KJR-C1001: Statiikka L3 Luento 27.2.2018: Jäykän kappaleen tasapaino Apulaisprofessori Konetekniikan laitos
Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon (ja laskuharjoitusten) jälkeen opiskelija Osaa ratkaista kappaleen tukireaktiot ja muodostaa tasapainoyhtälöt. Osaa soveltaa vapaakappalekuvaa kappaleen tasapainon tarkastelussa. Tietää mikä on staattisesti määrätty rakenne. Luento perustuu kurssikirjan Hibbeler & Yap lukuun 5 Equilibrium of a Rigid Body
Mikä on jäykkä kappale? Kappale, joka ei muuta muotoaan edes sitä kuormitettaessa: koostuu ylinumeroituvasta määrästä partikkeleita, joiden välinen etäisyys ei muutu. Mekaniikassa käytetty idealisoitu malli (seuraava askel ylöspäin partikkelista), jonka käytöt yksinkertaistaa asioita (yleensäkin rakennemateriaalien muodonmuutokset ovat hyvin pieniä). Käyttökelpoinen malli, haluttaessa selvittää voimien ulkoiset vaikutukset kappaleeseen, tai vaikka kappaleen tukiin kohdistuvia voimat.
Taustaa jäykän kappaleen tasapainolle Edellinen luento: samanarvoisten voimasysteemien merkityksen, sekä voimasysteemien yksinkertaistamisen resultanttivoimaksi ja momentiksi. Voimasysteemien samanarvoisuus: Kaksi samanarvoista systeemiä aiheuttavat kappaleeseen saman liikkeen tai samat tukireaktiot. Tällä luennolla ratkaistaan tukireaktiot: kuormitettuun kappaleeseen tuennan takia kohdistuvia ulkoisia tuntemattomia voimia, jotka piirretään vapaakappalekuvioon ja ratkaistaan tasapainoyhtälöiden avulla
Kuormitukset ja tukireaktiot Kappaleeseen kohdistuvat jaetaan kahteen ryhmään: (1) kuormituksiin ja (2) tukireaktioihin Tukireaktiot ovat kappaleen tuennan aiheuttamia voimia: Esim: jos tuki estää siirtymän suuntaan y, tuki aiheuttaa kappaleeseen voiman suuntaan y. Esim: Jos tuki estää rotaation, se aiheuttaa kappaleeseen momentin.
Erilaisten tukien tukireaktioita Niveltuki: estää tuetun pisteen liikkumisen (translaation) mutta ei pyörimistä (rotaatio) aiheuttaa liikkeen estävän tukivoiman mutta ei momenttia. Huom! kurssikirjassa on taulukko liittyen rakenteiden tuentatapoihin!
Erilaisten tukien tukireaktioita Jäykkä tuenta: estää tuetun pisteen liikkumisen (translaation) ja pyörimisen (rotaatio) aiheuttaa sekä liikkeen estävän tukivoiman että rotaation estävän momentin. Huom! kurssikirjassa on taulukko liittyen rakenteiden tuentatapoihin!
Hibbeler & Yap: Table 5-1
vaijerin nivelliitos
palkin tuki
siltapalkin rullatuki
sauvan nivelliitos
arinarakenteen jäykkä liitos
Vapaakappalekuva Vapaakappalekuvan muodostaminen 1. Sisäisiä voimia ei piirretä vapaakappalekuvaan (ei vaikutusta liiketilaan / tukivoimiin). 2. Jos kappaleen paino otetaan huomioon, se piirretään pistevoimana kappaleen massakeskipisteeseen. 3. Ennen vapaakappalekuvan piirtämistä, todellisesta rakenteesta tehdään idealisoitu malli.
Vapaakappalekuva 1. Piirretään tarkasteltavan kappaleen ääriviivat erotettuna muusta, sitä ympäröivästä systeemistä. 2. Piirretään kuvaan kaikki ulkoiset voimat ja momentit: kuormitukset, tukivoimat sekä kappaleen paino (jos oleellinen). 3. Huomioidaan kunkin voiman ja momentin suunta ja suuruus, sekä tunnettujen että tuntemattomien. 4. Voidaan merkitä myös oleelliset etäisyydet yms. ( ) T 2 W T 1
Vapaakappalekuva Oletus tässä (harvoin): palkin massa huomioitava!
Vapaakappalekuva
Vapaakappalekuva
Vapaakappalekuva G G
Vapaakappalekuva (massa oletettu tunnetuksi)
Esimerkki Kuvan ristikko on tuettu kiinteällä niveltuella pisteestä A ja horisontaalisesti siirtyvällä niveltuella pisteestä B. Piirrä ristikon vapaakappalekuva. Tarkastellaan koko ristikkoa, kuin se olisi jäykkä kappale. Kiinteä niveltuki pisteessä A aiheuttaa kaksi tukireaktiota! " ja! #. Siirtyvä niveltuki pisteessä B aiheuttaa yhden, pystysuoran, tukireaktion $ #. $ #! "! #
Jäykän kappaleen tasapaino Miten tuntemattomat tukireaktiot edellä ratkaistaan? Käytetään tasapainoyhtälöitä! " = Σ! = % (' " ) ) = Σ' ) = % Tasossa on yleensä helpointa jakaa voimat x- ja y-akselin suuntaisiin komponentteihin. Σ* + = 0 Σ* - = 0 Σ. ) = 0
Esimerkki Vapaakappalekuva: Kuvan ristikko on tuettu kiinteällä niveltuella pisteestä A ja horisontaalisesti siirtyvällä niveltuella pisteestä B. Piirrä ristikon vapaakappalekuva ja ratkaise tukireatktiot. / 0 /. -. Tasapainoyhtälöt (tässä 3 tuntematona & 3 yhtälöä): + Σ4 0 = 6 0 + 5kN cos 45 = 0 6 0 = 3.54 kn + ΣD E = 5kN 4m 10kN((3 2 + 2) m)) + H. ((3 2 + 6) m) = 0 H. = 8.05 kn 6m cos 45 = 3 2 m + Σ4. = 6. 5kN sin 45 10kN + 8.047kN = 0 6. = 5.49 kn
Ratkaisujen yksinkertaistaminen kahden ja kolmen voiman osat: jotta tasapaino toteutuisi Kahden voiman osassa voimat vaikuttavat kahdessa pisteessä: kahden voima kappaleessa kahden voiman on oltava yhtä suuria ja vastakkaissuuntaisia, sekä samalla vaikutussuoralla (vaikutuspisteet yhdistävä suora). Kolmen voiman osassa vaikuttaa kolme voimaa kolmessa pisteessä: Kolmen voiman osassa momenttitasapaino toteutuu vain, jos voimien vaikutussuorat leikkaavat jossain pisteessä, tai jos kaikki voimat ovat samansuuntaisia.
Esimerkki Piirretään rakenteen osien vapaakappalekuvat (Huomaa, että sauva CD on kahden voiman osa)! "# Määritä tukireaktiot tuessa A sekä palkkiin kohdistuva voima pisteessä C.! "# $ & $ %! "# Ratkaistaan tuntemattomat voimat palkin AB vapaakappalekuvasta tasapainoyhtälöiden avulla: + Σ+, = 0! "# sin 45 (1.5m) 4kN(3m) = 0! "# = 11.3 kn
Esimerkki Ratkaistaan tuntemattomat voimat palkin AB vapaakappalekuvasta tasapainoyhtälöiden avulla. Määritä tukireaktiot tuessa A sekä palkkiin kohdistuva voima pisteessä C. $ & $ %! "# + Σ! & = 0: $ & +! 56 (cos 45 ) = $ & + 11.3 kn(cos 45 ) = 0 $ & = 8 kn + Σ! % = 0: $ % +! 56 sin 45 4 kn = $ % +11.3 kn sin 45 4 kn = 0 $ % = 4 kn
Kolmiulotteiset kuormitukset Kolmiulotteiset ongelmat ratkaistaan samalla tavalla kuin kaksiulotteiset: Piirretään vapaakappalekuva ja ratkaistaan tasapainoyhtälöt Σ" = Σ$ % & + Σ$ ( ) + Σ$ * + =, Σ-. = Σ/ % & + Σ/ ( ) + Σ/ * + =, Σ$ % = 0 Σ$ ( = 0 Σ$ 1 = 0 Σ/ % = 0 Σ/ ( = 0 Σ/ * = 0 Huom! Nyt tasapainoyhtälöitä tulee kuusi kappaletta!
Hibbeler & Yap: Table 5-2
pallonivel
liukulaakeri
niveltuki
Esimerkki Piirretään vapaakappalekuva ja ratkaistaan tuntemattomat tukireaktiot kuuden tasapainoyhtälöiden avulla. Ratkaise oheisen rakenteen reaktiovoimat laakerissa A ja vaijerissa BC kuvan kuormitustilanteessa. Σ" # = 0 Σ" & = 0 Σ" ' = 0 Σ( # = 0 Σ( & = 0 Σ( ) = 0
Esimerkki åf X : A X = 0; A X = 0 Ratkaise oheisen rakenteen reaktiovoimat laakerissa A ja vaijerissa BC kuvan kuormitustilanteessa. åf Y : - åf Z : A Z + F BC 80 = 0; åm Y : 80 ( 1.5 ) + F BC ( 3.0 ) = 0; åm X : M AX + 40 (6) 80 (6) = 0 ; (M A ) X = 240 kn m åm Z : M AZ = 0 ; (M A ) Z = 0 F BC = 40 kn, A Z = 40 kn
Laakerit ja saranat Yksittäiset laakerit ja saranat sallivat liikkeen yhden akselin ympäri ja estävät liikkeet muiden akselien ympäri. On kuitenkin tapana asentaa useita laakereita siten, että yksittäiseen laakeriin ei kohdistu tukimomenttia vaan ainoastaan tukivoima.
Staattisesti määrätty rakenne (luvut 5.7 & 6.6) Määritellään seuraavaksi staattisesti määrätty rakenne ja tuennan riittävyys Harjoitellaan kehien ja koneiden vapaakappalekuvien piirtämistä ja tukireaktioiden ratkaisemista
Staattisesti määrätty rakenne (luvut 5.7 & 6.6) Tasotapauksessa tasapainoyhtälöitä on kolme kappaletta Σ" # = 0 Σ" & = 0 Σ' ( = 0 Statiikan keinoin on siis tasotapauksessa mahdollista ratkaista kolme tuntematonta. Jos tuntemattomia on enemmän (tukia on enemmän kuin tasapainon toteutuminen edellyttää) kappale on staattisesti määräämätön. Ylimääräiset tukireaktiot on mahdollista ratkaista, mutta ei statiikan keinoin. Niiden ratkaisemiseksi tarvitaan lujuusopin keinoja.
Staattisesti määrätty rakenne (luvut 5.7 & 6.6) Tuntemattomia voi olla yhtä monta kuin tasapainoyhtälöitä, mutta kappale ei silti ole tasapainossa: tuenta on riittämätön Käytännössä näin on jos Tukivoimien vaikutussuorat leikkaavat pisteessä. Tukivoimien vaikutussuorat leikkaavat saman akselin (3D). Kaikki tukivoimat ovat samansuuntaisia (ja poikkeavat ulkoisten voimien suunnasta). Σ" # 0 Σ" #& 0 Σ' ( 0 Voiko tällaisia tuentoja esiintyä käytännössä?
Kehät ja koneet Rakenteita, jotka koostuvat usein nivelillä yhdistetyistä osista: Kehät kannattelevat kuormia. Koneet siirtävät voimia ja muuttavat niiden vaikutuksia Statiikan keinoilla voidaan ratkaista koneiden ja kehien osien voimat. Sen jälkeen osat voidaan mitoittaa
Rakenteessa vaikuttavien voimien ratkaiseminen 1. Todellisesta rakenteesta tehdään malli, johon merkitään kiinnostavat pisteet 2. Rakenne jaetaan osiin ja jokaiselle kiinnostavalle osalle piirretään vapaakappalekuva Piirretään yksinkertaistettu kuva (ääriviivat). Merkitään ulkoiset voimat (kuormitukset ja tukireaktiot, tunnetut ja tuntemattomat) ja momentit. Tunnistetaan kahden voiman osat helpottamaan laskemista. Merkitään myös mittoja mikäli tarpeen (momentit). 3. Ratkaistaan tuntemattomat voimat tasapainoyhtälöistä.
Rakenteessa vaikuttavien voimien ratkaiseminen
Esimerkki Piirrä vapaakappalekuvat osille AB ja BC. Ratkaise kuvan rakenteen tukivoimat tuella C. Sauva AB on kahden voiman osa: " #$ Palkki CB: % '! " #$ % & " #$
Esimerkki! Ratkaistaan tuntemattomat voimat: Kaikki tuntemattomat saadaan ratkaistua palkin BC vapaakappalekuvasta. + Σ8 9 = 0 Lasketaan sauvan AB kulma: 1.333! = tan &' 1 = 53.12. /0. /0 (sin 53.12 ) 3m + 400N 2m + 500N(1m) = 0. /0 = 541.7 N 1 3 Lasketaan voimatasapainot x- ja y-suuntiin:. /0 1 2 + Σ. 3 = 0 541.7 N(cos 53.1232 ) 1 3 = 0 1 3 = 325 N. /0 + Σ. 2 = 541.7 N(sin 53.1232 ) 400 500 + 1 2 = 0 1 2 = 467 N
Esimerkki Piirretään pihtien toisen puoliskon vapaakappalekuva. Määritä pihtien aiheuttama puristusvoima putkeen B. Määritä myös niveleen A kohdistuvan resultanttivoiman suuruus. # $ # %! " Puristusvoima putkessa B voidaan laskea momenttitasapainosta nivelen A ympäri. + Σ* + = 0 100N 250mm! " (50mm) = 0! " = 500 N
Esimerkki! " Määritä pihtien aiheuttama puristusvoima putkeen B. Määritä myös niveleen A kohdistuvan resultanttivoiman suuruus. # $ # % Nivelessä A vaikuttavan voimaresultantin komponentit saadaan voimatasapainoyhtälöistä. + Σ* $ = 0 + Σ* % = 0 # $ + 500 N(sin 45 ) = 0 # $ = 353.55 N # % 100N 500 N(cos 45 ) = 0 # % = 453.55 N Resultanttivoiman suuruus. * = = # $ > + # % > = ( 353.55N) > +(453.55N) > = 575 N
Esimerkki Määritä voima P, jolla 300 N painoinen punnus pysyy paikallaan. Tehdään oletuksia: Köysien massaa ei huomioida Köydet ovat venymättömiä Köydet kantavat ainoastaan vetoa Sama vetovoima vaikuttaa koko köyden matkalla Väkipyörät ovat kitkattomia Piirretään kaikkien väkipyörien vapaakappalekuvat. * * Kysytty voima P saadaan isoimman väkipyörän vapaakappalekuvasta. ) ) ) ) ) ) ) + Σ% & = 0 3) 300 N = 0 300 N ) = 100 N
Yhteenveto Opimme, mitä ovat tukireaktiot ja millaisia tukireaktioita erilaiset tuentatyypit aiheuttavat Tutustuimme erilaisiin tuentatyyppeihin tasossa kolmiulotteisessa avaruudessa. Harjoittelimme vapaakappalekuvien piirtämistä jäykille kappaleille tasossa. Opimme ratkaisemaan tukireaktiot: (1) Piirretään vapaakappalekuva ja (2) Ratkaistaan tuntemattomat voimat tasapainoyhtälöiden avulla.