6 Kertausosa 1. a) Arvo laskee 4,3 % 100 % - 4,3 % = 95,7 % Arvo nousee 28,9 % 100 % + 28,9 % = 128,9 % Osakkeen arvo vuoden lopussa 1,289 0,957 12,63 = 15,580... 15,58 b) Indeksin muutos: 6500 1,1304... 5750 Indeksi nousi 13,04... % Metson osakkeen arvon muutos: 15,58 1,2335... 12,63 Arvo nousi 23,35... % Verrataan Metson osakkeen arvon nousua indeksin arvon nousuun: 23,35...% 1,7907... 13,04...% Metson osakkeen arvo nousi 79 % enemmän. 145
2. Liittymä puhelimella Kahden vuoden aikana paketti maksaa 24 28,50 684. Peruspaketti ja puhelin: 50 :lla saadaan puheaikaa 50 1000min 0,05 / min 24 kuukauden aikana Lassi puhuu 24500min 12000min maksettavaa puheaikaa 12000min1000min 11000min Liittymä maksaa siis kahden vuoden aikana 11000 0,05 240,6 564,40 Puhelimen kanssa hinnaksi tulee 564,40 190 754,40. Puhelimen sisältävä liittymä tulisi siis 754,40 684 0,0933... 9,33...% 9,3% edullisemmaksi. 754,40 3. Alussa Lopussa koko a 1,2a hinta b 1,13b kilohinta b a 1,13b 1, 2a b 0,9416... a Kilohinta laski 100 % - 94,16 % 5,8 % 146
4. Bruttopalkka x Nettopalkka 0,65x Asuntomenojen jälkeen palkasta jää 0,7 0,65x 0,455x. Muiden menojen jälkeen palkasta jäljellä 0,455x 0, 2275x 2 0, 2275x 450 :0, 2275 x 1978,021... x 1978,02 Villen bruttopalkka on 1978,02. 5. Alussa Lopussa Käyttökustannukset a 1,1a Polttoaine 0,35a k 0,35a Muut käyttökustannukset 0,65a 0,65a Saadaan yhtälö 0,35ka 0,65a 1,1 a : a 0 0,35k 0,65 1,1 0,35k 0, 45 : 0,35 k 1,2857... Polttoainekustannukset voivat kasvaa 28,57... % 28,6 %. 147
6. a) 489 + 0,175(25000-22600 ) = 909 b) 2974 + 0,215(50000-36800 ) = 5812 7. Valtion tulovero: 2974 + 0,215(48000-36800 ) = 5382 Muut verot ja veronkaltaiset maksut: Kunnallisvero 20 % Kirkollisvero 1,25 % Eläkemaksu 4,50 % Työttömyysvak.maksu 0,40 % Yhteensä 26,15 % Veroa maksettava 0,2615 48000 12552 Verot yhteensä 5382 + 12552 = 17934 Nettoansiot 48000-17934 = 30066 148
8. Vuositulot x Vuositulojen täytyy kuulua luokkaan 22600 36800. Vero alarajan kohdalla 489. 0,175 x 22600 Vero ylimenevältä osalta Saadaan yhtälö 489 0,175 x 22600 2420 489 0,175x 3955 2420 0,175x 5886 :0,175 x 33634,285... x 33634, 29 ( ) Tulot valtion verotuksessa olivat 33634,29. 9. Bruttoansiot a Vaasassa: Kunnallisveron 19,5 % jälkeen palkasta jää 0,805a. Valtion tuloveroa maksetaan 0,13a. Nettoansiot 0,805a0,13a 0,675a Jyväskylässä: Kunnallisveron 19,0 % ja kirkollisveron 1,35 % jälkeen palkasta jää 0,79655a. Valtion tuloveroa maksetaan 0,13a. Nettoansiot 0,7965a 0,13a 0,6665a 0,675a 0,6665a 0,675a 0,01259... 1,3% Nettoansiot laskivat 1,3 %. 149
10. a) Äiti kuuluu 1. veroluokkaan 100 + 0,07(12500-4000 ) = 695 b) Molemmat sisaret lahjoittavat 12500 : 2 = 6250. Sisaret kuuluvat 2. veroluokkaan. Lasketaan ensin yhdeltä sisarelta saatavasta lahjasta maksettava vero. 100 + 0,20(6250-4000 ) = 550. Koko rahalahjasta tulee maksaa veroa 2 550 = 1100 11. Verotusarvo x Perintö kuuluu luokkaan 40000 60000 Täti kuuluu 2. veroluokaan. Vero alarajan kohdalla 4100. 0,26 x 40000 Vero ylimenevältä osalta Saadaan yhtälö 4100 0, 26( x 40000) 8870 4100 0,36x 10400 8870 0,36x 15170 x 42138,888... Osakkeiden verotusarvo oli 42138,89. 150
12. a) Veroton hinta x Verollinen hinta 1,09x 1,09x 4, 20 :1,08 x 3,853... x 3,85 Veroa 4,20-3,85 = 0,35 b) Lääkkeen myyntihinnasta arvonlisäveroa 0,35 0,0833... 8,3% 4,20 13. Mansikanviljelijän verollinen hinta 1,9 1500 2850 Veroton hinta x 1,13x 2850 :1,13 x 2522,123... x 2522,12 Veroa 2850-2522,12 = 327,88 Kauppiaan verollinen hinta 1500 3,20 4800 Veroton hinta y 1,13y 4800 :1,13 y 4247,787... y 4247,79 Veroa 4800-4247,79 = 552,21 Kauppias tilittää veroa 552,21-327,88 = 224,33 151
14. Osake A ostohinta 500 4,50 2250 myyntihinta 500 7,20 3600 voittoa 3600 2250 1350 Osake B ostohinta 5008,85 4425 myyntihinta 500 6,90 3450 tappiota 4425 3450 975 Voitto tappioiden vähentämisen jälkeen 1350 975 375 Veroa maksetaan 0,28375 105 15. Pääoma 90 000 Nettokorkotekijä x 1 Aika 4kk a 3 1 x 90000 620 3 30000x 620 x 0,02066... Nettokorkokanta on 2,066 %. Korkokanta y 0,72y 2,066... : 0,72 y 2,870... Korkokanta 2,9 % 152
16. Korkopäivät: Elokuu 31 11 = 20 Syyskuu 30 Lokakuu 31 Marraskuu 30 Joulukuu 31 Yhteensä 142 Nettokorkokanta 0,72 2,14% 1,5408% 0,015408 Nettokorko 142 0,015408 12000 71,932... 71,93 365 17. Korkokanta alussa p % Korotuksen jälkeen p 0,3 % Korko ensimmäiseltä puolelta vuodelta: p 0,5 8000 40 p 100 Korko vuoden jälkipuoliskolta p 0,3 0,5 8000 40p0,340 p 12 100 Saadaan yhtälö 40 p40 p12 132 80 p 120 :80 p 1,5 Korkokanta vuoden alussa 1,5 % 153
18. Talletussumma x Korko 1. talletuksesta 2. talletuksesta 3. talletuksesta 8. talletuksesta 12 0,028 x 12 11 0,028 x 12 10 0,028 x 12 5 0,028 x 12 Korot yhteensä: 12 11 5 0,028x 0,028 x...0,028x 12 12 12 12 11 5 0,028 x... 12 12 12 12 5 0,028x 8 12 12 2 0,1586... Saadaan yhtälö: 0,1586... x 38,08 :0,1586... x 240 Talletussumma on 240. 154
19. a) Nettokorkokanta 0,72 3,20% 2,304% Kuuden vuoden kuluttua tilillä on 6 1,02304 2500 2866,128... Nettokorko 2866,128... 2500 366,128... 366,13 b) Nettokorkotekijä x 6 2500 x 2500 318,06 x 6 1,127224 x 6 1,127224 x 1,02016... (vain positiivinen arvokäy) x 1,02016... Nettokorkokanta 2,016 % Korkokanta 2,016...% 2,800...% 2,80% 0,72 155
20. Talletussumma x Korkotekijä 100 % 1,8% 101,8% 1, 018 Rahaa 1. vuoden jälkeen Rahaa 2. vuoden jälkeen Rahaa 3. vuoden jälkeen 1, 018x 2 1,018x 1,018 x 2 3 1,018x 1,018 x 1,018 x Rahaa tilillä 10. vuoden kuluttua 2 10 1,018x 1,018 x... 1,018 x 11,018 1, 018x 11,018 11,045... x Saadaan yhtälö 11,045... x 13245,52 :11,045... x 1199,185... x 1200 Maija tallettaa 1200 vuodessa. 10 156
21. Vuoden talletukset: 12 300 3600 Nettokorkokanta 0,72 2,9 % = 2,088 % Vuoden korot: 12 11 1 0,02088 3000,02088 300... 0,02088 300 12 12 12 12 11 1 0,02088300... 12 12 12 12 1 0,02088 300 12 12 12 2 40,716 40,72 Summa 3600 + 40,72 = 3640,72 kasvaa korkoa korolle. Rahaa tilillä 5. vuoden kuluttua 2 4 3640,72 1,020883640,72 1,02088 3640,72... 1,02088 3640,72 5 11,02088 3640,72 1 1,02088 18979,821... 18979,82 ( ) 157
22. Vähittäismaksulla hinnaksi tulee 1 2 5000 1,013 5100 1,031 5200 14838,648... 14838,65 Edullisempi tapa on maksaa erissä. 23. Diskontataan arvopaperien arvot 3 1,045 15000 13144,449... 13144, 45 5 1,065 20000 14597,616... 14597,62 Arvopapereista maksetaan siis 13144,45 + 14597,62 = 27742,07 24. Kymmenen vuoden kuluttua sijoitusten arvo on 2 10 1,09 2500 1,09 2500... 1,09 2500 11,09 1,092500 1 1,09 10 41400,733... 41400,73 ( ) Tuotto 41400,73 102500 16400,73 Nettotuotto 0,7216400,73 11808,525... 11808,53 158
25. Kysytty hinta x Ostopäivän ja liikkeellelaskupäivän välinen korko 60 0,072 x 0,011835... x 365 Saadaan yhtälö x 0,011835... x 9917,60 1,011835... x 9917,60 :1,011835... x 9801,592... x 9800 Obligaation hinta ensimmäisenä myyntipäivänä oli 9800. 26. Ostohinta 1000 12,40 12400 Palkkio 0,0112400 124 Osingot 1000 0,75 750 Osingoista 30 % on verovapaata, joten veroja maksetaan 0,7 750 = 525 summasta. Osinkotuotto verojen jälkeen 0,72 525 378 Myyntihinta 1000 15,05 15050 Palkkio 0,0115050 150,50 Myyntivoitto 15050 12400 124 150,50 2375,50 Nettovoitto 0,72 2375,50 1710,36 Äyrinen ansaitsi osakkeillaan 1710,36 378 2250,36. 159
27. Talletussumma x Nettokorkokanta 0,72 4,0% 2,88% Rahaa tilillä kolmen vuoden kuluttua Lisäkorko 0,72 0,08x 0,0576x 3 1,0288 x Saadaan yhtälö 3 1,0288 x0,0576x16624, 43 1,146... x 16624,43 :1,146... x 14500,002... x 14500 Tilille talletettiin 14500. 28. Mikko ostaa osuuksia summalla a. Osuuksia a tammikuussa kpl 1, 2 a helmikuussa 1, 02 kpl a maaliskuussa 0,85 kpl a huhtikuussa 1, 25 kpl Huhtikuussa Mikolla yhteensä osuuksia a a a a 3,790... a (kpl) 1, 2 1,02 0,85 1, 25 160
Kun osuuden arvo huhtikuussa on 1,25 /kpl, salkun arvo on 3,790... a1,25 4,737... a Mikko on sijoittanut kuukausien aikana 4a eli hän on voitolla 4,737... a4a 0,7377... a Prosentteina 0,7377... a 0,1844... 0,18 18% 4a 29. Kuukausikorko 3,0% 0,25% 0,0025 12 Lainasumma 12000 Lainakuukausia 412 48 Kuukausilyhennys 12000 250 48 a) 1. takaisinmaksuerä 250 0,002512000 280 Viimeinen takaisinmaksuerä 250 0,0025250 250,625 250,63 161
b) Lainasumma pienenee joka kuukausi 250 Korot ovat yhteensä 0,002512000 0,002511750... 0,0025 250 0,0025 12000 11750... 250 12000 250 0,002548 2 735 4,8% 30. a) Kuukausikorko 0,4% 12 Korkotekijä 100% 0,4% 100,4% 1,004 Lyhennyskertoja 1512 180 A 180 130000 1,004 1014,538... 1014,54 11,004 11,004 180 4,8% b) Neljännesvuosikorko 1, 2 % 4 Korkotekijä 100% 1,2% 101,2% 1,012 Lyhennyskertoja 15 4 60 A 60 130000 1,012 3051,898... 3051,90 11,012 11,012 60 162
31. Annuiteetti 600 3,6% Kuukausikorko 0,3% 12 Korkotekijä 100% 0,3% 100,3% 1,003 Lyhennyskertoja 20 12 240 Lainasumma K 11,003 K 11,003 240 1,003 600 240 K 0,00585... 600 :0,00585... K 102544,563... K 103000 Lainasumma voi olla 103000. 32. Puun määrä alussa 1,5 (milj. m 3 ) Kasvukerroin 100% 10% 110% 1,1 Sovelletaan annuitettilainan kaavaa. Annuiteettina 0,2 (milj. m 3 ) Jäljellä olevan puun määrä 10 vuoden kuluttua 10 10 11,1 1,5 1,1 0,2 0,7031... 11,1 0,70 Puuta on jäljellä 0,70 miljoonaa kuutiometriä. 163
33. Lyhennyskertoja n 3,36% Kuukausikorko 0,28% 12 Korkotekijä 100% 0,28% 100,28% 1,0028 Annuiteetti 675,83 Lainasumma 80000 n 11,0028 800001,0028 675,83 n 11,0028 :80000 n 1,0028 0,0028 0,0084... n 11,0028 : 0,0028 n 1,0028 n 11,0028 3,017... n 3,017... 11,0028 1,0028 n n 3,017... 3,017... 1,0028 1,0028 n n 3,017... 1,0028 1,0028 3, 017... n 2,017... 1,0028 3,017... :2,017... n 1,0028 1,495... n lg1,0028 lg1, 495 nlg1,0028 lg1, 495 lg1, 495 n lg1,0028 n 143,999... n 144 n Laina-aika 144 kuukautta eli 12 vuotta. 164
34. Myyntikurssi 1 = 0,8490 GBP 2000 0,8490 GBP = 1698 GBP Matkan jälkeen jäljellä 1 1698GBP 339,6GBP 5 Ostokurssi 1 = 0,8890 GBP Trappet saavat euroja 339,6 382,002... 382 0,8890 35. Alussa yhdellä eurolla saa a ruplaa. Barrelihinta ruplina b a) Muutoksen jälkeen yhdellä eurolla saa 1,05a ruplaa. b b Barrelihinta euroina 0,952... 1, 05a a Barrelihinta laskee 100 % - 95,2... % 4,8 %. b) Muutoksen jälkeen yhdellä eurolla saa 0,95a ruplaa. b b Barrelihinta euroina 1,0526... 0,95a a Barrelihinta nousee siis 5,3 %. 165
36. Dollarien määrä x Ostokurssi 1 = 1,4026 USD eli 1 USD = 1 1, 4026 x Eemeli saa euroja 1, 4026 Ruptsin kriinin myyntikurssi 1 = 9,5923 SEK x Eemeli saa kruunuja 9,5923 SEK. 1,4026 Saadaan yhtälö x 9,5923 870 1, 4026 1, 4026 9,5923x 1220,262 : 9,5923 x 127,212... x 127, 21 Eemelillä oli 127,21 USD. 166
37. Sijoittaja saa dollareita 1500001,3025USD 195375USD Ennen revalvaatiota yhden dollarin arvo euroina oli 1 0,76775... 1,3025 Revalvaation jälkeen dollarin arvo on 1,040,76775... 0,79846... Sijoituksen arvo euroina on nyt 0,79846... 195375 = 156000 Sijoittaja saa 156000 38. a) Vuosi Indeksi 2006 100,0 2007 88000 1,0731... 107,3% 82000 107,3 2008 95000 1,1585... 115,9% 82000 115,9 2009 100000 1,2195... 122,0% 82000 122,0 2010 110000 134,1% 82000 134,1 167
b) Merkitään kolmion hintaa vuonna 2010 kirjaimella x. 100 105000 134,1 x 100x 14080500 :100 x 140805 Kolmion hinta 140805. 39. a) Vuosiluku Montako vuotta kulunut vuodesta 2000? Indeksi 2000 0 100 2002 2 104,2 Lineaarista kasvua kuvaa ensimmäisen asteen polynomifunktio, jonka kuvaajana on suora. Muodostetaan suoran yhtälö. Suoran kulmakerroin Yhtälö y100 2,1 x0 x2,1x100 104,2 100 2 0 2,1 Kun vuodesta 2000 on kulunut x vuotta, indeksiluku on f ( x) 2,1x 100 b) Indeksi vuonna 2009 on f (9) 2,19 100 118,9 Ero todelliseen arvoon 118,9 115,3 0,03122... 3,1% 115,3 168
40. Vismuttia 50 % = 0,5 Lyijyä 25 % = 0,25 Tinaa 12,5 % = 0,125 Kadmiumia 12,5 % = 0,125 Tiheydet painotetaan prosenttiosuuksien mukaisesti: Woodin metalli kg kg kg kg 0,59,75 0, 2511,35 0,1257,28 0,1258,65 dm dm dm dm kg 9,70375 dm 3 kg 9,7 dm 3 3 3 3 3 41. Olkoon kokeen arvosana x. 0,2 9 0,15 8,5 0,2 8 0,057 0,4x 8,5 5,025 0, 4x 8,5 0,4x 3,475 x 8,6875 Helin on saatava kokeesta vähintään 9-. 169
42. Lasketaan indeksien avulla Snällin palkka vuonna 2009. 1501 78000 1730 x 1501x 134940000 :1501 x 89900,066... x 89900 ( ) Indeksin muutos Rouva Snällin palkan pitäisi olla vuonna 2009 89900-86000 = 3000 suurempi, joten hänen reaaliansionsa pienenivät 3000. 43. Indeksien suhde 1730 1,1525... 1501 Vuonna 2000 tuotteen hinta oli a, tuotetta saatiin rahamäärällä 78000 yhteensä 78000 kpl. a Vuonna 2009 tuotteen hinta oli 1,1525...a b b tuotetta saatiin rahamäärällä b yhteensä kpl 0,8676... kpl 1,1525... a a Ostovoima laskenut 100 % - 86,76... % 13,2 % 170
44. a) Vuosi Indeksi Hinta 1975 392 x 1995 1390 1,26 b) 392 1x 1390 1,26 1390x 493,92 :1390 x 0,355... x 0,36 ( ) Lehti olisi maksanut 0,36. Vuosi Indeksi Hinta 1975 392 0,26 1995 1390 x 392 0,26 1290 x 392x 361,4 :392 x 0,9219... x 0,92 ( ) Inflatoitu hinta 0,92. Ero todelliseen hintaan 1, 26 0,92 0,269... 27% 1, 26 Inflatoitu hinta on 27 % todellista hintaa pienempi. 171