Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja 1 SISÄLTÖ 1. Poikkileikkaukseltaan pyöreän sauvan vääntömuodonmuutos 2. Vääntöyhtälö 3. Tehonsiirto 4. Kiertymäkulma 5. Staattisesti määräämätön vääntösauva 6. Mielivaltaiset poikkileikkaukset 7. Ohutseinäiset putket 8. Jännityskeskittymät 2 1

5.1 YMPYRÄSYLINTERISAUVAN VÄÄNTÖMUODONMUUTOS Vääntömomentti pyrkii kiertämään sauvaa sen pituusakselin ympäri Pienillä kiertymillä on todettu sekä sauvan pituuden että sen säteen pysyvän muuttumattomina 3 5.1 YMPYRÄSYLINTERISAUVAN VÄÄNTÖMUODONMUUTOS Määritelmän mukaan liukuma Kun x dx ja φ= dφ BD = ρ dφ = dx γ γ = ρ dφ dx Koska dφ / dx = γ /ρ = γ max /c γ = (π/2) lim θ C pitkin CA B Apitkin BA Yhtälö 5-2 γ = ρ c ( ) γ max 4 2

5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Umpinaiselle akselille leikkausjännitys muuttuu lineaarisesti pintakeskiön nolla-arvosta ulkopinnan maksimijännitykseen. Käyttäen Hooken lakia ja yhtälöä 5-2, saadaan τ = ρ c ( ) τ max... T = τ max c A ρ 2 da Jännitys muuttuu lineaarisesti säteen suunnassa 5 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Puusauvan murtuminen: 6 3

5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Yhtälössä oleva integraali on ns. polaarinen jäyhyys J, jolloin voidaan kirjoittaa τ max = Tc J τ max = suurin leikkausjännitys ulkopinnalla T = resultoiva sisäinen vääntömomentti leikkauksessa J = poikkipinnan polaarinen jäyhyys (vääntöjäyhyys) c = poikkipinnan säde 7 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Leikkausjännitys etäisyydellä ρ on τ = Tρ J Edellä olevat kaksi yhtälöä ovat ns. vääntöyhtälöitä Niitä voi käyttää vain umpinaiselle ympyräpoikkileikkauksiselle sauvalle, jonka materiaali on homogeenista ja käyttäytyy lineaarielastisesti (kimmoisesti) 8 4

5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Ympyräsylinterisauva Ympyräsylinterisauvalle polaarinen jäyhyys J voidaan määrittää differentiaalirenkaalla, jonka paksuus on dρ ja pituus 2πρ. Renkaan pinta-ala on da = 2πρ dρ, jolloin π J = c 2 4 π J = d 32 4 J on poikkileikkauksen geometrinen suure ja se on aina positiivinen. Yleisimmät käytetyt yksiköt ovat mm 4 ja m 4. tai 9 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Pyöreä putki π J = (c o4 c i4 ) 2 tai π J = (D 4 d 4 ) 32 Huomaa leikkausjännityksen parittaisuus Jännitys muuttuu lineaarisesti paksuussuunnassa 10 5

5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ Suurin leikkausjännitys On löydettävä piste, jossa suhde Tc/J on suurimmillaan Piirrä vääntömomenttijakauma (sisäinen leikkausjännitys τ pituusakselin x funktiona) Merkkisääntö: T on positiivinen, oikean käden säännöllä, jos sen suunta on poispäin akselista Kun sisäinen vääntörasitus on selvitetty koko akselin osalta, voidaan suurin suhde Tc/J identifioida 11 5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ ANALYYSIN VAIHEET Sisäinen rasitus Akseli leikataan kohdasta, jossa leikkausjännitys halutaan määrittää Sovella VKK:aa ja statiikan tasapainoyhtälöitä vääntörasituksen määrittämiseksi Poikkileikkaussuure Laske polaarinen jäyhyysmomentti Sylinterille J = πc 4 /2 tai J = πd 4 /32 Putkelle J = π(c 4 o c i2 )/2 tai J = π(d 4 - d 4 )/32 12 6

5.2 VÄÄNTÖYHTÄLÖ ANALYYSIN VAIHEET Leikkausjännitys Määritä säde ρ pintakeskiöstä. Tyypillisesti se on akselin säde, jolloin saadaan suurin jännitys Sovella vääntöyhtälöä τ = Tρ /J tai τ max = Tc/J Leikkausjännitys vaikuttaa aina kohtisuoraan sädettä vastaan 13 ESIMERKKI 5.3 Kuvan akseli, jonka halkaisija on 150 mm, kuormitetaan kolmella vääntömomentilla. Akselin painoa ei tarvitse ottaa huomioon. Määritä leikkausjännitys pisteissä A ja B, jotka ovat etäisyydellä 15 mm ja 75 mm keskilinjasta leikkauksessa a-a. 14 7

ESIMERKKI 5.3 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Vääntömomentti on sisäisesti tasapainossa, joten laakereiden tukireaktiot = 0. Sisäinen vääntömomentti leikkauksessa a-a saadaan määritettyä ottamalla leikkauksen vasemmalta puolelta vapaakappalekuva. 15 ESIMERKKI 5.3 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Σ M x = 0; 4250 kn mm 3000 kn mm T = 0 T = 1250 kn mm Poikkileikkaussuure (polaarinen jäyhyysmomentti) J = π/2(75 mm) 4 = 4.97 10 7 mm 4 Leikkausjännitys Pisteessä A ρ = c = d/2= 75 mm τ B = Tc/J =... = 1.89 MPa 16 8

ESIMERKKI 5.3 (RATKAISU) Leikkausjännitys Vastaavasti pisteessä B ρ = 15 mm τ B = Tρ /J =... = 0.377 MPa Elementtien A ja B jännityssuunta määräytyy sisäisen vääntömomentin T suunnan perusteella. 17 5.3 TEHON SIIRTO Teho määritetään tehtynä työnä aikayksikköä kohti Hetkellinen teho on P = T (dθ/dt) Koska akselin kulmanopeus ω = dθ/dt, teho voidaan esittää myös muodossa P = Tω Usein ilmoitetaan akselin pyörimisnopeus n kierroksina minuuttia tai sekuntia kohti. Koska yksi kierros = 2π radiaania eli ω = 2π n, on teho silloin Yhtälö 5-11 P = 2π nt 18 9

5.3 TEHON SIIRTO Akselin mitoitus väännölle Mikäli akseli välittää tehoa ja sen pyörimisnopeus tunnetaan, voidaan vääntömomentti määrittää yhtälöstä 5-11 Kun tunnetaan vääntömomentti T ja materiaalin sallittu leikkausjännitys τ sall voidaan soveltaa vääntöyhtälöä J c = T τ sall 19 ESIMERKKI 5.5 Ympyräsylinterisauvaa käytetään kuvan mukaisesti välittämään moottorilta teho 3750 W. Akseli pyörii kulmanopeudella ω = 175 rpm. Teräksen sallittu jännitys τ allow = 100 MPa. Akseli on tuettu hihnapyörän kohdalta siten, ettei taivutusjännitystä tarvitse ottaa huomioon. Määritä akselin halkaisija ja pyöristä se lähimpään tasamillimetriarvoon. 20 10

ESIMERKKI 5.5 (RATKAISU) Vääntömomentti akselissa määritetään yhtälöstä P = Tω. P = 3750 N m/s ja kulmanopeus Siten P = Tω, josta T = 204.6 N m ja J π c 4 T = = c 2 c 2 175 rev ω = min 2π rad 1 rev 1min 60 s ( )( )... τ sall = 18.33 rad/s c = 10.92 mm Koska 2c = 21.84 mm, valitaan akseli, jonka halkaisija d = 22 mm 21 5.4 KIERTYMÄKULMA Kiertymäkulma on tärkeää määrittää esim. staattisesti määräämättömillä akseleilla φ = 0 L T(x) dx J(x) G φ = kiertymäkulma radiaaneissa T(x) = sisäinen vääntömomentti pisteessä x, joka ratkaistaan leikkausmenetelmällä ja soveltamalla statiikan tasapainoehtoja J(x) = polaarinen hitausmomentti pituuskoordinaatin funktiona G = materiaalin liukumoduli 22 11

5.4 KIERTYMÄKULMA Vakio vääntömomentti ja poikkileikkaus φ = TL JG Mikäli akseliin vaikuttaa useita vääntömomentteja tai poikkileikkaus muuttuu tai liukumoduli (materiaali muuttuu) on edellä ollutta yhtälöä sovellettava alue kerrallaan eli TL φ = Σ JG 23 5.4 KIERTYMÄKULMA Merkkisääntö Oikean käden sääntö: vääntömomentti ja kiertymäkulma ovat positiivisia, kun peukalo osoittaa ulospäin leikkauksesta: 24 12

5.4 KIERTYMÄKULMA ANALYYSIN VAIHEET Sisäinen vääntömomentti Käytä leikkausmenetelmää ja momenttitasapainoa Mikäli vääntömomentti vaihtelee pitkin akselia, ratkaise kuormituspiirros, jolloin saat jakauman T(x) 25 5.4 KIERTYMÄKULMA ANALYYSIN VAIHEET Kiertymäkulma Mikäli sauvan poikkileikkaus vaihtelee aksiaalisuunnassa, on polaarinen jäyhyys J(x) määritettävä pituuskoordinaatin funktiona Mikäli J tai sisäinen vääntömomentti äklillisesti muuttuu, on kiertymäkulman laskennassa sovellettava yhtälöitä φ = (T(x)/J(x)G) dx tai φ = TL/JG alueille, joissa J, T ja G ovat jatkuvia tai vakioita 26 13

ESIMERKKI 5.9 Valurautainen tanko on upotettu maahaan kuvan mukaisesti. Määritä suurin leikkausjännitys tangossa ja kiertymäkulma vapaassa päässä. Tankoa kuormittaa voimapari jonka tasapainottaa tukireaktio t N mm/mm. G = 40(10 3 ) GPa 27 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Vapaakappalekuvasta Σ M z = 0; T AB = 100 N(300 mm) = 30 10 3 N mm 28 14

ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Vääntömomenttijakauma segmentissä BC saadaan tasapainoyhtälöstä: Σ M z = 0; 100 N(300 mm) t(600 mm) = 0 t = 50 N mm/mm 29 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Siten vääntömomentti segmentissä BC on Σ M z = 0; T BC 50x = 0 T BC = 50x 30 15

ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Suurin leikkausjännitys Suurin leikkausjännitys on segmentissä AB, koska vääntömomentti on silloin suurimmillaan ja vääntöjäyhyys on vakio eli T AB c τ max = =... = 1.22 N/mm J 2 31 ESIMERKKI 5.9 (RATKAISU) Kiertymäkulma Kiertymäkulma on suurimmillaan vapaassa päässä. Koska molemmat segmentit AB ja BC kiertyvät on kokonaiskiertymä pisteessä A T AB L AB φ A = + JG... 0 φ A = 0.00147 rad L BC T BC dx JG 32 16

5.5 STAATTISESTI MÄÄRÄÄMÄTÖN VÄÄNTÖSAUVA Kuvan tanko on staattisesti määräämätön rakenne, koska tasapainoyhtälöt eivät riitä tukireaktioiden määrittämiseen. 33 5.5 STAATTISESTI MÄÄRÄÄMÄTÖN VÄÄNTÖSAUVA Vapaakappalekuvan perusteella voidaan muodostaa tasapainoyhtälö Σ M x = 0; T T A T B = 0 Lisäyhtälö saadaan yhteensopivuusehdosta, jonka mukaan toisen pään vääntökulma toisen pään suhteen on nolla eli φ A/B = 0 34 17

5.5 STAATTISESTI MÄÄRÄÄMÄTÖN VÄÄNTÖSAUVA Oletetaan lineaarielastinen käyttäytyminen ja sovelletaan kuorma-siirtymäyhteyttä φ = TL/JG, jolloin saadaan (huom. merkkisääntö) T A L AC T B L BC = 0 JG JG Ratkaistaan yhtälöt ja otetaan huomioon, että L = L AC + L BC, jolloin saadaan T A = T L BC L ( ) T B = T L AC ( ) L 35 5.5 STAATTISESTI MÄÄRÄÄMÄTÖN VÄÄNTÖSAUVA ANALYYSIN VAIHEET Tasapainoehto Piirrä VKK Sovella tasapainoyhtälöitä Yhteensopivuusehto Kirjoita yhteensopivuusehto kiertymävääntömomenttiyhteyden φ = TL/JG avulla Ratkaise yhtälöt 36 18

ESIMERKKI 5.11 Terästangon halkaisija on mm. Määritä tukireaktiot jäykästi tuetuissa päissä A ja B kuvan kuormituksella. 37 ESIMERKKI 5.11 (RATKAISU) Tasapainoehto Vapaakappalekuvan perusteella probleema on staattisesti määräämätön Σ M x = 0; T B + 800 N m 500 N m T A = 0 Yhteensopivuus Päiden kiertymäkulmien summa on nolla, koska molemmat päät ovat jäykästi kiinnitetyt. Siten φ A/B = 0 38 19

ESIMERKKI 5.11 (RATKAISU) Yhteensopivuusehto Yhteensopivuusehtoon sovelletaan kuormitussiirtymäyhteyttä φ = TL/JG.... 1.8T A 0.2T B = 750 Ratkaisemalla saadaan T A = 345 N m T B = 645 N m 39 5.6 MIELIVALTAISEN POIKKILEIKKAUKSEN VÄÄNTÖ Mikäli poikkileikkaus ei ole pyöreä eikä aksisymmetrinen, niiden poikkileikkaus käyristyy väännettäessä Vääntöteoria on varsin monimutkainen, eikä sitä tässä käsitellä. 40 20

5.6 MIELIVALTAISEN POIKKILEIKKAUKSEN VÄÄNTÖ Oheisessa taulukossa on esitetty tulokset neliö-, kolmio- ja ellipsipoikkileikkaukselle 41 ESIMERKKI 5.13 Alumiinista, poikkileikkaukseltaan tasasivuinen kolmio, ulokepalkkia kuormitetaan kuvan mukaisesti vääntömomentilla. Määritä suurin momentti T kun τ sall = 56 MPa, φ sall = 0.02 rad, G al = 26 GPa. Kuinka suuren vääntömomentin kantaa saman materiaalimäärän sisältävä ympyräsylinteripoikkileikkaus? 42 21

ESIMERKKI 5.13 (RATKAISU) Sisäinen rasitus on sama yli koko sauvan. Siten voidaan käyttää edellä ollutta taulukkoa, jolloin saadaan τ sall = 20T/a 3 ;... T = 179.2 N m φ sall = 46TL/a 3 G al ;... T = 24.12 N m Kiertymärajoite on siis määräävä. 43 ESIMERKKI 5.13 (RATKAISU) Ympyräsylinteri Lasketaan poikkileikkauksen säde A ympyrä = A kolmio ;... c = 14.850 mm Vastaavasti kuin edellä saadaan τ sall = Tc/J;... T = 288.06 N m φ sall = TL/JG al ;... T = 33.10 N m Kiertymärajoite on siis määräävä. Vertailemalla todetaan, että ympyräsylinteri kantaa 37% enemmän vääntömomenttia kuin kolmiopoikkileikkaus. 44 22

5.7 OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ Ohutseinäisiä, usein suorakaiteen muotoisia, putkipalkkeja käytetään usein erilaisissa rakenneratkaisuissa Kun seinämänpaksuus on ohut, oletetaan jännityksen olevan tasaisesti jakautunut yli paksuuden 45 5.7 OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ Leikkausvuo Voimatasapaino edellyttää, että alemman kuvan differentiaalielementissä τ A t A = τ B t B Tuloa kutsutaan leikkausvuoksi q, ja sen yhtälö on q = τ k t Leikkausvuo on siis voima pituusyksikköä kohti palkin poikkileikkauksessa 46 23

5.7 OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ Keskimääräinen leikkausjännitys τ k = T 2tA m τ k = keskimääräinen leikkausjännitys seinämän paksuussuunnassa T = vääntömomentin resultantti poikkileikkauksessa t = seinämän paksuus tutkittavassa kohdassa A m = seinämän keskilinjan sulkema pinta-ala 47 5.7 OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ Keskimääräinen leikkausjännitys Koska q = τ k t, on leikkausvuo poikkileikkauksessa q = T 2A m Kiertymäkulma Energiaperiaatteella voidaan johtaa TL φ = 4 A m2 G O ds t 48 24

5.7 OHUTSEINÄISEN PUTKIPALKIN VÄÄNTÖ TÄRKEÄÄ Leikkausvuo on putken seinämänpaksuuden ja keskimääräisen leikkausjännityksen tulo. Se on siis vakio kaikissa poikkipinnan pisteissä. Siten suurin keskimääräinen leikkausjännitys on kohdassa, jossa seinämänpaksuus on pienin Sekä leikkausvuo että keskimääräinen leikkausjännitys vaikuttavat seinämän keskilinjan tangentin suunnassa, jolloin ne tuottavat kokonaisvääntömomentin leikkaukseen. 49 ESIMERKKI 5.16 Tutkitaan kuvan alumiinista putkipalkkia. Määritä palkin keskimääräinen leikkausjännitys pisteessä A. Laske myös kiertymäkulma vapaassa päässä. Alumiinin liukumoduli G al = 26 GPa. 50 25

ESIMERKKI 5.16 (RATKAISU) Keskimääräinen leikkausjännitys A m = (50 mm)(50 mm) = 2500 mm 2 T τ k = =... = 1.7 N/mm 2tA 2 m Koska seinämänpaksuus on vakio (paitsi nurkissa), on jännitys sama kaikissa poikkileikkauksen pisteissä. 51 ESIMERKKI 5.16 (RATKAISU) Kiertymäkulma TL φ = 4A m2 G O ds t =... = 0.196(10-4 ) mm -1 O ds Tässä viivaintegraali on seinämän keskilinjan pituus, joten φ = 0.196(10-4 ) mm -1 [4(50 mm)] = 3.92 (10-3 ) rad 52 26

5.8 VÄÄNNÖN JÄNNITYSKESKITTYMÄT Kolme yleistä epäjatkuvuutta ovat: a) Päätylevy, jolla kaksi akselia kytketään yhteen b) Kiilaura, jolla hammasratas tai hihnapyörä kiinnitetään akseliin c) Olake, kun akselin halkaisijaa vaihdetaan pituussuunnassa 53 5.8 VÄÄNNÖN JÄNNITYSKESKITTYMÄT Pisteet poikkileikkauksessa osoittavat, missä suurimmat leikkausjännitykset vaikuttavat Maksimivääntöleikkausjännitys voidaan määrittää jännityskonsentraatiokertoimella K 54 27

5.8 VÄÄNNÖN JÄNNITYSKESKITTYMÄT K voidaan määrittää graafisesti, esim. kuvassa olake Määritetään ensin halkaisijasuhde D/d ja valitaan käyrä Lasketaan sitten olakkeen säteen ja pienemmän halkaisijan suhde r/d jolloin voidaan kuvasta määrittä jännityskonsentraation arvo pystyakselilta Suurin leikkausjännitys on siten τ max = K(Tc/J) 55 5.8 VÄÄNNÖN JÄNNITYSKESKITTYMÄT TÄRKEÄÄ Jännityskeskittymät akseleissa esiintyvät pisteissä, joissa poikkileikkaus äkillisesti muuttuu. Mitä suurempi muutos, sitä suurempi jännityskeskittymä. Suunnittelussa/analyysissa ei tarvitse tietää tarkkaa jännitysjakaumaa, vaan suurin jännitys leikkauksessa saadaan käyttämällä jännityskonsentraatiokerrointa K Mikäli materiaali on haurasta tai se on vaihtelevan kuorman alainen, pitää jännityskeskittymät ottaa huomioon suunnittelussa ja analyysissa. Sitkeillä materiaaleilla staattisessa kuormituksessa ei paikallisia jännityskeskittymiä tyypillisesti oteta huomioon. 56 28

ESIMERKKI 5.18 Määritä suurin leikkausjännitys kuvan olakkeellisessa akselissa annetuilla vääntökuormilla. Olakkeiden säde r = 6 mm. 57 ESIMERKKI 5.18 (RATKAISU) Sisäinen vääntömomentti Nähdään, että akseli on momenttitasapainossa. Suurin leikkausjännitys on olakekohdissa, jossa vääntömomentti (30 N m) saadaan leikkausmenetelmällä: 58 29

ESIMERKKI 5.18 (RATKAISU) Suurin leikkausjännitys Geometrian perusteella D d r d 2(40 mm) = = 2 2(20 mm) 6 mm) = = 0.15 2(20 mm) Siten K = 1.3 ja τ max = K(Tc/J) =... = 3.10 MPa 59 ESIMERKKI 5.18 (RATKAISU) Suurin leikkausjännitys Kokeellisesti on havaittu, että leikkausjännitysjakauma on kuvan mukainen: Nimellinen leikkausjännitysjakauma Todellinen leikkausjännitysjakauma 60 30

YHTEENVETO Umpinaiseen, poikkileikkaukseltaan poyöreään sauvaan vaikuttava vääntömomentti aiheuttaa leikkausvenymän (liukuman), joka on suoraan verrannollinen etäisyyteen pintakeskiöstä Mikäli materiaali on homogeeninen ja kuormitus pysyy kimmoisella alueella eli Hooken laki pätee, voidaan käyttää vääntöyhtälöä τ = (Tc)/J Umpinaisen, poikkileikkaukseltaan pyöreän vääntösauvan mitoitus perustuu geometriseen parametriin (J/C) = (T/τ sall ) Tehonvälityksessä vääntömomentti saadaan tehon yhtälöstä P = Tω 61 YHTEENVETO Poikkileikkaukseltaan pyöreän sauvan vääntökulma saadaan yhteydestä L T(x) dx φ = 0 JG Mikäli vääntömomentti ja vääntöjäykkyys JG ovat vakioita, on yhteys TL φ = Σ JG Sovelluksissa on merkkisääntö otettava huomioon samoin kuin se, ettei materiaali saa myötää (kimmoinen eli lineaarielastinen alue) 62 31

YHTEENVETO Staattisesti määräämättömällä rakenteella saadaan tukireaktiot tasapaino- ja yhteensopivuusehdoista. Yhteensopivuusehto perustuu kuormitus-siirtymäyhteyteen φ = TL/JG Umpinaiset, poikkileikkaukseltaan mielivaltaiset sauvat, käyristyvät vääntökuormalla. Taulukoista löytyvät kaavat näiden tapausten leikkausjännityksille ja kiertymäkulmille. Putkimaisten sauvojen leikkausjännitys perustuu leikkausvuoin selvittämiseen. Perusoletuksen on vakioleikkausjännitys paksuuden yli. 63 YHTEENVETO Leikkausjännitys yksionteloisille putkille saadaan yhteydestä τ = T/2tA m Jännityskeskittymiä (-konsentraatioita) esiintyy sauvoissa niillä alueilla, joissa poikkileikkaus yhtäkkisesti muuttuu. Suurin leikkausjännitys määritetään silloin jännityskonsentraatiokertoimella K, jolloin τ max = K(Tc/J) 64 32