Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie kekiarvo, Frekvei, Frekveijakauma, Geometrie kekiarvo, Harmoie kekiarvo, Hitogrammi, Itervalliateikko, Järjetyateikko, Järjetytuuluvut, Kekeie raja-arvolaue, Kekiarvo, χ -jakauma, Kvatitatiiviet muuttujat, Kvalitatiiviet muuttujat, Laatueroateikko, Luokiteltu frekvei-jakauma, Makimi, Mediaai, Miimi, Nomiaaliateikko, Normaalijakauma, Ordiaaliateikko, Oto, Otohajota, Otojakauma, Ototuuluku, Otovariai, Pylvädiagrammi, Stadardipoikkeama, Suhdeateikko, Suhteellie frekvei, Tilatollie muuttuja, Vaihteluväli, Vaihteluväli pituu, Variai, Välimatka-ateikko, Ykikertaie atuaioto 8.. Alla o lueteltu joukko tilatolliia muuttujia.. Maikoide C-vitamiiipitoiuu; ykikkö: mg/00 g. Alvari aukiolta löydety kavi laji 3. Paie, joka vaaditaa teräkie äiliö murtumiee; ykikkö: kg/cm 4. Hekilöide reaktio väitteeee Suome o liityttävä NATO:o mitattua ateikolla: täyi eri mieltä, yhde tekevää, täyi amaa mieltä 5. Jokereide ijoitu jääkiekkoliigaa; ateikkoa,, 3, 6. Teekkari koulutuohjelma 7. Teekkari älykkyyoamäärä äo-piteiä; ykikkö äo-pito 8. Teekkari pitemäärä kuri. välikokeea; ateikkoa 0,,,, 30 9. Letokoee opeu; ykikkö: km/h (a) Mitkä ovat muuttujie -9 mitta-ateikot? Mitkä muuttujita -9 ovat kvalitatiiviia ja mitkä kvatitatiiviia? (c) Mitkä muuttujita -9 ovat dikreettejä ja mitkä jatkuvia? Ratkaiu: (a) Laatueroateikolliia muuttujia:, 6 Järjetyateikolliia muuttujia: 4, 5, 7, 8 Suhdeateikolliia muuttujia:, 3, 9 TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) /4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Kvalitatiiviia muuttujia:, (4), (5), 6 Kvatitatiiviia muuttujia:, 3, (4), (5), 7, 8, 9 Kvalitatiivite ja kvatitatiivite muuttujie välimaatoa olevat järjetyateikolliet muuttujat o merkitty ulkuihi. (c) Dikreettejä muuttujia:, 4, 5, 6, 7, 8 Jatkuvia muuttujia:, 3, 9 Mitta-ateikot Mittau o tehty omiaali- eli laatueroateikolla, jo mittau kertoo mihi luokkaa mittauke kohde kuuluu. Mittau o tehty ordiaali- eli järjetyateikolla, jo mittau kertoo oko mittauke kohteella mitattavaa omiaiuutta eemmä tai vähemmä kui jollaki toiella kohteella. Mittau o tehty itervalli- eli välimatka-ateikolla, jo mittau kertoo kuika paljo kahde mitattava kohtee omiaiuudet eroavat toiitaa. Mittau o tehty uhdeateikolla, jo mittau kertoo kuika mota kertaa eemmä tai vähemmä mittauke kohteella o mitattavaa omiaiuutta kui jollaki toiella kohteella. Kvalitatiiviet ja kvatitatiiviet muuttujat Omiaiuutta ja itä kuvaavaa muuttujaa kututaa kvalitatiivieki, jo mittauke kohteet voidaa luokitella mittauke peruteella toiitaa eroavii kategorioihi tai luokkii. Kvalitatiiviia omiaiuukia kuvataa laatueroateikolliilla muuttujilla. Omiaiuutta ja itä kuvaavaa muuttujaa kututaa kvatitatiivieki, jo mittau tuottaa omiaiuude määrällie arvo. Kvatitatiiviia omiaiuukia kuvataa välimatka- tai uhdeateikolliilla muuttujilla. Dikreetit ja jatkuvat muuttujat Mitattavaa omiaiuutta vataava muuttuja o dikreetti, jo e voi aada vai erilliiä arvoja. Dikreettejä muuttujia ovat eimerkiki kaikki laatueroateikolliet, järjetyateikolliet ja lukumäärämuuttujat. Mitattavaa omiaiuutta vataava muuttuja o jatkuva, jo e voi aada kaikki arvot joltaki väliltä. Tällaiia muuttujia ovat eimerkiki ueimmat fyikaaliet uureet kute pituu, pitaala, tilavuu, paio, aika, opeu ja paie ekä mutta myö moet talouelämää kuvaavat uureet kute rahamäärä ja korko. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) /4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 8.. Erää talo aukkailla o euraavat kuukauitulot ( /kk): 000 9400 000 3000 400 500 800 8900 0300 6000 400 900 300 4300 5800 600 700 8900 500 000 300 4000 500 6000 00 0800 900 700 4300 38000 500 9600 0900 000 300 500 Määrää aieitota euraavat tuuluvut: (a) miimi, makimi vaihteluväli, vaihteluväli pituu (c) mediaai Ratkaiu: Kaikki määrättäviki pyydetyt tuuluvut ovat järjetytuulukuja tai iihi perutuvia tuulukuja. Järjetytuulukuje määräämitä varte havaiot o järjetettävä uuruujärjetykee pieimmätä uurimpaa: 4300 500 700 800 8900 900 9600 000 000 0300 0800 0900 00 400 000 300 900 300 300 4000 4300 500 500 5800 6000 600 700 8900 9400 000 3000 400 500 6000 38000 500 (a) Miimi ja makimi: Mi = 4300, Ma = 500 Vaihteluväli: (Mi, Ma) = (4300, 500) Vaihteluväli pituu: Ma Mi = 500 4300 = 46800 iitä (c) Etitää havaitoje mediaai Me. Mediaai Me jakaa havaitoaieito kahtee yhtä uuree oaa ite, että puolet havaitoarvoita, jotka eivät ole yhtä uuria kui mediaai, ovat mediaaia pieempiä, TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 3/4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A ja puolet iitä havaitoarvoita, jotka eivät ole yhtä uuria kui mediaai, ovat mediaaia uurempia. Oletetaa, että havaitoa o järjetetty uuruujärjetykee pieimmätä uurimpaa. (i) (ii) Jo o parito, ii mediaaiki valitaa havaitoarvo, joka löytyy paikata ( + )/ Jo o parillie, mediaaiki valitaa kahde kekimmäie havaio aritmeettie kekiarvo. Havaitoje lukumäärä o tää parillie, jote Me = (300 + 300)/ = 300 8.3. Muodota tehtävä aieitota luokiteltu frekveijakauma, joka luokkaväleiä ovat (4000, 000] (00, 8000] (8000, 60000] Määrää myö frekveijakaumaa vataava hitogrammikuvio uorakaiteide korkeudet, ku luokkaväliä [4000, 000] vataava uorakaitee korkeudeki valitaa 5 ykikköä. Hahmottele myö ko. hitogrammikuvio ruudullielle paperille. Miä luokaa o jakauma moodi? Ratkaiu: Hitogrammikuvio muodotuu uorakaiteita, joide pita-alat uhtautuvat toiiia kute vataavat luokkafrekveit (tai uhteelliet luokkafrekveit). Luokkaväli Luokkafrekve i Suorakaitee korkeu (ykikköä) (4000, 000] 5 5 (000, 8000] 9 9/ = 9.5 (8000, 60000] /4 = 0.5 () Valitaa luokkavälii (4000, 000] liittyvä uorakaitee korkeudeki 5 ykikköä. () Luokkaväli (000, 8000] o kaki kertaa pitempi kui luokkaväli (4000, 000]. Siki luokkavälii (000, 8000] liittyvä uorakaitee korkeu aadaa jakamalla luokkaväliä vataava frekvei 9 luvulla. (3) Luokkaväli (8000, 60000] o eljä kertaa pitempi kui luokkaväli (4000, 000]. Siki luokkavälii (8000, 60000] liittyvä uorakaitee korkeu aadaa jakamalla luokkaväliä vataava frekvei luvulla 4. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 4/4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Alla oleva kuvio eittää yo. luokiteltua frekveijakaumaa vataavaa hitogrammia. 5 f/ 0 5 0 4000 000 8000 60000 Jakauma moodi o luokaa (4000, 000], koka iiä hitogrammi aavuttaa makimia. Huomaa, että moodi ei ole luokaa (000, 8000], vaikka itä vataava frekvei o uuri. Huomautukia: (i) Hitogrammia uorakaiteide pita-alat eivät ii korkeudet ovat uhteea luokkafrekveeihi. (ii) Oikea laatu pytyakelille o frekvei/ : Vaaka-akeli laatu: Pytyakeli laatu: frekvei/ Suorakaitee pita-ala: frekvei/ = frekvei (iii) Hitogrammia uorakaiteide korkeudet ovat uhteea luokkafrekveeihi vai, jo luokitu o taavälie. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 5/4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 8.4. Määrää tehtävä aieito kahde eimmäie arakkee 8 luvuta aritmeettie kekiarvo, otovariai ja otohajota. Ratkaiu: Lakutoimituket voidaa tehdä kahdella eri tavalla. Alla oleva tauluko muodotamiea o käytetty apua MS Ecel -ohjelmaa. Tuloket: Aritmeettie kekiarvo = 556 Otovariai = 87587 Otohajota = 900 Jo ko. tuulukuje lakemieki laaditaa tietokoeohjelma, lakutoimituket voidaa järjetää lakutavaa ii, että havaiot käydää läpi vai kerra, ku taa lakutavaa havaiot o käytävä läpi kaki kertaa. Se ijaa lakutava kaavat ovat umeerieti vakaampia kui lakutavaa. Palkka i -Ka (-Ka)^ ^ 000 737.5 50943906.5 40400000 6000 3037.5 69976406.3 676000000 3 500-776.5 6056406.5 7040000 4 700-576.5 3306406.5 5840000 5 9400 6437.5 444406.5 376360000 6 400-56.5 44406.5 9960000 7 000-86.5 893906.5 000000 8 4300-866.5 75038906.5 8490000 Summa 03700 0 44498750 78570000 Ka = 96.5 Tapa : Var = 630750 Hajota = 794.74 Tapa : Var = 630750 Hajota = 794.74 TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 6/4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Kaavat tehtävää 4: Lakutapaa liittyvät kaavat: = i= = i = i i= ( ) Lakutapaa liittyvät kaavat: = i= = i i= = i Tehtäviä 5 ja 6 ooitetaa, että aritmeettie kekiarvo ei ole aia käypä tuuluku. 8.5. Olet ottaut 0000 euro laia, jota ei aa lyhetää kahde eimmäie vuode aikaa. Laiaopimuke mukaa korko o. vuotea 0 % ja. vuotea 0 %, jolloi takaii makettava laiapääoma kavaa kahdea vuodea % (lake ). Oletetaa, että laiaopimuta muutetaa ii, että korkoa käytetää koko aja amaa korkoa, mutta tämä vakioa pidettävä korko valitaa ii, että takaii makettava laiapääoma ei kava eempää kui alkuperäie opimuke mukaa. (a) Huomautu: Totea, että / % ei ole uude opimuke vakiokorko. Totea, että oikea vakiokorko aadaa lakutoimitukella (.. ) 00 % -kohdaa ovelletaa geometrie kekiarvo kaavaa: Poitiivite lukuje,,, geometrie kekiarvo o G = TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 7/4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Ratkaiu: Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.) 0000 = 000 Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.) 000 = 300 Laiapääoma o kavaut kahdea vuodea 3 %. Sii = 3 %. (a) / % = 6 % 6 %: korolla: Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.6) 0000 = 600 Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.6) 600 = 3456 Laiapääoma o kavaut kahdea vuodea 34.56 % 3 %. (.. ) 4.89 % 4.89 %: korolla: Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.489) 0000 = 489 Laiapääoma. vuode lopua: ( + 0.489) 600 = 300 Laiapääoma o kavaut kahdea vuodea 3 %. 8.6. Paikkakutie A ja B välimatka o 0 km. Hekilö ajaa A:ta B:he kekiopeudella 60 km/h ja B:tä A:ha kekiopeudella 0 km/h. (a) Huomautu: Totea, että kekiopeu edetakaiella matkalla ei ole (60+0)/ = 90 km/h Totea, että oikea kekiopeu aadaa lakutoimitukella + 60 0 -kohdaa ovelletaa harmoie kekiarvo kaavaa: Poitiivite lukuje,,, harmoie kekiarvo H o H = i= i TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 8/4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Ratkaiu: A: ja B: välimatka: 0 km Ajoaika A:ta B:he (60 km/h): 0/60 = h Ajoaika B:ta A:ha (0 km/h): 0/0 = h Matka edetakaii: 40 km Ajoaika edetakaii: + = 3 h Kekiopeu edetakaiella matkalla: 40/3 = 80 km/h (a) 90 km/h 80 km/h = 80 km/h + 60 0 8.7. (a) Koe valmitaa kuulalaakeri kuulia, joide halkaiijat vaihtelevat atuaieti oudattae ormaalijakaumaa parametrei µ = 0 mm, σ = 0.0 mm Kuulie joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 0. Olkoot X ja kuulie halkaiijoide aritmeettie kekiarvo ja otovariai otokea. Mitkä ovat aritmeettie kekiarvo X ja otovariai muuoke ( ) /σ jakaumat otokea? Ääetäjitä 5 % kaattaa puoluetta ABC. Ääetäjie joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 000. Mikä o puoluee ABC kaattajie uhteellie ouude approkimatiivie jakauma otokea? Ratkaiu: (a) Oletetaa, että havaiot X, X,, X muodotavat ykikertaie atuaiotoke ormaalijakaumata N(µ, σ ). Tällöi havaiot X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ): X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 9/4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo o X X i i = = ja otovariai o = ( Xi X ) i= Ym. oletukie pätieä aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa: otokea σ X N µ, ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa: Nyt ( ) σ µ = 0 mm σ = 0.0 mm χ ( ) σ = 0.000 mm Site kuulie halkaiijoide aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa N(µ, σ /) parametreiaa µ = 0 mm σ 0.000 = = 0.0000 mm 0 ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa vapauatei = 0 = 9 Huomaa, että havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo X variai o aia pieempi kui havaitoje variai, jo otokoko >. Liäki aritmeettie kekiarvo X variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. Olkoo A S joki otoavaruude S tapahtuma ja olkoo p = Pr(A) q = Pr(A) = p Poimitaa otoavaruudeta S ykikertaie atuaioto, joka koko o. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 0/4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Olkoo f A-tyyppite alkioide frekvei eli lukumäärä otokea ja f pˆ = vataava uhteellie frekvei. Yo. oletukie pätieä uhteellie frekvei ˆp oudattaa uuria otokia approkimatiivieti ormaalijakaumaa: Nyt p pq ˆ a N p, A = Puoluee ABC kaattajie muodotama joukko kaikkie ääioikeutettuje joukoa S p = Pr(A) = Pr(Satuaieti valittu ääioikeutettu kaattaa puoluetta ABC) = 0.5 q = Pr(A c ) = Pr(A) = p = 0.75 Site puoluee ABC kaattajie uhteellie frekvei ˆp oudattaa otokea approkimatiivieti ormaalijakaumaa parametreiaa p = 0.5 pq 0.5 0.75 0.875 = = = 0.000875 000 000 Huomaa, että uhteellie frekvei ˆp variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. 8.8. (a) Miete pituu eräää maaa vaihtelee atuaieti oudattae ormaalijakaumaa parametrei µ = 80 cm, σ = 5 cm Miete joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 00. Olkoot X ja pituukie aritmeettie kekiarvo ja otovariai otokea. Mitkä ovat aritmeettie kekiarvo X ja otovariai muuoke ( ) /σ jakaumat otokea? Koee valmitamita muttereita 5 % o vialliia. Muttereide joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko = 00. Mikä o viallite muttereide uhteellie ouude approkimatiivie jakauma otokea? TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) /4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Ratkaiu: (a) Oletetaa, että havaiot X, X,, X muodotavat ykikertaie atuaiotoke ormaalijakaumata N(µ, σ ). Tällöi havaiot X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ): X, X,, X X i ~ N(µ, σ ), i =,,, Havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo o X X i i = = ja otovariai o = ( Xi X ) i= Ym. oletukie pätieä aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa: otokea σ X N µ, ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa: ( ) σ Tää µ = 80 cm σ = 5 cm σ = 5 cm χ ( ) Site pituukie aritmeettie kekiarvo X oudattaa otokea ormaalijakaumaa N(µ, σ /) parametreiaa µ = 85 cm σ 5 = = 0.5 cm 00 ja atuaimuuttuja ( ) /σ oudattaa otokea χ -jakaumaa vapauatei = 00 = 99 Huomaa, että havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo X variai o aia pieempi kui havaitoje variai, jo otokoko >. Liäki aritmeettie kekiarvo X variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) /4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Olkoo A S joki otoavaruude S tapahtuma ja olkoo p = Pr(A) q = Pr(A) = p Poimitaa otoavaruudeta S ykikertaie atuaioto, joka koko o. Olkoo f A-tyyppite alkioide frekvei eli lukumäärä otokea ja f pˆ = vataava uhteellie frekvei. Yo. oletukie pätieä uhteellie frekvei ˆp oudattaa uuria otokia approkimatiivieti ormaalijakaumaa: Nyt p pq ˆ a N p, A = Viallite muttereide muodotama joukko kaikkie koee valmitamie muttereide joukoa S p = Pr(A) = Pr(Satuaieti valittu mutteri o viallie) = 0.05 q = Pr(A c ) = Pr(A) = p = 0.95 Site viallite muttereide uhteellie frekvei ˆp oudattaa otokea approkimatiivieti ormaalijakaumaa parametreiaa p = 0.05 pq 0.05 0.95 0.0475 = = = 0.000475 00 00 Huomaa, että uhteellie frekvei ˆp variai pieeee, jo otokoo aetaa kavaa. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 3/4
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Huomautukia tehtävii 7 ja 8: () Tehtävie 7 ja 8 lähtökohtaa ovat oletuket tutkimuke kohteea oleva atuaimuuttuja jakaumata ja e parametreita perujoukoa. () Tehtävie ideaa o kertoa iitä, millaiia ovat tavaomaite ototuulukuje jakaumat otokea, jo perujouko jakaumaa ja e parametreja kokevat oletuket pätevät. (3) Ototuulukuje jakaumia kokevat tuloket ovat kuiteki iiä mieleä epäoperatioaaliia, että käytäöä perujouko parametrit ei yleeä tueta. (4) Jo perujouko parametreja ei tueta, e pyritää etimoimaa eli arvioimaa otoke peruteella; k. lukua Tilatollite mallie parametrie etimoiti. (5) Perujouko parametreita tehtyjä oletukia voidaa tetata tilatollieti otoke peruteella; k. lukua Tilatollite hypoteeie tetau. (6) Myö perujouko jakauma tyyppiä kokevia oletukia voidaa tetata tilatollieti otoke peruteella; k. lukua Yhteeopivuude, homogeeiuude ja riippumattomuude tetaamie. TKK/SAL @ Ilkka Melli (004) 4/4