MIKROTEORIA, HARJOITUS 4 KULUTTAJAN YLIJÄÄMÄ, MARKKINAKYSYNTÄ JA TASAPAINO HUOM! Kun arvioidaan politiikkamuutoksen vaikutusta kuluttajien hyvinvointiin, täytyy pohtia kahta vaihetta: 1) miten muutos vaikuttaa käyttäytymiseen, eli havaittuihin valintoihin kysyntäfunktioiden kautta ja 2) miten muutokset käyttäytymisessä vaikuttavat hyötytasoon. Ensin täytyy siis ratkaista kysyntäfunktiot ja sen jälkeen sijoittaa optimaalinen käyttäytyminen hyötyfunktioon. Näin saadaan epäsuora hyötyfunktio, jonka saamat arvot riippuvat suoraan eksogeenisistä tekijöistä, joiden muutoksien vaikutuksia halutaan tarkastella. 1. Kuluttajan hyötyfunktio on muotoa u (x1, x2) = a ln x1 + x2 ja budjettirajoite on px1 + x2 = m jossa m kuluttajan tulot ja p hyödykkeen 1 hinta. Hyödykkeen 2 hinta on normalisoitu ykköseksi. (a) Ratkaise kuluttajan optimointiongelma. Kuluttajan budjettirajoite m = px 1 +x 2 sekä hyötyfunktio u(x 1, x 2 ) = a ln x 1 +x 2, a > 0. Ratkaistaan kuluttajan optimi sijoitusmenettelyä käyttäen: Sijoitetaan x 2 = m px 1 hyötyfunktioon, jolloin u(x 1 ) = a ln x 1 + m px 1. Tämän ääriarvopiste u(x 1 ) / x 1 = a/x 1 p = 0 x 1 = a/p. Koska: 2 u(x 1 ) / x 1 2 = ax 1 2 < 0 (kaikilla x 1 > 0), niin piste x 1 = a/p maksimoi funktion u(x 1 ) (alueella x 1 > 0). Tällöin x 2 = m px 1 = m pa/p = m a. Kysyntäfunktiot ovat siis: x 1 (p,1,m) = a/p x 2 (p,1,m) = m a. (b) Hyödykkeen 1 hinta nousee ja uusi hinta on p > p. Osoita, että kompensoiva ja ekvivalentti muutos ovat yhtä suuret. Hyödykkeen x 1 hinta nousee; p p, p > p. Väite: Kompensoiva ja ekvivalentti muutos ovat yhtä suuret. Todistus: Ratkaistaan molemmat muutokset ja verrataan niitä. Epäsuora hyötyfunktioon:
v(p,m) = u(x 1 (p, 1,m), x 2 (p, 1,m)) = a ln {x 1 (p, 1,m)}+x 2 (p, 1,m) = a ln(a/p)+m a. Tämän avulla ratkaistaan kompensoiva muutos C: v(p,m) = v(p,m + C) a ln(a/p) + m a = a ln(a/p ) + m+ C a a ln(a/p) = a ln(a/p ) + C C = a (ln(a/p) ln(a/p )) Ekvivalentti muutos E: v(p,m E) = v(p,m) a ln(a/p) + m E a = a ln(a/p ) + m a a ln(a/p) E = a ln(a/p ) E = a(ln(a/p) ln(a/p )) Koska C = E, niin väite pätee. 2. Pieni saarivaltio harkitsee liittymistä suurempaan valtioiden liittoon. Saaren asukkaat kuluttavat maitoa (x 1 ) ja viiniä (x 2 ) ja heidän hyötyfunktionsa on muotoa u (x 1, x 2 ) = x 1 a x 2 1-a Jokaisella on käytössään eksogeeninen tulo m. Hyötyfunktio u(x 1, x 2 ) = x 1 a x 2 1 a, jossa a Є (0, 1). Budjettirajoite p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. Ratkaistaan kysyntäfunktiot käyttäen Lagrangen menettelyä. Lagrangen funktio L(x 1, x 2, λ) = x 1 a x 2 1 a + λ(m p 1 x 1 p 2 x 2 ), joten maksimipisteessä pätee L/ x1 = ax 1 a 1 x 2 1 a λp 1 = 0, L/ x 2 = x 1 a (1 a)x 2 a λp 2 = 0, L/ λ = m p 1 x 1 p 2 x 2 = 0. Ylimmästä yhtälöstä saadaan λ = (ax 1 a 1 x 2 1 a )/ p 1 Sijoitetaan tämä keskimmäiseen ja ratkaistaan x 2 : x a a 1 (1 a)x 2 = (p 2 /p 1 ) ax a 1 1 a 1 x 2 x 1 (1 a) = (p 2 /p 1 ) ax 2 x 2 = (x 1 p 1 (1 a))/(p 2 a) Sijoitetaan tämä alimpaan yhtälöön: * x 1 -a+1 * x 2 a m = p 1 x 1 + p 2 (x 1 p 1 (1 a))/(p 2 a) m = ( 1 + (1 a)/a ) p 1 x 1 = (1 a) p 1 x 1 x 1 = am/p 1 Ratkaistaan x 2 jolloin saadaan x 2 = (x 1 p 1 (1 a))/(p 2 a) = (amp 1 (1 a))/(p 1 p 2 a) = (1 a)m/ p 2
HUOM! Samaan ratkaisuun päätyy myös käyttämällä hyötyfunktion muunnosta: ũ (x1, x2) = a log (x 1 ) + (1 a) log (x 2 ). (a) Mikä on maidon ja viinin kysyntä? Täten x 1 :n kysyntä x 1 (p 1, p 2,m) = am/p 1 ja x 2 :n kysyntä x 2 (p 1, p 2,m) = (1 a)m/ p 2. (b) Liittymisen seurauksena maidon hinnan odotetaan nousevan kahdeksankertaiseksi ja viinin hinnan laskevan puoleen verrattuna ennen liittymistä vallinneeseen tilanteeseen. Arvioi kompensoivaa variaatioita käyttäen, miten liittyminen vaikuttaa kuluttajien hyvinvointiin. Epäsuora hyöty on v(p 1, p 2,m) = u(x 1 (p 1, p 2,m), x 2 (p 1, p 2,m)) = (am/p 1 ) a ((1 a)m/p 2 ) 1 a = m a+1 a (a/p 1 ) a ((1 a)/p 2 ) 1 a = m(a/p 1 ) a ((1 a)/p 2 ) 1 a Liittymisen seurauksena p 1 p 1 = 8p 1 ja p 2 p 2 = ½p 2. Kompensoiva muutos C ratkaistaan yhtälöstä v(p 1, p 2,m) = v(p 1, p 2, m + C) v(p 1, p 2,m) = v(8p 1, ½p 2, m + C) m(a/p 1 ) a ((1 a)/p 2 ) 1 a = (m+ C) (a/8p 1 ) a (2(1 a)/p 2 ) 1 a m/(m+c) = (a/8p 1 ) a (2(1 a)/p 2 ) 1 a (a/p 1 ) -a ((1 a)/p 2 ) -1+a m/(m+c) = (1/8) a (2) 1-a = 8 -a * 2 * 2 -a = 2* (1/16) a Koska ei tiedetä, mikä a on, ei tiedetä onko C positiivinen vai negatiivinen. Jos C on positiivinen, kuluttajien hyöty laskee liittymisen seurauksena. (c) Saarivaltion ekonomistit ovat estimoineet maidon ja viinin kysyntäfunktioiden olevan kohdassa (a) saatujen kaltaisia ja todenneet, että kuluttajat käyttävät viiniin vähintään kolme kertaa niin paljon kuin maitoon. He ovat tulleet johtopäätökseen, että saarivaltion kannattaa liittyä. Ovatko he oikeassa? Kuluttajien käyttäytymisen perusteella saadaan arvioitua parametrin a arvoa. Tälle pätee 3p 1 x 1 p 2 x 2 3p1(am/p 1 ) p 2 ((1 a)m/p 2 3a 1 a a 1/4. Kohdan (b) perusteella tiedetään, että m/(m + C) = 2/16 a jossa oikean puolen nimittäjä, 16 a, on sitä suurempi mitä isompi a on. Eli 2/16 a pienenee, kun a kasvaa. Koska a 1/4 saadaan m/(m + C) = 2/16 a 2/16 1/4 = 2*½ = 1 Eli m/(m+c) 1, joten C < 0. Kuluttajien hyöty siis kasvaa. Saarivaltion ekonomistit ovat oikeassa.
3. Hyödykettä tuotetaan täydellisen kilpailun markkinoilla. Tuotantokustannus on 10 euroa / yksikkö. Markkinoilla on 100 identtistä kuluttajaa, jotka ovat valmiita maksamaan yhdestä yksiköstä korkeintaan 12 euroa (lisäyksiköt eivät lisää hyötyä, eli niiden reservaatiohinta on nolla). Merkitään markkinakysyntää D(p). Jokainen 100:sta kuluttajasta on valmis ostamaan yhden, mutta vain yhden yksikön tuotetta, jos hinta on korkeintaan 12. Siis; D(p) = 100, jos p 12 D(p) = 0, jos p > 12 Täydellisen kilpailunmarkkinoilla, yksittäisen tuottajanmyymämäärä ei vaikuta markkinahintaan. Merkitään tuottajan i tuottamaa määrää q i ja myyntihintaa p, jolloin myyntitulo R = (p 10)q i. Jos p < 10, niin R < 0 (olettaen että q i > 0), joten tuottaja i ei tuota mitään eli S i (p) = q i = 0. Jos p > 10, niin R > 0 (olettaen että q i > 0). Täydellisen kilpailun markkinoilla R > 0 ei ole mahdollista. Siis p = 10. Markkinatarjonta S(p) = Σ q i = q, jos p = 10 0, jos p < 10 (a) Mikä on tasapainohinta ja -määrä? Tasapainohinta p* = 10 määräytyy täydellisen kilpailun markkinoiden periaatteen mukaisesti. Tasapainomäärä määräytyy ehdosta q* = S(10) = D(10) = 100. (b) Oletetaan, että hallitus alkaa verottaa hyödykettä 1 euron yksikköverolla. Mikä on uusi tasapaino? Mikä on veron tehokkuustappio? Kysyntä säilyy samana veron asettamisen jälkeen eli D(p) = 100, jos p 12 0, jos p > 12 Tuottajan i myyntitulo R = (p 10 1)*q i = (p 11)*q i. Samalla päättelyllä kuin (a) kohdassa havaitaan, että p = 11. Markkinatarjonta S(p) = Σ q i = q, jos p = 11 0, jos p < 11 Tasapainohinta p* = 11 ja tasapainomäärä q* = S(11) = D(11) = 100. Kuluttajien ylijäämä (a) kohdassa (12 10)*100 = 200, ja (b) kohdassa (12 11)*100 = 100. Tuottajien ylijäämä sekä (a) että (b) kohdassa on 0. Hallituksen ylijäämä on 1*100 = 100. Kuluttajien ylijäämän vähennys 100 siirtyy kokonaan hallitukselle, joten tehokkuustappiota ei ole.
4. Vehnän kysyntä muodostuu kotimaan kysynnästä ja ulkomaan kysynnästä (vientikysynnästä). Kotimaan kysyntä q D = 1500 50p, joten kysyntää on kun hinta p Є [0, 30]. Vastaavasti ulkomaan kysyntää q E = 500 25p on kun hinta p Є [0, 20]. Kun p Є [0, 20], on kokonaiskysyntä q = q D + q E = 2000 75p, ja kun p Є [20, 30] on kokonaiskysyntä q = q D = 1500 50p. Lisäksi nähdään, että kun p Є [0, 20], niin q Є [500, 2000], ja kun p Є [20, 30], niin q Є [0, 500]. (a) Piirrä kokonaiskysyntäkäyrä. p 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Kokonaiskysyntä- ja -tarjontakäyrät 0 500 1000 1500 2000 q D(p) S(p) (b) Laske kysynnän hintajoustot. Kumpi kysyntä on joustavampaa? Kysynnän hintajousto ε = (p/q D )(dq/dp), joten kotimaan kysynnän hintajousto ε D = p / (1500 50p) *( 50)
ja ulkomaan kysynnän hintajousto ε E = p / (500 25p) *( 25). Vertaillaan joustoja, kun p Є (0, 20) on kiinteä. (Jos p > 20 ulkomaan kysyntää ei ole.) Havaitaan, että tällöin ε D = 50p/(1500 50p) < 0 ja ε E = 25p / (500 25p) < 0, joten ε D = 50p/(1500 50p) = p/(30 p) ja ε E = 25p/(500 25p) = p/(20 p). Lasketaan erotus ε E ε D = p/(20 p) p/(30 p) = (30p p 2 20p+p 2 )/((20 p)(30 p)) = 10p/((20 p)(30 p)). Havaitaan, että ε E ε D = 10p/((20 p)(30 p)) > 0 kun p Є (0, 20), joten ε E > ε D. Vientikysyntä on joustavampaa. (c) Oletetaan, että vehnän tarjonta on muotoa s = 60p 125. Mikä on tasapainohinta ja -määrä? s = 60p 125 on vehnän tarjonta. Eli S(p) = 60p 125, jos p (125/60) 0, jos p < (125/60) Ratkaistaan tasapainohinta p* : S(p*) = D(p*). Koska S(20) = 1075 > 500, niin kysyntä D(p) = q D + q E = 2000 75p ja tarjonta S(p) leikkaavat. Siis 2000 75p* = 60p* 125 2125 = 135p* p* = 2125/135 15,7 Tasapainomäärä saadaan q* = S(p*) = D(p*) = 2000 75*(2125/135) 819. 5. Maassa A ja maassa B poltetaan molemmissa 10 miljoonaa askia tupakkaa vuodessa. Molempien maiden hallitukset yrittävät hillitä tupakointia asettamalla tupakan ostajille 50 sentin veron tupakkaaskia kohti. Veron seurauksena askin hinta nousee 35 senttiä maassa A ja 15 senttiä maassa B. Kummassa maassa vero ehkäisee tupakointia tehokkaammin? Perustele vastaus kuvan avulla. Oletetaan, että maissa on samanlainen tupakan tarjontakäyrä.
Tehtävän perusteella voidaan päätellä seuraavia asioita kuvan piirtämistä varten: A) Maissa on sama tarjontakäyrä ja molemmissa kulutetaan alkuperäisessä tasapainossa sama määrä, joten tasapainohinta ennen veroa on molemmissa maissa sama. Siis tarjontakäyrä ja kysyntäkäyrät leikkaavat ennen veron asettamista tasapainopisteessä. B) Vero vaikuttaa molemmissa maissa kuluttajahintaa nostavasti, mutta hinta ei nouse koko veron määrää. Tarjonta ei siten voi olla täydellisesti joustavaa (vaakasuora käyrä) eikä täydellisesti joustamatonta (pystysuora käyrä) - ks. Varianin kirjan kuva 16.5, sivu 299. Tarjonta siis kasvaa määrän funktiona. C) Kysyntäkäyrät ovat maissa A ja B erilaiset, sillä verolla on erilainen vaikutus tasapainohintaan. Kuvasta nähdään, että maassa B veron asettaminen pienentää kulutusta enemmän eli ehkäisee tupakointia tehokkaammin. 6.* Talous koostuu kahdesta alueesta, Etelä (E) ja Pohjoinen (P). Molemmilla alueilla työvoiman tarjonta on täysin joustamatonta ja ε = [(E i E i ) / E i ] / [(w i w i ) / w i ], jossa i = P,E jossa (E i E i ) / E i on suhteellinen muutos työllisten määrässä alueella i, (w i w i ) / w i on suhteellinen muutos tuntipalkassa alueella i. Tiedetään, että ε = 1/2 kaikilla tulotasoilla. Alun perin molemmilla alueilla työmarkkinat ovat tasapainossa ja E E = 400000 ja E P = 600000 ja w E = w P = 15. Oletetaan, että Etelään saapuu 20000 maahanmuuttajaa, jotka ovat yritysten näkökulmasta samanlaisia työtekijöitä kuin aikaisemmin alueella asuneet ja joiden työntarjonta on myös täysin joustamatonta. (a) Mitä tapahtuu Etelän palkkatasolle maahanmuuton seurauksena (jos ei sallita muuttoa Etelästä Pohjoiseen)? Käyttämällä jouston kaavaa saadaan: 1/2 = 20000/(w E w E ) * (15/400000) josta voidaan ratkaista w E w E = 1,5 w E = 13,5. (b) Pitkällä aikavälillä Etelän ja Pohjoisen välillä on muuttoliikettä, joka tasaa mahdolliset palkkaerot. Oletetaan, että työnvoiman kysyntäolosuhteet eivät muutu. Jos muuttokustannuksia ei ole, mikä on uusi tasapainopalkka ja kuinka paljon Etelästä muuttaa Pohjoiseen? Merkitään, että w i = w i w i ja E i = E i E i. Tarvitaan kolmea tietoa: Sopeutumisen jälkeen 1) Palkan pitää olla sama Etelässä ja Pohjoisessa, eli w E + 13,5 = 15 + w P 2) Koska kysyntäolosuhteet ovat samat tiedetään, että ( E P / w P )*(w P /E P ) = ( E E / w E )*(w E /E E ) ( E P / w P )*(15/600000) = ( E E / w E )*(13,5/420000)
3) Koska Etelästä muutetaan vain Pohjoiseen täytyy olla E P = E E. Yhdistämällä nämä ehdot saadaan: ( E E / w P )*(15/600000) = ( E E /(1,5 + w P ))*(13,5/420000) josta voidaan ratkaista w P. Saadaan: ( 1/ w P )*(15/60) = (1/(1,5 + w P ))*(13,5/42) 1/4*(1,5 + w P ) = w P 1,5 *(13,5/42) 3/2 = w P + w P (54/42) w P = ( 3/2) / (1 + (54/42)) = ( 3/2)/(96/42) = 21/32 Uudessa tasapainossa w P = 15 (21/32) = w E 21/64 = E P (15/600000) E P = (21/64)(600000/15) = 13125