Kietomtiisi Eikoistö Peti önnholm
isälls JOHDANO KEOUUNNA 3 OMEGA-, PH- JA KAPPA-KEO 3 ALPHA-, N- JA KAPPA-KEO 5 5 KOLMULOEEN KEOMAN OMNAUUKA 7 6 KEOMAN KOVAAMNEN MLLÄ AHANA OOGONAALELLA MALLA 9 7 KEOMAN LAKEMNEN 3 PEEN JA KAMEAN POJEKOPEEN AVULLA 8 KEOMA OANA MUUNNOKA 8. Kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos 8. Kollineisuushtälöt 8.3 Ktselupiste, -suunt j suhteellinen liikkuminen -mtii vull 3 LÄHEE Liitteet: Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen suuntkoien vull Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen geometisesti Liite 3: 3D kietomtii lskeminen D osmtiiseist Liite. odigues-mtii muodostminen
Johdnto Kietomtiisi on peustöklu kikenlisiin koodintistojen, pisteiden j kppleiden kietoihin. Kätännön toteutuksiss vlmiin kietomtii kättäminen on tehokst j kketist. Kietomtiisi sisältää kuitenkin pljon enemmän kuin enäkemältä voisi kuvitell. oislt se on tehoks töklu, mutt toislt ilmn hiemn svempää tuntemist sen knss voi tull llättäviä ongelmi. ämän tön on tkoitus koot kietomtii ominisuuksi, tulkintoj j muodostmistpoj ksiin knsiin. Kietosuunnt Kietojen mmätämiseksi on en mmäettävä kolmiulotteisen koodintiston sopimuksi. leensä kätetään oikekätistä koodintisto, jolloin koodinttikseleit voidn kuvt oiken käden somill kuv. Kuv. Oikekätisen koodintiston kselien suunnt voidn tkist settmll oiken käden peuklo, etusomi j etusomi kuvn esittämällä tvll. Vsenkätiseen koodintistoon voidn kättää vstvsti vsent kättä. On sovittu, että kieon suunt jonkin kselin mpäi ktsotn oigost kohti kselin ksvusuunt. Kieto mötäpäivään voidn tkist toisen somisäännön vull kuv, joss peuklo litetn kselin ksvusuuntn j muut somet tipuvt luonnollisesti mötäpäivään kselin mpäille. Kuv. Kun peuklo setetn kselin ksvusuuntn, muut somet osoittvt kieon mötäpäivään.
Etenkin, kun mietitään kietosuunti kksiulotteisess tpuksess, knntt oll eitisen huolellinen j kättää edellä minittuj muistisääntöjä. Kuvss 3 on esitett, miten kksiulotteisess kieoss ensisilmäs voi hämätä. Kieon suunt ei voi päätellä miettimättä mihin suuntn -kseli osoitt. A B C D Kuv 3. Kikiss kuviss lkupeäinen koodintisto on esitett htenäisellä viivll j kieett koodintisto ktkoviivll. Kieot ovt -kselin mpäi joko mötä- ti vstpäivään. A -kseli uppo ppein sisään, joten kieto on mötäpäivään. B -kseli nousee ppeist löspäin, joten kieto on vstpäivään. C Kieto on vstpäivään. D Kieto on mötäpäivään. euvss esitetään kieot mötäpäivään kunkin koodinttikselin mpäi. Kksiulotteisten kietomtiisien johtminen on esitett liitteissä j. Omeg-kieto ϖ -kselin mpäi mötäpäivään: ϖ osϖ ϖ ϖ osϖ Phi-kieto ϕ -kselin mpäi mötäpäivään: osϕ ϕ ϕ ϕ osϕ
Kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään: os os 3 euvss esitetään kieot vstpäivään kunkin koodinttikselin mpäi. Omeg-kieto ϖ -kselin mpäi vstpäivään: ϖ osϖ ϖ ϖ osϖ Phi-kieto ϕ -kselin mpäi vstpäivään: osϕ ϕ ϕ 5 ϕ osϕ Kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään: os os 6 Kolmiulotteinen kietomtiisi sdn lskettu ketomll mtiisit käänteisesti hlutuss kietojäjestksessä. Esimekiksi, jos hlutn kietojäjestkseksi omeg, phi j kpp, kolmiulotteinen kietomtiisi stisiin htälöstä:. 7 ϖϕ ϕ ϖ Liitteessä 3 on esitett, miksi osmtiisien ketominen tehdään käänteisessä jäjestksessä kietojäjestkseen nähden. 3 Omeg-, phi- j kpp-kieot leisesti kätett tp on jtell kieot koodinttikselien mpäi siten, että ω on kieto -kselin mpäi, ϕ on kieto -kselin mpäi j on kieto -kselin mpäi. euvss on esitett kietomtiisi, joss kietojäjests on ωϕ j kikki kieot ovt positiivisi mötäpäivään kseliins nähden kuv 3
osϕ os ωϕ osϕ ϕ 3 3 3 3 osω ω ϕ os osω os ω ϕ ω osϕ ω osω ϕ os osω osω ϕ osω osϕ 8 Homogeenisess koodintostoss mtiisi voidn kijoitt: 3 3 3 3 ωϕ 9 3 3 3 3 3 3 Kietomtii elementtien...nn indeksöinti on vlittu niin, että se vst fotogmmetisten kollineisuushtälöiden leisestä kätäntöä. Mtiisi tekee muunnoksen lkupeäisestä koodintistost kietneeseen koodintistoon. Fotogmmetisiss tehtävissä leensä jtelln, että kohdekoodintisto on lkupeäinen j kmen koodintisto on kietnt. Mtiisi siis kätetään muunnokseen kohdekoodintistost kmekoodintistoon. Kun hlutn tehdä muunnos kmekoodintistost kohdekoodintistoon, kätetään kietomtii tnspoosi ϖϕ. Kpp- ϖϕ leess keotn tkemmin, miksi näin voi tehdä. ϖϕ χ ϕ o ω Kuv. Kieot -, - j -kselien mpäi ovt positiivisi mötäpäivään. Kietomtii elementtien lskentkvt muuttuvt, jos kietojäjeststä ti kietojen positiivisi suunti muutetn. Mtii elementeistä tulee kuitenkin numeeisesti smt huolimtt vlitust jäjestelmästä. Jos on olemss tunnettu kietomtiisi, voidn siitä lske käänteisesti kieot esimekiksi kvoill: tn 3 ω, 3 ϕ, tn.
Kietomtiisi ei ole ksiselitteinen. m kietomtiisi voidn muodost khdell eilisell ωϕ-hdistelmällä. ämän johdost tulee eikseen tkist, että sdut kulmt ovt hlutuss neljänneksessä. [7], [3] Alph-, n- j kpp-kieto Kietomtiisi voidn muodost mös kuvussuunnn tsimuutin α, kuvkllistuksen ν j kuvkieon vull kuv 5. Eitisesti viistokuvuksiss tämä kietojäjestelmä on helpompi mieltää kuin ωϕ-kieot. Kietomtiisi kietojäjestksessä αν, joss kikki kieot ovt positiivisi mötäpäivään on muoto [] osα os α osν α os osα osν ν αν osα α osν os α osα osν os ν os α ν osα ν osν 3 3. 3 3 Kietomtii elementtien... indeksöinti on vlittu niin, että se vst fotogmmetisten kollineisuushtälöiden leisestä kätäntöä. Mtiisi αν tekee muunnoksen lkupeäisestä koodintistost kietneeseen koodintistoon. Fotogmmetisiss tehtävissä leensä jtelln, että kohdekoodintisto on lkupeäinen j kmen koodintisto on kietnt. Mtiisi αν siis kätetään muunnokseen kohdekoodintistost kmekoodintistoon. Kun hlutn tehdä muunnos kmekoodintistost kohdekoodintistoon, kätetään kietomtii tnspoosi αν. Kppleess keotn tkemmin, miksi näin voi tehdä. Kolmiulotteinen kietomtiisi muodostuu kuvn 5 B, C j D mukisist kksiulotteisist kietomtiiseist kieett mötäpäivään: osα α α α osα ν osν ν ν osν 3 os os 5 αν ν α 5
A B H N kuv ν α α α α α α mnpint N H α C α D α αν αν ν ν ν α Kmen suunt αν α ν α αν αν αν αν Kuv 5. A leiskuv αν-kieoist [7]. B Kieto tsimuutin mpäi, C kuvkllistus j D kuvkieto [] Kätännön sovelluksi vten on huomttv, että edellä nnetuss kietomtiisiss kuvussuunnn tsimuutin ksvusuunt on vstkkinen esimekiksi kompssisuunnn knss kuv 5 A. Jos hlutn suon kättää kompssisuunti, lph-kieto pitää tehdä vstpäivään. Kuten ωϕ-kietojenkin tpuksess mös αν-kieot on lskettviss tunnetust kietomtiisist: tn 3 α, os 3 ν, tn 3. 6 3 Mös αν-kietojen oiket neljännekset on tkstettv eikseen, kosk kietomtiisi ei ole ksiselitteinen. Huomttv on mös, jos kuvn 5 C ν-kieto on noll ndiiikuvus, α- j -kieot tphtuvt smn koodinttikselin mpäi. ellisess tpuksess näiden kietojen eotteleminen toisistn on siis mhdotont. leensä lph-nkpp kietoj kätetäänkin vin muihin kuin pstkuvuksiin. Mkuvuksiss lphn-kpp kieot ovt helpommin miellettävissä kuin omeg-phi-kpp kieot. 6
5 Kolmiulotteisen kietomtii ominisuuksi Kolmiulottinen kietomtiisi on otogonlinen. Otogonlinen koodintisto on suokulminen, joten eteneminen hden kselin suuntn on iippumtont sijinnist toisten kseleiden suhteen. Kieettävän kohteen muoto ei muunnoksess muutu. 3 Kuv 6. kstelln kolmiulotteisen kietomtii ensimmäistä iviä. ivin kolme elementtiä,, 3 ovt kietneen -kselin ksikkövektoin pojektiot -, - j - kseleille []. Kietomtii vkivit ovt kietneen koodintiston kseleiden ksikkövektoeiden pojektiot lkupeäisen koodintiston kseleille. Kuvss 6 on tätä hvinnollistettu hdellä kietneellä kselill. Vstv tkstelu voidn tehdä kikille kolmelle kselille. ksikkövektoin pituus on tietsti ksi, joten. 7 3 Kosk tiedämme etukäteen tuloksen olevn ksi, voidn lskuist jättää neliöjuui pois. m ehto toimii mös pstskkeisiin. illoin kseessä on lkupeäisten koodinttikselien ksikkövektoeiden pojektiot kietneen koodintiston koodinttikseleille. ivejä j skkeit kutsutn otonomleiksi. 3 3 3 3 3 3 3 3 8 Otonomlin ssteemin määitelmään kuuluvt lisäksi, että kunkin ivin ti skkeen välinen sisätulo on noll: 7
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 Edellä esitett otogonliehdot voidn kijoitt leisessä tpuksess, jos pst- j vkskkeit mekitään...n lindeksi j viitt iveihin j k skkeisiin [5]: j k j k,, jos j k jos j k 8 Nt voidn todist otogonlisen mtii kätännön knnlt ehkä täkein ominisuus [5]: A A A : A : n. n [ ] n... n. n..... n n n 9 Otogonlisen mtii käänteismtiisi on siis sm kuin sen tnspoosi: A A Otogonlisen mtii deteminntti on ti [5]: det det AA - det AA det A det A det A Lisäksi jokinen mtii elementti on htä suui kuin lideteminnttins [7]. Kolmiulotteiselle kietomtiisille siis pätee: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8
Jos keotn kksi smnkokoist otogonlist mtiisi keskenään, tuloksen sdn mös otogonlinen mtiisi [8]: AB BA AB B BA A A B AB B B B BA A A A B A 3 Otogonlisi kietomtiisej voidn siis hdistellä ketomll kdottmtt otogonlisuutt. 6 Kietomtii kovminen millä thns otogonlisell mtiisill Kietomtiisi voidn kovt millä thns mtiisill, mikä toteutt otogonlisuusehdot [7]. tse kolmiulotteinen kietomtiisi ps smn, mutt sen muodostminen j tulkint muuttuu. ksi vihtoehto on odigues-mtiisi muodostminen esitett liitteessä, jok on kennettu kolmest iippumttomst pmetist, j : Pienillä kieoill pmetit, j vstvt ωϕ-kietoj. ässä htedessä esitetään vielä toinen otogonlinen mtiisi, jok on kennettu nomlist kietomtiisist vlitsemll kolme toisistn iippumtont elementtiä. Kikki loput mtii elementit on lusuttu näiden kolmen funktioin: 3 3 3. 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Mtii muodostminen peustuu otogonlisuusehtoihin: vk- ti pstivien sisätulo on, joten 3 3 3 3 sekä jokinen elementti on htä suui kuin lideteminnttins kpple 5. 9
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ijoitetn vielä :een: 3 3 3 3 7 Kietomtii lskeminen 3 pisteen j kmen pojektiopisteen vull Kietomtiisi voidn lske, jos tunnetn 3 pistettä mstost. Kuvn pojektiokeskus tät en oll tunnettu. e voidn lske pisteistä esimekiksi Mülle/Killin menetelmällä, jok on esitett Kus kijss kppleess... [, s. 8-]. Kuvss 8 on esitett, kuink vektoit i, j j k ovt sellisen koodintiston kselien suuntisi, joss -kseli kulkee pisteiden P j P kutt. -koodintisto voi oll siis kietnt suhteess kuvkoodintistoon. Lisäksi molemmt edelliset koodintistot voivt oll kietneinä suhteess mstokoodintistoon. ehdään en muunnos -koodintistost mstokoodintistoon. Mstopisteen koodinttej mekitään :llä j kuvpistettä -koodintistoss :llä: ˆ 6 Muunnoksess kuvlt mhn pisteestä P lähteviä ksikkövektoeit mekitään smoleill i, j j k. ksikköektoi i vlittiin -kselin suuntiseksi, joten pätee P P i. 7 P P ksikkövektoi k on kohtisuoss vektoien P j P viittämään tsoon nähden: P P3 k P P P P3. 8 P P P P 3
ksikkövektoi j on ts kohtisuoss khteen edellä johdettuun vektoiin nähden: j k i. 9 ksikkövektoit i, j j k ovt kietomtii vkivit tässä jäjestksessä. ä vstv menettel tehdään muunnksess -koodintistost -koodintistoon. Nt smoj ksikkövektoeit mekitään selvden vuoksi ei smoleill î, ĵ j kˆ. Jos kuvpistettä -koodintistoss mekitään ts :llä j vstv kuvpistettä -kuvkoodintistoss :llä, sdn muunnos ˆ 3 ksikkövektoit î, ĵ j kˆ ovt kietomtii ˆ vkivit tässä jäjestksessä. Nt voidn hdistää mtiisit, jott stisiin suo muunnos -kuvkoodintistost -mstokoodintistoon: ˆ. 3 Lskuiss tvittvt vektoien OP i pituudet sdn kuvkoodinttien vull kuv 8: OP i i i, i,, 3. 3 [] O O P k P j i P P 3 P P 3 kˆ ĵ P î P ˆ P 3 Kuv 7. -koointistoss olevien ksikkövektoien muunnos -mstokoodintistoon sekä -kuvkoodintistoon. []
8 Kietomtiisi osn muunnoksi ässä kppleess esitellään kolme täkeää muunnost, joiss kolmiulotteist kietomtiisi kätetään tehokksti hväksi. Eilisi kättökohteit kietomtiisille on olemss huomttvsti enemmän kuin tässä htedessä esitetään. 8. Kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos Kolmiulotteisell hdenmuotoisuusmuunnoksell voidn 3D-pisteelle lske uudet 3Dkoodintit kietneessä, siitneessä j mittkvltn muuttuneess koodintistoss. Muunnost kutsutn mös leisesti seitsemänpmetiseksi muunnokseksi [6]. Jos mekitään pistettä P lkupeäisessä koodintistoss p j kieetssä koodintistoss p, voidn kolmiulotteinen hdenmuotoisuusmuunnos kijoitt: t p p λ, missä λ on mittkvkeoin, on kolmiulotteinen kietomtiisi j t on koodintiston siito. 8. Kollineisuushtälöt Kollineisuushtälöiden vull voidn tehdä muunnos mstost kuvlle [7]: 3 3 3 3 3 3 3 sekä kääntäen kuvlt mstoon: 3 3 3 3 3 3. 3
htälöissä... ovt kietomtii elementit,,, kmen pojektiokeskuksen koodintit,,, mstopiste,, kuvn pääpiste,, kuvpiste j - on kmevkio*- -. 8.3 Ktselupiste, -suunt j suhteellinen liikkuminen -mtii vull ämän kppleen sovelluksi on kätett vähemmän fotogmmetiss, mutt konenäön puolell j 3D-peliteollisuudess hvinkin leisesti. Oletetn, että ktselij on pisteessä P,, j ktsoo tiettn suuntn. Ktseen suunt sisält homogeenisess koodintistoss esitettn kolmiulotteiseen kietomtiisiin j pikk mtiisiin. Nämä voidn hdistää smn mtiisiin []: 3 3 3 3 3 3 3 3. 35 Jos ktseen suunt hlutn muutt keotn mtiisi uudell kietomtiisill: _ uusi muutos _ vnh 36 Liike kietneen koodintiston kseleiden suuntisesti voidn tehdä pienellä lisäksellä. Kppleess 5 esitettin, kuink kietomtii. ivi on kietneen -kselin,. ivi -kselin j 3. ivi -kselin ksikkövektoin pojektiot lkupeäisessä,,-koodintistoss. iippuen siitä, minkä koodinttikselin suuntisesti hlutn liikku, voidn kunkin ivin moniket lisätä mtiisiin. iito -kselin suuntisesti on n n _ siito, 37 n 3 siito -kselin suuntisesti on n n _ siito 37 n 3 j siito -kselin suuntisesti on 3
n 3 n 3 _ siito. 37 n Ketomll mtiisit j siito sdn siis mtiisi, joll pst siitämään ktselupistettä n:n pitui skelein kunkin kmekoodinttikselin suunnss tvitsemtt huolehti kulmist. Lähteet [] Chuh, E., 98, heo of Photogmmet, No. 9 in seies of ulletins pulished the deptment of photogmmet use univesit, New ok, 69 sivu. [] Gue, D.,, he Mthemtis of the 3D ottion Mti, Pesented t the teme Gme Developes Confeene, epteme 3-Otoe,, nt Cl, Clifoni, http://www.mkegmes.om/3dottion/, sivu luettu 7... [3] Kus, K., 993, Photogmmet, Volume, Fundmentls nd tndd Poess, Fed. Dummles Velg, Bonn, 397 sivu. [] Kus, K., 997, Photogmmet, Volume, Advned Methods nd Applitions, Fed. Dummles Velg, Bonn, 66 sivu. [5] Kesig, E., 993, Advned Engineeing Mthemtis, eventh edition, John Wile & ons n., ingpoe. [6] Moffit, F., E. Mikhil, 98, Photogmmet, hid Edition, Hpe & ow, Pulishes, New ok, 68 sivu. [7] hwidefsk, K., F. Akemnn, 976, Fotogmmeti; Peusteit, menetelmiä j sovelluksi, uom. E. Kilpelä, Otkustntmo, Otniemi, 38 sivu. [8] hihuo, W., 99, Piniples of Photogmmet With emote eng, Pulishing House of uveing nd Mpping, Beijing, 575 sivu.
Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen suuntkoien vull -koodintiston kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään Muodostetn suuntkoit otetn koi kseleiden välisistä kulmist lkupeäisen j kietneen koodintiston koodinttikselien välille []: os os os os os os os os os uuntkoit ketovt muunnosvektoit lkupeäisisestä koodintistost uuteen koodintistoon: lusutn esim. :n, :n j :n vull. Koodintisto on kieett :n ven, joten voidn kijoitt: os os os os Kuvst voidn luke muiden kseleiden väliset kulmt: gon > os os gon - 3 gon os os3 gon -kseli on 9 stett eli gon sekä - että -kselist: gon os gon Kulm, joten os os. Nt voidn koot kksiulotteinen kietomtiisi : os os Vstv tkstelu voidn tehdä mös omeg- j phi-kieoille. 5
-koodintiston kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään Muodostetn suuntkoit lkupeäisen j kietneen koodintiston koodinttikselien välille []: os os os os os os os os os uuntkoit ketovt muunnosvektoin lkupeäisisestä koodintistost uuteen koodintistoon. Koodintisto on kieett :n ven, joten voidn kijoitt: os os os os Kuvst voidn luke muiden kseleiden väliset kulmt: 3 gon > os os3 gon os os - -kseli on 9 stett eli gon sekä - että -kselist: gon os gon Kulm, joten os os. Nt voidn koot kksiulotteinen kietomtiisi : os os Vstv tkstelu voidn tehdä mös omeg- j phi-kieoille. 6
7 Liite : Kksiulotteisen kietomtii johtminen geometisesti Kpp-kieto -kselin mpäi mötäpäivään elvitetään htes lkupeäisen j kietneen koodintiston välille: <> Kuvn piste P näk sekä lkupeäisessä koodintistoss että kietneessä koodintistoss. Apuviivojen vull on lödett hdenmuotoisi kolmioit, joiden vull voidn htes koodintistojen välille selvittää. d Apukolmiost voidn luke: os d Apukolmioist voidn luke: os Nämä hmitellään :n j :n mukn, jolloin sdn: d os os Kolmiulotteisen htedet ovt nt: os os Kietomtiisi voidn kijoitt poimimll :n :n j :n ketoimet: os os Kpp-kieto -kselin mpäi vstpäivään P d
8 elvitetään htes lkupeäisen j kietneen koodintiston välille: <> Kuvn piste P näk sekä lkupeäisessä koodintistoss että kietneessä koodintistoss. Apuviivojen vull on lödett hdenmuotoisi kolmioit, joiden vull voidn htes koodintistojen välille selvittää. d Apukolmiost voidn luke: os d Apukolmioist voidn luke: os Nämä hmitellään :n j :n mukn, jolloin sdn: d os os Kolmiulotteisen htedet ovt nt: os os Kietomtiisi voidn kijoitt poimimll :n :n j :n ketoimet: os os P d
Liite 3. 3D kietomtii lskeminen D osmtiiseist Nimetään lkupeäinen piste p j kieett piste p. Päätetään tehdä kieot jäjestksessä: omeg, phi j kpp. Kieetään pistettä tässä jäjestksessä kieto kelln: ϖ p ϕ p Nt hdistetään sdut tulokset käänteisesti: p p. ϕ ϕ ϖ Kolmiulotteinen kietomtiisi siis tulee lske käänteisessä jäjestksessä kietojäjestkseen nähden. Kietojäjestkselle omeg, phi j kpp sdn 3D kietomtiisi siis: ϖϕ ϕ ϖ j kieett piste sdn siis: p ϕ ϖ p ϖϕ p 9
Liite. odigues-mtii muodostminen Muodostetn ntismmetinen mtiisi kolmest elementistä, j [8]. Antismmetisessä mtiisiss elementit sijitsevt smmetisesti, mutt ei mekkiä: - Lähdetään liikkeelle ntismmetisestä mtiisist : Otogonlinen mtiisi voidn muodost ksikkömtii vull:. ämä voidn todist: odigues-mtiisi voidn kijoitt uki : - - - - - -
Mtii muuttujt, j eivät ole geometisesti helposti hvinnollistettviss, mutt pienillä kieoill ne vstvt ωϕ-kietoj [7].