Calkinin-Wiln jono 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5...

Transkriptio

1 Calkinin-Wiln jono Funktio f : X Y on bijektio, jos sillä on käänteisfunktio f : Y X. Joukko X on äärellinen, jos se on thjä tai jos on olemassa bijektio f : X {,,,..., n}. Joukko X on numeroituva, jos se on äärellinen tai jos on olemassa bijektio f : X Z +. Numeroituvuutta käsitellään esimerkiksi kirjassa []. Numeroituvan joukon alkiot voidaan siis numeroida antamalla jokaiselle joukon alkiolle x numero f(x), missä f on mainittu bijektio. Kätännössä tämä merkitsee sitä, että numeroituvan joukon alkiot voidaan asettaa jonoon järjestksessä x, x, x.... Luonnollisten lukujen joukko N on numeroituva, sillä N n n + Z + on vaadittu bijektio. Mös kokonaislukujen joukko Z on helo osoittaa numeroituvaksi, mutta on ehkä llättävää, että rationaalilukujen joukkokin on numeroituva. Tdmme tässä osoittamaan, että ositiiviset rationaaliluvut voidaan asettaa jonoon. Todistus erustuu kaavioon / / / 4/ 5/ 6/... / / / 4/ 5/ 6/... / / / 4/ 5/ 6/... /4 /4 /4 4/4 5/4 6/4... /5 /5 /5 4/5 5/5 6/5... /6 /6 /6 4/6 5/6 6/ josta nuolia seuraamalla saamme jonon,,,,,, 4,,.... ( )

2 Jokainen ositiivinen rationaaliluku esiint tässä jonossa äärettömän monta kertaa. Jättämällä alusta lähtien ois jokaisen jonossa jo esiintneen luvun saamme uuden jonon,,,,, 4,,, 4, 5, 5,..., jossa jokainen ositiivinen rationaaliluku esiint täsmälleen kerran. Edellä esitett herättää ksmksen, onko mahdollista muodostaa kaikki ositiiviset rationaaliluvut käsittävä jono turvautumatta mihinkään jälkikäteismaniulaatioihin. Tämä ongelma voidaan ratkaista monella eri tavalla, mutta ehkä elegantein ratkaisu on Calkinin ja Wiln [] konstruoima binäärinen uu, joka löt mös kirjasta [] Puu rakentuu kuvion osoittamalla tavalla siten, että jokaisella siinä olevalla luvulla on alla olevassa kaaviossa määritellt vasemman- ja oikeanuoleinen jälkeläinen, vj ja oj. + tai jos + x = x, niin x +x x +. Lukemalla uuta vaakariveittäin vasemmalta oikealle saamme Calkinin-Wiln jonon,,,,,,, 4,..., jossa jokainen ositiivinen rationaaliluku esiint täsmälleen kerran. Todistamme tämän väitteen. Todistus koostuu kolmesta erillisestä induktioeriaatteen sovelluksesta. Induktioeriaatetta käsitellään esimerkiksi kirjassa []. ( )

3 Lause. Calkinin-Wiln jonon jokainen luku on suistetussa muodossa. Todistus. Jonon ensimmäinen luku toteuttaa vaaditun ehdon. Jos / on jonossa ja st(, ) =, niin st(, + ) = st( +, ) =, joten mös x:n jälkeläiset ovat suistetussa muodossa. Induktioeriaatteen mukaan jonon kaikki luvut ovat suistetussa muodossa. Lause. Calkinin-Wiln jono sisältää kaikki ositiiviset rationaaliluvut. Todistus. Jonossa ovat kaikki rationaaliluvut /, joille st(, ) = ja + =, nimittäin luku /. Olkoon k kokonaisluku. Teemme induktiooletuksen, jonka mukaan jonossa ovat kaikki ositiiviset rationaaliluvut s/r, joille st(s, r) = ja s + r < k. Olkoon nt / sellainen ositiivinen rationaaliluku, että st(, ) = ja + = k. Jos <, niin on induktiooletuksen mukaan jonossa, sillä st(, ) = ja + = < k. Täten / on :n vj :nä jonossa. Samalla tavalla näemme, että jos >, niin / on jonoon kuuluvan luvun oj ja on täten jonossa. Induktioaskel on näin todistettu ja induktioeriaatteesta seuraa, että jonossa ovat kaikki ositiiviset rationaaliluvut /, joille st(, ) = ja + = k kaikilla k Z, k. Tämä kattaa kaikki ositiiviset rationaaliluvut. Lause. Calkinin-Wiln jonossa ei ole kahta samaa lukua. Todistus. Luku esiint jonossa vain kerran. Jokainen muu jonon luku on joko vj (< ) tai oj (> ), joten riittää, että todistetaan kaikki vj :t ja vastavasti kaikki oj :t keskenään erisuuriksi. Jonon 7 ensimmäistä lukua ovat keskenään erisuuria ja niissä osoittajan ja nimittäjän summa on 5. Olkoon k 5 kokonaisluku. Teemme induktio-oletuksen, jonka mukaan jonon kaikki luvut /, joille + < k, ovat keskenään erisuuria. Olkoot m/n ja r/s kaksi jonossa olevaa ehdot m + n = k ja r + s = k toteuttavaa vj :tä. Luvut m n m ja = r s r ovat jonossa ja induktio-oletuksen mukaan erisuuret, sillä st(m, n m) = st(m, n) = ja st(r, s r) = st(r, s) = sekä m + n m = n < k ja r + s r = s < k. Ehdosta x eli m n m r s r ( )

4 seuraa välittömästi, että m/n ja r/s ovat erisuuret. Samalla tavalla todistetaan, että kaikki oj :t, joiden osoittajan ja nimittäjän summa on k, ovat keskenään erisuuria. Jätämme lukijan ohdittavaksi, miksi samanuoleiset jälkeläiset a/b ja c/d ovat erisuuret, jos a + b c + d. Jos siis kaikki jonon luvut /, joille + < k, ovat keskenään erisuuria, niin mös kaikki jonon luvut u/v, joille u + v k ovat keskenään erisuuria kaikilla k Z, k. Induktioaskel on näin todistettu ja induktioeriaatteen mukaan kaikki jonon luvut ovat erisuuria. Johdamme louksi rekursiokaavan Calkinin-Wiln jonon lukujen laskemiseksi. Siihen tarvitsemme jonon luvun x korkeamman kertaluvun jälkeläisiä, mitkä määrittelemme ensin. Näimme edellä, että jos x on jonon termi, niin x:n oj on x+. Luvun x toisen kertaluvun oj on x:n oj :n oj eli (x + ) + = x +. Näin jatkamalla saamme x:lle kertalukua k olevan oj :n; se on x + k. Koska x:n vj on x/( + x), on x:n toisen kertaluvun vj x/( + x) ja leisesti kertalukua k oleva x:n vj on x/( + kx). Sijoittamalla saatuihin kaavoihin k = 0 saamme x:n nollannen kertaluvun jälkeläiset. Kumikin niistä on luku x itse. Puun rakenteesta havaitsemme, että ensimmäistä termiä lukuunottamatta jonon mielivaltainen termi x on erään jonossa aikaisemmin esiintneen termin vasemmanuoleisen jälkeläisen k:nnen kertaluvun oj, missä k N. Jos x ei ole uun minkään vaakarivin oikeassa reunassa, niin x:n oikealla uolella oleva luku, luvun x seuraaja jonossa, on uolestaan jo mainitun termin oikeanuoleisen jälkeläisen k:nnen kertaluvun vj. Kuvio havainnollistaa asiaa k + +k(+) Luvun + + k seuraaja on siis + + k( + ). 4 ( )

5 Merkitsemme luvun x kokonaisosaa ja murto-osaa smboleilla [x] ja {x}. Koska k +, on [x] = k ja {x} =, joten saamme x:n seuraajan + + muotoon + + k( + ) = k + + = k + + = [x] + {x}. Jätämme lukijan todennettavaksi, että johdettu kaava antaa x:n seuraajan mös silloin, kun x on uun oikeassa reunassa. Seuraajakaavan avulla saamme määriteltä Calkinin-Wiln jonon (x n ) rekursiivisesti: x = ja x n+ = [x n ] + {x n } kaikilla n Z +. Kirjallisuutta. M. Aigner, G. Ziegler, Proofs from THE BOOK, Third edition, Sringer J. Merikoski, A. Virtanen, P. Koivisto, Johdatus diskreettiin matematiikkaan, WSOY N. Calkin ja H. Wilf, Recounting the rationals. Amer. Math. Monthl 07 (000), The On-Line Enckloedia of Integer Seuences, htt:// njas/seuences/ ( )