpötilaeron aiheuttamaa energian siirtymistä Ominaislämpökapasiteetti on sellainen materiaalin ominaisuus, joka kertoo kuinka suuri lämpömäärä tarvitaan nostamaan yksikön suuruisen ainemäärän lämpötilaa yksikön verran 15-2 Lämpötila ja terminen tasapaino Termisen tasapainon määrittely perustuu matematiikasta tuttuun ekvivalenssirelaatioon: jos systeemit A ja B ovat termisessä tasapainossa systeemiin C nähden, niin A ja B ovat keskenäänkin termisessä tasapainossa Kaksi systeemiä on termisessä tasapainossa vain jos ne ovat samassa lämpötilassa Lämpömittarit ja lämpötila-asteikot Näyttäessään oman lämpötilansa lämpömittari näyttää samalla ympäristönsä lämpötilan mikäli se on termisessä tasapainossa Tavallinen lämpömittari perustuu nesteen tilavuuden lämpölaajenemiseen Celsius 40 C 0 C 100 C Fahrenheit 40 F 32 F 212 F 15-4 Kaasulämpömittarit ja absoluuttinen lämpötila-asteikko Perustuu vakiotilavuudessa olevan kaasun paineen muutoksiin Celsius 273 C 0 C 100 C Kelvin 0 K 273 K 373 K Jos ollaan täsmällisiä, niin 0.00 C vastaa K lämpötilaa, joka on normaalipaineisen veden jäätymispiste Jos ollaan vielä täsmällisempiä, niin määrittelyn perustaksi on otettava veden kolmoispiste (triple point) (selitetään 16-7) joka on 0.01 C = K

2 Lämpölaajeneminen Kappaleen pituuden muutos lämpötilan muuttuessa: L = αl 0 T [α] = C 1 Tyypillinen suuruusluokka eli metrin pituinen kappale pitenee sadasosamillimetrin yhden asteen lämpötilan nousua kohti α (alfa) on pituuden lämpölaajenemiskerroin, ainekohtainen vakio. Kappaleen tilavuuden muutos lämpötilan muuttuessa: V = βv 0 T [β] = C 1 Suuruusluokka sama kuin alfalla - tilavuuden lämpölaajenemiskerroin β (beta) on lähes 3 alfa β on nesteillä huomattavasti suurempi kuin kiinteillä aineilla ja huomaa erityisesti veden epälineaarinen laajeneminen - β ei vakio 15-6 Lämpömäärä Ominaislämpökapasiteetti, lyhyesti ominaislämpö c kertoo kuinka paljon lämpöä tarvitaan massaa kohti, jotta lämpötila nousisi tietyn verran Q = mc T = mc(t 2 T 1 ) dq = mcdt c = 1 dq m dt Esim. veden ominaislämpö 4,19 kj/kg C moolinen lämpökapasiteetti, lyhyesti moolilämpö C, sama asia mutta tiettyä ainemäärää kohti: Q = nc T = nc(t 2 T 1 ) dq = ncdt C = 1 dq n dt = Mc Esim. veden moolilämpö 75,4 J/molK Määritelmistä seuraa, että kappaleeseen (systeemiin) tuleva lämpö on positiivinen ja poistuva negatiivinen 15-7 Kalorimetria ja olomuodon muutokset Kalori (calorie tai cal) on väistyvä lämpömäärän mittayksikkö mutta kalorimetria edelleen tarkoittaa lämpömäärän mittausta ja kalorimetri siihen liittyvää mittavälinettä Latenttilämpö ei muuta lämpötilaa Q f latent heat of fusion - sulamislämpö Esim. veden sulamislämpö 334 kj/kg norm. sulamispist. Q v latent heat of vaporization - höyrystymislämpö Esim. veden höyrystymislämpö 2256 kj/kg norm. kiehumispist.

3 Sulaminen vaatii lämpöä ulkopuolelta ja tämä tuleva lämpö määritellään positiiviseksi Vastaavasti jähmettyminen (jäätyminen) luovuttaa yhtä suuren määrän lämpöä ja tämä määritellään negatiiviseksi Latenttilämmöt ilmoitetaan massayksikköä kohti Q = ±ml Määritellään myös sublimaatio, muutos kiinteästä kaasuksi ja päinvastoin mutta se on toisarvoinen ainakin tässä kurssissa palamislämpö (heat of combustion) on enemmän kemian alaan kuuluva Kalorimetriset laskut ovat yksinkertaista skalaarisuureiden algebraa, jossa huomio on kiinnnitettävä etumerkkiin (plus tai miinus edellisten määritelmien mukaan) Systeemi pyrkii termiseen tasapainoon Jos astiaan kaadetaan 40 C ja 60 C vettä yhtä paljon, niin tuloksena on noin 50 C vettä Veden ja jään sekoitus pyrkii kohti 0 C lämpötilaa 3 17 Termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö 17-1 Introduction Ensimmäinen pääsääntö laajentaa energian säilymisperiaatteen käsittämään myös sisäisen energian, lämmön ja työn Termodynaamiset systeemit Energian hävitessä mekaanisten probleemien ratkaisuissa sanottiin tarkemmin perustelematta, että häviöenergia muuttui lämmöksi. Termodynaaminen systeemi voi vaihtaa energiaa ympäristönsä kanssa kahdella tavalla: lämpönä ja työnä. Systeemi tekee työtä kun sen tilavuus muuttuu. Termodynaamisessa systeemissä tapahtuu termodynaaminen prosessi, kun sen tila muuttuu. Etumerkkisopimukset: systeemiin tuleva lämpö on positiivista systeemistä poistuva lämpö on negatiivista Systeemin tekemä työ (ei kuitenkaan sanota poistuva työ) on positiivista ja systeemiin tehty työ (ei sanota tuleva työ) negatiivista. Etumerkit voitaisiin määritellä toisinkin, mutta nykyinen suositus on tämä Tilavuuden muutoksissa tehty työ Mekaanisen työn differentiaali dw = F dx sovellettuna primitiiviseen systeemiin: sylinteriin jossa on liikkuva mäntä kaava saa muodon dw = pa dx = p dv

4 4 joka on tilavuudenmuutostyön differentiaali Työ saadaan integroimalla alkutilavuudesta V 1 lopputilavuuteen V 2 W = V 2 V 1 p dv Jos paine säilyy vakiona koko muutoksen ajan, saadaan W = p(v 2 V 1 ) jos ei, niin siinä tapauksessa on integroitava sääntöjen mukaan Esimerkkitapaus, jossa paine ei ole vakio ideaalikaasun isoterminen muutos (T vakio) p = nrt V W = nrt V 2 V 1 dv V W = V 2 V 1 nrt V = nrt ln dv ( V2 ja koska isotermillä p 1 V 1 = p 2 V 2 niin voidaaan kirjoittaa myös ( ) p1 W = nrt ln Tilavuuden kasvaessa paine alenee ja työ on positiivinen eli systeemi tekee työtä ympäristöön (ekspansio eli laajentuminen) Jos tilavuus pienenee niin paine nousee ja työ on negatiivinen eli ympäristö tekee työtä systeemiin (kompressio eli puristuminen) 17-4 Polut termodynaamisten tilojen välillä Systeemin tekemä tai systeemiin tehty työ ei riipu yksinomaan alku- ja lopputiloista vaan myös välitiloista, jotka ovat muutospolun varrella. Systeemiin tai systeemistä virrannut lämpö ei riipu yksinomaan alku- ja lopputiloista vaan myös välitiloista, jotka ovat muutospolun varrella. Suljettu polku: lopputila on sama kuin alkutila eli tilamuuttujien muutokset ovat nollia p = 0, V = 0, T = 0 suljetulla polulla työ ei yleisesti ole nolla suljetulla polulla lämpö ei yleisesti ole nolla ei voida puhua systeemin työstä tai systeemin lämmöstä Asiaan palataan lämpökoneiden yhteydessä p 2 V 1 )

5 17-5 Sisäenergia ja ensimmäinen laki Alustavasti määritellään systeemin sisäenergia (sisäinen energia) kaikkien systeemin koostaneiden hiukkasten liike-energioiden summaksi plus hiukkasten välisten vuorovaikutusten potentiaalienergioiden summaksi. Sisäiseen energiaan eivät kuulu systeemin hiukkasten ja ympäristön väliset vuorovaikutusenergiat. Esimerkiksi gravitaatioenergia ei kuulu sisäiseen energiaan. Symboli U tarkoittaa yleensä mekaanista tai sähköistä potentiaalienergiaa mutta termodynaamista sisäistä energiaa. Sisäisen energian absoluuttisella arvolla ei ole merkitystä, vain muutos merkitsee U = U 2 U 1 Jos systeemiin virtaa lämpöä ja systeemi tekee työtä niin saadaan U = Q W joka tunnetaan ensimmäisenä pääsääntönä (I PS, first law) Edellä todettiin, että tilanmuutoksessa työ ja lämpö ovat tiestä riippuvia mutta ei ole mitään teoreettista metodia päätellä miten käy sisäisen energian. Kokeellisesti on todettu, että kaikille aineille sisäisen energian muutos on tiestä riippumaton eli riippuu ainoastaan alku- ja lopputilasta. suljetulla polulla sisäisen energian muutos on nolla U = 0 kaikkia suureita joilla on tämä ominaisuus sanotaan tilasuureiksi 17-6 Termodynaamisten prosessien erikoistapauksia Isokoorinen eli tilavuus ei muutu: V = 0 = W ja U = Q Isobaarinen eli paine ei muutu: p = 0 ja W = p V Isoterminen eli lämpötila ei muutu: T = 0 ja U = 0 Adiabaattinen eli lämpöä ei siirry: Q = 0 ja U = W Internal Energy of an Ideal Gas Ideaalikaasun sisäinen energia Ideaalikaasun sisäinen energia riippuu yksinomaan sen lämpötilasta ei paineesta eikä tilavuudesta Tämä on tärkeä lisä ideaalikaasun tilayhtälöön ja tätä käytetään hyväksi jatkossa useamman kerran 17-8 Heat Capacities of an Ideal Gas Ideaalikaasun lämpökapasiteetit Lämpökapasiteetti riippuu olosuhteista eli paineen ja tilavuuden muutoksista. Jos materian tilavuus ei oleellisesti muutu, niin lämpökapasiteetti on vain lämpötilan funktio ja normaalilämpötiloissa lähes vakio.

6 Kaasun lämpökapasiteetti on helpointa mitata vakiotilavuudessa, mutta prosessit tapahtuvat enimmäkseen vakiopaineessa. Kaasuille määritetäänkin kaksi lämpökapasitettia. 6 moolinen lämpökapasiteetti vakiotilavuudessa C V moolinen lämpökapasiteetti vakiopaineessa C p Jos kumpikaan ei pysy vakiona, niin lämpökapasiteetti jää epämääräiseksi. Kiinteän aineen ja nesteen tilavuus ei muutu merkittävästi ja siksi niille riittääkin yksi lämpökapasiteetti. Ideaalikaasussa ensimmäisen pääsäännön nojalla dq = du + p dv ja kun tilavuus on vakio dq = du Edellä (luku 16-5) todettiin, että du = nc V dt mutta, jos paine vaaditaan vakioksi, tilayhtälön mukaan p dv = nr dt ja ensimmäisen pääsäännön mukaan dq = nc V dt + nr dt = n(c V + R) dt C p = C V + R ratio of heat capacities ( ratio of specific heats ) γ = C p C V tunnetaan useimmin adiabaattivakiona Pistemäisen molekyylin C V = 3 2 R C p = C V + R = 3 2 R + R = 5 2 R γ = C p C V = 5 R 2 3 R = 5 3 = 1,67 2 ja kaksiatomisen molekyylin γ = C p C V = 7 R 2 5 R = 7 5 = 1, Ideaalikaasun adiabaattinen tilanmuutos HUOMAUTUS: Kun puhutaan lämmittämisestä tai jäähdyttämisestä, niin tarkoitetaan todellisuudessa lämpötilan nostamista tai laskemista. Adiabaattisessa prosessissa lämpötilan muutos on seuraus systeemin tekemästä tai systeemiin tehdystä työstä; lämpöä EI siirry lainkaan adiabaattisen muutoksen määrittelee ehto Q = 0 systeemi tekee työtä sisäenergiansa kustannuksella, W = U

7 Vastaavasti, kun systeemiin tehdään työtä niin sen sisäenergia kasvaa du = dw nc V dt = p dv Usein esitetty kysymys: Kun adiabaattinen prosessi ei ole vakiopaineinen eikä vakiotilavuuksinen prosessi, niin miksi tässä on moolinen lämpökapasiteetti vakiotilavuudessa? Vastaus: Ei lasketakaan lämpöä vaan sisäistä energiaa ja ideaalikaasun sisäinen energia voidaan aina laskea tällä kaavalla oli prosessi mikä tahansa. nc V dt = nrt dv dt T Koska R = C p C V ja C p = γc V, saadaan ja puolittain integroituna dt T V = R dv C V V = (γ 1)dV V ln(t ) = (γ 1) ln(v ) + vakio ln(t ) + ln(v γ 1 ) = vakio ln(t V γ 1 ) = vakio Asiaan perehtymätöntä saattaa hämmästyttää tässä kummitteleva vakio, mutta vakuutamme, että sen numeerinen arvo on täysin yhdentekevä - sehän jopa vaihtuu lausekkeesta toiseen - oleellista on vain sen vakioisuus. Toisaalta p, V ja T ovat muuttujia - niidenkään arvot eivät ole olleellisia - ainoastaan niiden väliset relaatiot (riippuvuudet) T V γ 1 = vakio Yhdistämällä tilayhtälöön pv T 1 = vakio saadaan joka tarkoittaa samaa kuin pv γ = vakio p 1 V 1 γ = p 2 V 2 γ Nyt selvinnee myös miksi gammaa sanotaan adiabaattivakioksi HUOMAUTUS: Adiabaattinen prosessi on ideaalinen rajatapaus - se perustuu niin nopeaan muutokseen, että lämpö ei ennätä virrata - mitään aikarajaa ei kuitenkaan anneta - on tarkkailijan asia milloin hän katsoo muutoksen adiabaattiseksi. Lasketaan vielä tilavuudenmuutostyö W = joka lopulta saadaan muotoon V 2 V 1 p dv = V 2 V 1 γ p 1 V 1 γ dv = p 1 V 1 W = 1 γ 1 (p 1V 1 p 2 V 2 ) YF: esittää toisen tavan, mutta päätyy samaan tulokseen Tämä on sama kuin sisäisen energian muutos vastakkaismerkkisenä LÄMPÖÄ EI SIIRRY SUUNTAAN EIKä TOISEEN V γ V 2 V 1 dv V γ 7

8 8 18 Toinen pääsääntö Ikiliikkuja on ollut teollistuneen yhteiskunnan vuosisadan haave. Ensimmäinen pääsääntö kieltää ensimmäisen lajin ikiliikkujan, sellaisen, joka tekisi työtä ilman energiaa. Lämpövoimakone tekee työtä lämmöstä ja lampöähän on maailmassa vaikka kuinka paljon, mutta ratkaisevaa ei olekaan lämmön määrä vaan sen lämpötila. Alhaisessa lämpötilassa olevaa lämpöä ei kerta kaikkiaan saada tekemään työtä. Kone, joka näin tekisi, olisi toisen lajin ikiliikkuja, eikä ristiriidassa ensimmäisen pääsäännön kanssa, mutta koska yritykset rakentaa tällainen laite jatkuvasti epäonnistuivat, oli keksittävä uusi sääntö - sääntö, joka kumosi haaveet halvasta energiasta Termodynaamisen prosessin suunta Kaikki luonnossa esiintyvät prosessit ovat irreversiibelejä (palautumattomia). Ne etenevät spontaanisti yhteen suuntaan, mutta eivät vastakkaiseen. Esim. lämmön virtaus kuumemmasta kylmempään ja kaasun vapaa laajeneminen. On mahdollista ainakin kuvitella idealisoitu reversiibeli (palautuva) prosessi. Systeemin, jossa tällainen prosessi voi tapahtua, tulee olla termisessä tasapainossa sekä itsensä että ympäristönsä kanssa. Tällöin prosessin tapahtumasuunta voidaan kääntää infinitesimaalisella (äärimmäisen pienellä) muutoksella. Esim. Ajatellaan vettä, jossa on jääkappaleita. Jos veden lämpötila on aavistuksen verran alle nollan (= 0 C), vesi jatkaa jäätymistään. Jos veden lämpötila on aavistuksen verran yli nollan, jää jatkaa sulamistaan. Aivan pieni lämpötilan muutos saa sulamisen vaihtumaan jäätymiseksi ja päinvastoin. Reversiibelit (palautuvat) prosessit ovatkin juuri tällaisia kvasitasapainoon perustuvia. quasi (latinaa) vapaa suomennos ei ihan mutta melkein Systeemit ovat vain keskimäärin samassa lämpötilassa. Vesi jäätyy hetken aikaa sitten se taas sulaa ja näin jatkuu kunnes tasapainoa häiritään suuremmalla muutoksella Lämpökoneista Lämpökone muuttaa polttoaineeseen (bensiiniin tms.) sitoutuneen kemiallisen energian lämmön kautta työksi. Työkaasuna (working substance) höyrykoneessa on korkeapaineinen ns. tulistettu höyry (kylläinen höyry ei tee työtä) ja polttomoottorissa ilman ja polttoaineen seos, jota poltetaan pieninä annoksina tasaisin välein. Systeeminä on edestakaisin liikkuvalla männällä (reciprocative piston) suljettu sylinteri ja prosessi on kiertoprosessi (cyclic process) Turbiinirakenteita ei käsitellä fysiikan peruskurssissa. Aluksi tarkastellaan koneita yleisesti. Ensimmäisen pääsäännön mukaan U 2 U 1 = 0 = Q W siis Q = W Täyden kerroksen jälkeen sisäisen energian muutos on nolla ja systeemiin virrannut nettolämpö (tuleva - poistuva) muuttuu nettotyöksi Jos lämmöt ilmoitetaan etumerkkeineen, niin nettolämpö on niiden summa, mutta itseisarvoina ilmoitettujen lämpöjen erotus Q = Q H + Q C = Q H Q C

9 ja hyödyllinen työ on W = Q = Q H + Q C = Q H Q C Thermal efficiency terminen hyötysuhde määritellään hyödyllisen työn suhteeksi koneeseen vietyyn lämpöön, koska poistettu lämpö annetaan harakoille. e = W = 1 + Q C = 1 Q C Q H Q H 18-4 Polttomoottoreista Polttomoottori on yleisesti nelitahtinen (neljä puolikierrosta syklillä) ja sylintereitä koneessa on yleensä myös neljä. Termodynaaminen jako: Otto- ja Diesel-prosessit 1. tahti: sylinterin täyttö seoksella 2. tahti: seoksen puristus ja sytytys 3. tahti: seoksen palaminen ja työ Q H 4. tahti: sylinterin tyhjennys jäähtyneistä palamiskaasuista Idealisoidussa prosessipiirroksessa ei näy lainkaan täyttöä ja tyhjennystä, koska ne ovat termodynaamisesti merkityksettömät Otto-sykli Lämmitys ja jäähdytys vakiotilavuudessa Q H = nc V (T c T b ) > 0 Q C = nc V (T a T d ) < 0 9 puristus ja työ adiabaattisia, Q = 0 hyötysuhde Adiabaattisuudesta seuraa e = Q H + Q C Q H = T c T b + T a T d T c T b T a (rv ) γ 1 = T b V γ 1 ; T d (rv ) γ 1 = T c V γ 1 joten e = T dr γ 1 T a r γ 1 + T a T d T d r γ 1 T a r γ 1 = (T d T a )(r γ 1 1) (T d T a )r γ 1 = 1 1 r γ 1

10 10 Diesel-sykli Eroaa Otto-syklistä (katso esim. kuvaa tehtäväpaperista) siinä suhteessa, että paine nostetaan mekaanisesti niin korkeaksi, että polttoaine syttyy itsestään. Työ tapahtuu aluksi isobaarisesti ja sen jälkeen adiabaattisesti. Terminen hyötysuhde (harjoitustehtävänä) 18-5 Jäähdytyskoneista e = 1 r E γ r C γ γ(r E 1 r C 1 ) Jäähdytyskone on käänteinen (ei kuitenkaan reversiibeli) lämpökone. Vain idealisoitu Carnot n kone on reversiibeli. Koneen tarkoitus on nostaa lämpöä alemmasta lämpötilasta korkeampaan ja sehän ei tapahdu spontaanisti. Tämä merkitsee sitä, että ympäristö tekee systeemiin työtä. Käännämme kaavat. Q H + Q C W = 0 eli Q H = Q C W Q H = Q C + W = Q C + W Käännetty hyötysuhde coefficient of performance tehokkuuskerroin K = Q C W = Q C Q H Q C Heat pump lämpöpumppu on periaattessa sama kun jäähdytyskone - ero on filosofinen - nimittäin tehokkuuskertoimen laskenta. K heat pump = Q H W = Q H Q H Q C koska tavoitteena on saada paljon lämpöä ylempään lämpötilaan 18-6 Toinen pääsääntö Ensimmäinen pääsääntö kieltää energian tekemisen tyhjästä tai hävittämästä sitä olemattomiin Toinen pääsääntö asettaa rajoituksia energian käytettävyydelle The engine statement: It is impossible for any system to undergo a process in which it absorbs heat from a reservoir at a single temperature and converts the heat completely into mechanical work, with the system ending in the same state in which it began Lämpökoneversio: On mahdotonta rakentaa systeemi, joka ottaisi lämpöä yhden lämpötilan varastosta ja muuttaisi tämän lämmön täydellisesti työksi ja palaisi samaan alkutilaan The refrigerator statement: It is impossible for any system to have as its sole result the transfer of heat from a cooler to hotter body Jääkaappiversio: On mahdotonta rakentaa systeemi, joka ainoastaan siirtäisi lämpöä alemmasta lämpötilasta korkeampaan

11 18-7 Carnot n sykli Koska mikään kone ei muuta lämpöä työksi 100% hyötysuhteella niin herää kysymys, että kuinka suuri hyötysuhde on mahdollinen. Irreversiibelejä prosesseja pitää välttää eli kysymykseen tulevat vain isoterminen ja adiabaattinen prosessi Carnot n lämpökone Koostuu neljästä vaiheesta, jotka kaikki ovat reversiibelejä 1. isoterminen laajentuminen, Q > 0 2. adiabaattinen laajentuminen T < 0 3. isoterminen puristuminen Q < 0 4. adiabaattinen puristuminen T > 0 Jos työkaasuna on ideaalikaasu Q H = W ab = nrt H ln Q C = W cd = nrt C ln ( ) Vc Q C = T ln C V ( d ) Q H T H Vb ln Q C Q H = T C T H eli V a ( Vb V ( a Vd V c ) Q C Q H = T C T H e Carnot = 1 T C T H = T H T C T H ) = nrt C ln Carnot n koneen hyötysuhde riippuu vain kahden lämpövaraston lämpötiloista. Mitä suurempi lämpötilaero, sitä suurempi hyötysuhde. Hyötysuhde voi olla ykkönen eli 100% vain jos alempi lämpötila on nolla siis absoluuttinen nolla. Carnot n jääkaappi Carnot n kierto on reversiibeli, joten konetta voidaan käyttää väärinpäin jääkaappina: K = Q C Q H Q C = T C K Carnot = T H T C Q C Q H 1 Q C Q H ( Vc V d ) 11

12 12 Carnot n kierto ja toinen laki II pääsääntö voidaan esittää myös muodossa: Minkään koneen, joka toimii tiettyjen lämpötilojen välillä, hyötysuhde ei voi olla suurempi kuin vastaavien lämpötilojen välillä toimivan Carnot n koneen. tai Minkään jääkaapin tehokerroin ei voi olla suurempi Carnot n jääkaapin, joka toimii samojen lämpötilojen välillä Kelvin-asteikko Carnot koneen terminen hyötysuhde on riippumaton työkaasun (working substance) laadusta e = Q H + Q C Q H Kelvinin ehdotus: määritellään lämpötilasuhde = 1 + Q C Q H T C = Q C T H Q H = Q C Q H Mitä? Tämähän on sama kaava kuin luvussa Eipäs olekaan, sillä se kaava perustui kaasulämpömittarilla mitattuun lämpötilaan - siis kaasun paineeseen. Nyt määritellään lämpötila perustuen Carnot koneeseen, toiseen pääsääntöön ja väliaineista riippumattomaksi. Ero tuntuu olemattomalta, mutta ero on. Vasta näin määritelty lämpötila on tosi absoluuttinen. Ja oikeastaan vasta nyt voidaan kiinnittää veden kolmoispiste 273,16 K Se mitä tästä seuraa tullee selväksi vasta entropiatarkastelun jälkeen, mutta se on suurin piirtein seuraava väite: Termodynamiikan kolmas laki: on mahdotonta saavuttaa absoluuttista nollapistettä äärellisellä määrällä termodynaamisia askeleita 18-9 Entropy Entropia Termodynamiikan toinen laki ei ole tavanomainen fysiikan laki. Se ei lausu kvantitatiivisten suureiden välisiä riippuvuuksia, vaan pikemminkin se on mahdottomuuksien laki. Toinen laki voidaan esittää myös kvantitatiivisen suureen entropian avulla. Määritellään entropian differentiaali ds = dq infinitesimaaliselle reversiibelille prosessille T jos lämpömäärä Q lisätään isotermiseen prosessiin lämpötilassa T, niin entropian S muutos S = S 2 S 1 = Q T S = 2 1 dq T reversiibelille isotermiselle prosessille mille tahansa reversiibelille prosessille Carnot n koneen kierroksen aikana kokonaisentropian muutos on nolla. Q H T H + Q C T C = 0

13 13 Minkä tahansa reversiibelin kiertoprosessin aikana kokonaisentropian muutos on nolla. dq = 0 reversiibelille kiertoprosessille T Entropia ja toinen laki Esimerkiksi sekoitettaessa kaksi eri lämpötilassa olevaa vesimäärää, lämpö virtaa korkeammasta lämpötilasta alempaan ja lämpötila tasoittuu tiettyyyn arvoon siksi, että kylmempi vesi ottaa sen energian jonka lämpimämpi luovuttaa, kun lisäksi oletetaan, että ympäristö ei ota eikä luovuta lämpöä. Energia säilyy, mutta entropia ei. Alunperin kylmemmän veden entropia kasvaa enemmän kuin lämpimämmän vähenee ja kokonaisentropia kasvaa. Entropiaa ei luovuteta eikä oteta vastaan. Se on sellaista hyvää, jota tulee itsestään. Entropiaa ei voi mitata rahassa kuten energiaa. Kun entropia kasvaa, kysymyksessä on irreversiibeli prosessi eli vedet eivät spontaanisti (itsestään) palaa alkuperäisiin lämpötiloihinsa. Kun otetaan huomioon kaikki prosessiin psallistuvat systeemit, entropia joko pysyy vakiona tai kasvaa. Toisin sanoen: ei ole olemassa prosessia, jonka vaikutuksesta maailmankaikkeuden kokonaisentropia pienenisi. Kun sekoitamme vesiä huvin vuoksi, niin emme menetä energiaa, mutta olemme menettäneet jotakin muuta ja saaneet tilalle entropiaa. Menetimme mahdollisuuden hyödyntää alkuperäistä lämpötilaeroa. Lopuksi TS diagrammeista. TS diagrammien avulla voidaan kuvata termodynaamista prosessia kuten pv diagrammien avulla tehtiin. Piirretään siis systeemin lämpötila entropian suhteen prosessin aikana kaksiulotteiseen tasoon: 1. adiabaattinen prosessi = isentrooppinen prosessi entropia säilyy - kuvaaja on T akselin suuntainen suora 2. isoterminen prosessi lämpötila sailyy - kuvaaja S akselin suuntainen on suora 3. isokoorinen prosessi entropia lämpötilan funktiona ideaalikaasussa Tuosta saadaan: S = 2 1 dq 2 T = 1 nc V dt T = nc V 2 ( ) S T = T 1 exp nc V 4. isobaarinen prosessi entropia lämpötilan funktiona ideaalikaasussa S = 2 1 dq 2 T = 1 nc p dt T = nc p dt T dt T = nc V ln = nc p ln ( T2 T 1 ( T2 T 1 ) )

14 ( ) S T = T 1 exp nc p T S piirroksessa pinta-ala esittää lämpöä samoin kuin pv diagrammissa pinta-ala esitti työtä. Kiertoprosessin kuvaajan sisään jäävä alue esittää kierroksen aikana absorboitunutta lämpöä, mutta sehän on toisaalta sama kuin kierroksen aikana tehty työ. Carnot n prosessin kuvaaja on suorakulmio. Tämän avulla voidaan esimerkiksi todistaa Carnot n maksimaalinen hyötysuhde Entropian mikroskooppinen tulkinta (väliin) A Case Study: Energy Resources (väliin) 22 Sähkövaraus ja -kenttä 22-2 Sähkövaraus Ei voida sanoa mitä sähkövaraus on; voidaan kylläkin kuvata sen ominaisuuksia. On todettu olevan kahdenlaisia varauksia; positiivisia ja negatiivisia. Erimerkkiset varaukset vetävät toisiaan puoleensa ja samanmerkkiset hylkivät toisiaan. Varausta merkitään kirjaimella Q (tai q) ja sen yksikkö on 1 C (coulombi) Sähkövaraus ja aineen rakenne Sähkövaraus voidaan rajata atomin eri osiin. Elektronin sähkövaraus on negatiivinen alkeisvaraus, q e = e = C. Protonin sähkövaraus on positiivinen alkeisvaraus, q p = e = C. Neutronin sähkövaraus on nolla, se on siis sähköisesti neutraali. Protonit ja neutronit muodostavat atomien ytimen, jota elektronit kiertävät. Ehjässä atomissa on yhtä monta elektronia ja protonia, jolloin sen kokonaisvaraus on nolla. Jos atomissa on elektronivajaus, sitä sanotaan positiiviseksi ioniksi. Atomia jolla on ylimääräisiä elektroneja sanotaan negatiiviseksi ioniksi. Sähkövarauksen säilymislaki: Suljetun systeemin kokonaissähkövaraus (kaikkien varausten algebrallinen summa) on vakio. Universumi on suljettu systeemi, joten jos jonnekin syntyy positiivinen varaus, täytyy toisaalle syntyä negatiivinen Johteet, eristeet ja indusoidut varaukset Johteessa sähkövaraukset pääsevät kulkemaan (enemmän tai vähemmän) vapaasti, jolloin liikkuvat varaukset aiheuttavat sähkövirran. Metallit yleensä hyviä johteita. Eriste taas estää varausten vapaan kulun, mutta sähkö voi vaikuttaa eristeen läpi sähkökentän kautta. Sähkökenttä indusoi eristeen kaksoisvarauksen eli dipolin. Muovit usein hyviä eristeitä. 14

15 Coulombin laki Kahden pistemäisen sähkövarauksen q a ja q b välinen voima F a on b = 1 q a q b 4πɛ 0 r 2 ab ˆr a to b missä ɛ 0 on vakio (tyhjön permittiivisyys), r ab varausten välinen etäisyys ja ˆr a to b yksikkövektori, jonka suunta on varaukselta a varaukselle b. Tässä on kyseessä nimenomaan voima jolla varaus a vaikuttaa varaukseen b. Voima, jolla b vaikuttaa a:han on samansuuruinen mutta vastakkaissuuntainen. Vakio ɛ 0 = C 2 N 1m 2. Kun kaksi varausta q 1 ja q 2 aiheuttavat yhtäaikaa voiman kolmanteen kappaleeseen q 3, voidaan kolmannen varauksen kokema kokonaisvoima saada selville laskemalla yhteen q 1 :n ja q 2 :n aiheuttamat voimavektorit q 3 :een. Siis F 3 = F 1 on 3 + F 2 on Sähkökenttä ja sähköinen voima Määritellään sähkökenttä E riippumatta mistä se aiheutuu siten, että se vaikuttaa pistevaraukseen q 0 voimalla F 0 = q 0 E. Siis pistevaraus Q luo ympärilleen sähkökentän, jonka sähkökenttävektori mielivaltaisessa pisteessä P on E = 1 Q ˆr, missä r on etäisyys pistevarauksesta pisteeseen P ja ˆr on yksikkövektori varauksesta P:hen. 4πɛ 0 r2 Pistevarauksen kenttä on pallosymmetrinen; kentän suuruus on sama yhtäläisillä etäisyyksillä joka puolella varausta 22-7 Sähkökentän laskeminen Tunnetun varausjakauman ympärilleen aiheuttama kenttä voidaan laskea jakamalla varausta sisältävä alue pieniin ikäänkuin pistemäisiin osiin. Kokonaissähkökenttä pisteessä P saadaan summaamalla näiden eri osien aiheuttamat sähkökenttävektorit yhteen. Jatkuvien varausjakaumien tapauksessa tämä tarkoittaa integrointia kappaleen yli. Tasaisesti varattujen systeemien erikoistapaukset: viivavarauksella (1-ulotteinen) on viivavaraustiheys λ, joka on varausta pituusyksikköä kohti, yksikkö C/m pintavarauksella (2-ulotteinen) on pintavaraustiheys σ, joka on varausta pinta-alayksikköä kohti, yksikkö C/m 2 avaruusvarauksella (3-ulotteinen) on varaustiheys σ, joka on varausta tilavuusyksikköä kohti, yksikkö C/m 3. Sama symboli kuin massatiheydellä, mutta täysin eri asia! 22-8 Sähkökenttäviivat Sähkökenttäviivat ovat kenttävektorien verhokäyriä eli kenttäviivan tangentti on aina kenttävektorin suuntainen. Kenttäviivat eivät koskaan leikkaa toisiaan. Viivat osoittavat kohti negatiivisia varauksia ja pois positiivisista varauksista. Huom! Kenttäviivat eivät kuvaa varatun hiukkasen liikerataa sähkökentässä.

16 22-9 Sähköiset dipolit Kahden itseisarvoltaan yhtäsuuren mutta erimerkkisen varauksen (q ja q) muodostamaa systeemiä sanotaan sähköiseksi dipoliksi. Dipolille määritellään vektorisuure dipolimomentti, jonka suuruus on p = qd. Tässä d on varausten välinen etäisyys. Vektorin suunta on negatiivisesta varauksesta positiiviseen. Ulkoisen sähkökentän dipoliin aiheuttama kokonaisvoima on nolla, mutta se saa kuitenkin aikaan vääntömomentin, jonka suuruus on τ = pesinφ. φ on vektorien E ja p välinen kulma. Ulkoinen sähkökenttä pyrkii siis kääntämään dipolia suuntaisekseen. 23 Gaussin laki 23-1 Johdanto Gaussin laki tekee mahdolliseksi laskea symmetrisessä tapauksessa varsin työläitä integraaleja lyhyemmin (päättelemällä). Matemaattisesti Gaussin lain avulla muunnetaan tilavuusintegraali pintaintegraaliksi Sähkökenttä ja sähkökentän vuo Sähkökentän vuo (sähkövuo) kuvaa sitä kuinka voimakkaasti sähkökenttä (tai sähkökenttäviivat) lävistävät tietyn pinnan. Suljetulle pinnalle vuo voi olla joko pinnan sisään tai pinnasta pois riippuen sähkökentän suunnasta. Suljetun pinnan sisään jäävän varauksen suuruutta voi päätellä vuosta: 1. Sisään tai ulos menevä nettovuo kertoo kokonaisvarauksen merkin pinnan sisällä. 2. Pinnan ulkopuoliset varaukset eivät vaikuta nettovuohon. 3. Nettovuo on verrannollinen pinnan sisään jäävän nettovarauksen suuruuteen, mutta on muuten riippumaton tutkittavan pinnan koosta Sähkökentän vuon laskeminen Tasaisille pinnoille ja tasaiselle (vakio) sähkökentälle sähkövuo on Φ E = EAcosφ = E A missä φ on sähkökenttävektorin E ja pinnan normaalin ˆn välinen kulma. Pinta-alavektori A = Aˆn ts. se on vektori, jolla on pinnan normaalin suunta ja pinnan alan suuruus. Yleisille tapauksille, missä pinta ei ole välttämättä tasainen tai sähkökenttä vakio, sähkövuo saadaan integroimalla pinnan yli: Φ E = E cosφ da = E da Gaussin laki Pistevarauksen sähkökenttä itseisarvoltaan on Coulombin mukaan E = 1 q 4πε o R 2

17 ja siis yhtä suuri etäisyydellä R joka suuntaan. Ajatellaan R säteinen pallo varaus keskipisteenä. Sähkövuo pallon pinnan läpi on Φ E = EA = 1 q 4πε o R 2 (4πR2 ) = q ε o Vuo ei siten riipu pallon säteestä. Lisäksi voidaan osoittaa, että vuo ei riipu edes pinnan muodosta, kunhan pinta on suljettu ja varaus pinnan sisäpuolella Φ E = E da = q ε o Jos pinnan sisässä ei ole lainkaan varausta, niin vuo on nolla eli Φ E = E da = 0 Jos varaus on pinnan ulkopuolella, niin silloin sen vuo on myös nolla, koska yhtäsuuri vuo menee sisään kuin tulee ulos. Näin on, vaikka varauksia olisi kunka monta tahansa pinnan ulkopuolella. Jos pinnan sisäpuolella on useita varauksia, niin vuot yhdistetään ja saadaan Φ E = E da = Q encl ε o (Gaussin laki) missä Q encl (enclosed) on pinnan sisään jäävä kokonaisvaraus joko erillisinä pistevarauksina tai jatkuvana varauksena. tarkoittaa integrointia suljetun pinnan yli. Tällaista suljettua pintaa sanotaan tässä yhteydessä Gaussin pinnaksi 23-5 Gaussin lain soveltaminen Gaussin lain avulla voidaan laskea sähkökenttiä varsin yksinkertaisella tavalla, jos kentän suunta voidaan määrittää jonkin muun seikan, kuten esimerkiksi symmetrian avulla. Erittäin käyttökelpoinen menetelmä jatkuvien varausten tapauksessa. Pallosymmetria Varausjakautuman tulee olla symmerinen eli varauskeskipiste on origo. Varauksen ei tarvitse olla origossa kunhan sen keskus on origo. Tällöin sähkökenttävektori on joko poispäin origosta tai origoa kohti. Nyt ideana on valita Gaussin pinnaksi r-säteinen pallopinta. Tällöin E da = Eda, sillä pintavektori ja sähkökenttävektori ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia. Edellisessä tapauksessa E on positiivinen, jälkimmäisessä negatiivinen. Toisaalta pallon pinnalla oltaessa kenttävektorin suuruus E on vakio ja se voidaan viedä integraalista ulos. Tällöin E da = E4πr 2 = Q encl ε o E = Q encl ε o 4πr 2 Tässä siis Q encl on r-säteisen Gaussin pinnan sisään jäävä varaus. Jos R-säteisessä pallossa, on jatkuva symmetrisesti jakautunut varaus, niin sähkökenttä pallon ulkopuolella on sama kuin tapauksessa, jossa kaikki varaus on origossa E = 1 4πε o q r 2 (r R) 17

18 r on tarkastelupisteen etäisyyskoordinaatti (muuttuja), R on varatun pallon säde (vakio) Sähkökenttä pallon sisäpuolella riippuu varausjakautumasta, mutta tarkastellaan kahta tapausta 1. Staattisessa tilanteessa varaukset pyrkivät mahdollisimman etäälle toisistaan. Johteissa varaukset voivat kulkea vapaasti ja siirtyvät siksi pallon pinnalle. Tällöin kenttä pallopinnan sisäpuolella on nolla, koska varausta ei ole lainkaan. Siis E = Jos pallo on kuitenkin jotain eristeainetta niin varaus ei voi siirtyä vapaasti. Useimmiten tällöin kuitenkin ylimääräinen varaus on tasaisesti jakautunut koko palloon eli varaustiheys ρ on vakio. Tällöin voidaan osoittaa, että Tasosymmetria E = 1 4πε o qr R 3 (r R) Luvussa 22-7 annettiin tasovarauksen sähkökenttä, mutta johdetaan se nyt Gaussin lain avulla. Oletetaan äärettömän laaja taso ja tasainen pintavaraus σ. Kokonaisvaraus on ääretön, mutta sillä ei oli merkitystä tässä. Symmetrian perusteella kenttävektorit ovat kohtisuorassa tasoa vastaan positiivinen poispäin tasosta negatiivinen tasoa kohti. Lisäksi kenttä on itseisarvoltaan sama kaikkialla (siinä ideaalitapauksessa, että taso on todella ääretön) Erotetaan tasosta pinta-alkio (ympyrä on helpoin kuviteltavissa oleva muoto) pinta-alaltaan A ja ympäröidään se suoralla sylinterillä, jonka korkeus on esimerkiksi H (puoli H:ta kummallekin puolelle tasoa). Gaussin pinta on siis säilyketölkkiä muistuttava sylinteri, jonka sisään jäävä varaus Q encl = σa vuo koko sylinteripinnan läpi Φ E = EA EA = 2EA kummastakin päädystä tulee ulos yhtäsuuri vuo, vaipan läpi ei mitään 18 2EA = σa ε o E = σ 2ε o 23-6 Varaukset johteessa Staattisessa tilanteessa johdekappaleen nettovaraus (joko positiivinen tai negatiivinen) pyrkii kappaleen pinnalle. Jos johdekappaleen sisällä on ontto osa, ja onttoon osaan on sijoitettu pistevaraus q, indusoituu johdekappaleen onton osan reunalle varaus -q kompensoimaan pistevarausta. Vain näin saadaan sähkökenttä nollaksi johteen sisällä.

19 19 (Tästä eteenpäin toisen välikokeen aluetta.) 24 Sähköinen potentiaali 24-2 Sähköinen potentiaalienergia Voima tekee työtä, kun se vaikuttaa liikkuvaan kappaleeseen. Työ määritellään viivaintegraalina W a b = b a F dl = b a F cos(φ) dl HUOMAA: Kysymys on aina tietyn yksilöidyn voiman tekemästä työstä ja se voi olla negatiivinenkin nimittäin silloin kun cos(φ) on negatiivinen ja todellinen työ tuleekin jostakin muualta. Fysiikan kielen työ on siten eri asia kun kansankielen työ Voiman sanotaan olevan konservatiivinen, jos työn suuruus ei riipu tiestä eli työ riippuu ainoastaan alku- ja loppupisteen koordinaateista. Silloin voidaan määritellä paikasta riippuva potentiaalienergia U ja työ määritellään potentiaalienergiaerona W a b = U a U b = (U b U a ) = U HUOMAA: Jos siirryttäessä pisteestä a pisteeseen b voima tekee todellista työtä eli työ on positiivinen, niin tällöin potentiaalienergia vähenee vastaavalla määrällä. Potentiaalienergia sinänsä voi olla etumerkiltään kumpi tahansa kysymys on vain muutoksesta. Potentiaalienergia on ikäänkuin voiman mahdollisuus tehdä työtä. Usein esitetty kysymys: Miksi näin? Eikö potentiaalienergia kasvakaan kun esimerkiksi laatikko nostetaan hyllylle? Vastaus: Kyllä kasvaa, mutta huomaa että potentiaalienergia tulee tällöin painovoimakentästä. Painovoima vaikuttaa alaspäin ja siirtymän ollessa ylöspäin painovoima tekee miinustyötä. Laatikkoa nostettaessa painovoiman lisäksi jonkin muunkin voiman täytyy vaikuttaa laatikkoon. Potentiaalienergia homogeenisessa sähkökentässä Seuraavassa esityksessä puhutaan testivarauksesta. Testivaraus on hypoteettisen pieni (lähes nolla) varaus, joka ei muuta oleellisesti alkuperäistä kenttää. Homogeeninen sähkökenttä E on vakio kaikkialla kentässä ja aiheuttaa testivaraukseen q o voiman F = q o E. Oletetaan aluksi testivaraus positiiviseksi. Jos varaus siirtyy kentän suuntaan matkan d niin sähkökenttä tekee työn W a b = F d = q o Ed Tämä on vastaava tilanne kuin testikappale putoaisi painovoimakentässä. Voimme aluksi olettaa, että sähkökenttävektori on pystysuora ja suunta alaspäin, jolloin tilanne on täysin samanlainen kuin putoamisliikkeessä (kappaleeseen vaikutetaan vakiovoimalla alaspäin). Sähkökenttä on konservatiivinen, joten työ ei riipu tiestä vaan ainoastaan siirtymästä alas- tai ylöspäin. Siksi voidaan määritellä sähköinen potentiaalienergia siten, että U = q o Ey

20 missä y on paikka pystysuunnassa (samoin kuin korkeus painovoiman tapauksessa). Tällä valinnalla W a b = U = U a U b = q o Ey a q o Ey b = q o E(y a y b ) = q o Ed Siirryttäessä sähkökentän suuntaan, siirrytään myös voiman suuntaan, joten potentiaalienergia putoaa. Siirryttäessä kenttää vastaan, potentiaalienergia kasvaa. Nyt jos testivaraus onkin negatiivinen, varaukseen kohdistuvan voiman suunta muuttuu vastakkaissuuntaiseksi. Edellä tehty määritelmä potentiaalienergialle toimii kuitenkin edelleen. Nyt siirryttäessä sähkökentän suuntaan kuljetaan kuitenkin voimaa vastaan, joten potentiaalienergia kasvaa, ja kuljettaessa kenttää vastaan potentiaalienergia pienenee. Tämä johtuu siitä että potentiaalienergia pienenee aina kuljettaessa voiman suuntaan. Potentiaalienergia pistevarauksen sähkökentässä Nyt ei ole enää selvää ylös- tai alaspäin suuntaa, on vain suunta poispäin varauksesta tai kohti varausta. Potentiaalienergiaan päästään käsiksi voiman avulla: F = 1 qq o 4πε o r 2 Voidaan osoittaa, että siirrettäessä varaus q o etäisyydeltä r a etäisyydelle r b q:n suhteen tehty työ riippuu vain alku- ja loppuetäisyyksistä. Tällöin voidaan valita potentiaalienergiaksi. U = 1 qq o 4πε o r Jos varaukset ovat erimerkkisiä on potentiaalienergia negatiivinen, samanmerkkisille varauksille positiivinen. Potentiaalienergian nollakohta voidaan aina valita mielivaltaisesti, tosin tarkasteltavan systeemin rakenne usein rajoittaa tehdyn valinnan järkevyyttä. Yllä olevan pistevarausten potentiaalienergian nollakohdaksi on valittu äärettömän kaukana toisistaan olevian pistevarausten välinen potentiaalienergia. Usean pistevarauksen varaukseen q o kohdistamien voimien potentiaalienergia on yksittäisten summa: U = q o q i 4πε i o r i Tässä r i on q o :n etäisyys q i :stä. Koska mikä tahansa staattinen varausjakauma voidaan esittää kokoelmana pistemäisiä varauksia, niin tällaisen varauksen aikaansaaman kentän varaukseen kohdistama voima on aina konservatiivinen. Jos halutaan tietää usean pistevarauksen varaukseen kaikkien niiden toisiinsa kohdistamien voimien aiheuttama potentiaalienergia, täytyy summata kaikkien parien ij yli: U = i j<i 1 q i q j 4πε o r i j 20

21 Sähköinen potentiaali Potentiaali on potentiaalienergia (testi)varausta kohti Potentiaalille on sovittu oma mittayksikkö V = U q o U = q o V 1 V = 1 voltti = 1 N/C = 1 newton/coulombi Potentiaalin määritelmästä johtuen sähkökentän tekemä työ varausta kohden on potentiaaliero alku- ja loppupisteiden välillä: W a >b = U ( Ub = U ) a = (V b V a ) = V a V b q o q o q o q o Potentiaalieroa sanotaan myös jännitteeksi. Pistevaraukselle luoman kentän potentiaali on V = 1 4πɛ 0 q r Monen pistevarauksen luoman kentän potentiaali V = i 1 4πɛ 0 q i r i Jatkuva varaus voidaan ajatella taas muodostuvan äärettömän pienistä pistemäisistä varauksista dq. Siksi sen potentiaali saadaan integroimalla: V = 1 dq 4πɛ 0 r Jos tunnetaan sähkökenttä E voidaan potentiaaliero laskea integroimalla sähkökenttää mitä tahansa reittiä pitkin: V a V b = b a E dl Toisin kuin potentiaalienergian tapauksessa potentiaali laskee aina sähkökentän suuntaan liikuttaessa. Tästä huomataan, että sähkökentän yksikkö voidaan esittää toisinkin: [E] = 1V/m = 1N/C. Alkeisvarausta taas voidaan käyttää muodostettaessa hyvin pieniä energioita kuvaava energian yksikkö. Se vastaa työtä, jonka sähkökenttä tekee siirtäessään yhden alkeisvarauksen 1 voltin potentiaalieron yli. Siis U a U b = e(v a V b ) = C 1V = J = 1eV = 1elektronivoltti

22 24-4 Sähköisen potentiaalin laskeminen Potentiaali voidaan laskea periaatteessa kahdella eri tavalla: 1. Jos tunnetaan varausjakauma voidaan kokonaispotentiaali laskea integroimalla varausjakauman yli pistemäisten varausalkioiden aiheuttamaa potentiaalia. 2. Jos tunnetaan sähkökenttä paikan funktiona voidaan potentiaaliero kahden eri pisteen välillä laskea intergoimalla sähkökenttää mielivaltaista pisteiden välillä kulkevaa reittiä pitkin. Varsinkin 2. tavalla laskiessa ei helpoimmissa tapauksissa tarvitse integroida vaan sopivalla reitin valinnalla pääsee integroinnista eroon Tasapotentiaalipinnat Tasapotentiaalipinta on avaruuteen piirretty kolmiulotteinen pinta, jolla potentiaalin suuruus on vakio. Yleensä tästä piirretään kahteen ulottuvuuteen leikkauskuvio, jolloin saadaan kartan korkeuskäyriä vastaava tilanne. Niiden avulla voidaan kuvata potentiaalin käyttäytymistä paikan funktiona samoin kuin sähkökenttäviivojen avulla kuvattiin sähkökentän käyttäytymistä. Tasapotentiaalipinnat (tai käyrät) ovat kohtisuorassa sähkökenttäviivoja vastaan, eivätkä eri pinnat koskaan leikkaa toisiaan Potentiaalin gradientti Edellä johdettiin potentiaali sähkökentästä integroimalla. Päinvastoinkin voidaan tehdä, eli johtaa sähkökenttä potentiaalista derivoimalla. Pallosymmetriassa derivoidaan yhden muuttujan (säteen r) suhteen, yleisessä tapauksessa pitää derivoida kolmen muuttujan (x, y, z) funktio ja tällaista derivaattaaa sanotaan funktion gradientiksi. Gradientti on vektori, jonka suuntaan funktio kasvaa nopeimmin. Sähkökenttä on kuitenkin gradientin vastavektori ( E = i V ) x + j V y + k V z eli sähkökenttävektori osoittaa alenevan potentiaalin suuntaan. Jotta edellinen voidaan laskea, täytyy tuntea potentiaali paikan funktiona, ts. V=V(x,y,z). Funktion f gradientti voidaan myös esittää muodossa f, joten 24-7 (väliin) 24-8 (väliin) E = V 25 Kapasitanssi ja dielektrisyys 25-1 Johdanto Kondensaattori (capacitor) on (tavallisesti) sähkötekninen väline, johon voidaan varastoida staattista sähköä. Luonnossakin esiintyy kondensaattoreita - tunnetuin on ukkospilven ja maan välinen systeemi. 22

23 Kondensaattori syntyy kun kaksi johdekappaletta eristetään toisistaan, ja toiselta johdekappaleelta siirretään varausta toiselle. Tällöin johdekappaleiden välille syntyy potentiaaliero, joka on suoraan verrannollinen siirrettyyn varaukseen. Siirretyn varauksen suhdetta syntyneeseen potentiaalieroon sanotaan kondensaattorin kapasitanssiksi. Kapasitanssin suuruus on vain johdekappaleiden geometrisista ominaisuuksista sekä niitä eristävän materiaalin ominaisuuksista riippuva vakio. Kapasitanssi on siis kondensaattorin varautumiskyvyn mitta, mutta toisaalta myös kondensaattoriin varastoidun energian mitta Kondensaattori ja kapasitanssi Kapasitanssin määritelmä on siis C = Q V ab, missä Q on systeemiin varastoitunut sähkömäärä ja V ab johteiden a ja b välinen potentiaaliero. Potentiaaliero tunnetaan myös jännitteenä (erityisesti sähköisiä piirejä tarkasteltaessa). Kapasitanssin mittayksikkö on SI-järjestelmässä Tasokondensaattori 1 F = 1 faradi = 1 C/V = 1 coulombi/voltti Tasokondensaattorin muodostaa kaksi toisistaan erillään olevaa tasomaista johdekappaletta. Aluksi oletamme, että välissä ei ole mitään, joka on käytännössä sama kuin välissä olisi kuivaa puhdasta ilmaa. Edellä osoitettiin, että tasojen välissä on sähkökenttä ja potentiaaliero tasojen välissä ja kapasitanssin määritelmän mukaan Pallokondensaattori E = σ ε 0 = Q ε 0 A V ab = Ed = 1 ε 0 Qd A C = Q A = ε 0 V ab d Jos halutaan aivan tarkasti laskettavissa oleva kapasitanssi, se saadaan kahden pallonkuoren väliin. Potentiaaliero pallonkuorten välillä V ab = V a V b = Q Q 4πε 0 r a 4πε 0 r b = Q ( 1 1 ) = Q r b r a 4πε 0 r a r b 4πε 0 r a r b 23

24 24 ja kapasitanssi C = Q r a r b = 4πε 0 V ab r b r a 25-3 Kondensaattorien sarja- ja rinnakkaiskytkentä Sarjakytkentä: molemmissa kapasitansseissa sama varaus, potentiaalierot summautuvat V ac = V 1 = Q, V cb = V 2 = Q C 1 C ( 2 1 V ab = V = V 1 + V 2 = Q + 1 ) C 1 C 2 V Q = C 1 C 2 Määritellään ekvivalenttinen (samanarvoinen) kapasitanssi C eq = Q V or 1 C eq = V Q Sarjakytkennän tapauksessa Yleisesti voidaan johtaa edelleen kaava 1 C eq = 1 C C 2 1 C eq = 1 C C C (sarjakytkentä) Rinnakkaiskytkentä: molemmissa kapasitansseissa sama potentiaaliero, varaukset summautuvat Q 1 = C 1 V, Q 2 = C 2 V ja ekvivalenttinen kapasitanssi ja yleisesti Q = Q 1 + Q 2 = (C 1 + C 2 )V Q V = C 1 + C 2 C eq = C 1 + C 2 C eq = C 1 + C 2 + C (rinnankytkentä) HUOM! Sarja- ja rinnakkaiskytkentä ovat periaatteessa aivan eri tapaukset ja niiden sotkeminen keskenään on sangen vakava virhe Kondensaattorin energia Kondensaattorissa on se ominaisuus, että samalla kun sen varaus kasvaa niin myös potentiaaliero kasvaa, koska kapasitanssi on vakio V = Q C

25 eli mitä enemmän kondensaattorissa on varausta, niin sitä korkeampaan potentiaaliin pitää nostaa seuraavat varaukset Potentiaalienergia dw = v dq = q C dq W = W 0 dw = 1 C Q 0 q dq = Q2 2C U = Q2 2C = 1 2 CV 2 = 1 2 QV on verrannollinen varauksen tai potentiaalin neliöön tai varauksen ja potentiaalin tuloon. Sähkökentän energiatiheys = energia/ tilavuus Tasokondensaattorissa u = U Ad = CV 2 2Ad = Todistamatta väitämme, että tämä pätee yleisesti Dielektrisyys ( ) A ε 0 (Ed) 2 d = 1 2Ad 2 ε 0E 2 Kondensaattorilevyjen välin tulee olla ei-johtavaa materiaalia. Täysin tyhjä tila toimii luonnollisesti eristeenä. Parempi eriste on kuitenkin dielektrinen materiaali. Dielektrisen materiaalin molekyylit dipolisoituvat ja syntyneet dipolit muodostavat sähkökentän, joka on vastakkaissuuntainen ulkoisen sähkökentän kanssa. Jos sähkökenttä on heikko, niin dielektrisen materiaalin ominaisuus voidaan esittää yhden vakion, dielektrisyysvakion (K), avulla. Merkitään kondensaattorin kapasitanssia C 0 kun levyjen väli on tyhjää (käytännössä ilmaa) ja C kun välissä on dielektristä materiaalia. Dielektrisyysvakio määritellään suhteeksi 25 K = C C 0 Ilman dielektrisyysvakio K = , joten ilmaeristeinen kondensaattori on riittävällä tarkkuudella ekvivalenttinen tyhjöeristetyn kondensaattorin kanssa. Potentiaalieroille eristeettömän ja eristetyn kondensaattorin levyjen välille tulee sama suhde K = V 0 V kun varaus on vakio. Jos merkitään E 0 sähkökenttä tyhjöeristetyssä kondensaattorissa ja E sähkökenttä materiaalilla eristetyssä kondensaattorissa, niin E = E 0 K Merkitään kondensaattorilevyjen pintavaraus σ ja polarisaatiovarauksen eli eristeen pinnalle indusoituneen varauksen pintatiheys σ i E 0 = σ ε 0 E = σ σ i ε 0

26 koska varaus σ saa aikaan varauksen σ i niin sen täytyy olla pienempi eli σ i < σ ja K > 1 ja ( σ i = σ 1 1 ) K Määritellään permittiivisyys ε = Kε 0 ja nyt voidaan esittää heikentynyt kenttä muodossa 26 E = σ ε viittaamatta polarisaatiovaraukseen, ja edelleen tasokondensaattorin kapasitanssi muodossa C = KC 0 = Kε 0 A d = εa d Kondensaattorin varastoitunut potentiaalienergia on U = Q2 2C = 1 2 CV 2 = 1 2 QV Sähkökentän energiatiheys voidaan esittää muodossa u = 1 2 Kε 0E 2 = 1 2 εe2 26 Virta, resistanssi ja sähkömotorinen voima 26-2 Sähkövirta Sähkövirta on sähkövarauksen siirtymisnopeus I = dq dt Mittayksikkö olisi tavalliseen tapaan C/s eli coulombi/sekunti, mutta käytännöllisistä syistä sähkövirran yksikkö on valittu perusyksiköksi [I] = 1 A = 1 ampeeri ja sähkövarauksen yksiköstä tulee johdannaisyksikkö [Q] = 1 As Ampeerin suuruus määritetään vasta magneettisen voimavaikutuksen avulla kappaleessa 29 (siihen asti pitää vain uskoa mittaria) Sähkövirta kulkee yleensä metallisessa johtimessa (ikäänkuin putkessa). Ajassa dt johtimen poikkipinnan A läpi siirtynyt sähkövirta I lasketaan dq = q(nav d dt) = nqv d A dt I = dq dt = nqv da missä n on varausten lukumäärä tilavuusyksikössä (konsentraatio), q varauksen suuruus ja v d varauksen keskimääräinen kulkeutumisnopeus (drift-velocity)

27 27 HUOM Yleinen harhaluulo on, että varaus siirtyisi valon nopeudella, mutta näin asia ei ole lähimainkaan. Sitävastoin sähkön vaikutus etenee lähes valon nopeudella. Tähän mysteeriin palataan myöhemmin. Määritellään sähkövirran tiheys J = I A = nqv d Sähkövarauksia todettiin olevan kahdenlaisia: positiivisia ja negatiivisia ja molemmat tyypit voivat ottaa osaa samaan sähkövirtaan vahvistaen toisiaan ja ristiriitojen välttämiseksi on syytä määritellä I = dq dt = n q v da ja edelleen J = I A = n q v d Vektoriesitys ottaa etumerkit huomioon. Silloin itseisarvoja ei saa käyttää J = nqv d 26-3 Resistivity Resistiivisyys Sähkövirran saa aikaan sähkökenttä ja jos rajoittavia tekijöitä ei olisi, niin silloin varausten nopeus lähenisi ääretöntä (= valon nopeus). Sähkövirtaa rajoittava ominaisuus on nimeltään resistiivisyys ja se on hyvin erilainen eri materiaalilla ρ = E J lämpötila vaikuttaa merkittävästi resistiivisyyteen ρ(t ) = ρ 0 [1 + α(t T 0 )] resistiivisyyden lämpötilakerrointa alfa ei saa sotkea pituuden lämpötilakertoimeen - ne ovat aivan eri käsitteet, vaikka kaava on sama Resistanssi Resistiivisyys on materiaalin ominaisuus, mutta johtimelle määritellään resistanssi, joka lisäksi riippuu muodosta ja mitoista. Resistiivisyyden määrittelystä seuraa E = ρj eli Resistanssi määritellään V L = ρi A V = ρl A I R = V I

28 28 ja riippuvuus muodosta ja mitoista on R = ρl A ja resistanssin avulla voidaan esittää V = IR (Ohmin laki) Resistanssin lämpötilariippuvuuden saa aikaan pääasiassa resistiivisyyden lämpötilariippuvuus - muut tekijät ovat jokseenkin merkityksettömiä R(T ) = R 0 [1 + α(t T 0 )] 26-5 Sähkömotorinen voima ja virtapiirit Sähkövirta vaatii suljetun virtapiirin ja potentiaalieron ylläpitäjän (sellaisen välineen tai laitteen joka muuttaa mekaanista, kemiallista tms. energiaa sähköenergiaksi) Tätä välinettä sanotaan jännitelähteeksi ja potentiaalieroa sanotaan sähkömotoriseksi voimaksi (emf) V ab = E ja sen tulee olla yhtä suuri kuin virtapiirin potentiaalihäviö E = V ab = IR On huomattava, että jännitelähteellä itsellään saattaa olla merkitsevän suuri resistanssi ns. sisäinen resistanssi r joka vähentää sähkömotorista voimaa määrällä I kertaa r ja jäljelle jäävää potentiaalieroa sanotaan lähteen napajännitteeksi (terminal voltage) V ab = E Ir Vaikka sähkömotorinen voima on vakio, niin napajännite ei ole, koska se riippuu kuormitusvirrasta. Virtapiirin ulkoinen potentiaalihäviö on IR E Ir = IR jolloin kuormitusvirta on I = E R + r Suljetussa virtapiirissä sähkömotoristen voimien ja potentiaalihäviöiden summa on nolla E Ir IR = 0 Potentiaalihäviöt ovat aina miinusmerkkisiä virran suunnassa

29 26-6 Sähkövirtapiirin energia ja teho Kun sähkövirta putoaa potentialieron, niin se luovuttaa energiaa ja ellei sitä osata käyttää hyväksi, niin se muuttuu lämmöksi dw = V ab dq = V ab I dt 29 energian muutosnopeus on teho dw dt teho voidaan esittää useassa muodossa = P = V ab I P = V ab I = I 2 R = V ab 2 R 27 Tasavirtapiirit Resistanssit sarjassa ja rinnakkain (Sähkö)vastus on laite ja resistanssi on vastuksen ominaisuus, joka riippuu laitteen muodosta, mitoista ja materiaalista. Vastaavasti kuten kapasitanssit myös resistanssit voidaan kytkeä sarja-, rinnakkais- ja sekakytkentään. On olemassa vastaavat kaavat ekvivalenttiselle resistanssille MUTTA HUOMAA ETTÄ sarja- ja rinnakkaiskytkennät vaihtavat roolejaan kapasitanssiin nähden johtuen resistanssin käänteisestä määritelmästä. Resistanssit sarjassa sama virta - potentiaalierot summautuvat, ekvivalenttinen resistanssi R eq = R 1 + R 2 + R (HUOM vastaava kaava pätee rinnakkainkytketyille kapasitansseille) Resistanssit rinnakkain sama potentiaaliero - virrat summautuvat 1 R eq = 1 R R R (HUOM vastaava kaava pätee sarjaankytketyille kapasitansseille) Kahden MUTTA VAIN KAHDEN resistanssin tapauksessa R eq = R 1R 2 R 1 + R 2 Sekakytkennät resistanssien tapauksessa ovat varsin yleisiä.