SUORAN PALKIN TAIVUTUS KERTAUSTA! Palkin rasituslajit Palkki tasossa: Tasopalkin rasitukset, sisäiset voimat, ovat normaalivoima N, leikkausvoima Q ja taivutusmomentti M t. Ne voidaan isostaattisessa rakenteessa laskea aina irti leikatun osan tasapainoehdoilla. 1
Rasitusten määritelmät NORMAALIVOIMA Normaalivoima N on poikkileikkaustason palkin akselin suuntaisen voimajakautuman resultantti, joka estää kyseisen leikkauksen eri puolilla olevia palkin osia siirtymästä toisiinsa nähden palkin akselin suunnassa. Se on positiivinen eli vetorasitusta, jos se on materiaalista poispäin ja negatiivinen eli puristusrasitusta, jos se on materiaaliin päin. LEIKKAUSVOIMA Leikkausvoima Q on poikkileikkaustason suuntaisen voimajakautuman resultantti ja se estää kyseessä olevan leikkauksen eri puolilla olevia palkin osia siirtymästä toisiinsa nähden poikittaissuunnassa leikkauksen kohdalla. Se on positiivinen, jos se on y akselin positiiviseen suuntaan siinä poikkileikkauspinnassa, jonka materiaalista poispäin suunnattu normaali on x akselin positiiviseen suuntaan. 2
TAIVUTUSMOMENTTI Taivutusmomentti M t on poikkileikkaustason voimajakautuman momenttiresultantti poikkileikkauspinnan pintakeskiön kautta kulkevan z akselin suhteen. Se estää leikkauksen eri puolilla olevien palkin osien kääntymisen toisiinsa nähden leikkauksen kohdalla. Taivutusmomentti on positiivinen, jos palkin kupera puoli eli venyvä puoli on y akselin positiivisella puolella. Rasitusten laskeminen Tukireaktiot Ennen kuin palkki leikataan, useimmiten on tarpeen laskea tukireaktiot Vapaakappalekuva On tärkeää säilyttää kaikki kuormitukset (jakautuneet kuormitukset, pistevoimat ja pistemomentit) tarkalleen oikeilla paikoillaan. Sitten leikataan (kuvitteellisella) akselia vastaan kohtisuoralla tasolla tarkasteltava rakenneosa kohdasta, jonka rasitukset halutaan määrittää. Kun leikkaus on tehty, piirretään toisen leikatun osan vk kuva, johon piirretään rasituskomponentit (normaali ja leikkausvoima, sekä taivutusmomentti) positiivisiin suuntiinsa. Kannattanee valita se rakenteen osa, jossa on vähemmän kuormituksia. 3
Tasapainoyhtälöt Momenttitasapainoyhtälö kannattaa laatia tarkasteltavaan poikkileikkaukseen, jolloin normaali ja leikkausvoima eliminoituvat tasapainoyhtälöstä ja taivutusmomentti on ratkaistavissa suoraan. Jos tasapainoyhtälöistä saatu ratkaisu jollekin rasituskomponentille on negatiivinen, on kyseisen rasituskomponentin vaikutussuunta päinvastainen vapaakappalekuvan komponentin suunnalle. RASITUSTEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Leikataan kohdasta x pieni pala x. Kun x on hyvin pieni qx ( x) qx ( ) Irti leikatun osan vkk Palan pystysuuntainen tasapainoehto on Q q( x) x Q Q 0 ja momenttitasapainoyhtälö on (A:n ymp.) M Q x q( x) x 1 x 0 t joista saadaan 2 4
Kun annetaan palan pituuden x rasitusten differentiaaliyhtälöihin lähestyä rajatta nollaa, päädytään Nämä differentiaaliyhtälöt eivät ole voimassa niissä kohdissa, joissa palkkia kuormittaa pistevoima tai pistemomentti (voimapari). ESIMERKKI Määritä ja piirrä kuvan palkin rasituspinnat. Ratkaisu: Leikkausvoimat: Q1 22,5 kn Q3 22,5 20 2,5 kn Taivutusmomentit: Mt2 22,5 1,5 = 33,75kNm Mt3 22,5 3 20 1,5 = 37,5kNm 5
Leikkausvoiman 0 kohta: Qx 27,5 +10 x 0 x 2,75m Taivutusmomentti: 2,75 Mt2 27,5 2,75 10 2,75 2 =37,81kNm ESIMERKKI Määritä ja piirrä kuvan palkin rasituspinnat. Ratkaisu: Tukireaktiot 6
7
Määritä ja piirrä kuvan palkin rasituspinnat. Määritä ja piirrä kuvan palkin rasituspinnat. 8
Määritä ja piirrä kuvan palkin rasituspinnat. Määritä ja piirrä kuvan palkin rasituspinnat. 9
Määritä ja piirrä kuvan palkin rasituspinnat. M V: t max 10kNm Määritä ja piirrä kuvan palkin rasituspinnat. V: M 11, 63kNm max t 10
Määritä ja piirrä kuvan palkin rasituspinnat. Määritä ja piirrä kuvan palkin rasituspinnat. 11
Määritä ja piirrä kuvan palkin rasituspinnat. 12