3Eksponentiaalinen malli Bakteerien määrä lihassa lisääntyy 250 % jokaisen vuorokauden aikana. Epilepsialääkkeen määrän puoliintuminen elimistössä vie aina yhtä pitkän ajan, 12 tuntia. Tällaisia suhteellisia muutoksia kuvataan eksponentiaalisella mallilla. Kuinka paljon tilillä on rahaa kolmen vuoden kuluttua, kun sille on talletettu aluksi 100 ja tilin korko on 3 %? Kaupungin keskustassa karkaa 10 kania. Kanien määrä kasvaa joka vuosi 35 %. Kuinka monta citykania on kymmenen vuoden kuluttua? Radioaktiivisen uraanin määrä on aluksi 250 g, ja siitä hajoaa 1 % vuodessa. Mikä on radioaktiivisen uraanin määrä 20 vuoden kuluttua?
Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen esimerkki 1 Pankkitilille talletetaan 500. Tilin vuotuinen korko on 2 %. a) Laske, kuinka paljon tilillä on rahaa vuoden ja kolmen vuoden kuluttua. b) Muodosta funktio f(x), joka ilmaisee, kuinka monta euroa tilillä on x:n vuoden kuluttua. Tilillä ei ole muita tapahtumia kuin koronmaksu. Eksponentiaalinen malli ratkaisu a) Vuoden kuluttua tilillä oleva rahamäärä voidaan laskea kahdella eri tavalla. Tapa 1 Lasketaan ensin ensimmäisen vuoden korko ja lisätään se talletettuun rahamäärään. 0,02 500 = 10 500 + 10 = 510 Tapa 2 Vuoden kuluttua tilillä on rahaa 100 % + 2 % = 102 % alkuperäisestä talletuksesta. Kysytty rahamäärä on siis 1,02 500 = 510. Kolmen vuoden kuluttua tilillä oleva rahamäärä saadaan nopeimmin jatkamalla tavan 2 ideaa. Rahamäärä kahden vuoden jälkeen: 1,02 1,02 500 = 520,20. Rahamäärä kolmen vuoden jälkeen: 1,02 1,02 1,02 500 = 530,60. 97
Eksponentiaalinen malli b) Rahamäärä kolmannen vuoden lopussa voidaan laskea lyhyemmin potenssimerkinnän avulla: 1,02 3 500. Vastaavalla tavalla viiden vuoden kuluttua tilillä oleva rahamäärä saadaan lausekkeesta 1,02 5 500. Samalla päättelyllä x:n vuoden kuluttua tilillä on rahaa 1,02 x 500. Kysytty funktio on siis f(x) = 1,02 x 500. vastaus a) Vuoden kuluttua tilillä on 510 ja kolmen vuoden kuluttua 530,60. b) Funktio f(x) =1,02 x 500 ilmaisee tilillä olevan rahamäärän x:n vuoden kuluttua. esimerkki 2 Vuonna 1920 maailman tiikerikannan suuruudeksi arvioitiin 100 000 yksilöä. Salametsästyksen seurauksena tiikerikanta pienentyi keskimäärin 7,4 % vuodessa aina 1960-luvun lopulle asti. a) Muodosta funktio f(x), jonka avulla voidaan arvioida maailman tiikeri kannan suuruus, kun vuodesta 1920 on kulunut x vuotta. b) Mikä oli tiikerikannan suuruus vuonna 1965? ratkaisu a) Kun tiikerikanta pienenee vuodessa 7,4 %, siitä on vuoden kuluttua jäljellä 100 % 7,4 % = 92,6 %. Tiikerien määrä muuttuu vuodessa 0,926-kertaiseksi. Vuoden kuluttua määrä on 0,926 100 000, kahden vuoden kuluttua 0,926 2 100 000 ja x vuoden kuluttua 0,926 x 100 000. Kun vuodesta 1920 on kulunut x vuotta, kannan suuruuden ilmaisee funktio f(x) = 0,926 x 100 000. 98
b) Lasketaan tiikerikannan suuruus vuonna 1965 a-kohdassa muodostetun funktion avulla. Vuodesta 1920 on kulunut 1965 1920 = 45 vuotta. Tiikereitä on vastaus f(45) = 0,926 45 100 000 = 3 144,08 3 100. a) Tiikerikannan suuruutta voidaan arvioida funktiolla f(x) = 0,926 x 100 000. b) Vuonna 1965 maailmassa oli 3 100 tiikeriä. Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen muutos Kun suure kasvaa tietyssä ajassa aina yhtä monta prosenttia, sen sanotaan kasvavan eksponentiaalisesti. Tällaisia suureita ovat esimerkiksi eri maiden väkiluvut tietyllä aikavälillä sekä bakteerien tai eliöiden määrä tietyllä alueella suotuisissa olosuhteissa. Myös pankkitilin saldo kasvaa eksponentiaalisesti, jos tilillä ei ole muita tapahtumia kuin koronmaksu. Kun suure vähenee tietyssä ajassa aina yhtä monta prosenttia, sen sanotaan vähenevän eksponentiaalisesti. Tällaisia suureita ovat esimerkiksi radioaktiivisen aineen määrä, lääkkeen määrä elimistössä ja piirroskuvan korkeus, kun kuvasta otetaan useita peräkkäisiä kopioita samaa pienennysprosenttia käyttämällä. Viimeisessä tilanteessa muuttujana on ajan sijasta kopiointikertojen lukumäärä. x x Eksponentiaalinen kasvaminen Eksponentiaalinen väheneminen 99
Eksponentiaalinen malli Monissa käytännön tilanteissa muutos on likimain eksponentiaalista. Silloin sanotaan, että ilmiön kuvaamiseen käytetään eksponentiaalista mallia. Eläimiä eksponentiaalisella vauhdilla Eläinpopulaation kasvua kuvataan usein eksponentiaalisella mallilla. Lajin levitessä uudelle alueelle populaatio saattaa aluksi kasvaa eksponentiaalisesti. Mikään populaatio ei voi kuitenkaan kasvaa rajattomasti. Kun populaation koko kasvaa kiihtyvällä nopeudella, jossain vaiheessa ympäristön kantokyky ylittyy eikä ravintoa enää riitä kaikille. Kilpailu elintilasta, ravinnosta ja pesäpaikoista lisääntyy ja sairaudet ja loiset leviävät helpommin. Populaation kasvu johtaa nopeasti myös saalistajien lisääntymiseen. Lopulta populaation koko alkaa väistämättä vakiintua. esimerkki 3 Suomen väkiluku vuoden 2007 alussa oli 5,28 miljoonaa. Viime vuosikymmenet väkiluku on kasvanut 0,4 % vuodessa. a) Muodosta funktio f(x), joka ilmaisee Suomen väkiluvun, kun vuoden 2007 alusta on kulunut x vuotta. b) Mikä oli Suomen väkiluku vuoden 2004 alussa? c) Mikä oli Suomen väkiluku vuoden 2008 heinäkuun alussa? 100
ratkaisu a) Koska 100 % + 0,4 % = 100,4 %, Suomen väkiluku kasvaa joka vuosi 1,004-kertaiseksi. Kysytty funktio on f(x) = 1,004 x 5 280 000. b) Väkiluku vuoden 2006 alussa saadaan, kun väkiluku vuoden 2007 alussa jaetaan luvulla 1,004. Vuoden 2004 väkiluku saadaan, kun vuoden 2007 väkiluku jaetaan kolme kertaa luvulla 1,004. Eksponentiaalinen malli 5 280 000 : 1,004 : 1,004 : 1,004 = 5 280 000 5 280 000 = = 5 217 143,52... 5 220 000 1,004 1,004 1,004 1,004 3 Väkiluku voidaan laskea myös a-kohdan funktion avulla, sillä 5 280 000 1 = 1,004 3 1,004 5 280 000 = 3 1,004 3 5 280 000. Negatiivinen eksponentti: a n = 1 a n Kysytty väkiluku on funktion arvo f( 3): f( 3) = 1,004 3 5 280 000 = 5 217 143,52 5 220 000. c) Heinäkuun 2008 alku on puolentoista vuoden päässä vuoden 2007 alusta. Väkiluku saadaan, kun sijoitetaan funktion f(x) lausekkeeseen kulunut aika vuosina eli 1,5. f(1,5) = 1,004 1,5 5 280 000 = 5 311 711,65 5 310 000 vastaus a) Suomen väkiluvun ilmaisee funktio f(x) = 1,004 x 5 280 000. b) Väkiluku vuoden 2004 alussa oli 5 220 000 ja c) vuoden 2008 heinäkuun alussa 5 310 000. 101
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalista muutosta kuvaavat funktiot Eksponentiaalista muutosta kuvaavien funktioiden lausekkeet ovat muotoa f(x) = k x c, missä c ja k ovat positiivisia lukuja. Funktioita kutsutaan eksponenttifunktioiksi. Nimitys johtuu siitä, että funktioiden lausekkeissa muuttuja x on eksponentissa. Funktioiden arvoja voidaan laskea kaikilla muuttujan x arvoilla. Jos muuttuja x kuvaa aikaa, positiiviset x:n arvot kuvaavat tulevaa aikaa ja negatiiviset mennyttä aikaa. esimerkki 4 Hiilidioksidipäästöjä halutaan vähentää vuosittain 10 %. Kuinka paljon päästöt vähentyvät kuudessa vuodessa, jos tavoite toteutuu? ratkaisu Päästöjen alkuperäiselle määrälle ei ole annettu mitään lukuarvoa, joten merkitään sitä kirjaimella a. Vuoden kuluttua päästöistä on jäljellä 100 % 10 % = 90 %. Päästöjen määrä on silloin 0,90a. Päästöjen määrä kuuden vuoden kuluttua on 0,90 6 a = 0,531441a 0,53a. Tämä on 53 % alkuperäisestä määrästä. Päästöt vähentyvät siis 100 % 53 % = 47 %. vastaus Päästöt vähentyvät 47 %. Avainkäsitteet: eksponentiaalinen malli eksponentiaalinen kasvaminen eksponentiaalinen väheneminen 102
Tehtäviä Sarja 1 263. Sopivissa olosuhteissa bakteerien lukumäärä kaksinkertaistuu tunnissa. Bakteerien määrä on aluksi 40. Täydennä taulukko. Kulunut aika (h) 1 2 3 7 x Bakteerien määrä 264. Kopiokoneella otetaan peräkkäisiä pienennöksiä piirroksesta, jonka korkeus on 26,0 cm. Pienennöksen mitat ovat aina 90 % kopioitavan kuvan mitoista. Täydennä taulukko. Pienennöksiä (kpl) 1 2 3 8 x Piirroksen kor keus (cm) 265. Pankkitilille talletetaan 400. Tilin vuotuinen korko on 3 %. Tilillä ei ole muita tapahtumia kuin koronmaksu. a) Laske, kuinka paljon tilillä on rahaa neljän vuoden kuluttua. b) Muodosta funktio f(x), joka ilmaisee tilillä olevan rahamäärän eli tilin saldon euroina x vuoden kuluttua. 266. Kopiokoneella otetaan peräkkäisiä suurennoksia kuvasta. Kussakin kopioinnissa käytetään samaa suurennus prosenttia. Funktio g(x) = 1,08 x 1,6 ilmaisee kuvan korkeuden (cm), kun suu rennoksia on otettu x kertaa. a) Laske kuvan korkeus kuudennessa kopiossa. b) Mikä on kuvan alkuperäinen korkeus? c) Kuinka monen prosentin suurennuksella kopiointi tehtiin? 267. Uhanalaisia suippohuulisarvikuonoja oli Afrikassa vuonna 1970 vielä 70 000 yksilöä. Sen jälkeen niiden määrän on arvioitu pienentyneen 9 % vuodessa. a) Muodosta funktio f(x), joka ilmaisee sarvikuonojen määrän, kun vuodesta 1970 on kulunut x vuotta. b) Arvioi funktion avulla sarvikuonojen määrä vuosina 1980 ja 1992. Tehtäviä 103
Tehtäviä 268. Vuonna 2005 Hyvinkään kaupungin väkiluku oli 43 840. Väkiluku on kasvanut viime aikoina 0,5 % vuodessa. a) Muodosta funktio f(t), joka ilmaisee Hyvinkään väkiluvun, kun vuodesta 2005 on kulunut t vuotta. b) Laske arvio Hyvinkään väkiluvulle vuonna 2020. c) Mikä oli Hyvinkään väkiluku vuonna 2000? 269. Radioaktiivisen uraanin isotoopin U-232 määrä on 250 g. Siitä hajoaa 1 % vuodessa. a) Muodosta funktio, joka ilmaisee radioaktiivisen uraanin määrän grammoina t vuoden kuluttua. b) Mikä on radioaktiivisen uraanin määrä 3,5 vuoden kuluttua? c) Mikä oli radioaktiivisen uraanin määrä 2,5 vuotta sitten? 270. Kinosten perheyritys asettaa liikevaihdon kasvutavoitteeksi 5 % vuodessa. Kuinka monta prosenttia yrityksen liikevaihto kasvaa 8 vuodessa, jos tavoite toteutuu? 271. Paperitehtaan johdon tavoitteena on vähentää päästöjä 15 % vuodessa. a) Kuinka monta prosenttia päästöt vähenevät viidessä vuodessa, jos tavoitteessa pysytään? b) Tutki kokeilemalla, kuinka monen vuoden kuluttua päästöjen määrä on alle 25 % tämänhetkisestä määrästä, jos tavoite toteutuu. 272. Luonnontieteissä eksponentiaalista muutosta ilmaisevien funktioiden lausekkeissa käytetään usein kantalukuna ns. Neperin lukua e, jonka kaksidesimaalinen likiarvo on 2,72. Neperin luku löytyy myös useimmista laskimista. Laske kaksidesimaalinen likiarvo a) funktion f(x) = e 2x arvoille f(3) ja f( 2) b) funktion g(x) = e 0,15x arvoille g(18) ja g( 5,5). Sarja 2 273. Sade lähettää tekstiviestin kolmelle ystävälleen. Jokainen heistä lähettää saman viestin eteenpäin kolmelle ystävälleen, joista jokainen lähettää viestin kolmelle ystävälleen ja niin edelleen. Täydennä taulukko, kun oletetaan, että sama henkilö ei saa viestiä kahta kertaa. Lähetyskierros 1 2 3 4 10 n Viestin saaneita ihmisiä lähetys kier roksella 104
274. Laske funktion f(x) = 1,5 x 90 arvo a) f(5) b) f( 2). c) Jos funktio f(x) kuvaa bakteerien lukumäärää, kun tarkastelun alkuhetkestä on kulunut x tuntia, mikä merkitys on funktion lausekkeen luvuilla 90 ja 1,5? 275. Yrityksen liikevaihto oli eräänä vuonna 2 500 000. Yrityksen tulevaisuuden tavoitteena on kasvattaa liikevaihtoaan 8 % vuodessa. a) Muodosta funktio f(x), joka ilmaisee tavoitteen mukaisen liikevaihdon euroina x vuoden kuluttua. b) Laske tavoitteen mukainen liikevaihto kymmenen vuoden kuluttua. 276. Funktio f(t) = 0,871 t 400 ilmaisee särkylääkkeen määrän elimistössä milligrammoina, kun lääketabletin ottamisesta on kulunut t tuntia. a) Mikä on lääkkeen määrä elimistössä 4,5 tunnin kuluttua lääkkeen ottamisesta? b) Kuinka paljon lääkettä tabletissa oli? c) Kuinka monta prosenttia lääkkeen määrä elimistössä vähenee tunnissa? 279. Tummennetun lasin paksuus on 1,0 cm, ja se päästää lävitseen 55 % siihen tulevasta valosta. Kuinka monta prosenttia valosta pääsee läpi samanlaisesta lasista, jonka paksuus on a) 3,0 cm b) 4,5 cm c) 0,5 cm? Vihje: a-kohdassa kannattaa ajatella, että 3,0 cm paksu lasi koostuu kolmesta peräkkäisestä 1,0 cm:n paksuisesta lasista. Laskutavasta saa sen jälkeen idean b- ja c-kohtiin. 280. Pankkitilin vuotuinen korko on 3,10 %. a) Kuinka monta prosenttia tilille tehty talletus on kasvanut korkoa viiden vuoden aikana? b) Tutki kokeilemalla, kuinka monen vuoden kuluttua talletuksen arvo on kasvanut 1,5-kertaiseksi. Tehtäviä 277. Intian väkiluku oli vuoden 2006 alussa 1,095 miljardia. Vuotuinen väestönkasvu on Intiassa noin 1,4 %. a) Muodosta funktio f(x), joka ilmaisee Intian väkiluvun, kun vuoden 2006 alusta on kulunut x vuotta ja väestönkasvu pysyy samanlaisena. b) Laske funktion avulla ennuste Intian väkiluvulle vuoden 2015 alussa. c) Arvioi funktion avulla Intian väkiluku vuoden 1995 alussa. 278. Energiankulutusta halutaan vähentää 2 % vuodessa. Kuinka monella prosentilla kulutus pienenee kymmenessä vuodessa, jos tavoite toteutuu? 105