Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen

Transkriptio

1 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1

2 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki: lineaarinen vs. eksponentiaalinen toteutus 2

3 1.1 Määritelmiä Algoritmi: Epäformaalisti: täsmällinen menettelytapa, joka ratkaisee jonkin hyvin määritellyn laskennallisen ongelman. Määritelmä: Algoritmi on äärellinen jono yksikäsitteisiä, äärellisellä työllä suoritettavissa olevia käskyjä, jotka laskevat funktion ƒ: I O I on syötejoukko O on tulosjoukko kaikilla i I, algoritmi pysähtyy s.e., o = ƒ(i) O 3

4 1.1 Määritelmiä... Tietorakenne: Funktion ƒ tehokas laskenta edellyttää, että syötejoukko I on hyvin organisoitu Päteekö sama tulosjoukolle O? Voidaan kuvata tietotyyppeinä Alkeistyypit, perustietotyypit, abstraktit tietotyypit Määritelmä: Tietorakenne on joukko muuttujia, joiden keskinäiset suhteet on määritelty täsmällisesti. Huomaa, että em. määrittelyssä yksittäisen muuttujan tyyppi voi olla toinen tietorakenne (rakenteellinen kompositio). 4

5 Koodin luku- ja kirjoitustaito Tavoitteena nähdä mitä algoritmi tekee/notaation taakse Erilaisia näkökulmia Notaatio (Miten algoritmi on esitetty? vrt. syntaksi, tyyli) Oikeellisuus (Mitä algoritmi tekee? Kaikilla syötteillä?) Abstraktiot/reduktio (Minkä päälle algoritmi rakentuu ja miksi se toimii?) Analyysi (Kuinka tehokas algoritmi on?) Eleganssi (Millaiseen oivallukseen algoritmi perustuu?) Brute force vs. Elegancy Esim. lineaarinen haku vs. binäärihaku Koodin lukutaito (Ymmärrys miten algoritmi toimii) 5

6 Koodin luku- ja kirjoitustaito Esimerkiksi järjestäminen (domain) Useita eri menetelmiä Miten ne eroavat toisistaan? koodi näkemys domain swap järjestämis- tmp = A[i] (vaihdetaan menetelmä A[i] = A[min] kahden alkion A[min] = tmp paikkaa) 6

7 Koodin luku- ja kirjoitustaito... Esim. valintajärjestäminen C-kieltä muistuttava Pseudo-koodi Järjestää taulukon A alkiot (N kpl) suuruusjärjestykseen Taulukon alkuosa järjestyksessä; uloin silmukka määrää jakopisteen; loppuosasta haetaan pienin alkio, joka vaihdetaan jakopisteen kanssa. (N-1) + (N-2) = N(N-1)/2 Brute force - raakaa voimaa 0 selection_sort(a, N) { 1 for (i=0; i<n-1; i++) { 2 min = i; 3 for (j=i+1; j<n; j++) 4 if (A[j] < A[min]) 5 min = j; 6 swap(min, i); 7 } 8 } 7

8 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta Sama asia tai toiminto voidaan toteuttaa lukemattoman monella eri tavalla tietokoneohjelmana Eri ratkaisujen paremmuutta voidaan verrata monessa suhteessa, mm. : 1. toimintojen nopeus (algoritmit) 2. vaadittu muistitila (tietorakenteet) 3. ohjelmakoodin laatu ja ylläpidettävyys 4. toteutuksen avoimuus laajennuksille Tällä kurssilla keskitytään kahteen ensimmäiseen näkökulmaan ÄLÄ MIKRO-OPTIMOI - VALITSE PAREMPI ALGORITMI 8

9 Koodin luku- ja kirjoitustaito... Esim. Kumpi algoritmeista on tehokkaampi? Miksi? 9

10 Usein valitsemalla sopiva tiedon esitysrakenne voidaan merkittävästi vaikuttaa jonkin algoritmin tehokkuuteen Esimerkki 1: Lineaarinen haku vs. puolitushaku Edellisessä hakuaika on suoraan suhteessa talletettujen alkioiden lukumäärään Jälkimmäisessä hakuaika on suhteessa talletettujen alkioiden lukumäärän logaritmiin N log 2 N

11 Esimerkki 2: Miten tallentaa maantieverkko? Seuraajalistana, eli luetellaan jokaiselle solmulle ne solmut, joihin kyseisestä solmusta pääsee Vierusmatriisina (2-ulotteisena taulukkona), jolloin jokaiselle solmuparille merkitään, onko niiden välillä yhteyttä (1) vai ei (0) Seuraajalista vaatii tilaa sen verran kuin yhteyksiä on olemassa Vierusmatriisi vaatii tilaa suhteessa solmujen lukumäärän neliöön riippumatta yhteyksien määrästä Vierusmatriisi voi olla tehokkaampi, jos verkko on tiheä, mutta se vie paljon tilaa, jos verkko on suuri. 11

12 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä Algoritmin nopeus riippuu tiedon määrästä: Mikä tahansa algoritmi on nopea pienillä syötteillä Esimerkki 3: Taulukon alkioiden järjestäminen Valintajärjestäminen on helppo ymmärtää ja toteuttaa Quicksort on paljon mutkikkaampi Valintajärjestämisen tehokkuus on suhteessa alkioiden lukumäärän N neliöön Quicksortin tehokkuus (keskimäärin) lukuun N log N N N*log 2 (N) N * *

13 Esimerkki 4: Alkioiden (N kpl) talletus linkitettyyn listaan Jos kukin alkio talletetaan listan alkuun, eikä listaa pidetä järjestyksessä, alkioiden talletus käy lineaarisessa ajassa (yksittäisen alkion talletus vie vakioajan) Jos kukin alkio talletetaan listan loppuun ja paikka haetaan aina listan alusta lähtien, alkioiden talletus käy ajassa, joka on suhteessa listan pituuden neliöön Jos kukin alkio talletetaan listan loppuun ja samalla ylläpidetään osoitinta listan viimeiseen alkioon, alkioiden talletus käy taas lineaarisessa ajassa 13

14 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot Tietorakenteen tehokkuus riippuu siihen kohdistuvista toiminnoista (oikea abstraktio, frekvenssit, dynaamisuus jne.) Esimerkki 5: Haetaan tiettyä tietuetta suuresta määrästä tietueita Jos tiedot ovat staattisia, ne voidaan tallentaa taulukkoon suuruusjärjestyksessä ja hakea sieltä vaikka binääri- eli puolitushaulla Hakuaika on silloin suhteessa taulukon koon logaritmiin Jos lisätään uusia tietueita tai poistetaan vanhoja, taulukko pitää järjestää kokonaan uudelleen. Tässä vaiheessa aikaa kuluu lineaarisesti suhteessa taulukon kokoon. Jos tiedot talletetaan tasapainotettuun binääriseen hakupuuhun, tieto voidaan edelleen hakea logaritmisessa ajassa, mutta myös lisäykset ja poistot voidaan tehdä logaritmisessa ajassa 14

15 1.5 Esimerkki: lineaarinen vs. eksponentiaalinen toteutus Esimerkki 6: Fibonacci-luvut: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... F(0) = F(1) = 1 F(N) = F(N-1) + F(N-2) Lineaarinen menetelmä, käytetään muuttujia x, y ja z ja pyöritetään niitä seuraavassa luupissa x = y = 1; for (i = 1; i<n; i++) { z = y + x; x = y; y = z; print (z); } suoritusaika verrannollinen N:ään 15

16 Exponentiaalinen menetelmä, sovelletaan suoraan määritelmää rekursiivisesti F6 F5 F4 Laskettaessa F6:n arvoa, lasketaan: F2 F4 F3 F3 F3 F2 F2 F1 F2 F1 F1 F1 F0 F1 F0 F1 F0 F2 F1 F0 F5 1 kerran F4 2 kertaa F3 3 kertaa F2 5 kertaa F1 8 kertaa F1 F0 16

17 Exponentiaalinen menetelmä, sovelletaan suoraan määritelmää rekursiivisesti... Koska pätee, että F100 F 100, missä F 1.618, seuraa, että F100:n laskemiseen tarvitaan luokkaa operaatiota... Eli algoritmien valinnalla on merkitystä... Huom! Ongelma ei ole rekursiossa vaan siinä, että algoritmi rikkoo yhtä rekursion kultaista sääntöä, jonka mukaan jokainen aliongelma tulee ratkaista vain kerran. Voidaan ratkaista esim. dynaamisella ohjelmoinnilla, jossa varataan oma tietorakenne jo lasketuille arvoille. 17

18 Ensi kerraksi Muista ilmoittautua kurssille (WebOodissa)! Tutustu oppikirjan/oppimateriaalin avulla käsitteisiin Rekursio Abstrakti tietotyyppi (Abstract Data Type, ADT) Ensi kerralla Kertaus (taulukko, linkitetyn listan toteutus, rekursio) Peruskäsitteitä (kurssin keskeiset abstraktit tietotyypit) Perustietorakenteet (pino, jono) ja niiden sovelluksia 18