T (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan T (c) Ilkka Mellin (2004) 2 : Mitä oimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, oeraatiotutkimuksessa, eli- ja äätösteoriassa sekä todennäköisyyslaskennassa. Tässä luvussa tarkastelemme ensin miten uumaisia verkkoja voidaan käyttää auna todennäköisyyslaskennan tehtävien ratkaisemisessa. Samalla esitämme sovellusesimerkkejä ns. äätösuiden käytöstä äätösongelmien ratkaisemisessa. Toisena verkkoteorian sovelluksena tarkastelemme ns. toimintaverkkojen toimintatodennäköisyyksien määräämistä. : sitiedot sitiedot: ks. seuraavia lukuja: Todennäköisyyslaskennan eruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan eruslaskusäännöt T (c) Ilkka Mellin (2004) 3 T (c) Ilkka Mellin (2004) 4 : Lisätiedot Verkkoteorian eruskäsitteet esitetään liitteessä Verkot Todennäköisyyslaskennan eruslaskusääntöjen havainnollistamista uumaisten verkkojen avulla käsitellään liitteessä >> T (c) Ilkka Mellin (2004) 5 T (c) Ilkka Mellin (2004) 6
T (c) Ilkka Mellin (2004) 7 Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa: Johdatteleva esimerkki Avainsanat Puudiagrammi Reitti Särmä Tulosääntö uutodennäköisyyksille Verkko Verkkodiagrammi Yhteenlaskusääntö uutodennäköisyyksille onnistumistodennäköisyys 1/6 Tehdään lasten syntymisestä seuraavat (yksinkertaistavat) oletukset: (i) Laset syntyvät aina yksi kerrallaan. (ii) Syntyvän lasen sukuuoli ei riiu aikaisemmin syntyneiden lasten sukuuolesta. (iii) Pr(Poika) = Pr(Tyttö) = 1/2. räs ariskunta haluaa saada tytön, mutta ei halua hankkia neljää lasta enemää. Pariskunta äättää käyttää lasten hankkimisessa seuraavaa strategiaa: (i) Lasia hankitaan kunnes saadaan tyttö. (ii) Lasia ei kuitenkaan hankita neljää enemää. Jos siis neljäskin lasi on oika, ariskunta on eäonnistunut strategiassaan. Mikä on todennäköisyys, että ariskunta onnistuu strategiassaan? T (c) Ilkka Mellin (2004) 8 onnistumistodennäköisyys 2/6 Pariskuntaa kohtaavia taahtumavaihtoehtoja vastaava uudiagrammi on esitetty oikealla. Puudiagrammissa: T = Tyttö ja P = Poika Puudiagrammin vasemmanuoleiset särmät vastaavat strategian onnistumista. Puudiagrammin oikeanuoleiset särmät vastaavat eäonnistumista. Jokaisen särmän todennäköisyys = 1/2. T P 1. lasi T P 2. lasi 3. lasi T P 4. lasi T P onnistumistodennäköisyys 3/6 Olkoon A = Pariskunta onnistuu strategiassaan = i:s lasi on tyttö = i:s lasi on oika T = Syntyy tyttö P = Syntyy oika T i P i Taahtumat T 1, T 2, T 3, T 4 muodostavat joukon A osituksen: A = T 1 T 2 T 3 T 4, T i T j =, i j T (c) Ilkka Mellin (2004) 9 T (c) Ilkka Mellin (2004) 10 onnistumistodennäköisyys 4/6 Taahtumien T i ja P i todennäköisyydet Pr(T i ) ja Pr(P i ), i = 1, 2, 3, 4 voidaan määrätä rekursiivisesti. Riiumattomien taahtumien tulosäännön nojalla: 1 Pr( T1) = Pr( T) = = Pr( P1) 2 1 1 1 Pr( T2) = Pr( T P1) = Pr( T) Pr( P1) = = = Pr( P2) 2 2 4 1 1 1 Pr( T3) = Pr( T P2) = Pr( T) Pr( P2) = = = Pr( P3) 2 4 8 1 1 1 Pr( T4) = Pr( T P3) = Pr( T) Pr( P3) = = = Pr( P4) 2 8 16 onnistumistodennäköisyys 5/6 Strategian onnistumisen todennäköisyydeksi saadaan toisensa oissulkevien taahtumien yhteenlaskusäännön nojalla: Pr( A) = Pr( T1 T2 T3 T4) = Pr( T1) + Pr( T2) + Pr( T3) + Pr( T4) 1 1 1 1 = + + + 2 4 8 16 15 = 16 T (c) Ilkka Mellin (2004) 11 T (c) Ilkka Mellin (2004) 12
T (c) Ilkka Mellin (2004) 13 onnistumistodennäköisyys 6/6 Todennäköisyydet 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 saadaan määräämällä louisteisiin T vievien reittien todennäköisyydet. Reittien todennäköisyydet saadaan reitin muodostavien särmien todennäköisyyksien tulona. Strategian onnistumisen todennäköisyys 15/16 saadaan laskemalla louisteisiin T vievien reittien todennäköisyydet yhteen. T P 1. lasi T P 2. lasi 3. lasi T P 4. lasi T P >> T (c) Ilkka Mellin (2004) 14 Puudiagrammien käyttö todennäköisyyslaskennassa Avainsanat Alkutila Juuri Louiste Loutila Piste Puu Puudiagrammi Puutodennäköisyys Reitti Särmä Taahtumajono Taahtumavaihtoehto Tulosääntö uutodennäköisyyksille Verkko Verkkodiagrammi Yhteenlaskusääntö uutodennäköisyyksille Periaatteessa jokainen alkeistodennäköisyyslaskennan tehtävä voidaan ratkaista käyttämällä auna ns. uudiagrammeja. Jos tehtävän satunnaisilmiötä osataan kuvata uudiagrammilla, tehtävän ratkaisemisessa tarvittavat uutodennäköisyydet saadaan määrätyksi käyttämällä kahta yksinkertaista laskusääntöä, tulosääntöä ja yhteenlaskusääntöä. T (c) Ilkka Mellin (2004) 15 T (c) Ilkka Mellin (2004) 16 Puudiagrammin konstruointi 1/2 Puudiagrammin konstruointi 2/2 Satunnaisilmiö voidaan kuvata uudiagrammilla, jos ilmiö osataan esittää seuraavassa muodossa: (i) Ilmiöllä on yksi alkutila ja yksi tai useamia loutiloja. (ii) Ilmiö koostuu vaihtoehtoisista taahtumajonoista. (iii) Taahtumajonoissa edetään vaiheittain taahtumasta toiseen lähtien ilmiön alkutilasta ja äätyen johonkin ilmiön loutiloista. (iv) Jokaisessa vaiheessa kohdataan yksi tai useamia taahtumavaihtoehtoja, joista yksi realisoituu ja johtaa uusin taahtumavaihtoehtoihin. T (c) Ilkka Mellin (2004) 17 Satunnaisilmiötä vastaavan uudiagrammin konstruointi: (i) Asetetaan uun juuri vastaamaan ilmiön alkutilaa. (ii) Asetetaan uun louisteet ( oksien kärjet ) vastaamaan ilmiön loutiloja. (iii) Asetetaan uun isteet ( oksien haarautumiskohdat ) vastaamaan ilmiön taahtumia. (iv) Viedään uun jokaisesta isteestä särmä ( oksa ) kaikkiin sellaisiin isteisiin, joita vastaavat taahtumavaihtoehdot ovat ilmiön siinä vaiheessa mahdollisia. (v) Liitetään jokaiseen isteestä lähtevään särmään siinä vaiheessa mahdollisten taahtumavaihtoehtojen todennäköisyydet. T (c) Ilkka Mellin (2004) 18
T (c) Ilkka Mellin (2004) 19 Puudiagrammin konstruointi: simerkki 1/3 Puudiagrammin konstruointi: simerkki 2/3 Puudiagrammin konstruointia voidaan havainnollistaa viereisellä kaaviolla. Tarkastellaan satunnaisilmiötä vaiheessa, jossa taahtuma A on sattunut. Olkoot A:n sattumisen jälkeen mahdolliset taahtumavaihtoehdot B i, i = 1, 2,, m B 1 A B k B m Viedään isteestä Asärmä jokaiseen isteistä B i, i = 1, 2,, m Liitetään jokaiseen särmään A (A, B i ), i = 1, 2,, m ehdollinen todennäköisyys i = Pr( Bi A) jossa A 1 k on taahtumajono, B 1 B k joka on tuonut isteeseen A. m B m T (c) Ilkka Mellin (2004) 20 Puudiagrammin konstruointi: simerkki 3/3 Puudiagrammin konstruointi: ommentteja oska A:n sattumisen jälkeen ei ole muita mahdollisia taahtumavaihtoehtoja kuin B i, i = 1, 2,, m, itää todennäköisyyksien i, i = 1, 2,, m toteuttaa ehto m m = Pr( B A) = 1 i i= 1 i= 1 i B 1 1 A B k k m B m Puudiagrammi iirretään tavallisesti joko niin, että sen alkuiste on ylhäällä ja louisteet ovat alhaalla tai niin, että sen alkuiste on vasemmalla ja louisteet ovat oikealla. Useat uun isteet voivat vastata samaa taahtumaa. Mistä tahansa uun isteestä lähtevien särmien todennäköisyyksien summa on 1. T (c) Ilkka Mellin (2004) 21 T (c) Ilkka Mellin (2004) 22 Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydellä tarkoitetaan todennäköisyyttä äästä uun alkuisteestä yhden tai useamman muun uun isteen määräämään yhdistettyyn taahtumaan. Pisteen todennäköisyys saadaan määräämällä alkuisteestä ko. isteeseen vievän reitin todennäköisyys. Reitin todennäköisyys saadaan soveltamalla reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksiin tulosääntöä. Usean isteen määräämän yhdistetyn taahtuman todennäköisyys saadaan soveltamalla ko. isteisiin vievien reittien todennäköisyyksiin yhteenlaskusääntöä. Tulosääntö 1/4 Reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. Sääntöä kutsutaan uutodennäköisyyksien tulosäännöksi. Tulosäännön erustelu: (1) Reitti on taahtumajono, jonka muodostavat reitin isteet. (2) Reitin muodostava taahtumajono sattuu, jos jokainen jonon taahtumista sattuu. (3) Todennäköisyyslaskennan yleisen tulosäännön mukaan reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. T (c) Ilkka Mellin (2004) 23 T (c) Ilkka Mellin (2004) 24
T (c) Ilkka Mellin (2004) 25 Tulosääntö 2/4 Olkoon L, A 1, A 2, A 3,, A k yksi niistä vaihtoehtoisista taahtumajonoista, joista satunnaisilmiö muodostuu. Tällöin arit (L, A 1 ), (A 1, A 2 ), (A 2, A 3 ),, (A k 1, A k ) muodostavat satunnaisilmiön alkutilasta L satunnaisilmiön (lou-) tilaan A k vievän reitin särmät. Tulosääntö 3/4 Liitetään reitin (L, A 1 ), (A 1, A 2 ), (A 2, A 3 ),, (A k 1, A k ) särmiin todennäköisyydet seuraavalla tavalla: (L, A 1 ) Pr(A 1 ) = 1 (A 1, A 2 ) Pr(A 2 A 1 ) = 2 (A 2, A 3 ) Pr(A 3 A 1 A 2 ) = 3 (A k 1, A k ) Pr(A k A 1 A 2 A 3 A k 1 ) = k T (c) Ilkka Mellin (2004) 26 Tulosääntö 4/4 Tulosäännön havainnollistus Reitin (L, A 1 ), (A 1, A 2 ), (A 2, A 3 ),, (A k 1, A k ) todennäköisyys on yleisen tulosäännön nojalla: Pr(A 1 A 2 A 3 A k ) = Pr(A 1 ) Pr(A 2 A 1 ) Pr(A 3 A 1 A 2 ) Pr(A k A 1 A 2 A 3 A k 1 ) = 1 2 3 k Puutodennäköisyyksien tulosääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä uudiagrammilla. Reitin k todennäköisyys on uutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan Pr(Reitti k) = 1 2 3 k L A 2 3 A 3 A k 1 k A k Reitti k 1 A 1 2 T (c) Ilkka Mellin (2004) 27 T (c) Ilkka Mellin (2004) 28 Yhteenlaskusääntö 1/2 Jos useita (lou-) tiloja yhdistetään yhdeksi taahtumaksi, näin saadun yhdistetyn taahtuman todennäköisyys saadaan määräämällä ko. tiloihin vievien reittien todennäköisyyksien summa. Sääntöä kutsutaan uutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännöksi. Yhteenlaskusäännön erustelu: (1) Puun eri isteisiin vievät reitit ovat toisensa oissulkevia. (2) Toisensa oissulkevien taahtumien yhteenlaskusäännön mukaan useista (lou-) isteistä yhdistämällä saatavan taahtuman todennäköisyys saadaan määräämällä ko. isteisiin vievien reittien todennäköisyyksien summa. Yhteenlaskusääntö 2/2 Yhdistetään satunnaisilmiön (lou-) tilat B 1, B 2,, B k yhdeksi taahtumaksi C = B 1 B 2 B k Olkoot tiloja B 1, B 2,, B k vastaavat reitit Reitti 1, Reitti 2,, Reitti k oska uun eri isteisiin vievät reitit ovat toisensa oissulkevia, taahtuman C todennäköisyys on toisensa oissulkevien taahtumien yhteenlaskusäännön nojalla: Pr(C) = Pr(Reitti 1 tai Reitti 2 tai tai Reitti k) = Pr(Reitti 1) + Pr(Reitti 2) + + Pr(Reitti k) T (c) Ilkka Mellin (2004) 29 T (c) Ilkka Mellin (2004) 30
T (c) Ilkka Mellin (2004) 31 Yhteenlaskusäännön havainnollistus Puuverkkojen käyttö äätöstilanteissa: simerkki 1/6 Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä uudiagrammilla: Pr(C) = Pr(Reitti 1) + Pr(Reitti 2) + Pr(Reitti k)... B 1 B 2 B k Reitti: 1 2... k C Tarkastellaan seuraavaa äätöstilannetta. Munuaistaudissa otilaan munuaiset loettavat vähitellen toimintansa, mikä johtaa otilaan kuolemaan. Oletetaan, että otilas voisi vaaasti valita hoidoksi joko dialyysin (munuaiskoneen) tai munuaisensiirron. umi hoidoista otilaan kannattaa valita, jos hoitojen tuloksista on käytettävissä seuraavalla kalvolla esitetyt tiedot? T (c) Ilkka Mellin (2004) 32 Puuverkkojen käyttö äätöstilanteissa: simerkki 2/6 Dialyysiotilaat: 68 % elää 5:n vuoden kuluttua 32 % on kuollut 5:n vuoden kuluttua Munuaisensiirtootilaat: 48 %:lla siirretty munuainen toimii normaalisti ja otilas elää 5:n vuoden kuluttua 43 %:lla siirretty munuainen ei toimi kunnolla ja he joutuvat dialyysiin 42 % näistä otilaista elää 5:n vuoden kuluttua 58 % näistä otilaista on kuollut 5:n vuoden kuluttua 9 % kuolee siirron aiheuttamiin komlikaatioihin Puuverkkojen käyttö äätöstilanteissa: simerkki 3/6 Merkitään: D = Potilasta hoidetaan dialyysilla S = Potilaalle tehdään munuaisensiirto SD = Siirtootilas joutuu dialyysiin = Potilas elää 5 vuoden kuluttua = Potilas on kuollut 5 vuoden kuluttua Hoitotulokset voidaan esittää seuraavina ehdollisina todennäköisyyksinä: Pr( D) = 0.68 Pr( D) = 0.32 Pr( S) = 0.48 Pr(SD S) = 0.43 Pr( S) = 0.09 Pr( SD) = 0.42 Pr( SD) = 0.58 T (c) Ilkka Mellin (2004) 33 T (c) Ilkka Mellin (2004) 34 Puuverkkojen käyttö äätöstilanteissa: simerkki 4/6 Potilasta kohtaavia vaihtoehtoja voidaan kuvata viereisellä diagrammilla, joka koostuu kahdesta uudiagrammista. Jos otilas haluaa maksimoida todennäköisyyden olla elossa 5:n vuoden kuluttua, hänen on verrattava reitin 1 määräämän taahtuman todennäköisyyttä reittien 3 ja 4 määräämän yhdistetyn taahtuman todennäköisyyteen. D 0.68 0.32 Reitti 1 Reitti 2 S 0.48 0.43 0.09 SD Reitti 3 0.42 0.58 Reitti 4 Reitti 5 Reitti 6 Puuverkkojen käyttö äätöstilanteissa: simerkki 5/6 Reitin 1 määräämän taahtuman todennäköisyys: Pr(Reitti 1) = 0.68 Reitin 3 määräämän taahtuman todennäköisyys: Pr(Reitti 3) = 0.48 Reitin 4 määräämän taahtuman todennäköisyys on uutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan: Pr(Reitti 4) = 0.43 0.42 = 0.1806 D 0.68 0.32 Reitti 1 Reitti 2 S 0.48 0.43 0.09 SD Reitti 3 0.42 0.58 Reitti 4 Reitti 5 Reitti 6 T (c) Ilkka Mellin (2004) 35 T (c) Ilkka Mellin (2004) 36
T (c) Ilkka Mellin (2004) 37 Puuverkkojen käyttö äätöstilanteissa: simerkki 6/6 Reittien 3 ja 4 määräämän yhdistetyn taahtuman todennäköisyys on uutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan: Pr(Reitti 3 tai Reitti 4) = 0.48 + 0.1806 = 0.6606 oska Pr(Reitti 3 tai Reitti 4) = 0.6606 < Pr(Reitti 1) = 0.68, otilaan kannattaa valita dialyysi. D 0.68 0.32 Reitti 1 Reitti 2 S 0.48 0.43 0.09 SD Reitti 3 0.42 0.58 Reitti 4 Reitti 5 Reitti 6 >> T (c) Ilkka Mellin (2004) 38 Systeemi ja sen toimintatodennäköisyys Avainsanat omonentti Toimintatodennäköisyys Toimintaverkko Tulosääntö Riiumattomuus Rinnankytkentä Sarjaankytkentä Systeemi Verkko Yhteenlaskusääntö Tehtävänä on määrätä systeemin toimintatodennäköisyys, kun seuraavat oletukset ätevät: (i) Systeemi koostuu komonenteista, jotka on kytketty joko sarjaan tai rinnan. (ii) Jokaisen komonentin toimintatodennäköisyys tunnetaan. (iii) Jokaisen komonentin toiminta on riiumatonta muiden komonenttien toiminnasta. T (c) Ilkka Mellin (2004) 39 T (c) Ilkka Mellin (2004) 40 Systeemit ja toimintaverkot Sarjaankytkentä ja rinnankytkentä Sarjaan ja rinnan kytketyistä komonenteista koostuvaa systeemiä voidaan kuvata toimintaverkolla. Sarjaan- ja rinnankytkennöistä koostuvan toimintaverkon toimintatodennäköisyys voidaan alauttaa sarjaan- ja rinnankytkentöjen toimintatodennäköisyyksiin. koostuvat sarjaan- ja rinnankytkennöistä. Alla olevat kytkentäkaaviot esittävät kahden komonentin ja muodostamia sarjaan- ja rinnankytkentöjä. Sarjaankytkentä: Rinnankytkentä: T (c) Ilkka Mellin (2004) 41 T (c) Ilkka Mellin (2004) 42
T (c) Ilkka Mellin (2004) 43 Sarjaankytkennän toiminta Rinnankytkennän toiminta Merkitään T = omonentti toimii F = omonentti ei toimi omonenttien ja sarjaankytkentä toimii, jos toimii ja toimii: ja T T T T F F F T F F F F Merkitään T = omonentti toimii F = omonentti ei toimi omonenttien ja rinnankytkentä toimii, jos toimii tai toimii tai molemmat toimivat: tai T T T T F T F T T F F F T (c) Ilkka Mellin (2004) 44 Sarjaan- ja rinnankytkentöjen toimintatodennäköisyydet 1/2 Määritellään taahtumat A 1 ja A 2 : A1 = "omonentti 1 toimii" A2 = "omonentti 2 toimii" Olkoot taahtumien A 1 ja A 2 todennäköisyydet: Pr( A1) = 1 Pr( A2) = 2 Sarjaankytkennän toimintatodennäköisyys on Pr( A1 A2) Rinnankytkennän toimintatodennäköisyys on Pr( A A ) 1 2 Sarjaan- ja rinnankytkentöjen toimintatodennäköisyydet 2/2 Määrätään komonenttien ja muodostamien sarjaan-ja rinnankytkentöjen toimintatodennäköisyydet komonenttien ja toimintatodennäköisyyksien avulla. Sarjaankytkentä: 1 2 Rinnankytkentä: 1 2 T (c) Ilkka Mellin (2004) 45 T (c) Ilkka Mellin (2004) 46 Sarjaankytkennän toimintatodennäköisyys 1/2 Sarjaankytkennän toimintatodennäköisyys 2/2 Oletetaan, että toimintaverkko koostuu komonenteista ja, jotka on kytketty sarjaan. Olkoot Pr( toimii) = 1 Pr( toimii) = 2 Oletetaan, että taahtumat toimii toimii ovat riiumattomia. Sarjaankytkentä: 1 2 Riiumattomien taahtumien tulosäännön erusteella sarjaankytkennän toimintatodennäköisyys on Pr( toimii ja toimii) = 1 2 Sarjaankytkentä: 1 2 T (c) Ilkka Mellin (2004) 47 T (c) Ilkka Mellin (2004) 48
T (c) Ilkka Mellin (2004) 49 Rinnankytkennän toimintatodennäköisyys 1/2 Rinnankytkennän toimintatodennäköisyys 2/2 Oletetaan, että toimintaverkko koostuu komonenteista ja, jotka on kytketty rinnan. Olkoot Pr( toimii) = 1 Pr( toimii) = 2 Oletetaan, että taahtumat toimii toimii ovat riiumattomia. Rinnankytkentä: 1 2 Yleisen yhteenlaskusäännön ja riiumattomien taahtumien tulosäännön erusteella rinnankytkennän toimintatodennäköisyys on Pr( toimii tai toimii) = Pr( toimii) + Pr( toimii) Pr( toimii ja toimii) = 1 + 2 1 2 Rinnankytkentä: 1 2 T (c) Ilkka Mellin (2004) 50 simerkki 1/3 simerkki 2/3 Oletetaan, että toimintaverkko koostuu 4:stä komonentista,, 3, 4 viereisen kaavion mukaisesti. omonentit ja on kytketty sarjaan. omonentit 3 ja 4 on kytketty sarjaan. omonenttiari ja on kytketty rinnan komonenttiarin 3 ja 4 kanssa. 3 4 Olkoon Pr( i toimii) =, i = 1, 2, 3, 4 Oletetaan lisäksi, että yhdenkään komonentin toiminta ei riiu muiden komonenttien toiminnasta. dellä esitetyn nojalla: Pr( toimii ja toimii) = = 2 Pr( 3 toimii ja 4 toimii) = = 2 Pr(Systeemi toimii) = 2 + 2 2 2 = 2 2 4 3 4 T (c) Ilkka Mellin (2004) 51 T (c) Ilkka Mellin (2004) 52 simerkki 3/3 uvio esittää esimerkin systeemin toimintatodennäköisyyttä f() = 2 2 4 yksittäisen komonentin toimintatodennäköisyyden funktiona. uviossa on myös suora f() =. uviosta nähdään: (i) f() on :n kasvava funktio. (ii) simerkin systeemin toimintatodennäköisyys voi olla suuremi, ienemi tai yhtä suuri kuin yksittäisen komonentin toimintatodennäköisyys. f ( ) Systeemin toimintatodennäköisyys f ( ) :n funktiona 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 T (c) Ilkka Mellin (2004) 53