SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 4 ratkaisuiksi

Transkriptio

1 SMG-400 Sähkömaneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 4 ratkaisuiksi Jatkuvuustilan D-lämpötilajakauma: differenssimenetelmä Differenssimenetelmän käyttämen lämpötehtävien ratkaisemiseen perustuu suljetun tilavuuden tehotasapaoon + =. () out st Differenssimenetelmässä suljettu tilavuus tarkoittaa solmupisteeseen liittyvää tilavuutta. ehotasapaon lauseke kirjoitetaan jokaiselle solmupisteelle erikseen, ja jokaiseen solmupisteeseen liittyy aa jok tilavuus. Nyt tarkastellaan jatkuvuustilan lämpötilajakaumaa, joten lämpötila ei muutu ajan funktiona. Siksi st, joka kuvaa sitä tehoa, jolla eneriaa varastoituu tarkasteltavaan tilavuuteen, menee nollaksi. Oletetaan lisäksi, että verkotetussa alueessa, jossa lämpötilajakaumaa ratkaistaan, lämpövirran suunta on tarkasteltavaa solmua kohti. Siksi myös out, joka kuvaa tilavuudesta lähtevää lämpövirtaa, menee nollaksi. äten jatkuvuustilan tehotasapaoksi saadaan + =, () 0 jossa edustaa tarkasteltavaan solmuun liittyvään tilavuuteen tulevaa lämpövirtaa, ja on tarkasteltavaan solmuun liittyvässä tilavuudessa eneroituva lämpöteho. Merkitään levyn korkeutta k:lla ja syvyyssuuntaista mittaa d:llä. Kun lauseke () kirjoitetaan tehtäväpaper kuvan vasemmanpuoleiselle solmulle, saadaan ( ) + A + Q V = 0, (3) jossa A on poikkipta-ala ja V tilavuus. Kun nämä suureet kirjoitetaan levyn mittojen avulla, saadaan hkd ( ) + kd + Q kd = 0 :(kd) 4 h( ) + + Q = 0. (4) 4 Kirjoitetaan vastaava yhtälö myös tehtäväpaper kuvan keskimmäiselle solmulle: 3 kd + kd + Q kd = 0 :(kd) Q = 0. (5)

2 Koska 3 on tunnettu, lausekkeissa (4) ja (5) on va kaksi tuntematonta. ehtävänä oli ratkaista, joten ratkaistaan jommasta kummasta yhtälöstä ja sijoitetaan toiseen. Kun ratkaistaan lausekkeesta (4), saadaan h( ) + Q = = h ( ) Q :(/) 4 h( ) Q = 8 h h Q = +. (6) 8 Kun ratkaistaan lausekkeesta (5), ja edelleen :n paikalle sijoitetaan lauseke (6), saadaan + + Q = = Q :(/) 3 Q = sijoitetaan lauseke (6) 3 4 h h Q Q = h h Q Q = h h Q Q + 3 = 4 4 h Q 3 o = 36 C. h ämpötransientti: kiteäparametren malli ehtävänannossa maittu termen diffusiviteetti α on lämmönjohtavuuden ja tilavuutta kohti annetun omaislämpökapasiteet osamäärä, joten se saadaan lausekkeesta α =, (7) ρ C jossa on lämmönjohtavuus, ρ tiheys ja C omaislämpökapasiteetti massayksikköä kohti. Kun lausekkeesta (7) ratkaistaan silitysraudan pohjalevyn lämmönjohtavuus, sen lukuarvoksi saadaan 76.9 W/(mK).

3 ässä tehtävässä on tarkoitus käyttää kiteäparametrista mallia. Kyse on siitä, että kun kappaleen lämpötila voidaan olettaa tasaisesti jakautuneeksi, lämpötilan muutokset ajan suhteen ovat vars ykskertaisesti mallnettavissa. Varmistetaan ens, että kiteäparametrisen mall käyttö on perusteltua tässä tehtävässä. Kiteäparametrista mallia voidaan käyttää, jos oletus lämpötilan paikkariippumattomuudesta on kelvollen. ämän oletuksen pätevyyttä voidaan selvittää Biot luvun Bi avulla, joka määritellään lausekkeella h Bi = c, (8) jossa h on konvektiiven lämmönsiirtokerro ja c tarkasteltavan kappaleen karakteristen pituus, joka suhteuttaa kappaleen tilavuuden siihen kappaleen ptaalaan, jota konvektiolla jäähdytetään. Oletus tarkasteltavan kappaleen tasaisesta lämpötilajakaumasta on pätevä, jos Bi < 0. on voimassa. Silitysraudan pohjalevyn karakteristiseksi pituudeksi c saadaan V c = = = 0.005, A 0.03 joten Biot luku on h c Bi = <. äten kiteäparametrisen mall käyttö on perusteltua. Seuraavassa johdetaan kiteäparametren malli lähtien liikkeelle suljetun tilavuuden tehotasapaosta. Suljettu tilavuus on nyt silitysraudan pihjalevy, jonka lämpötila oletetaan siis tasaisesti jakautuneeksi. evyn lämpötila sen sijaan riippuu ajasta Suljetun tilavuuden tehotasapaon lauseke on + = out + st. (9) arkastellaan seuraavassa, mitä lausekkeen (9) eri termit tässä tehtävässä ovat. Silitysraudan pohjalevyssä ei eneroidu lämpöeneriaa, joten saadaan = 0 W. ämpöeneria eneroituu silitysraudan lämpövastuksissa, jotka eivät ole osa pohjalevyä. ehtävässä oletetaan, että 85% vastusten lämpötehosta siirtyy pohjalevyyn. äten saadaan = 0.85*000 W. out edustaa sitä lämpötehoa, joka siirtyy konvektiolla alumiikappaleesta ympäröivään nestetyppeen: out = ( ). Huomaa, että lämpötilaeron on todellak oltava muodossa, sillä lämpövirran suunnan oletetaan termissä out olevan pohjalevystä ympäröivään ilmaan. d st on se teho, jolla pohjalevyys varastoituu lämpöeneriaa: st = ρcv. dt 3

4 äten lauseke (9) saadaan muotoon out st = + ( ) d = + ρcv dt d ρcv = : ( ρ CV ) dt d + =. (0) dt Kun materiaaliomaisuudet oletetaan vakioiksi, lauseke (0) on ensimmäisen kertaluokan epähomoeenen vakiokertoimen differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisemen noudattaa normaalia differentiaaliyhtälön ratkaisusapluunaa. Ratkaistaan ens homoeenen yhtälö, eli merkitään lausekkeen (0) oikealla puolella oleva epähomoeenisuustermi nollaksi: d 0 dt + = = e rt re rt rt + e = 0 :e rt r = ( ) h = D exp t. () ρcv Haetaan sitten epähomoeenisen differentiaaliyhtälön toteuttava yksityisratkaisu. Koska epähomoeenisuustermi ei riipu ajasta, kokeillaan vakioyritettä B lausekkeen (0) yksityisratkaisuksi: db B dt + = B = B =. Koska B saati ratkaistua ajasta riippumattomaksi, kyseen yrite kelpaa yksityisratkaisuksi, joten saadaan ( p) =. () Yleen ratkaisu on täten ( h) ( p) = + = D exp t + ρcv. (3) ohjalevyn alkulämpötila on tunnettu. äten alkuehdoksi saadaan 0 = exp 0 + = + 73 ρcv ( ) D 95 D =. 4

5 Kokonaisratkaisuksi saadaan = + C V 95 exp t ρ. (4) ehtävässä kysytti sitä ajanhetkeä, jona pohjalevyn lämpötila on noussut 40 o C:een. Kun lausekkeesta (4) ratkaistaan aika, saadaan t = C V 95 exp ρ exp t = ln ρc V 95 t ln = ρc V + 95 ρc V t ln = 5.8 s