6 Turbulentin virtauksen laskenta

154 6 Turbulentin virtauksen laskenta 6.1 Turbulentti virtaus Ensimmäisessä luvussa kuvailtiin eräitä yksinkertaisia virtaustapauksia, joissa turbulenssin käsite tuli esille. Harva käsite on arkikielessä niin yleisesti esillä ja yhtä usein ehkä ainakin joskus hieman väärässä merkityksessä. Kun esimerkiksi jonkun johtajan vakanssin todetaan olevan turbulentti, tarkoitetaan tilanteen muuttumista äkillisesti ja ennalta arvaamattomasti. Tällöin kyseessä on transientti-ilmiö, jota ei voida ennustaa tarkasti. Virtauksessakin ajasta riippuva tilanne ja turbulenssi menevät helposti käsitteellisesti sekaisin. Kaikki virtaukset ovat oikeastaan ajasta riippuvia, koska laminaarillakin virtauksella vesihanasta voi alkaa tulla ruosteista vettä, sen lämpötila voi muuttua jne. Ympyräsylinterin taakse puolestaan voi syntyä laminaari pyörrerata, joka on mitä suurimmassa mitassa ajasta riippuva ilmiö, muttei turbulentti. Siirtyminen laminaarista turbulenttiin virtaukseen on heti kvalitatiivisesti nähtävissä vesihanasta tulevassa suihkussa ja esimerkiksi putken keskimääräisessä nopeusjakaumassa, vaikka turbulenssin täsmällinen määritteleminen onkin hankalaa. Turbulentissa virtauksessa on oleellista virtaussuureiden, esimerkiksi nopeuden heilahtelu keskimääräisen paikallisen arvonsa ympärillä. Turbulenssilla on tietynlainen spektri, jolla se eroaa laminaarista ajasta riippuvasta virtauksesta. Virtauslaskijan on syytä ymmärtää laskemansa tapauksen fysiikkaa turbulenssin kannalta (virtausmekaniikan oppikirja pitää aina olla lähellä). Kaikki virtaukset eivät ole kokonaan turbulentteja, mutta tätä RANS-yhtälöihin perustuva laskenta ei erota. Jos koodi laitetaan laskemaan laminaaria virtausta turbulenttina, niin tulos menee tietenkin väärin. Vaikeimpia ovat tapaukset, joissa on merkittävässä määrin läsnä sekä laminaaria että turbulenttia virtausta. FLUENTissa voidaan turbulenssimalli kääntää pois päältä osassa laskenta-aluetta, mutta yleensä laskennan suorittaja ei nykytietämyksellä voi tietää missä osissa näin pitäisi tehdä. Usein unohtuva asia on,

6.1. TURBULENTTI VIRTAUS 155 että rajakerros on aina aluksi laminaari, vaikka tulovirtaus olisi turbulentti. Tulovirtauksen korkeampi turbulenssiaste vain siirtää laminaarista turbulenttiin tapahtuvan transition paikkaa. Viime vuosina koodeihin on implementoitu uudenlaisia tapoja transition mallinnukseen, mutta malleja ei ole vielä validoitu kunnolla monimutkaisissa virtaustilanteissa eikä niitä siten voida pitää luotettavina. Jos virtaus on merkittävässä osassa rajakerrosta laminaaria, on liian huono approksimaatio laskea sitä kokonaan turbulenttina. Tämän vuoksi FLUENTin avulla ei kannata lähteä sokkona suunnittelemaan tai tutkimaan purjekoneen siipeä, joka on suurimmaksi osaksi laminaari, koska tulos ei ollenkaan vastaisi todellisuutta. Virtauslaskijan on syytä myös pitää mielessään, miltä virtaus näyttää oikeasti. Hyviä havaintokohteita on luonnossa runsaasti. Laskennassa käytetään turbulenssia varten kehitettyjä malleja. Jonkinlaisen tuntuman saavutettavaan tarkkuuteen saa, jos on nähnyt vastaavasta oikeasta tilanteesta visualisoinnin, joko laboratoriossa tai luonnossa. Usein virtaukset ovat paitsi turbulentteja myös makroskooppisessa mielessä ajasta riippuvia. Ensimmäisessä luvussa oli esimerkkinä joessa olevat pyörteet, jotka ovat yleensä luonteeltaan turbulentteja, mutta suurimmat pyörteet ovat analogisia vastaavien laminaarien pyörteiden kanssa. Vastaavia tilanteita löytyy esimerkiksi lämmönsiirrosta vapaan konvektion muodostamista virtausilmiöistä. Tilanteet ovat turbulenssimallille kiusallisia. Kuten jatkossa tulee esille, RANSturbulenssimallin tehtävänä on laskea tasapainotilan keskimääräistä virtausta. Jos malli ei pysty keskiarvottamaan virtausta, vaan se jää ajasta riippuvaksi, se tavallaan toimii väärin turbulenssimallina, mutta oikein virtauksen fysiikan kannalta. Laskentatavasta on ryhdytty käyttämään nimitystä URANS (unsteady Reynoldsaveraged Navier-Stokes). RANS-pohjaisten turbulenssimallien soveltuvuus ajasta riippuviin virtauksiin on tapauskohtaista ja tämän vuoksi tuloksiin on aina suhtauduttava varauksella. Ajasta riippuvien tilanteiden ainoa teoreettisesti oikea lähestymistapa on isojen pyörteiden menetelmä, LES (large-eddy simulation, suurten pyörteiden simulointi), joka on viime aikoina tullut esille myös teknisten sovellusten yhteydessä. LES on sinänsä laskentamenetelmänä vanha, peräisin 1960-luvulta. Sen soveltaminen rajakerrostyyppisiin virtauksiin on osoittautunut hankalaksi. DES (detached-eddy-simulation) ja VLES (very large-eddy simulation) ovat kevennettyjä lähestymistapoja. Viime aikoina on kehitetty myös ns. hybridimenetelmiä, joissa yhdistetään RANS- ja LES-menetelmät. Myös monet tavalliset turbulenttiset virtaukset (so. ei ajasta riippuvat ) ovat sellaisia, että virtaussuureiden heilunta on hyvin suurta. Nopeus voi esimerkiksi vä-

6.1. TURBULENTTI VIRTAUS 156 NAVIER STOKES RATKAISUT Tasapainotilan laskenta Ajastariippuva laskenta RANS DES LES DNS URANS DES LES DNS VLES } tasa paino tila ajasta riippuva ratkaisu Kuva 6.1: Turbulenttisen virtauksen mallinnustavat. lillä jopa muuttaa suuntaansa. Irronneen alueen käsitekin voi olla epäselvä, koska on mahdollista, että keskimääräisessä mielessä virtaus on kiinni, vaikka se hetkellisesti irtoaakin. Virtauksen todellista monimutkaisuutta ajatellessa on välillä oikeastaan eräänlainen ihme, että keskimääräinen tilanne saadaan usein niinkin hyvin ennustetuksi, kuin se onnistuneissa laskentatilanteissa saadaan. Simuloinnin suorittajan on tämä pidettävä mielessä ja tunnettava käyttämänsä mallin rajat. Virtausilmiöt voidaan siis luokitella ajasta riippuviin ja ajasta riippumattomiin (kts. kuva 6.1). Turbulenssi käsitellään varsinaisesta aikariippuvuudesta erillään joko osana ratkaisua tai mallinnettuna. Suora simulointi (DNS) on ainoa tapa, jossa turbulenssia ei mallinneta mitenkään, vaan virtaus lasketaan kokonaan ajasta riippuvana. Suorassa simuloinnissa on tärkeää, että kaikki turbulenssin skaalat ovat mukana simuloinnissa. Käytännössä tämä merkitsee, että suora simulointi voidaan tehdä vain hyvin alhaiselle globaalille Reynoldsin luvulle. LES ja DES ovat menetelmiä, joissa vain osa turbulenssin spektristä lasketaan ajan suhteen tarkasti ja loppuosa mallinnetaan. Ainoastaan RANS-yhtälöillä lasketaan suoraan tasapainotilaa, DNS-, LES- ja DES-laskennassa on simulointia jatkettava ajasta riippuvana niin kauan, että saavutetaan tilastollisesti edustava keskiarvo virtaussuureille. Tämä tekee laskentatehtävistä huomattavasti raskaampia kuin RANS. Suurin osa teknisestä laskennasta tehdään RANS-yhtälöillä. Lähestymistapa on eräässä mielessä epäfysikaalinen, koska virtauskenttä ei oikeastaan koskaan todellisuudessa näytä täysin keskimääräiseltä, siis RANS-yhtälöiden antamalta ratkaisulta. Ja kuten edellä todettiin, RANS-laskennan soveltaminen ajasta riippuviin

6.2. TURBULENTTIA VIRTAUSTA KUVAAVAT YHTÄLÖT 157 tapauksiin, esimerkiksi pyörreradan laskentaan, on epämääräistä. On selkeästi näkyvissä, että tietokoneiden tehon jatkuvasti kasvaessa kehitys menee LES- tai DEStai jotain uutta vastaavaa turbulenssin kuvausta kohti. 6.2 Turbulenttia virtausta kuvaavat yhtälöt Edellä on tullut esille käsite keskimääräisestä virtauksesta. Turbulentin virtauksen kaikki mallinnustavat (suoraa simulointia lukuunottamatta), lähtevät siitä, että virtaussuureet jaetaan keskimääräiseen ja heilahtelukomponenttiin u i (t) = ū i +u i(t) (6.1) Perusideana on siis se, että keskimääräinen virtausnopeus ū i, josta suunnittelija yleensä on kiinnostunut, ei riipu ajasta, heilahtelukomponenttiu i (t) sen sijaan riippuu. Laskettaessa ajasta riippuvaa tilannetta keskimääräinenkin nopeus voi riippua ajasta, mutta eri aikaskaalalla kuin heilahtelunopeus. Tätä tilannetta havainnollistetaan kuvassa 6.2. Varsinainen turbulenssi siis mallinnetaan aina heilahtelunopeuksienu i (t) avulla. Ongelmana on se, että joskus nämä erilaiset aikaskaalat ovat samaa suuruusluokkaa ja menevät sekaisin. Isojen pyörteiden menetelmässä ei ole samaa keskimääräistä virtausnopeutta, vaan ns. suodatettu nopeus, jonka täytyykin riippua ajasta. LESillä ja muilla vastaavilla tekniikoilla (DNS, DES) ei siis aikaskaalaongelmaa ole. Kun tyyppiä (6.1) olevat nopeudet ja muut suureet on sijoitettu virtausyhtälöihin (3.7) ja (3.8) ja otettu aikakeskiarvo sopivan aukon T yli, saadaan ρū i t + ρū iū j x j ρ t + ρū i x i = 0 (6.2) = p + [ ( ūi µ + ū j 2 x i x j x j x i 3 δ ij )] ū l x l + ( ) ρu x i u j j (6.3) Yhtälöt säilyvät muodollisesti lähes samanlaisina kuin alkuperäiset Navier-Stokes -yhtälöt. Yhtälöitä kutsutaan Reynolds-keskiarvotetuiksi yhtälöiksi (RANS) ja liikemääräyhtälöihin tullutta lisätermiä ρu iu j Reynoldsin jännityksiksi. Ratkaisuksi saadaan suoraan keskiarvotetut suureet ū i ja p jne. Yleensä yhtälöt kirjoitetaan ilman yläviivoja lukuunottamatta Reynoldsin jännityksiä. Integrointivälin T on oltava pitempi kuint 1, mutta lyhyempi kuin probleeman aikaskaalan T 2.

6.2. TURBULENTTIA VIRTAUSTA KUVAAVAT YHTÄLÖT 158 u i (x,t) T 1 T 2 Kuva 6.2: Turbulenssin aikaskaalan T 1 on RANS-yhtälöillä oltava pienempi kuin probleeman aikaskaala T 2. Isojen pyörteiden menetelmässä käytetään aikakeskiarvojen sijaan paikkakeskiarvoja. Kontrollitilavuusmenetelmällä toimivissa koodeissa keskiarvo otetaan yleensä laskentatilavuuden V yli φ(x) = 1 V V φ(x )dx (6.4) Operaatiota kutsutaan myös suodattamiseksi. Keskiarvon ottaminen vastaa tilannetta, jossa suodatinfunktio määritellään { 1/V jos x G(x,x V ) = 0 muulloin Suodatetut liikemääräyhtälöt ovat seuraavat ρū i + ρū iū j = p + [ ( ūi µ + ū j 2 t x j x i x j x j x i 3 δ ij )] ū l x l t (6.5) τ ij x j (6.6) Yleensä LESissä oletetaan tiheys vakioksi. Menetelmää ei ole juurikaan sovellettu kokoonpuristuville virtauksille. FLUENTissakin oletetaan tiheys vakioksi, jolloin yläviiva voidaan tiheyksistä tässä yhteydessä poistaa. Yhtälössä (6.6) esiintyvä ns. alihilajännitys on olettamalla tiheys edelleen vakioksi τ ij = ρu i u j ρū i ū j (6.7) Myös yhtälöiden kitkatermiä voidaan yksinkertaistaa olettamalla tiheys vakioksi (katso esim. White).

6.3. TURBULENTIN VIRTAUKSEN LASKENTA RANS-YHTÄLÖILLÄ 159 Alihilajännitysτ ij vastaa Reynolds-keskiarvotettujen yhtälöiden näennäistä jännitystermiä ρu iu j. Alihilajänntys kuvaa laskentatilavuuden kokoa pienemmän turbulenssiskaalan aiheuttamaa näennäistä leikkausjännitystä. Isojen pyörteiden menetelmässä päävirtauksestakin on aina tultava ajasta riippuvaa ja suurimman osan leikkausjännityksistä on synnyttävä ajan suhteen tapahtuvista heilahteluista. Jos FLUENTilla sovelletaan LESiä, ohjelmasta saadaan keskiarvottamalla ulos virtauksesta aiheutuvat leikkausjännityksetρu i u j ja alihilajännityksetτ ij. RANS-yhtälöillä saadaan näiden summa suoraan osana ratkaisua. 6.3 Turbulentin virtauksen laskenta RANS-yhtälöillä Reynolds-keskiarvotetuilla yhtälöillä laskettaessa turbulenssi voidaan mallintaa kahdella päätavalla: pyörreviskositeetin (turbulentin viskositeetin) tai Reynoldsin jännitys -mallin avulla. Jälkimmäisessä ratkaistaan suoraan Reynoldsin jännityksiä. Pyörreviskositeettikeinossa käytetään Reynoldsin jännitysten laskemiseen Boussinesqin hypoteesia ( ρu iu ui j = µ t + u ) j 2 ( ) x j x i 3 δ u l ij ρk +µ t x l (6.8) missäk on turbulenssin kineettinen energia jaµ t pyörreviskositeetti (turbulentti viskositeetti). Nopeuksista on selkeyden vuoksi pudotettu keskiarvomerkinnät pois. RANS-yhtälöillä on siis kaksi lähestymistapaa, jotka voidaan vielä jakaa osiin kuvan 6.3 osoittamalla tavalla. Todellisuudessa tilanne on monimutkaisempi. Silti kaupallisissa ohjelmissa turbulenssin mallinnustavat ovat perinteisesti olleet melko niukat. Tähän on mitä ilmeisimpänä syynä jälleen pyrkimys laskennan robustisuuteen. Uusia malleja otetaan käyttöön verkkaisesti, viimeksi on päävalikkoon tuotu mukaan k ω -malli. Tärkeimmät turbulenssimallit ovat Spalart-Allmaras -malli standardi k ǫ -malli RNG k ǫ-malli todenmukainenk ǫ -malli (Shih et al.) standardi k ω -malli SST k ω -malli

6.3. TURBULENTIN VIRTAUKSEN LASKENTA RANS-YHTÄLÖILLÄ 160 TURBULENSSIMALLIT PYÖRREVISKOSITEETTI PYÖRREVISKOOSITON ALGEBRALLINEN 2 YHTÄLÖ ASM RSM 1 YHTÄLÖ 3 YHTÄLÖ EPÄISOTROOPPINEN PYÖRREVISKOSITEETTI K ν t k ε k ω q ω Kuva 6.3: Reynolds-keskiarvotettujen yhtälöiden turbulenssin mallinnustavat. Reynoldsin jännitys -mallit (RSM) Näistä Spalart-Allmaras -malli on ns. yksiyhtälömalli, jossa ratkaistaan suoraan turbulenttia viskositeettia ν t = µ t /ρ lähellä olevaa suuretta, kaikki k ǫ -mallit ovat kaksiyhtälömalleja ja lisäksi on Reynoldsin jännitys -malli (RSM). RSM:ää sanotaan epäisotrooppiseksi malliksi, koska turbulentit jännitykset eivät riipu lineaarisesti venymänopeustensorista. Kaksiyhtälömalleissa sovellettavassa Boussinesqhypoteesissa Reynoldsin jännitykset ovat aina verrannollisia viskooseihin jännityksiin yhtälön (6.8) mukaan. Mallit voidaan jakaa myös pienen ja ison Reynoldsin luvun malleihin. Spalart-Allmaras- ja k ω -mallit ovat pienen Reynoldsin luvun malleja. Myös Reynoldsin jännitys -mallista on nykyisin olemassa pienen Reynoldsin luvun vaihtoehto. Muihin malleihin voidaan lisätä tarkennettu seinämäkäsittely. Turbulenssin kuvaus muodostaa virtaussimuloinnin heikoimman lenkin. Virtauslaskijalle on tärkeää tuntea käyttämiensä mallien rajoitukset ja heikkoudet. Turbulenssimalli joudutaan valitsemaan laskentatapauksen mukaan. FLUENTissa valinnan mahdollisuuksia ei ole paljon, mutta nekin voivat tuottaa ongelmia. Seuraavassa tarkastellaan ensin Reynolds-keskiarvotettujen yhtälöiden malleja ja lopuksi isojen pyörteiden menetelmää. Turbulenssimalleja esitellään vain lyhyesti, tarkempaa tietoa saa esimerkiksi Wilcoxin kirjasta ja implementointitapojen osalta osoitteesta: www.cfd-online.com/wiki/. On kuitenkin huomattava, että koodeissa mal-

6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 161 lien implementoinnissa saattaa olla eroja ja tulokset ohjelmien välillä eivät aina ole yhteneviä. Mallien valintaan palataan vielä luvussa 8. 6.4 RANS yhtälöiden turbulenssimallit 6.4.1 Spalart-Allmaras yksiyhtälömalli Spalart-Allmaras -malli on kehitetty Boeingilla rajakerrostyyppisten virtausten laskentaan. Lähtökohtana on ollut laatia mahdollisimman robusti yksiyhtälömalli, jolla mallinnetaan jossain määrin turbulenssin fysiikkaa. Tätä varten on kirjoitettu ad hoc-tyyppinen kuljetusyhtälö turbulenttia viskositeettia lähellä olevalle suureelle ν ρ ν t + ρu i ν = G ν + 1 ( (µ+ρ ν) ν ) ( ) 2 ν +C b2 ρ Y ν (6.9) x i σ ν x j x j x j Turbulentti viskositeetti lasketaan kaavasta µ t = ρ νf v1 (6.10) missäf v1 eräänlainen vaimennusfunktio. Yhtälö (6.9) on konvektio-diffuusioyhtälö, jossa on turbulenttia viskositeettia tuottava lähdetermi G ν ja nielutermi Y ν. Yhtälössä on malliparametrit σ ν ja C b2. Parametrien ja lähdetermien laskenta on melko monimutkaista ja sitä selostetaan FLUENTin manuaalissa. Turbulenssilla on historiaefekti, jota pyritään kuvaamaan yhtälöllä (6.9). Turbulentti viskositeetti ei ole kuitenkaan mikään fysikaalinen, saati konvektoituva suure, joten kyseessä olevalla yhtälöllä virittämällä malliparametrit sekä lähde- ja nielutermit sopivasti, muodostetaan vain tavallaan eräänlainen korrelaatio suureelle ν. Tämänkaltaisen mallin käyttäminen sovellusalueensa ulkopuolella voi johtaa aivan virheellisiin tuloksiin, koska ν:llä ei ole vastaavaa fysikaalista merkitystä kuin esimerkiksi turbulenssin kineettisellä energialla k, jolle voidaan virtausyhtälöistä lähtien johtaa oma, periaatteessa tarkka yhtälönsä. FLUENTin normaalikäyttäjän on syytä välttää Spalart-Allmaras -mallia. Malli on alunperin kehitetty siipiprofiileille ja malliparametrit on viritetty kyseiseen tilanteeseen sopiviksi. Käytännön laskennassa mallia on ryhdytty käyttämään myös 3D virtauksille. Sen voidaan ajatella sopivan myös tietynlaisille sisäpuolisille virtauksille, kuten puhaltimille, kompressoreille, pumpuille ja turbiineille. Spalart- Allmaras -malli on ns. pienen Reynoldsin luvun malli, jossa mallinnetaan virtaus

6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 162 seinälle asti. FLUENTissa mallin seinämäreunaehtoa on viritelty siten, että malli soveltuu myös suuren Reynoldsin luvun malliksi (laskentahilan vaatimuksista kts. luku 2). Viritelty malli ja sille luvattu sopivuusalue vaikuttavat epäilyttäviltä, minkä vuoksi sitä ei suositella käytettäväksi. 6.4.2 Standardi k ǫ-malli Standardi k ǫ on todellinen standardimalli teollisuusprosessien simuloinnissa. Se oli pitkään käytännössä ainoa malli ja on vieläkin eniten käytetty, vaikka se tiedetään epätarkaksi monessa tilanteessa. Malli on hyvin robusti ja se antaa useimmissa tilanteissa mielekkäältä vaikuttavan tuloksen. Usein tämä tarkoittaa, että laskenta konvergoi hyvin. Laskenta voi konvergoida tasapainotilaan siten myös tilanteissa, jotka ovat voimakkaasti ajasta riippuvia. Useimmiten robustisuus tarkoittaa, että k ǫ-malli yliarvioi pyörreviskositeetin tason. Virtaus käyttäytyy erityisesti standardimallilla melkein kuin terva, jähmeästi, irroten huonosti ja ennustaen liian suuren arvon turbulenssin kineettiselle energialle. Standardi k ǫ-mallissa käytetään ns. seinämäfunktiota, joka parantaa laskennan robustisuutta ja konvergenssia kahdella tavalla. Kuten kuvasta 2.20 nähdään, ilman seinämäfunktiota rajakerros on mallinnettava pinnalle asti ja tähän kuluu noin 20 laskentatilavuutta. Tämä lisää kokonaiskoppimäärää jopa tekijällä kaksi. Laskentaaikaa kuluu siis lisää ja konvergenssi hidastuu rajakerroksessa olevien tihennysten vuoksi. Toinen robustisuutta lisäävä tekijä tulee siitä, että rajakerros mallinnetaan hyvin karkeasti. Turbulenssimalleihin ei tarvita hankalia epälineaarisia lähdetermejä eikä reunaehtojen asettaminen ole samalla tavoin vaikeaa kuin pinnalle asti viedyssä laskennassa. FLUENTissa seinämäkäsittely tehdään turbulenssimalleista erillään. Periaatteessa ns. standardik ǫ-malliin voi yhdistää myös laskennan seinälle asti ns. kaksikerrosmallin avulla. Kyseessä ei ole enää silloin standardimalli, mikä on syytä muistaa tuloksia raportoidessa yleisempään käyttöön FLUENT-yhteisön ulkopuolelle. Riippumatta siitä käytetäänkö pienen vai suuren Reynoldsin luvun lähestymistapaak ǫtoimii huonosti tai ei pysty kuvaamaan mm. seuraavia ilmiöitä: malli on kaikkien pyörreviskositeettimallien tavoin isotrooppinen eikä sellaisena pysty kuvaamaan esimerkiksi sekundäärivirtauksia nelikulmaisessa kanavassa

6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 163 malli toimii huonosti, kun virtaus on positiivisen painegradientin suuntaista. Tilanne tulee vastaan simuloitaessa esimerkiksi diffuusoreita. useimmiten k ǫ-malli pyrkii pitämään virtauksen kiinni tilanteissa, joissa sen pitäisi irrota. Toisaalta malli saattaa ennustaa oikean tuntuisen virtauskentän tilanteissa, joissa tapahtuu massiivinen virtauksen irtoaminen ja muilla lähestymistavoilla ajo kaatuisi. seinämäfunktion yhteydessä irronneen virtauksen laskenta on erityisen epätarkkaa. Seinämäfunktio ei edes päde useimmissa virtaustilanteissa, vaikka sitä silti sovelletaan. malli ei ennusta eroa taso- ja pyörähdyssymmetriselle suihkulle malli ei sinällään erota pyörimisliikettä eikä virtauksen kaartumista, joille tosin voidaan kehittää korjaustermejä Monet k ǫ-mallin puutteista ovat myös muille kaksiyhtälömalleille tyypillisiä, mutta FLUENTissa on eräitä puutteita pyritty korjaamaan RNG-mallilla ja Shih et al. kehittämällä todenmukaisella k ǫ-mallilla. Lähtemällä liikemääräyhtälöistä voidaan johtaa periaatteessa tarkka differentiaaliyhtälö turbulenssin kineettiselle energialle k = 1/2u iu i. Eräiltä osin yhtälö joudutaan mallintamaan, jolloin yhtälöön tulee eräitä parametreja ja lähdetermejä. FLUENTissa käytetään seuraavaa yhtälöä ρk t + ρu ik x i = G k + x i [ ( µ+ µ ) ] t k +G b ρǫ Y M (6.11) σ k x i missä G k on turbulenssin kineettisen energian tuottotermi ja ǫ kineettisen energian dissipaatio. FLUENTissa on mahdollista aktivoida myös noste- ja puristuvuuskorjaustermitg b jay M. Näistä viimeksi mainittu riippuu Machin luvusta ja sen vaikutus alkaa näkyä, kun Machin luku lähenee ykköstä. Myös kineettisen energian dissipaatiolle ǫ voidaan johtaa differentiaaliyhtälö, mutta johto on hankala ja lopputulos termeiltään epäselvä. Käytännössä ǫ:n yhtälö mallinnetaan konvektio-diffuusio -yhtälön periaatteella, samaan tapaan kuin Spalart-Allmaras -mallin yhtälökin ρǫ t + ρu iǫ x i = x i [ ( µ+ µ ) ] t ǫ σ ǫ x i ǫ +C 1ǫ k (G k +C 3ǫ G b ) C 2ǫ ρ ǫ2 k (6.12)

6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 164 Standardimallissa ǫ-yhtälössä käytetään lähdetermejä, jotka ovat skaalattu suhteella ǫ/k kineettisen energian yhtälön lähdetermeistä ja jotka parametrisoidaan eri tavalla. Yhtälöiden (6.11) ja (6.12) sisältämät vakiot on aikoinaan parametrisoitu tiettyjen perusvirtaustapausten avulla. Mallin pätevyysalue on hämmästyttävän universaali lähtökohdat huomioon ottaen. Turbulenssia tuottavat siis nopeusgradientit ja ne vaikuttavat termin G k kautta. Tarkastelemalla k:n yhtälöä huomataan, että jos noste- ja puristuvuuskorjaustermit eivät vaikuta, k:lle saadaan konvektio-diffuusio -yhtälö. Tällöin vapaan virtauksen alueella, missä gradientteja ei ole, turbulenssin kineettisen energian pitäisi levitä mutta ei hävitä. OpenFOAMissa sekä k:n että ǫ:n arvoja on rajoitettu niin, etteivät ne pääse nollaan. (Jos kumpi tahansa päästettäisiin nollaan tulisi vastaan nollalla jakaminen, kts.yhtälöt). Arvojen rajoittamisesta seuraa kuitenkin se, että myös vapaan virtauksen alueella turbulenssin kineettisen energian yhtälöön jää nielu, joka pienentää k:ta. Tilanne tulee eteen esimerkiksi tasolevyvirtausta laskettaessa, jos hilaan luodaan vapaan virtauksen alue ennen levyn alkua. Tällöin sisäänvirtausreunalla annettu turbulenssi saattaa hävitä ennen levyn alkua eikä turbulenssi tällöin välttämättä herää edes levyn alueella. Tilanteen voi korjata kahdella tavalla. Toisaalta k:n pienintä sallittua arvoa voi nostaa halutulle tasolle ja tällä tavoin estää turbulenssin kuoleminen. Toinen tapa on vähentää k:n yhtälössä esiintyvästä ǫ:sta sen pienin sallittu arvo, jolloin gradienttien puuttuessa yhtälössä ei ole lähteitä eikä nieluja. Kumpikin versio on toteutettu OpenFOAMilla. ja annettu kokeiltavaksi kurssin OpenFOAM-tiedostokokoelmassa. Ensin kuvattu versio löytyy nimellä boundkepsilon ja jälkimmäinen nimellä freestreamkepsilon. Kaikissa k ǫ-mallin versioissa turbulentin viskositeetin laskenta perustuu turbulenssin nopeusskaalan ja pituusskaalan tuloon. Nopeuskaala on verrannollinen suureeseen k ja pituusskaalan l voidaan osoittaa olevan verrannollinen suhteeseen l k 3 2 /ǫ (6.13) Laittamalla verrannollisuuskerroinc µ eteen saadaan pyörreviskositeetin lausekkeeksi µ t = C µ ρ k2 (6.14) ǫ Monissa mallin varianteissa (joita on lukuisia) yhdistetään kertoimeenc µ vielä seinämäkorjaus f µ, joka useimmiten riippuu seinämäetäisyydestä. Tätä funktiota ei

6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 165 pidä sekoittaa suuren Reynoldsin luvun mallissa käytettävään seinämäfunktioon. Standardi k ǫ sisältää ns. luonnon vakioita, jotka todellisuudessa ovat kuitenkin jossain määrin tapauskohtaisia. FLUENTissa käyttäjä voi modifioida vakioiden arvoja, mutta tämä vaatii asiantuntemusta turbulenssialalta. Ilman etukäteistietoa normaalikäyttäjän ei pidä sormeilla mallin parametreja. 6.4.3 RNG k ǫ-malli Tämä malli muodostaa omalaatuisen kokonaisuuden turbulenssimallien kehityshistoriassa. Mallin pääkehittäjät Yakhot ja Orzag ovat soveltaneet ns. renormalisaatioryhmäteoriaa (RNG) Navier-Stokes -yhtälöille. Yhtälöiden johto on periaatteessa analyyttinen ja sen avulla saadaan myös mallin sisältämien vakioiden arvot. Vakiot ovat hämmästyttävän lähellä standardi k ǫ-mallin parametrien arvoja. Toisaalta tästä turbulenssin mallinnustavasta on pakko todeta, että ani harva ihminen maailmassa ymmärtää sitä, joten koko ajatuksen kritisoiminen on siten vaikeaa. RNGmallista on olemassa versioita myös LES-laskentaan ja siihen voidaan liittää pyörimisliikekorjaus. Monia mallin yksityiskohtia ei paljasteta ja eräät ovat hankalasti hahmotettavissa. RNG-lähestymistavan historiaa voidaan pitää edellä kuvatun perusteella tieteellisesti epäilyttävänä. Tarkastellaan RNG-mallin eroja standardimalliin verrattuna. Yhtälöt ovat lähes samat ρk t + ρu ik = [ ] k α k µ eff +G k +G b ρǫ Y M (6.15) x i x i x i ρǫ t + ρu iǫ = [ ] ǫ ǫ α ǫ µ eff +C 1ǫ x i x i x i k (G k +C 3ǫ G b ) C 2ǫ ρ ǫ2 R (6.16) k Diffuusiovuot lasketaan käyttäen efektiivistä viskositeettiaµ eff = µ t +µ ja sopivia Schmidtin lukuja 1/α k ja 1/α ǫ. Ainoa huomattavampi ero yhtälöissä tulee lähdetermistä (R) ǫ-yhtälössä. Kyseinen termi ei synny RNG-prosessissa suljetussa muodossa, vaan kyseessä on turbulenssin kineettisen energian nielu, joka on mallinnettava. Nielu-termiä ei esiinny standardimallissa, mutta sen vaikutuksesta turbulentin viskositeetin taso RNG-mallilla yleensä tulee pienemmäksi kuin standardimallilla. Tästä on tiettyjä seurauksia, joihin palataan jatkossa. RNG-mallin eräänä huomattavana saavutuksena on mallin vakioiden määräytyminen analyyttisesti. Vakiot eroavat standardimallin vakioista. Esimerkiksi standardimallissa C µ = 0,09 ja RNG-mallissa C µ = 0,0845, mikä periaatteessa on hämmästyttävä saavutus analyyttiselta mallilta. RNG-mallin ensimmäisessä versiossa

6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 166 vakiolla C 1ǫ, joka standardimallilla saa arvon 1,44, oli huomattavasti pienempi arvo. Hyvin pian osoitettiin, ettei RNG-malli useimmissa tapauksissa tällöin toiminut ollenkaan. Tämän jälkeen mallin kehittäjät löysivätkin johdostaan virheen, jolloin vakion arvo nousi lähelle standardimallin vakion arvoa (C 1ǫ = 1,42). Edellä kuvattuc µ :n arvo toteutuu rajakerroksen ulkolaidalla. RNG-mallissa turbulentin viskositeetin arvo integroidaan monimutkaisesta differentiaaliyhtälöstä, joten tavallaan mallissa on implisiittisesti mukana funktio f µ. Kyseessä on tällöin eräänlainen pienen Reynoldsin luvun malli, jossa ratkaisu ulotetaan pinnalle asti. Kirjallisuudessa on esitetty approksimatiivisia sovitteitaf µ :lle. Käytännössä FLUENTin RNG-mallin käyttäjä ei pysty selvittämään miten malli toimii näiltä osin, mutta differentiaaliyhtälöönkin perustuva vaihtoehto on aktivoitavissa. Oletusarvona RNG-mallin sanotaan laskevan viskositeetin lausekkeesta (6.14). RNG-malliin on mahdollista yhdistää pyörimisliikkeestä aiheutuva korjaus kertoimeenf µ. Pyörimisliikekorjauksen mallia ei paljasteta. RNG k ǫ-malli ei ole lunastanut siihen kohdistuneita odotuksia. Normaalisti sitä ei kannata käyttää. Mallia on propagoitu analyyttisena, mitä se ei kuitenkaan ole. Sen sijaan monet piirteet mallin kehityshistoriassa antavat aiheen epäillä, ettei kaikki ole aivan kunnossa. RNG k ǫ-malli tuottaa standardimallia vähemmän turbulenttia viskositeettia termin R ansiosta. RNG-mallia kannattaa siten käyttää tilanteissa, joissa varmasti tiedetään standardimallin laskevan väärin juuri liian korkean viskositeettitason vuoksi. Oikea lähestymistapa on tällöin laskea konvergoitunut tulos ensin standardimallilla ja sen jälkeen jatkaa RNG:llä. Pienemmän viskositeettitason vuoksi RNG-mallia on usein vaikea saada muuten konvergoitumaan. Todennäköisesti RNG-malli toimii standardimallia paremmin URANS-simuloinnissa, kuten turbulenttien pyörreratojen laskennassa. Sitä kannattaa kokeilla vapaille leikkauskerroksille (esim. suihkut). Standardimallilla on taipumus sammuttaa tai ainakin pienentää pyörreradan kaltaisia ilmiöitä. 6.4.4 Todenmukainen k ǫ-malli Tämän k ǫ-mallin version ovat esittäneet Shih, Liou, Shabbir ja Zhu vuonna 1995. FLUENTissa malli on ristitty erään sen ominaisuuden vuoksi todenmukaiseksi (realizable), mutta tämä nimitys ei ole muissa yhteyksissä ainakaan toistaiseksi käytössä. Kirjallisuudessa malliin kannattaa viitata tyyliin Shih et al. Todenmukai-

6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 167 suusehtoja turbulenssimalleille ovat mm. seuraavat u i2 > 0 (6.17) (u iu j) 2 u i2 u 2 j (6.18) Boussinesq-hypoteesin ja ehdon (6.17) perusteella saadaan seuraava todenmukaisuusehto k u ǫ x < 1 3,7 (6.19) 3C µ Kun nopeusgradientti on tarpeeksi suuri nähdään, että standardimallista tulee epätodenmukainen. Käytännössä tilanne ei näy mitenkään, koska standardimalli ei käytä suoraan suureita u i2 mihinkään. Ja mallitkin pidetään todenmukaisina muilta osin pulttaamalla niille ohjelmassa sopivat rajat. On kuitenkin perusteita pitää mallit fysikaalisesti mielekkäinä. Helpoin keino on muuttaa kerrointa C µ tilanteissa, joissa todenmukaisuusehto ei toteudu. Shih n mallissa tämä tehdään laskemalla kerroin lausekkeesta 1 C µ = U A 0 +A k (6.20) s ǫ missä U lasketaan venymänopeustensorin S ij ja modifioidun pyörteisyystensorin Ω ij avulla U = S ij S ij + Ω ij Ωij (6.21) Venymänopeustensori määritellään S ij = 1 2 ( uj + u ) i x i x j (6.22) ja pyörteisyystensori Ω ij = 1 2 ( uj u ) i x i x j (6.23) Modifioitu pyörteisyytensori Ω ij saadaan Ω ij :n ja systeemin pyömisliikkeestä aiheutuvan kulmanopeuden avulla. Tässä mallissa on siis olemassa eräänlainen pyörimisliikekorjaus, jota ei ole edes piilotettu. Tavanomaisessa kaksiyhtälömallissa ei systeemin pyöriminen näy ratkaisussa mitenkään. Esimerkkinä on kuva 6.4, jossa verrataan laskettuja nopeusprofiileja kokeellisiin pyörivässä virtauskanavassa. Standardi k ǫ ennustaa symmetrisen nopeusprofiilin, koska malli on täysin tunnoton pyörimisliikkeelle. Kuvassa 6.4 on laskentatulos myös Gibson-Launder Reynoldsin jännitys -mallilla. RSM on epäisotrooppinen ja sillä voidaan pyörimisliikkeen

6.4. RANS YHTÄLÖIDEN TURBULENSSIMALLIT 168 U U 0 1.0 0.8 0.6 Ω 0.4 0.2 D u(y) y x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y / H Kuva 6.4: Reynoldsin jännitys -mallilla ja k ǫ-mallilla lasketut nopeusjakaumat pyörivässä kanavassa. vaikutus kuvata. Shih n mallissa pyörimisliikkeen vaikutus otetaan huomioon modifioimalla pyörteisyystensoria. Mallilla laskettu tulos on lähellä kuvan 6.4 RSMtulosta. Sekä RSM:llä että Shih n mallilla yhtäpitävyys koetulosten kanssa on kuitenkin lähinnä kvalitatiivinen, mikä edustaa virtauslaskennan nykytasoa tässä tilanteessa. Shih n mallissa A 0 = 4,04. Parametri A s lasketaan monimutkaisella tavalla venymänopeustensorin avulla. Lopputuloksena saatavassa mallissa kerroin C µ on funktio päävirtauksen venymästä ja pyörteisyydestä, systeemin pyörimisnopeudesta ja turbulenssisuureiden (k ja ǫ) arvoista. Tasapainotilan rajakerroksella kerroin redusoituu standardimallin kertoimeksi 0,09. Todenmukaisessa mallissa turbulenssin kineettisen energian yhtälö on likimain sama kuin standardimallissa, mutta parametreilla on hiukan standardimallista poikkeavat arvot. Dissipaation yhtälössä on lähdetermien osalta pieniä modifikaatioita. Usein tällaiset modifikaatiot on tehty parantamaan koodien robustisuutta, esimerkiksi ehkäisemään nollalla jakoa k/ǫ -tapaisten suureiden osalta. Modifikaatiot saattavat kuitenkin vaikuttaa myös laskentatuloksiin. Shih n mallin osalta modifikaatioita selostetaan tarkasti, mutta hyvin usein esimerkiksi standardimallin imple-