ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Haroitus 2 Ratkaisuehdotuksia 1. Työpaikalla ärestetään huumetesti. Testi on 99% varma. Toisin sanoen vain 1% huumeenkäyttäistä ää palastumatta a vain 1% niistä, otka eivät käytä huumeita antavat väärän positiivisen. Oletamme, että arviolta noin yksi kymmenestä tuhannesta ihmisestä käyttää huumeita. Työntekiä Pekka menee huumetestiin a saa positiivisen tuloksen. Mikä on todennäköisyys, että Pekka on huumeidenkäyttää? Ratkaisuehdotus: Olkoot A Pekka on huumeidenkäyttää, E huumetestistä tuli positiivinen tulos Pekalle. Kysytty todennäköisyys on P(A E). Tyypillinen aatusvirhe tässä ongelmassa on vastata todennäköisyydellä P(E A) 99%. Tätä ei kuitenkaan kysytty! Todennäköisyys P(A E) voidaan laskea käyttämällä Bayesin kaavaa (1) P(A E) P(A)P(E A) P(E) 0,0001 0,99 P(E) 0,000099. P(E) Jotta kaavaa (1) voitaisiin käyttää tulee meidän määrätä todennäköisyys P(E). Kokonaistodennäköisyyden kaavan noalla P(E) P(E A) + P(E A c ) P(A)P(E A) + P(A c )P(E A c ) 0,0001 0,99 + 0,9999 0,01 0,010098. Sioittamalla tämä kaavaan (1) saamme P(A E) 0,0098039 0,1%. Siispä vaikka testi on 99% varma, niin Pekka mitä luultavimmin ei ole huumeidenkäyttää! Syy pieneen todennäköisyyteen olla huumeidenkäyttää positiivisella testituloksella on huumeidenkäyttäien pieni osuus populaatiosta. Siten suurin osa positiivistista testituloksista (yli 99%) on vääriä positiivisia. 1
2. Pekka a Jukka päättävät pelata perantai-illan ratoksi venäläistä rulettia. Yhteisen sopimuksen mukaan Pekka aloittaa, eli Pekka vetää liipaisimesta ensin. Rulettia pelataan kunnes peli päättyy luonnollisella traagisella tavallaan. Onko peli reilu, kun (a) rullaa pyöräytetään ennen okaista liipaisimenvetoa, (b) rullaa pyöräytetään ainoastaan ennen ensimmäistä liipaisimenvetoa? Ratkaisuehdotus: Kohdassa (a) pitää aatella loputonta laukausten saraa, sillä peli voi kestää periaatteessa loputtomasti. Olkoot A Pekka häviää a A n Pekka häviää kierroksella nro n. Tällöin P(A) P(A n ). Ratkaistaan sitten todennäköisyys P(A n ). Selvästi P(A 1 ) 1/6. Entä P(A 2 )? Olkoon n1 B n Jukka häviää kierroksella nro n. Nyt A 2 sattuu, os ensiksi sattuu A c 1, sitten sattuu Bc 1, a sitten sattuu A 2. Siten P(A 2 ) P(A c 1 B c 1 A 2 ) Samalla tavalla näemme, että P(A c 1)P(B c 1 A c 1)P(A 2 A c 1 B c 1) 5/6 5/6 1/6. P(A 3 ) P(A c 1 B c 1 A c 2 B c 2 A 3 ) P(A c 1)P(B c 1 A c 1)P(A c 2 A c 1 B c 1) P(B c 2 A c 1 B c 1 A c 2)P(A 3 A c 1 B c 1 A c 2 B c 2) 5/6 5/6 5/6 5/6 1/6. Jatkamalla samalla tavalla näemme yleisen kuvion: P(A n ) (5/6) 2(n 1) 1/6. 2
Siten käyttämällä geometrisen saran laskusääntöa saamme P(A) P(A n ) Siten peli ei ole reilu. n1 (5/6) 2(n 1) 1/6 n1 1/6 1/6 (5/6) 2n n0 (25/36) n n0 1/6 1/(1 25/36) 1/6 36/11 6/11 > 1/2. Kohdassa (b) kannattaa aatella kuutta laukausta (enempää ei tarvita pelin loppuunsaattamiseksi). Mikäli luoti on pesässä laukauksella 1, 3, tai 5, kuolee Pekka. Mikäli luoti on pesässä laukauksella 2, 4 tai 6 kuolee Jukka. Koska luoti on rullan pyöräyttämisen älkeen pesässä yhtä hyvin millä tahansaa laukauksista 1, 2, 3, 4, 5 tai 6, peli on reilu. 3. Kuusi avioparia osallistuu parinvaihtopippaloihin, ossa uudet parit arvotaan umpimähkään. Mikä on todennäköisyys, että vähintään yksi arvottu pari on aviopari? Entä os osallistuvia parea on 60? Entä os osallistuvia parea on 600? Entä os osallistuvia parea on 6.000.000? Ratkaisuehdotus: Tarkastelemme yleistä tapausta, ossa on n avioparia. Olkoon a A k Aviopari nro k paritetaan pippaloissa, A Jokin aviopari paritetaan pippaloissa. Selvästi A A 1 A 2 A n, oten P(A) P(A 1 A 2 A n ). Ongelma on nyt, että tapahtumat A k eivät ole erillisiä, oten emme voi käyttää kaavaa n P(A 1 A 2 A n ) P(A k ). 3 k1
Sen siaan käytämme inkluusio/eksluusiokaavaa P(A 1 A 2 A n ) n n P(A i ) i1 i 1 <i 2 1 P(A i1 A i2 ) + + +( 1) n 1 P(A 1 A 2 A n ). Seuraavaksi tulee määrätä todennäköisyydet n i 1 <i 2 <i 3 1 P(A i1 A i2 A ik ) P(A i1 A i2 A i3 ) kaikille i 1 < i 2 < < i k a k n. Toistoaattelulla näemme, että P(A i1 A i2 A ik ) 1 n 1 n 1 1 n k + 1. Siten summattavat termit inkluusio/ekskluusiokaavan summissa ovat kaikki samoa summan sisällä. Koska k:nnessa summassa on ( ) n n! k (n k)! huomaamme että inkluusio/ekskluusiokaavan k:nnen termin arvo on ( 1) k 1 n! (n k)! 1 n 1 n 1 1 n k + 1 ( 1)k 1. Siispä (2) P(A) n ( 1) k 1. k1 Tulos ei sinänsä tästä sievene paloakaan, mutta huomaamme eksponenttifunktion läsnäolon: e x x k. k0 4
Koska eksponenttifunktion saraesitys suppenee nopeasti, niin P(A) n ( 1) k 1 k1 n ( 1) k k1 ( n ) ( 1) k 1 k0 ( ) ( 1) k 1 k0 ( e 1 1 ) 1 e 1 63,212%. Tämä tarkoittaa, että arvio kysytyille todennäköisyyksille on 1 e 1 63,212% oka ikisellä n, a tämä arvio on sitä parempi mitä suurempi n on. Tarkat arvot saadaan tietysti sarasta (2): n 6 : 63,194%, n 60 : 63,212%, n 600 : 63,212%, n 6.000.000 : 63,212%. 4. Sadistinen milonääri taroaa arpalippua (ilmaiseksi). (a) Arpalippua on 10.000 kappaletta. Arpalipuista 9.999 on sellaisia, että sadistinen milonääri antaa lipun haltialle 1.000 euroa, mutta yksi lipuista on sellainen, että lipun haltia outuu kokemaan tuskallisen kuoleman sadistisen milonäärin käsissä (kidutus kestää kaksi tuntia). (b) Sadistinen milonääri muuttaa panoksia: arpalippua on 1000 kappaletta, oista 1 ohtaa tuskalliseen kidutuskuolemaan kuten kohdassa (a), mutta 999 arpalippua antaa haltialleen 10.000 euroa. (c) Sadistisen milonäärin panokset vaan kovenee: nyt on aossa 100 arpalippua, oista 1 ohtaa tuskalliseen kidutuskuolemaan kuten kohdassa (a), mutta 99 arpalippua antaa haltialleen 100.000 euroa. (d) Nyt sadistisella milonäärillä on tosi kovat panokset: aossa on vain 10 arpalippua, oista 1 ohtaa tuskalliseen kidutuskuolemaan kuten kohdassa (a), mutta loput 9 arpalippua antaa haltialleen 1.000.000 euroa. 5
Antti Ahnas haluaa voittaa 1.000.000 euroa. Mihinkä sadistisen mionäärin arpaaisista (a), (b), (c) tai (d) kannattaa Antti Ahnaan osallistua? Ratkaisuehdotus: Ratkaisu riippuu oleellisesti siitä palautetaanko arpalippu arpalaariin noston älkeen (otanta takaisinpanolla) vai ei (otanta ilman takaisinpanoa). Kysytty todennäköisyys on todennäköisyys voittaa 1.000.000C (a säilyä hengissä). Otanta takaisinpanolla: 1 Arpaaisissa (a) Antti Ahnas outuu nostamaan 1.000 arpaa. Jokaisella nostolla kidustuskuoleman todennäköisyys on 1/10.000. Siten todennäköisyys selvitä a voittaa 1.000.000C on (9.999/10.000) 1.000 90,483% Arpaaisissa (b) nostetaan 100 arpaa, a kysytty todennäköisyys on (999/1.000) 100 90,479%. Arpaaisissa (c) nostetaan 10 arpaa, a kysytty todennäköisyys on (99/100) 10 90,438%. Arpaaisissa (d) kysytty todennäköisyys on 90%. Siten Antti Anhas valitsee arpaaiset (a), mutta huomaa toki, että arpaaisissa ei ole paloakaan eroa hänen kannaltaan. Otanta ilman takaisinpanoa: 2 Arpaaisissa (a) nostetaan 1.000 arpaa ilman takaisinpanoa. Tämä tarkoittaa, että perusoukkona on kaikki 1.000 arvan nostot 10.000 arvan oukosta. Näitä on ( ) 10.000 (tosi iso luku, ota emme onneksi oudu laskemaan) 1.000 kappaletta. Mahdollisia tapoa nostaa 1.000 arpaa ilman, että tappoarpa nostetaan on ( ) 9.999 (tosi iso luku, ota emme onneksi oudu laskemaan) 1.000 kappaletta. Siten todennäköisyys saada 1.000.000C arpaaisissa (a) il- 1 Tämä kohta liittyy oleellisesti binomiakaumaan. 2 Ratkaisemme tämän kohdan vaikealla, mutta systemaattisella tavalla käyttämällä hypergeometrista akaumaa. Helpompi tapa olisi käyttää riippuvia toistokokeita. Vielä helpompi tapa olisi huomata, että arpaaiset ovat itse asiassa ekvivalentit. 6
man takaisinpanoa on ( ) 9.999 / ( ) 10.000 1.000 1.000 9.999! / 10.000! 8.999! 1.000! 9.000! 1.000! 9.999! 9.000! 1.000! 8.999! 1.000! 10.000! 9.999! 8.999! 9.000! 10.000! 9.999! 10.000! 9.000! 8.999! 9.999! 10.000 9.999! 1 10.000 9.000 90%. 9.000 8.999! 8.999! Samalla tavalla voidaan laskea tai yllä olevasta laskusta nähdä että arpaaisissa (b), (c) a (d) kysytyt todennäköisyydet ovat myös 90%. Siten Antti Ahnas on indifferentti arpaaisten suhteen. 5. Leipuri Pulla myy pullia pikkiriikkisen pienessä Kumputien Leipomossa. Leipuri Pulla paistaa pullat aamulla a myy ne lounastauolla viereisen Ministeriön Erikoisosaston virkamiehille. Pullat pilaantuvat nopeasti: eilisiä pullia ei voi tänään enää myydä. Pullan paistaminen maksaa leipuri Pullalle 0,20C pullalta, a hän myy niitä 1,00C kappalehintaan. Leipuri Pulla tietää, että pullia myydään 0:sta 10:een lounastaukoa kohti. Itse asiassa hän arvioi, että p 0 0,01, p 1 0,02, p 2 0,03, p 3 0,04, p 4 0,10, p 5 0,60, p 6 0,10, p 7 0,04, p 8 0,03, p 9 0,02, p 10 0,01, missä p, 0,..., 10, on todennäkösyys myydä pullaa. Kuinka monta pullaa tulee leipuri Pullan valmistaa lounastaukoa varten, os hän on (a) optimisti (Maximax), (b) pessimisti (Maximin)? Ratkaisuedotus: Aluksi on hyvä huomata, että sekä Maximax- että Maximin-säännöt ovat ei-stokastisia. Siten todennäköisyydet p ovat irrelevanttea. Seuraavaksi määräämme palkkio- eli päätösmatriisin R [r i ]. Leipuri Pullan ärkevät pullanpaistomäärät ovat A {0, 1,..., 10}. Jos kaikki pullat myydään (i ), niin leipuri Pullan voitto on 1,00 i 0,20 i 0,80 i. 7
Jos taas pullia ää myymättä (i > ), niin leipuri Pullan voitto on 1,00 0,20 i. Palkkiomatriisi R, eli tuotot eri pullanpaistomäärillä a pullanmyyntimäärillä, on 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,20 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,40 0,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 0,60 0,40 1,40 2,40 2,40 2,40 2,40 2,40 2,40 2,40 2,40 0,80 0,20 1,20 2,20 3,20 3,20 3,20 3,20 3,20 3,20 3,20 1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00. 1,20 0,20 0,80 1,80 2,80 3,80 4,80 4,80 4,80 4,80 4,80 1,40 0,40 0,60 1,60 2,60 3,60 4,60 5,60 5,60 5,60 5,60 1,60 0,60 0,40 1,40 2,40 3,40 4,40 5,40 6,40 6,40 6,40 1,80 0,80 0,20 1,20 2,20 3,20 4,20 5,20 6,20 7,20 7,20 2,00 1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 Optimisti: Leipuri Pulla toivoo parasta a arvostaa tilat a 0,..., a 10 seuraavasti: Optimistin valinta: a 10. V (a 0 ) max a 0 0,00, V (a 1 ) max a 1 0,80, V (a 2 ) max a 2 1,60, V (a 3 ) max a 3 2,40, V (a 4 ) max a 4 3,20, V (a 5 ) max a 5 4,00, V (a 6 ) max a 6 4,80, V (a 7 ) max a 7 5,60, V (a 8 ) max a 8 6,40, V (a 9 ) max a 9 7,20, V (a 10 ) max a 10, 8,00. Pessimisti: Leipuri Pulla pelkää pahinta a arvostaa tilat a 0,..., a 10 seu- 8
raavasti: Pessimistin valinta: a 0. V (a 0 ) min a 0 0,00, V (a 1 ) min a 1 0,20, V (a 2 ) min a 2 1,40, V (a 3 ) min a 3 1,60, V (a 4 ) min a 4 0,80, V (a 5 ) min a 5 1,00, V (a 6 ) min a 6 1,20, V (a 7 ) min a 7 1,40, V (a 8 ) min a 8 1,60, V (a 9 ) min a 9 1,80, V (a 10 ) min a 10, 2,00. 9