TT/TV Iegraalimuuokse Meropolia/. Koivumäki Tässä iedosossa ova kaikki uilla esille ullee ehävä. (Tosi iha kaikkia ehäviä ei välämää ole uilla mey läpi kovi arkasi, jos ollekaa.) Esimmäisellä uilla ollee arviava maemaiika perusasoihi liiyee kerausehävä umeroiii 1:sä lähie ja sie varsiaise kurssii liiyvä ehävä umeroiii aas 1:sä lähie. Siksi ässä uo alu johdaoehävä o merkiy lisämääreellä "luksi". luksi.1. Iegroiia a) xdx = b) x dx = c) x dx = dx = e) si( x)dx = 4 d) ( 5x 7x + 9) f) cos( x)dx = g) e x dx = h) e 4 x dx = 3 dx = i) [ si(4x ) 5cos( x / 3) ] luksi.. Kompleksimaemaiikkaa a) Mie kompleksiluku a+jb lausuaa muodossa r e jϕ? b) Mie kompleksiluku r e jϕ lausuaa muodossa a+jb? c) Esiä a- ja b-kohda asia kuvaa kompleksiasossa: Im b a Re d) Mie e jx lausuaa rigoomerise fukioide avulla? e) Miä o e jπ, missä o mikä ahasa kokoaisluku? f) Mikä o kompleksiluvu cos(x) + j si(x) iseisarvo? jπf luksi.3. a) e d = b) 4e jx cos(5 x) dx = 1 c) e 1 jπ f d =
Täsä alkava "Tuilla vasaavaksi arkoieuja ehäviä" yyppise ehävä. 1. Piirrä äide siisigaalie kuvaaja: a) Taajuus 1 Hz, ampliudi 1, vaihekulma. b) Taajuus 5 Hz, ampliudi 35 V, vaihekulma 18. c) Samaa kuvaa: Taajuus 1 khz, ampliudi 1, vaihekulma 9. Taajuus 1 khz, ampliudi 1, vaihekulma 9.. Mikä o ämä kolmioaallo a) perusaajuus b) viides harmoie aajuus? Vasaus: Koska T =, o 4 / µ s a) f = b) 3. Erää jaksollise sigaali jaksopiuus o 1 ms. Sigaali :e harmoise aajuuskompoei 1 ampliudi o ja :e harmoise aajuuskompoei vaihekulma = 9. Kirjoia sigaali yhälö Fourier-sarjaa. Vasaus: v ( =, missä f = (Täydeä ylläoleva.)
4. Sakara-aallo - T T yhälö o 4 si(π 3 f si(π 5 f si(π 7 f v = si(π f + + + π 3 5 7 Koska si( x ) = cos( x 9 ), ämä voidaa kirjoiaa kosiie summaa: ( = +... Täsä ähdää suoraa, mikä o sakara-aallo Fourier-sarjassa = = cos(π f + ϕ ) :e harmoise aajuuskompoei ampliudi lauseke: = ja :e harmoise aajuuskompoei vaihekulma ϕ lauseke: ϕ = Joe sakara-aallo yhälö voidaa kirjoiaa Fourier-sarja -muodossa: v ( = (Täydeä sigma ylä- ja alapuolelle ja perää.) 5. Tässä erää jaksollise sigaali ampliudi- ja vaihespekri: mpliudi 4 3 1 1 3 4 f/khz 18 135 Vaihe/as. 9 45 1 3 4 Sigaali spekrisä ähdää ämä asia: Miä aajuuksia sigaalii sisälyy? mpliudispekri Mikä o kuki sigaalii sisälyvä aajuude ampliudi? Vaihespekri Mikä o kuki sigaalii sisälyvä aajuude vaihe? Kerää oide kysymyse vasaukse ähä aulukkoo: f/khz
Taajuus mpliudi Vaihe Joe sigaali yhälö voidaa kirjoiaa kosiie summaa: = 6. Edelläoleva ampliudispekri o esiey ampliudie absoluuiarvoja käyäe. Silloi pysyakseli lukuarvo ova esim. voleja. Käyäössä ampliudispekri arvo esieää usei desibeleiä, yleesä ii, eä suuri esiiyvä db-arvo o db, jolloi kaikki muua arvo ova egaiivisia db-arvoja. Jos absoluuiarvoi esiey ampliudispekri suuri ampliudiarvo o max, ii silloi ampliudiarvo desibeliarvo o log 1 db. lla olevassa kuvassa o ylläoleva ampliudispekri desibeleiä. max Laske aulukkoo spekriviivoje db-arvo kahde desimaali arkkuudella. Taajuus mpl. mpl./db (abs.) -1-15 mpliudi/db -5-1 3 4 f/khz Mie laski auluko arvo? Kirjoia kaavoja ähä alle. 7. a) Piirrä sakara-aallo (jaksopiuus µs) ampliudispekri desibeleiä. Oa mukaa spekriviiva db: asoo asi. Vasaus: Esimmäie laskeava asia: Koska jaksopiuus T =, o perusaajuus f = Seuraavaksi kaaaa äyää ällaie aulukko:
Moesko harmoie Taajuus /MHz mpliudi (kalvoje sivu 8 peruseella) mpliudi desibeleiä suheessa suurimpaa ampliudiarvoo * ** Ja edellee ääreömää asi Kirjoia ähä, mie laski *:llä ja **:llä merkiyje kohie lukuarvo: *: **: Pohja ampliudispekri piirämiselle. b) Millä aajuudella ämä sakara-aallo ampliudispekri aso aliaa 4 db? Vasaus: Sakara-aallo :e harmoise ampliudi o: = Ku äsä rakaisaa, millä : arvolla ämä db-arvo (verraua ampliudi maksimiarvoo, joka oeuuu : arvolla ja o ), aliaa 4 db, piää rakaisa ämä yhälö: Rakaisu: Esimmäie : arvo, jolla aliaa 4 db o =, joka vasaa aajuua MHz.
8. Kolmioaallo T - yhälö o 8 si(π 3 f si(π 5 f si(π 7 f = si(π f + π 3 5 7 Koska si( x ) = cos( x 9 ), ämä voidaa kirjoiaa kosiie summaa: = Täsä ähdää, mikä o kolmioaallo Fourier-sarjassa = = cos(π f + ϕ ) :e harmoise aajuuskompoei ampliudi lauseke: = ja :e harmoise aajuuskompoei vaihekulma ϕ lauseke: ϕ = Joe kolmioaallo yhälö voidaa kirjoiaa Fourier-sarja -muodossa: v ( = (Täydeä sigma ylä- ja alapuolelle ja perää.) +... 9. a) Piirrä kolmioaallo (jaksopiuus µs) ampliudispekri desibeleiä. Oa mukaa spekriviiva 4 db: asoo asi. Vasaus: Jaksopiuus o sama kui ehävä 7 sakara-aallolla, joe perusaajuuski o sama: T =, f = Täyeää samalaie aulukko kui ehävässä 7 sakara-aallolle: Moesko harmoie Taajuus /MHz mpliudi (ehävä 8 peruseella) mpliudi desibeleiä suheessa suurimpaa ampliudiarvoo * ** Ja edellee ääreömää asi
Kirjoia ähä, mie laski *:llä ja **:llä merkiyje kohie lukuarvo: *: **: Piirrä kolmioaallo spekri samaa kuvaa aiemmi piirrey sakara-aallo spekri kassa: mpl./db -5-1 -15 - -5-3 -35-4... -45-5 1 3 4 5 f/mhz 6 b) Millä aajuudella ämä kolmioaallo ampliudispekri aso aliaa 4 db? Vasausha o ähävissä spekri kuvasa ilma se kummempia laskuoimiuksia: MHz. (Sakara-aallollaha vasaavaksi aajuudeksi saaii 5.5 MHz.) 1. Piirrä allaolevaa kuvaa siiaallo seuraksi sama jaksopiuude ja ampliudi omaava sakara-aalo ja kolmioaalo. T Kumpi muisuaa eemmä siiaaloa? Mie ämä asia o ähävissä ehävässä 9 olevia spekrejä ukimalla?
11. Puheliverkko pääsää läpi aajuude 3 Hz... 34 Hz. Milä äyää aajuusasossa (= spekri) ja aikaasossa (= aalomuoo) a) sakara-aalo, joka jaksopiuus o.5 ms b) sakara-aalo, joka jaksopiuus o 5 ms ku kyseie sakara-aalo o väliey puhelimise paikasa oisee? 1. Sovella ää maemaiika peruskaavaa 1 jx jx cos( x) = e + e ( ) ii, eä muua siisigaali = cos( π f + ϕ ) yhälö kompleksisee ekspoeimuooo. Siis: ( π + ϕ ) = cos f = Sieveä lauseke sovelae ää: e ( π + ϕ ) a+ b = e a e b. Siis: = cos f = 13. Edellä saaii kahde ajasa riippuva kompleksise ekspoeilausekkee summa. Piirrä alle kompleksiasoo, mie oide kahde kompleksise lausekkee arvo käyäyyy, ku aika kasvaa: Vikki: Piirrä kumpaaki lausekea vasaava osoii hekellä =, ja sie miei, miä osoiimelle apahuu, ku kasvaa. Im Im Re Re Seliysä: 14. Miä arkoiikaa siisigaali v = cos( π f + ϕ ) ( aajuus f? Siä eä Mie ulkise aajuude f arkoiava edellisessä ehävässä piirämissäsi kuvissa? Vasemmapuoleisessa kuvasssa: Oikeapuoleisessa kuvasssa:
15. Edellä ehävässä 1 odeii, eä cos jϕ jπf jϕ jπf ( πf + ϕ) = e e + e e Ja sie o aiemmi odeu (kalvo, s. 6), eä jos sigaali o jaksollie, ii se aalomuodo yhälö aja fukioa voidaa lausua Fourier-sarjaa: = = cos ( π f + ϕ ) Siis jaksollie sigaali o f -aajuise siimuooise kompoeie summa. Ku uo kaksi edelläolevaa yhdiseää, ii voidaa pääyä jaksollise sigaali kompleksise Fourier-sarja yhälöö: j π f = c e = Siis jaksollie sigaali o aajuudella f pyörivie kompleksise vekorie (osoiimie) summa. iemmi o kerrou, eä jos o sakara-aalo, ii se Fourier-sarjassa = = 4 = π = 9 ϕ cos ( f + ϕ ) π ampliudi ja vaihee ϕ saadaa äi: ku o pario ku o parillie Misä uo iedeää? Ne o laskeu sovelamalla Fourier-aalyysi maemaiikkaa. Millaisa se o? Emme y uusu siihe, mie reaalise Fourier-sarja ampliudi ja vaihee saadaa, vaa meää suoraa kompleksisee Fourier-sarjaa. Ilma se kummempia johamisia, ämä päee: Jos sigaali o jaksollie, ii se voidaa lausua Fourier-sarjaa sarjassa esiiyvä kompleksie kerroi c saadaa äi: c 1 = T j π f = c e = T e j π f d ja Tässä merkiä arkoiaa määräyä iegraalia T : piuise ajajakso yli. Iegroii alaraja o T vapaasi valiavissa, mua yläraja o alaraja+t. Joissaki apauksissa c : saa laskeuksi helpoie iegroimalla T /:sa T /:ee, oisissa apauksissa iegroii :sa T :aa johaa helpommi sieveyvää c : lausekkeesee. Tehävä: Määriä sakara-aallo Fourier-sarja keroime c lauseke. (Tehdää uilla ii eä opeaja aaa liiuaululla vikkejä, mie edeää ja jokaie aiaki yriää selviyyä ehäväsä, mielellää aapurie kassa asiaa mieimällä.) 16. Mie edellä saadusa sakara-aallo c : lausekkeesa saadaa jo moee keraa esiey sakara-aallo ja vaihee ϕ : lausekkee? Vasaus:
17. Määriä kolmioaallo (kuvassa) kompleksise Fourier-sarjakehielmä v = c e j πf ( ) keroime c. Kirjoia sie lauseke ampliudispekri määriäville arvoille = c ja vaihespekri määriäville arvoilla arg(c ). T - Keroime iegraalilausekkee laskemisa vare arviavaksi jakso piuiseksi ajaksi kaaaa valia T T aikaväli L. Tuolla välillähä kolmioaalo koosuu kolmesa suorapäkäsä, joide yhälö piää selviää. Sie laskeaa F-sarja keroime aava iegraali väli T... T yli kolmessa osassa: T... T, T... T ja T... T. Osoiauuu, eä iegroii o se verra suuriöie homma, eä ei 4 4 4 4 siä kaaa kokoaa ehdä aiakaa liiuaululla. Tuilla kasellaa, mihi yriys johaa. 18. Määriä oheise pulssijoo kompleksise Fourier-sarjakehielmä keroime c.pulssijoossa siis oisuu τ : piuie : korkuie pulssi jaksopiuudella T. -T T τ Nyki iegroiiväliksi kaaaa valia T... T. 19. Piirrä ehävässä 18 määrielly pulssijoo ampliudispekri, ku a) T = 4 ms, = 1, τ = 1 ms b) T = 4 ms, = 1, τ = ms c) T = 4 ms, = eriäi suuri (lähesyy ääreöä), τ = 1 s d) T = 4 ms, = 1, τ = 4 ms. Jos sigaali aalomuoo ei ole jaksollie, voidaa ajaella, eä se jaksopiuus o (lähes) ääreö, jolloi se perusaajuus o (lähes) olla. Silloi se harmoise aajuuskompoei ova (lähes) ääreömä iheässä. Näi päädyää siihe, eä ku jaksollise sigaali spekrissä esiiyy ollasa poikkeavia arvoja vai ieyillä (harmoisilla) aajuuksilla:
ii ei-jaksollise sigaali spekrissä voi esiiyä ollasa poikkeavia arvoja kaikilla aajuuksilla: Jos sigaali (jaksollise ai ei-jaksollise) aalomuodo yhälö o, ii se spekri yhälö saadaa Fourier-muuoksella: V ( f ) j πf = e d Merkiäapa: aalomuodo imi pieellä kirjaimella (v, x, y,...) Fourier-muuos isolla kirjaimella (V, X, Y,...) Tehävä: Määriä yksiäise suorakulmaise jäiepulssi τ/ τ/ spekri.
Rakaisu askelee: Mie pulssi yhälö voidaa kirjoiaa? Täydeä: ku < < v ( = muualla Siispä ku iegroidaa :sä + :ää, o iegroiava arvo melkei koko aja olla. Vai iha origo eli heke = ympärisössä iegroidaa joai ollasa poikkeavaa. Jää siis laskeavaksi määräy iegraali (äydeä alleviivau kohda: V j πf ( f ) = e d =... 1. Suorakulmaie pulssi o yksi ieoliikeee perussigaaleisa. Nimiäi digiaalisessa siirrossa voidaa ajaella, eä bii kulkeva kaapelissa jäiepulsseia, esim. äi: Jäie ika 1 1 1 1 1 1 (Tosi käyäö iedosiirrossa aika harvoi ilae o iha äi yksikeraie.) Suorakulmaiselle pulssille oki käyössä eriyie merkiäapa. Tehävä kuvassa oleva : korkuie ja τ: kesoie pulssi voidaa kirjoiaa yhälöä äi: v ( = Π τ Pulssi symbolia käyey merkki o iso pii-kirjai. Tehävä: Piirrä kolmesa pulssisa koosuva sigaali a) = B =, τ = 1 ms, T = 3 ms b) =, B = 1, τ = ms, T = 4 ms T v ( = Π + BΠ kuvaaja, ku τ τ. Edellisessä ehävässä uli esille käsie viive. Jos sigaalia viiväseää, se aalomuoo siiryy muoosa säilyäe aika-akselilla viivee verra joko oikealle (posiiivie viive) ai vasemmalle (egaiivie viive). Koska ämä o maemaiika kurssi, oeaa edes yksi odisamisehävä: Osoia, eä jos sigaali jπft Fourier-muuos o V(f), ii viiväsey sigaali T) Fourier-muuos o V ( f ) e. 3. Kirjoia ehävä 1 a-kohda sigaali Fourier-muuokse yhälö. V(f) =
4. Varsi helppoa o osoiaa oikeaksi ämä superposiioeoreema: 1 v1( + 1 V1 ( f ) + V ( f ) Tuossa äkyy yksi käyössä oleva merkiäapa eli kaksipäie uoli. Jos V(f) o sigaali Fouriermuuos, ii merkiää V ( f ). Tehävä: Määriä oheise kuva sigaali Fourier-muuos. Rakaisu askelee: Kirjoia sigaali yhälö kahde viiväsey suorakulmaise pulssi summaa. Superposiioeoreema mukaa sigaali F-muuos o -T oide pulssie F-muuose summa. Kirjoia uo summa oae viivee huomioo ehävässä osoieulla avalla. 1 jx cos( x) = e jx Sieveä lauseke. Käyä hyväksi ää uua kaavaa: ( + e ) τ τ T 5. Sama ehävä kui 4, mua sigaali o eri: τ -T T - τ 1 jx jx Tässä voi sieveämisessä käyää hyväksi ää oisa uua kaavaa: si( x) = ( e e ) Huom! Tuilla 8.. jaeussa ehävie paperiversiossa uo ylläoleva siikaava oli vääri (leikepöyäkirous iski), siiä oli sulkuje sisällä plus-merkki. Korjaa paperii, jos se vielä o allella. 6. Sigaalikäsielyssä (sekä laieiso- eä ohjelmisoperuseisessa, sekä digiaalisessa eä aalogisessa) derivoii ja iegroii ova varsi hyödyllisiä sigaalii kohdiseavia oimepieiä. Ilma johamisa äide merkiys Fourier-aalyysissä: Jos V ( f ) ii d jπ f V ( f ) d V ( f ) λ) dλ jπf Siis: Sigaali derivoii aiheuaa se, eä sigaali spekri ulee kerrouksi jπf:llä ja sigaali iegroii aiheuaa se, eä sigaali spekri ulee jaeuksi jπf:llä. Merkiä λ) dλ seliysä: Sigaali iegroii o aloieu joskus meeisyydessä, esim. silloi ku o kykey päälle se laie, jossa esiiyy. Siksi määräy iegraali alarajaa ei ole merkiy. Iegroii yläraja o ykyheki, joka ieeki koko aja kasvaa, koska ii aika ekee. Muuuja λ o apumuuuja, joa käyeää siksi, eä merkiä v ( d saaaisi hämää. Kuluva aika o imeomaa iegroii ylärajaa, joe aalomuodo v lausekkeessa o syyä käyää joai muua muuujaa. Josai syysä λ:aa käyeää usei ällaisessa yheydessä. j
Tehävä: Määriä oheise kolmiopulssi Fourier-muuos. Tehävä voisi ehdä sovelamalla Fourier-muuokse määrielmää j πf = e d V ( f ), mua uloksea olisi aika yölääsi sieveyvä lauseke. Helpommalla pääsee käyämällä hyväksi ähä meessä opiuja asioia. τ τ Rakaisu askelee: Derivoi kolmiopulssi, piirrä derivaaa kuvaaja ähä: x(=d/d Toea, eä derivaaa o käyäössä sama kui ehävä 5 sigaali. Ny vaa ehävässä 5 olevie paramerie, T ja τ ilalla o joai muua. (Paisi eä τ arkoiaa kyllä y derivaaa kuvaajassa samaa asiaa kui ehävässä 5.) Voi siis kirjoiaa suoraa kolmiopulssi derivaaa x( F-muuokse yhälö, koska ehävä 5 vasaus o käyeävissä. Sie voi sovelaa ehävässä 6 kerroua derivaaalausekea ja äi saada V(f):lle lausekkee. Vaaii si(π x) hiema sieveämisä. Sic-fukio ulee vasaa, sehä määriellää: sic( x) =. πx 7. Sigaali spekri V(f) o ohessa. Sigaalia iegroidaa. Piirrä iegraalisigaali ampliudispekri suheellisia arvoia (mikä arkoiaa, eä spekri maksimiarvo = 1). V(f) -4-1 4 f/mhz 8. Mikä o sigaali = cos(π f Fourier-muuos? d Mikä o sigaali = cos(π f derivaaasigaali x( =? d Mikä o derivaaasigaali x( Fourier-muuos? d Oko ulos sopusoiussa aiemmi esilläollee derivoiisääö jπ f V ( f ) kassa? d 9. Erillisessä eksissä (hp://users.meropolia.fi/~koiva/s14/tv13k-iegr/7.modulaaio.pdf) o käsiely ärkeää ieoliikeeekiika sigaalikäsielyoimepideä eli modulaaioa. Tämä ehävä liiyy siihe: Mikä o oheise sigaali Fourier-muuos? Vaaka-akselilla o aika mikrosekueia. [Tuka saaaa läheää suuillee ällaisia sigaaleja. Tää kusuaa esim. ukapulssiksi, myös ermi "purske" saaaa esiiyä ässä yheydessä.] 3. Suorakulmaise pulssi leveys (keso) = τ ja se ampliudi (korkeus) = 1/τ. (Ei kaaa vaivaa pääää yksiköillä, ehä uossa meee iha pipariksi.)
a) Mie pulssi yhälö kirjoieaa? (Siis käyäe suorakulmaise pulssi symboliksi soviua isoa piikirjaia.) b) Mikä o pulssi Fourier-muuos? Piirrä F-muuokse kuvaaja. c) Ku pulssi lyheee (jolloi se samalla kasvaa korkeua), ii mie se F-muuokse yhälö muuuu? d) Eä mie pulssi F-muuokse kuvaaja muuuu, ku pulssi lyheee? e) Milä pulssi äyää, ku se o aiva älyömä lyhy, eli keso = melkei olla? f) Milä äyää pulssi spekri, ku pulssi keso = melkei olla. Kaksi viimeisä kohaa parempaa maemaaisa kielä käyäe: Mie pulssi ja se spekri muuuva, ku pulssi keso lähesyy arvoa τ =? Edellisessä ehävässä päädyii impulssii. Teoriassa impulssi o ääreömä luhy ääreömä korkea pulssi, joka pia-ala (leveys keraa korkeus) = 1. Käyäössä impulssiksi kusuaa eriäi lyhyä pulssia (joka muoo voi olla muuaki kui suorakulmaie). Impulssia käsiellää eoriaeksissä (hp://users.meropolia.fi/~koiva/s14/tv13k-iegr/6_fourieraalyysi.ieoliikeeorieoiueesi.pdf#page=31). Pari impulsseihi liiyvää ehävää. 31. Piirrä sigaali = δ ( 1s) 3δ ( 3 s) kuvaaja. 3. Johda suorakulmaise pulssi Fourier-muuos derivoimalla pulssi. 33. Johda kolmiopulssi Fourier-muuos derivoimalla pulssi kahee keraa. 34. Laske ehävä 4 derivoii kaua.