Ehdollie todeäköisyys Kerrataa muutama todeäköisyyslaskea laskusäätö. Tapahtuma E komplemettitapahtuma E o "E ei tapahdu". Koska todeäköisyyksie summa o 1, P ( E = 1 P (E. Joskus o helpompi laskea komplemettitapahtuma todeäköisyys. Yhteelaskusäätö: jos tapahtumat E 1 ja E ovat erillisiä (E 1 E =, ii P (E 1 E = P (E 1 + P (E. Esim. t heittää opalla 1 tai o 1/6 + 1/6 = 1/3. Yleisemmi, jos tapahtumat eivät ole erilisiä, ii P (E 1 E = P (E 1 + P (E P (E 1 E. Jos tapahtumat E 1 ja E ovat riippumattomia, ii P (E 1 E = P (E 1 P (E. Esim. Heitetää kolikkoa kertaa peräkkäi, t. sille että molemmilla heitoilla saadaa kruua o 1/ 1/ = 1/4. Etäpä sitte jos tapahtumat eivät ole riippumattomia? Tämä tilae tulee usei vastaa, kysymme tapahtuma E todeäköisyyttä sillä ehdolla että myös E 1 tapahtuu. Kysymys o mielekäs jos E 1 o mahdollie, eli P (E 1 > 0. Kysytty ehdollie todeäköisyys lasketaa kaavasta P (E E 1 = P (E E 1, P (E 1 vase puoli luetaa "tapahtuma E todeäköisyys ehdolla E 1 ". Ehdollisella todeäköisyydellä o samoja omiaisuuksia kui tavallisella todeäköisyydellä: i P (E E 1 [0, 1] ii P (Ω E 1 = 1 (kaikkie tapahtumie todeäköisyyksie ormitus iii Jos E ja E 3 ovat erillisiä, ii P (E E 3 E 1 = P (E E 1 + P (E 3 E 1. Esimerkki 1. Otetaa korttipakasta kaksi korttia. Mikä o todeäköisyys sille että toie kortti o ässä, ku esimmäie kortti o ässä? Nyt toise ässä saamie ei ole riippumato esimmäise ässä saamisesta, sillä 1. ässä jälkee jäljellä olevassa pakassa o yksi ässä vähemmä. Todeäköisyys voidaa laskea helposti suoraaki, sillä pakassa o jäljellä 51 1
korttia joista 3 ässiä. T o siis 3/51 =1/17. Lasketaa tulos toisella tavalla käyttäe ehdollista todeäköisyyttä: Olkoo E 1 = "1. kortti o ässä", E = ". kortti o ässä". Selvästi T sille että saadaa ässää peräkkäi o P (E 1 = 4/5. P (E E 1 = (3/51 (4/5. Nyt voidaa laskea t sille että. kortti o ässä sillä ehdolla että 1. kortti o ässä: P (E E 1 = P (E E 1 P (E 1 = 3 4 5 51 5 4 = 1 17. Ehdollise todeäköisyyde kaavasta saamme yleistykse kertolaskusääölle siiä tapauksessa että tapahtumat eivät ole riippumattomia: P (E 1 E = P (E 1 P (E E 1 = P (E 1 E P (E 1. Jos tapahtumat ovat riippumattomia, P (E i E j = P (E i ja kaava palautuu riippumattomie tapauste kertolaskusääöksi. Esimerkki. Jaetaa korttipakka tasa 4 pelaajalle A,B,C,D. Mikä o todeäköisyys sille että A ja B saavat kumpiki ässää? Selvästi A: ja B: kortit riippuvat toiste korteista. Ratkaistaa tämä käyttämällä yleistettyä kertolaskusäätöä seuraavalla tavalla. Olkoo E 1 = "A saa ässää", E = "B saa ässää". Ajatellaa että A:lle jaetaa kortit esimmäiseksi. Häe kätesä o silloi =13 korti otata ilma takaisipaoa N=5 korti joukosta, joissa K=4 ässää, ja otataa halutaa k= ässää. Site ( ( 4 48 P (E 1 = 11 ( 5 13 Tämä jälkee jaetaa B: kortit, lasketaa t sille että hä saa ässää ku A sai jo ässää. Kyseessä o siis ehdollie todeäköisyys. Kute 1. esimerkissä, se voidaa laskea suoraa, koska tiedämme pakassa oleva 39 korttia, joista ässiä, ja 13 korti otaassa halutaa oleva ässää. Site ( ( 37 P (E E 1 = 11 ( 39 13 Nyt voimme laskea kysyty todeäköisyyde sille että E 1 ja E tapahtuvat: ( ( ( 4 48 37 P (E 1 E = P (E 1 P (E E 1 = 11 11 ( ( 0, 05. 5 39 13 13
Kertolaskusäätöä voi myös toistaa, esim. P (E 1 E E 3 = P (E 1 E P (E 3 E 1 E = P (E 1 P (E E 1 P (E 3 E 1 E. Luoteva esimerkki tästä o 3 korti peräkkäi vetämie korttipakasta. Esimerkki 3. Vedetää pakasta 3 korttia. Mikä o todeäköisyys sille että 1. kortti o hertta (E 1,. risti (E ja. musta kortti (E 3? Edetää seuraavasti: ja sitte P (E 1 E = P (E 1 P (E E 1 = 13 5 13 51 P (E 1 E E 3 = P (E 1 E P (E 3 E 1 E = 13 5 13 51 5 50 0, 03. Viimeiseä esimerkkiä (jolla voit kiusata kavereitasi olkoo sisaruusogelma. Tämä voisi laskea myös ehdollise todeäköisyyde kautta, mutta helpompi tapa o listata eri vaihtoehdot. Todeäköisyyslasketaogelmissa kiusallista o se että aia ei ole suoraviivaista huomata millä tavalla o helpoita lähteä liikkeelle. Esimerkki 4. Äidillä o lasta, joista toie o tyttö. Millä todeäköisyydellä toie lapsi o poika? Tässä tehtävässä ajattelee helposti kahta peräkkäistä kolikoheittoa ja vastaa 1/, joka o vääri. Oikea vastaus o /3. Eri vaihtoehdot ovat imttäi T(yttö-T(yttö, T-P, P-T, P-P. Näistä jälkimmäie ei käy, sillä toie lapsista o tyttö. Jäljellä olevasta 3 vaihtoehdosta kahdessa yksi lapsi o poika. Siis /3. Ehdollise todeäköisyyde kaavoje soveltamie o mutkikkaampaa. Jatkuvat todeäköisyysjakaumat, yksi satuaismuuttuja Tähäastisissa esimerkeissä perusjoukko Ω o ollut diskreetti, so. äärellie tai umeroituvasti ääretö. Katsotaa seuraavaksi tapausta jossa perusjoukko Ω = R, ja satuaismuuttuja X arvot x R. Kumulatiivie todeäköisyysjakauma P (x o todeäköisyys sille että X x. Selvästi P (x o mootoisesti kasvava fuktio, ja lim P (x = 0, x lim P (x = 1. x + P (x: ei kuitekaa tarvitse olla jatkuva, vaa se voi myös hypätä epäjatkuvasti jossaki pisteessä / pisteissä. Todeäköisyystiheysjakauma p(x o edellise derivaatta: p(x = dp (x dx käätäe, kumulatiivie jakauma o tiheysjakauma itegraali: P (x = x 3, dx p(x.
Tiheysjakauma p(x o siis todeäköisyys sille että X: arvo o ifiitesimaalisella välillä [x, x + dx]. Huo Vaikka p(x 0 edellee, se voi myös divergoida joissai pisteissä, kuha se tapahtuu itegroituvasti. Esim. p(x = e x /( x divergoi x = 0:ssa, mutta itegraali yli R: o silti 1. Satuaismuuttuja X odotusarvo o E(X x dx xp(x, eli todeäköisyyksillä paiotettu keskiarvo. Fysiikassa merkitä x o yleisempi. Edellee, jos F (x o joki reaaliarvoie fuktio, ii satuaismuuttuja fuktio F (X o myös satuaismuuttuja. Se odotusarvo o E(F (X F (x dx F (xp(x, Tärkeä erikoistapaus tästä o moomit X. Niide odotusarvoja kutsutaa todeäköisyysjakauma p(x mometeiksi m : m E(X x dx x p(x. Esimmäie mometti o tieteki jakauma odotusarvo. Mometteja voidaa laskea suoraviivaisesti itegroimalla, mutta elegatti ja usei kätevä tapa o käyttää iide geeroivaa fuktiota, s. karakteristista fuktiota. Todeäköisyysjakauma karakteristie fuktio p(k o tiheysfuktio Fourier-muuos: p(k e ikx dx e ikx p(x. Tiheysfuktio saadaa siis karakteristisesta fuktiosta kääteismuuoksella: p(x = 1 π dk e ikx p(k. Karakteristie fuktio o momettie geeroiva fuktio, mikä ähdää kehittämällä ekspoettifuktio Taylor-sarjaksi: ( ik p(k = x = ( ik x. Siis x = i d p(k dk k=0. 4
Mometit voidaa laskea myös joki muu pistee x 0 kui origo suhtee. Karakteristise fuktio avulla e saadaa Taylor-sarjaa pistee x 0 ympäristössä: e ikx0 p(k = e ik(x x0 ( ik = (x x 0 ( ik = (x x 0. Siiä missä mometit ovat odotusarvo yleistyksiä, variassi yleistyksiä kutsutaa kumulateiksi x c. Neki voidaa laskea (ja määritellä karakteristise fuktio avulla, kehittämällä tällä kertaa Taylor-sarjaksi se logaritmi: ( ik l p(k = x _c. Koska kumulatit ja mometit pohjautuvat samaa karakteristisee fuktioo, edelliset voidaa esittää jälkimmäiste avulla ja päivastoi. Eksplisiittiset lausekkeet voidaa ratkaista esim. seuraavalla tavalla, käyttäe hyväksi sarjakehitelmää Esiäki Toisaalta, l p(k = l p(k = l[1 ik x + ( ik l(1 + y = ( 1 y. ( ik x c = 1 ik x c + ( ik x c +. (1 x + ] = 1 ik x + ( 1 Vertaamalla kehitelmissä (1 ja ( esiityviä k :ie kertoimia, saadaa x c = x x c = x x x 3 c = x 3 3 x x + x 3 x 4 c = x 4 4 x 3 x 3 x + 1 x x 6 x 4 ( ik x + ( ik x + +. ( ja ii edellee. Esimmäie yhtälö kertoo että 1. kumulatti o sama kui odotusarvo. Toie yhtälö o taas keties tuttu kaava variassille:. kumulatti o siis jakauma variassi, σ x. 3. ja 4. kumulatti tuetaa imillä vious (skewess ja huipukkuus tai kurtoosi (curtosis/kurtosis. Yhtälöt käätämällä saadaa ilmaistua mometit kumulattie avulla: x = x x = x c + x c x 3 = x 3 c + 3 x c x c + x 3 c x 4 = x 4 c + 4 x 3 c x c + 3 x c + 6 x c x c + x 4 c 5
je. Yo. relaatiot ovat itse asiassa pohjaa edistyeemmä statistise kettäteoria ja kvattikettäteoria kursseilla esiteltäville diagrammitekiikoille. Mm. kvattikettäteoria s. Wicki teoreema o periaatteeltaa sama. Aihe meee hiema Fymm IIb: perustavoitteide ohi, mutta käydää tätä hiema lisää läpi sillä ajatuksella että myöhemmillä kursseilla saatat palata takaisi tähä moisteesee kertaamaa mistä aikaaa puhuttii. Momettie johtamie kumulattie avulla meee samaa tapaa kui päivastaieki lasku, vertaamalla Taylor-sarjoje k -termie kertoimia. Toisaalta p(k = ( ik x. (3 Toisaalta taas p(k = e l p(k ( ik = exp[ x c ] = exp[ ( ik x c ], (4 eli ekspoettifuktioide ääretö tulo. Kehittämällä jokaie ekspoettifuktio Taylorsarjaksi, ( exp[ ( ik x ( ik p x c c ] =, (5 p! saadaa p(k = p p ( ik p p! ( x p c. (6 Seuraavaksi pitää järjestää termit uudellee sarjaksi k: kasvavia potesseja. Tätä varte tarvitsemme hiema lisää kombiatoriikkaa. Aiemmalla lueolla esiityyt biomikaava voidaa yleistää multiomikaavaksi, (x 1 + x + + x m = k = joka o kirjoitettu tiivistetyllä otaatiolla käyttäe multi-ideksejä. Yllä: ja kerroi ( k x k, (7 k (k 1, k,..., k m (8 x k x k 1 x k x km, (9 ( ( k k 1, k,, k m k 1!k! k m! o biomikertoime yleistys, s. multiomikerroi. Aiemmi opimme että biomikerroi ataa kombiaatiot, ts. eri tavat valita erilaisesta alkiosta k kappaletta. Voimme myös ajatella että lajittelemme alkiot kahtee laatikkoo, toisee k kappaletta, toisee loput k, biomikerroi ataa eri tavat lajitella alkiot. Samaa tapaa multiomikerroi kertoo eri tavat lajitella 6 (10
alkiot m:ää eri laatikkoo, site että 1. laatikkoo tulee k 1 kappaletta je, site että k k 1 + k + k m =. Merkitä k = myös selittää multiomikaava rajoitetu summa. Huom: yo. otaatiolla siis tuttu biomikerroi o ( k = ( k, k. (11 Erityisesti mometti-kumulatti kaavaa varte otamme lajitteluesimerki. Kuika moella tavalla m alkiota voidaa lajitella laatikoihi site että laatikoita joissa o palloa o p kappaletta? Selvästiki vaaditaa että p = m. Nyt multiomikerroi ataa ( m = 1,, 1,,,,,,, (1! p 1 (! p ( p. Mutta, koska p k laatikkoa joissa kussaki o k palloa ovat keskeää idettisiä, yo lukumäärä täytyy jakaa eri tavalla järjestää kuki p k laatikkoa, eli saadaa p 1!(1! p 1 p!(! p p!( p = 1 p k!(k! p k k=1 eri tapaa lajitella pallot laatikoihi kysytyllä tavalla. Palataa takaisi mometti-kumulatti kaavaa ( ik m x m = m=0 p ( ik p p! ( x p c. (1 Vertaamalla termie ( ik m kertoimia molemmilla puolilla saadaa relaatio x m = 1 p p!( x. (13 p Rajoitettu summamerkitä tarkoittaa tässä että summa o rajoitettu kaikkii tapoihi valita, p site että p = m, eli erilaisii tapoihi lajitella m palloa laatikoihi site palloa sisältäviä laatikoita o p kappaletta. + 7