Matemaattista mallintamista

Transkriptio

1 Johdatus GeoGebraan Matemaattista mallintamista Harjoitus 2A. Tutkitaan eksponentiaalista kasvua ja eksponenttifunktioita Auringonkukka (Helianthus annuus) on yksivuotinen kasvi, jonka varren pituus voi aurinkoisina kesinä hyvissä kasvuolosuhteissa Suomessakin ylittää jopa viisi metriä; Kanadassa ja Alankomaissa on viime vuosina onnistuttu kasvattamaan jopa kahdeksanmetrisiä yksilöitä. Auringonkukan siemen istutettiin toukokuun alussa istutusruukkuun. Taimi siirrettiin kesäkuun ensimmäisenä päivänä istutusruukusta kukkapenkkiin, ja tällöin sen pituudeksi mitattiin tuolloin 20. Kukan kasvua seurattiin 12 viikkoa aina elokuun puoliväliin saakka, jolloin kukka oli saavuttanut maksimipituutensa. Huomattiin, että varsi kasvoi 30 % joka viikko. Lähdetään tutkimaan, millaista auringonkukan kasvu oli ja kuinka pitkäksi se kasvoi. Valitse näkymäksi Laskentataulukko ja grafiikka Kirjaa laskentataulukkoon alkutilanne ja tilanne ensimmäisen viikon jälkeen (Kuva 1). Tartu solun B2 kahvaan ja vedä hiirellä alaspäin soluun B13 saakka; näin saat kopioitua kaavan alempiin soluihin Tutki taulukkoa. Kirjaa havaintosi ylös: Kuinka pitkä auringonkukka oli juhannuksen aikaan (mittauksen 3. viikon alussa)? Kuinka pitkä auringonkukka oli mittauksen viimeisellä viikolla elokuun puolivälissä? Millä välillä auringonkukan korkeus vaihteli? Lähdetään tutkimaan tarkemmin viikoittaista kasvua: Laske soluun C2 ensimmäisen viikon kasvu (Kuva 2). Tartu solun C2 kahvaan ja kopioi soluun C13 saakka. Kuva 1. Lähtötilanteen kirjaaminen Kuva 2. Ensimmäisen viikon kasvun laskeminen Tutki taulukkoa. Kirjaa havaintosi ylös: Kuinka paljon auringonkukka kasvoi ensimmäisen viikon aikana? Entä 5. viikon aikana? Entä 10. viikon aikana? Kuinka paljon auringonkukka kasvoi seurantajakson viimeisellä viikolla?

2 Miten kuvailisit auringonkukan kasvua? Onko se tasaista? Entä kasvunopeutta? Pysyykö se samana viikosta toiseen? Hahmottele alla olevaan koordinaatistoon kuvaaja, joka mielestäsi kuvaa auringonkukan kasvua. Lisää pystyakselille sopiva jaotus.

3 Lähdetään tutkimaan kuvaajaa GeoGebralla: Maalaa solualue A1:B13 ja luo mittaustuloksista pistelista (Kuva 3). Muokkaa Piirtoalueen koordinaatistoa Siirrä piirtoaluetta työvälineellä niin, että kaikki pisteet ovat näkyvillä. Vertaa GeoGebran Piirtoalueen kuvaajaa omaan luonnokseesi. Mitä yhtäläisyyksiä ja/tai eroja niillä on? Kirjaa havaintosi ylös: Kuva 3. Pistelista Maalaa solualue A1:A13 ja kopioi se D-sarakkeeseen. Tämän jälkeen, tee solualueesta C2:D13 pistelista, mutta vaihda riippuvuussuhde (Y X) Mitä Piirtoalueen kuvaajat kertovat auringonkukan kasvusta? Selitä omin sanoin: Mikä funktio mielestäsi kuvaa auringonkukan kasvua? f(x)= Valitse Piirtoalue ja tarkista arvauksesi syöttämällä se syöttökenttään: Vertaa syöttämäsi funktion kuvaajaa taulukoiduista arvoista saatuihin pisteisiin. Korjaa tarvittaessa arvaustasi ja tarkista uudelleen.

4 Harjoitus 2B. Eksponenttifunktio Auringonkukan varsi kasvoi kasvukaudella pituutta 30% viikossa. Auringonkukan korkeuden senttimetreinä ajanhetkellä x viikkoa kesäkuun ensimmäisestä päivästä lukien ilmoittaa funktio ( ). Eräs toinen auringonkukka oli 45 senttiä korkea kun se siirrettiin istutusruukusta kukkapenkkiin. Sen havaittiin kasvavan korkeutta 20% joka viikko. Mikä funktio ilmoittaa sen korkeutta? g(x)= Avaa uusi GeoGebra-ikkuna. Piirrä molempien auringonkukkien korkeutta ilmoittavat funktiot Piirtoalueelle. Lisäämme konstruktioon liu ut, joiden avulla on kukan lähtöpituuden ja kasvukertoimen arvoja on helppo ja nopea muuttaa eri tilanteisiin sopiviksi: Luo kaksi liukua: liuku C, joka saa arvot 0 100; liuku a, joka saa arvot 1 3 (molemmilla askelväli 0,1) Syöttökenttä: h(x)=c*a^x Tutki liukujen avulla seuraavia tilanteita. Kirjaa havaintosi ylös. a) Mitkä arvot liu uille C ja a on asetettava tilanteessa, jossa auringonkukan lähtökorkeus on 50 ja joka kasvaa 15% joka viikko? C= a= Aseta liu uille ylle kirjaamasi arvot. Piirrä tilannetta vastaavalle kuvaajalle piste (tarkista, että piste on todella kuvaajalla!) Siirrä pistettä niin, että sen x-koordinaatti on 4. Mikä on pisteen y-koordinaatti? y= Mitä vastauksesi kertoo auringonkukasta? Kuvaile omin sanoin: Aseta liu ulle a arvo 1. b) Kuvaile kuvaajaa omin sanoin. Mitä voit sanoa auringonkukan kasvusta tilanteessa, jossa a=1?

5 c) Tarkastellaan viimeiseksi funktiota ( ) ilman sen yhteyttä auringonkukkiin. Aseta a=2. Muuttele liu un C arvoa. Kuvaile omin sanoin, miten muutokset vaikuttavat kuvaajaan. Aseta C=50. Muuttele liu un a arvoa. Kuvaile omin sanoin, miten muutokset vaikuttavat kuvaajaan. d) Hahmottele (ilman GeoGebran apua) kuvaaja tilanteessa, jossa C=80 ja a=0,5. e) Selitä omin sanoin, miten päädyit kuvaajaasi. Napauta hiiren oikealla a-liu un kohdalla ->Ominaisuudet Muuta Liuku-välilehdellä minimiarvoksi 0. Sulje ikkuna. Säädä liu uille arvot C=80 ja a=0.5. Vertaa omaa hahmotelmaasi GeoGebran kuvaajaan. Mitä eroja ja/tai yhtäläisyyksiä kuvaajilla on?

6 Jatkotehtävä: Tietoa menneestä ja tulevasta Uhanalaisia suippohuulisarvikuonoja oli Afrikassa vuonna 1970 vielä yksilöä. Sen jälkeen niiden määrän on arvioitu pienentyneen 10% vuodessa. a) Toista Harjoituksen 2A tarkastelut tässä tilanteessa. b) Arvioi tutkimustesi perusteella sarvikuonojen määrä vuosina 1950, 1990, 2010 ja 2030.

7 Harjoitus 3. Valitse yksi seuraavista videoista: Viivoitinta ja videon pause-nappulaa apuna käyttäen, kirjaa Laskentataulukkoon tilanne viiden sekunnin välein. Miten tilanne mielestäsi muuttuu? Hahmottele kuvaaja, joka kuvaa tilanteen muuttumista ajan kuluessa. Merkitse akseleille sopivat nimet, yksiköt ja välistys. Piirrä murtoviiva havaintopisteidesi kautta Luo murtoviiva -työvälineellä. Luo havainnoista taulukko Luo taulukko työvälineellä. Kuvaile tilanteen muuttumista ajan kuluessa omin sanoin: Mikä funktio mielestäsi kuvaisi tilannetta: