1 Conegraon beween Fama-French Facors Absrac Yhesnegrounesuudella on mona sovelluksa rahouksessa ja mulla eeen alolla, jossa ukaan akasarjoja ja nden välsä rppuvuua. Analyys on arkoeu epäsaonaarsen akasarjojen analysonn, joa ässä ukmuksessa käyämämme Fama-French-fakor ova. Jos edellsen välssä suhesa saadaan muodoseua saonaarnen lneaarkombnaao, ova sarja yhesnegrounea. FF-fakorella arkoeaan nä fakorea, joka vakuava osakkeen odoeuun uooon pkällä akavälllä. El kullakn fakorlla on ersuurunen preemo yl rskömän koron. Yhesnegrounesuuden avulla selvämme fakoreden välsä rppuvuussuhea sekä hnojen välsä asapanoa ja dynamkkaa, jonka jälkeen rakennamme vrheenkorjausmalln perusuva 4 hedge porfoloa. Keywords: conegraon, hree-facor model, Johansen procedure, hedgng 1. Inroducon Yhesnegrounesuusanalyyssa ul ärkeä ekonomeran osa-alue pan sen julkasemsen jälkeen (Engle, Granger 1987). Sä on hsoransa akana sovelleu laajas mä erlasemmlle akasarjolle, kun on haluu uka kysesen sarjojen välsä suhea. Meneelmällä on ss käyöarvoa monlla eeen osa-aluella, mua eryses se on herääny knnosusa rahouksessa, jossa lenee kakken enen uku markknoden välsä rppuvuussuhea. Ideana on yksnkerasuudessaan löyää sarjojen vällle yhesä sokassa rendejä. Meneelmä on arkoeu epäsaonaarsen akasarjojen arkaseluun, mä arvopapereden hnna yleensä ova. Perneseen korrelaaoanalyysn verrauna yhesnegrounesuudella vodaan rakenaa mall, jolla vodaan arvoda akasarjojen ulevasuua. Yhesnegrounesuus vaa ukujen akasarjojen olevan asapanoon palauuva. Sarjojen looessa ossaan ne saaava olla vomakkaas korrelounea, mua evä kuenkaan välämää yhesnegrounea. Tämän aka korrelaaoanalyys saaaa sopa paremmn lyhyen akaväln arkaseluun, kun aas yhesnegrounesuudella vodaan arkasella lyhyen akaväln dynamkan lsäks pkänkn akaväln dynamkkaa (Alexander 1999). Tässä ukmuksessa arkaselu keskyy Fama-French-kolmfakormalln (Fama, French 1996) välsen fakoren ja markknaporfolon yhesnegrounesuuden arkaseluun. Tarkous on uka hnaasapanoa sekä uoojen dynamkkaa. Lsäks ny on huomoava sarjojen pkän akaväln rend. Sarjojen ersuure drf vodaan huomoda korjausermllä, joa on käyeävä FF-fakoren välllä, koska kysesen fakoren kehys on osan ossaan loonevaa. Lähöoleuksena on se, eä markkna ja FF-fakor ova yksnään epäsaonaarsa, mua nsä on mahdollsuus muodosaa saonaarnen lneaarkombnaao. Epäsaonaarsuus arkoaa ässä random walk prosessa, kun aas oleuksena on, ee fakoreden välnen käyös ole äysn random walk:a. Sarja vova nän yhdessä vaelaa mhn ahansa mua evä yksnään. Tarkaselu vasaa melko hyvn ndeksn ja osakkeen välsä yhesnegrounesuua esm. (Alexander 1999).
2 Ensmmäsenä verraaan FF-fakoreden keskmääräsä uooja yl rskömän koron ukmuksessa käyeyjen Russell:n yylsjousndeksen vasaavn uoohn ja selveään ndeksen ja fakoren välse eroavasuude, joka ova osakkeen koko sekä krjanpoarvon suhde markkna-arvoon (BE/ME). Tämän jälkeen selveään ADF-esllä (Dckey-Fuller 1979) ovako valu ndeks epäsaonaarsa ja kelvollsa yhesnegrounesuusanalyysn, jonka jälkeen ukaan markknaporfolon ja ndeksen välsä yhesnegrounesuua CVAR-malllla (conegraed vecor auoregressve model) ja ämän löyyessä luodaan ennusamsarkoukseen käyey vrheenkorjausmall ECM (error-correcon model). Ny monen akasarjan apauksessa yhesnegrounesuuden arkaselu on ehävä Johansenn proseduurlla (Johansen 1988; Johansen, Juselus 1990). Lopuks rakenneaan 4 yylsjous-hedge-porfoloa ermaslle ranng perodelle ECM:n ennusevomaan perusuen, jonka jälkeen nää sraegoa verraaan markknaporfolon ja ndeksen uoohn. 2. Fama-French hree-facor model Fama-French-kolmfakormall (Fama, French 1993, 1996) on ällä hekellä paras ja ylesmmn käyey mall anomalolle (Cochrane 1999), joa CAPM (Sharpe 1964; Lnner 1965) e pysy selämään. Nähn anomalohn lueaan osakkeen koon ja book-o-marke BE/ME-arvon vakuus odoeuun uooon pkällä akavälllä. Osakkella näyää olevan vahva arvo preemo (korkea BE/ME-arvo), joka on havau emprsssä ukmuksssa (Rosenberg, Red, Lansen 1985), mkä aas osoaa arvo-osakkesa saaavan uoon olevan huomaavas korkeamp kasvuosakkesn verrauna. Lsäks pkällä akavälllä penen osakkeden on havau uoavan suurempa heman enemmän. Kolmfakormallssa markknarskn b ja rskömän koron R f lsäks osakkeen arvoon vakuava osakkeen koko sekä BE/ME-arvo. Mall noudaaa yhälöä E( R ) R b ( E( R ) R ) s E(SMB) h E(HML), (1) f M f jossa E(R ) on odoeu uoo valulle arvopaperlle ja E(R M ) koko markknaporfolon odoeu uoo. SMB on uoojen välnen erous penen ja suuren osakkeden välllä. Vasaavas HML on aas uoojen erous korkean BE/ME ja maalan BE/ME luvun välllä. Fakorpano b, s ja h vodaan määrää porfolon komponenesa yksnkerasen lneaarsen regresson avulla. Mallssa markkna jaeaan 9 porfoloon B/L, B/M, B/H, M/L, M/M, M/H, S/L, S/M, S/H, jossa ensmmänen krjan keroo porfolossa oleven osakkeden koon bg B, md M ja small S. Tonen krjan aas keroo BE/ME arvon hgh H, medum M ja low L. Yks fakor jaeaan ana kolmeen osaan, jossa yks osa edusaa 33% osakkeden määrää. SMB ja HMB aas rakenneaan yhälöden (2) ja (3) mukases SMB (S/L S/M S/H)/3 (B/L B/M B/H)/3 (2) HML (S/H M/H B/H)/3 (S/L M/L B/L)/3. (3) Edellsen FF-fakoreden korrelaao on erän alhanen 0.13 (Davs, Fama, French 2000). Samasessa arkkelssa ukn edellsen 9 porfolon uoojen eroja Yhdysvalojen markknolla
3 akavälllä 1929-1997, jossa vuosen 1929-1952 välllä käyen 339 NYSE osakea, 1953 mennessä arkaselujen NYSE osakkeden lukumäärä on kaksnkerasunu saavuaen jo vuonna 1996 4562 NYSE, AMEX ja Nasdaq osakea. Lsäks mall on esau mulla suurmmlla pääomamarkknolla. FF-fakormalln uooero (Davs, Fama, French 2000) on raporou aulukkoon 1. Rskömänä korkona R f arkaselussa käyeään Yhdysvalojen valon 1-kuukauden velkasoumuksa (1-monh U.S reasure bll). SockSymbol BE/ME Sze(mllons) Exra reurns (R -R f )(%)/annum Volaly()(%) B/L 0.43 94.7 7.19 B/M 1.04 92.1 8.99 B/H 1.87 89.5 12.68 M/L 0.53 55.9 8.73 M/M 1.07 55.1 12.01 M/H 2.18 53.2 14.43 S/L 0.55 22.4 7.57 S/M 1.11 22.2 13.35 S/H 2.83 19.1 15.94 Russell 3000 marke porfolo 8.30 15.9 Russell 1000 growh large cap growh 7.58 20.2 Russell 1000 value large cap value 9.22 14.0 Russell 2000 growh small cap growh 5.11 22.3 Russell 2000 value small cap value 10.63 17.6 Table 1. Fama-French facors versus Russell ndces and her exra reurns/annum and volales. Myöhemmssä yhesnegrounesuusarkaselussa käyeään arkaselavna fakorena vä Russell:n ndeksä (Russell 2006) vuosen 1980-2004 vällä. Markknaporfoloa kuvaaan Russell 3000 ndeksllä, joka kaaa n. 98% Yhdysvalojen osakemarkknoden arvosa. Large cap porfolona käyeään Russell 1000 growh ndeksä, joka vasaa B/L-porfoloa ja Russell 1000 value ndeksä, joka aas vasaa B/H porfoloa. Komponen nähn on valu Russell 1000 ndekssä BE/ME lukujen peruseella ja Russell 1000 ndeks ssälää 1000 suurna osakea. Small cap porfolona aas käyeään Russell 2000 growh ndeksä, joka vasaa S/L-porfoloa ja Russell 2000 value ndeksä, joka aas vasaa S/H porfoloa. Komponen nähn on valu Russell 2000 ndekssä BE/ME lukujen peruseella ja Russell 2000 ndeks ssälää 2000 pennä osakea. Fama:n ja French:n muoolema porfolo vasaava melko hyvn Russell:n ndeksejä (aulukko 1.). Arvo-osakkella, jolla on korkea BE/ME arvo, on selväs kasvuosakkea paremp keskuoo. Sen sjaan koon uoma vakuus e ole nn selvä. Pkällä akavälllä on kuenkn havau penen arvo-osakkeden uoavan suura enemmän. Tämä näkyy hyvn arvo-osakkessa vuosen 1980-2004 välllä (aulukko 1., kuva 1.). Sen sjaan kasvuosakkelle ulokse ova rsrasa, koska suure kasvuosakkee ovakn yllääen uoanee vuosen 1980-2004 akana penempä selväs enemmän, kun aas vuosen 1929-1997 lanne (Davs, Fama, French 2000) on ollu pänvasanen. Tulokse ova kuenkn varsn rsrasa CAPM-malln nähden, koska suurmman volaleen anama kasvuosakkee ova uoanee kakken vähen edellä arkasellulla akavälllä.
4 Fgure1. Normalzed prces of Russell ndces. 3 Conegraon Akasarjojen yhesnegraao on yks ekonomeran ärkemmsä yökalusa, joa on käyey laajas ana Engle-Granger wo-sep meneelmän lmesyyä (Engle, Granger 1987; Nobel Commee 2003). Yhesnegrounesuuden avulla vodaan saada ärkeää eoa akasarjojen pkän akaväln rakeneesa, joa aas vodaan käyää apuna aloudellsessa pääökseneossa. Edellnen omnasuus joko on olemassa a sen e. Hyvään loppuulokseen pääsään anoasaan huolellsella lasollsella analyyslla, jonka jälkeen veläkn on olemassa pen epäonnsumsodennäkösyys. Kaks a useamma epäsaonaarse akasarja, joka ova negrounea n-asea I(n), vova muodosaa lneaarkombnaaoa, jolla ova saonaarsa. El kysese sarja ova yhesnegrounea I(0). Tässä arkaselussa sarja ova negrounea asea I(1) (epäsaonaarse) a evä negrounea I(0) (saonaarse). Jos sarja x ja y ova negrounea asea I(1), mua nden lneaarkombnaao y a (4) bx on I(0), ova sarja x ja y yhesnegrounea ja vrheerm muooa z ( ) y a bx ~ I(0) (5) ollen nän saonaarnen, sen eä a ja b ova olemassa ja a on mahdollses olemassa oleva drfvekor. Ny vekora z sanoaan yhesnegrounesuusvekorks, jonka omnasuuksa on arkous myöhemmn ässä luvussa esaa. Jos sarjoja on n kappalea vo yhesnegrounesuusvekorea z korkenaan olla (n-1) kappalea. Kahden akasarjan
5 apauksessa vekorea vo ss olla anoasaan yks kappale, sllä muuen alkuperäsen sarjojen uls olla saonaarsa (Alexander 1999). Yhesnegrouneden sarjojen eräs ärkeä ulkna on nden yhenen sokasnen rend (Sock, Wason 1988). Sarja x ja y ova ss pkällä akavälllä lnkynee osnsa. Ne vova eroa ossaan lyhyellä akavälllä, mua pkällä akavälllä nden muuokse knnyvä osnsa, jollon puhuaan ermsä long-run equlbrum. Jos sarja looneva ossaan rajaomas, ekä ää ole huomou erllsenä korjausermnä, nden välnen asapanorelaao e oeudu ja nän yhesnegrounesuua e ole olemassa. Sokasnen rend vodaan esää kahden sarjan apauksessa muodossa x y, (6) x y x, (7) y jossa x ja y ova sarjojen x ja y keskarvoja, joka rppuva akasemmsa keskarvosa ja nhn lyvsä vrheermesä. x ja y aas kerova eäsyyden keskarvosa. Ny kun x ja y ova yhesnegrounea, ne vodaan esää lneaarkombnaaona b 1 y b2x ( b1 y b2 x ) b1 y b2 x, (8) jossa c b b ) äyyy olla saonaarnen. Kerome b 1 ja b 2 vodaan selvää esm. ( 1 y 2 x lneaarsella regressolla. Sarja x ja y vodaan ny esää muodossa x y, (9) x b b x c 2 x y, (10) 1 b1 koska nllä on yhenen sokasnen rend ja ne ova nän yhesnegrounea. Seuraavssa luvussa 3.1-3.2 selveään edellseen eoraan nojauuen Johansenn proseduur ja sen avulla rakenneu yksnkeranen hedgng sraega. 3.1 Johansen procedure Johansenn meneelmää vodaan kahden akasarjan lsäks sovelaa useampen akasarjojen välsen yhesnegrounesuuksen selvämsessä (Johansen 1988; Johansen, Juselus 1990), jossa se on muodosunu ärkemmäks yökaluks. Myös ässä ukmuksessa käyämme sä, koska Engle- Granger meneelmä on sopmaon vden akasarjan apauksessamme. Johansenn proseduur perusuu sokassen marsn omnasarvojen määrämseen, joka samalla oleellses vähenää korrelaaoon lyvä ongelma. Suurn ero Engle-Granger meneelmään on keskymnen maksmaalseen saonaarsuueen mnm varanss peraaeen sjasa. Lsäks es on monpuolsemp ja henosuneemp verrauna Engle-Granser meneelmään, mua vasaavas monmukasemp (Alexander 1999). Yhesnegrounesuus vodaan löyää myös ossaan
6 erkanevsa sarjosa, jos käyeään rendn korjaavaa ermä, joa arvaan ukaessa FFfakorea, koska uoo eroava ossaan pkällä akavälllä. Muodoseaan ensn n-asenen ja p-dmensonen pkän akaväln VAR-mall (vecor auoregressve model) (11), josa lähdeään rakenamaan yhesnegrounesuuden perusmalla. y y... y D 1 1 n n (11) y on ny prosessvekor ( p 1) hekellä, jossa vähnään kahden komponenn on olava epäsaonaarsa. ( p 1) on vrheermvekor, jossa vrhee ova ossaan rppumaoma. ( p p) on prosessn y - kerron mars hekellä -. D on puolesaan e sokassen muuujen vekor, kuen esmerkks dummy muuujen, jolle on kerronmars. aas on rajoamaon drf, joka oaa huomoon arkaselujen akasarjojen ersuure drf. Epäsokassa vekorea e esnny apauksessamme, joen ny on D 0. Rakenneaan yhälön (11) pohjala CVAR-mall (conegraed vecor auoregressve model) y y y y 1 1... n n1 n, (12) jossa ( 1 1... ), where 1,..., n -1 (13) 1... ) (14) ( 1 n ja y y y 1. VAR-mallsa pokeen arkaselu keskyy ny marsn aseen rank() arkaseluun, joka keroo oleellsmman sarjojen pkänakaväln suhesa. Termn y -n on olava saonaarnen I(0). Jos marsn ase rank () p on mars äysasenen ja y :n kakk komponen saonaarsa, jollon alkuoleukse epäsaonaarsuudesa evä oeudu. Jos aas rank( ) 0, on nollamars, jollon e ole kyse CVAR-mallsa. Taas marsn aseen ollessa 1 rank( ) (1 p) on yhesnegrounesuusvekorea olemassa ja mars vodaan esää muodossa = T, jossa ja ova äysasesa marseja. keroo pkän akaväln sopeuumsnopeuden ja puolesaan yhesnegrounesuusvekor. Yhesnegrounesuuden hypoees H 0 (r) on muooa T H 0 ( r) :, (15) jollon prosess y on saonaarnen ja alkuoleusen mukases sarjosa y vähnään kaks on epäsaonaarsa. Edellsen malln esmon alkaa maxmum lkelhood proseduurlla, jossa ensn haeaan monmuuujasen yhesnegrounesuusmalln Gaussn vrhee (johansen 1988, 1991; Johansen, Juselus 1990). Määrellään lkelhood funkoon paramer,, n-1 ja regresson avulla ermesä y ja y -n käyäen apuna ermejä y -1,,y -n+1. Tuloksena saadaan resduaal R 0 ja R n, joden avulla vodaan määrellä resduaalen rsmomenmars S j
7 T 1 T Sj T RR j,, j 0, n, (16) 1 jossa T on akamars nollasa hekeen T. Keskey lkelhood funko on puolesaan muooa T R 0 R, (17) jossa edusaa vrheä. Regresson avulla yhälösä (17) saadaan lle esmaa suheen n ˆ S, (18) T 1 0 n( Snn) jonka jälkeen saadaan määreyä rakasemalla omnasarvo yhälösä (19). 1 S nn Sn0S00 S0n 0 (19) Omnasarvo ongelmalla (19) on ny p rakasua, 1 ˆ... ˆ 1 p 0. Vasaava omnasvekor ova muooa Vˆ ( vˆ,..., vˆ ) ja ne vodaan esää normalsouna muodossa Vˆ ( vˆ,..., vˆ ). ˆ 1 p maxmum lkelhood esmaa on ss muooa 1 p ˆ ( vˆ,..., vˆ ), (20) 1 r jossa r rank( ). Ise maxmum lkelhood funko aas on muooa L r max S00 1 ˆ ) 1 (. (21) Seuraavaks esaaan lkelhood rao esllä hypoeesa (15) yhälön (11) VAR-malln (johansen, Juselus 1990). LR-esejä on olemassa kaks, josa ensmmänen on Trace sasc (22) ja onen max sasc (23). Tesellä rakasaan merkyksellse juure el omnasarvo, joden avulla vodaan pääellä se marsn ase. LR race T p r 1 ln( 1 ˆ ) (22) LR ln( 1 ˆ max T r 1) (23) LR-esssä nolla hypoeesks aseeaan H 0 : r 1 r 2... 0, jollon syseemlle löyyy p-r ykskköjuura, joka ova lähökohana aseen selvämsessä edellä manuun apaan. Juuren haku apahuu ase kerrallaan, jollon ensn oleeaan, eä on olemassa p ykskköjuura. Jos nolla hypoees H 0 jouduaan hylkäämään, päädyään vasaukseen 1 0, jonka jälkeen aseeaan hypoees H 0 : 2 3... p 0. Jos ämä jälleen hyläään, on seurauksena 2 0, jonka jälkeen prosessa oseaan ana p:hen as, jolle ykskköjuur löydy. Jos lopula hypoees
8 hyväksyään, saadaan ykskköjuuren avulla yhesnegrounesuusvekoren määrä. Vmeks kuvau marsn aseen määrys on koko Johansenn proseduurn oleellsn ja vaken osa. Jos ase arvodaan lan peneks, saaaa yhesnegrounesuus jäädä huomaamaa. Lan suur ase aas vo johaa yhesnegrounesuuden löyymseen, vakke sä olskaan okeas olemassa. 3.2 Resuls Ennen, kun yhesnegrounesuua vodaan esaa, on esaava alkuperäsen akasarjojen logarmen saonaarsuua. Joa saonaarsuus oeuuu, on arkasellun akasarjan ermen keromen (yhälö 24) olava sesarvolaan penempä kun 1. Saonaarslle sarjolle shok ova lapäsä ja ne palauuva hljalleen ana akasn keskmääräselle asolleen. Epäsaonaarslle sarjolle aas on yypllsä, ee nllä ole pkän akaväln asapanoa kuen osakkee ja ndeks yleensä. Jos sarja on epäsaonaarnen, on sllä olemassa ykskköjuur. Juuren esmseks on olemassa usea esejä. Seuraavassa kuenkn käyämme ylesmmn unneua Dckey-Fuller-kerymäesä (ADF-es) (Dckey-Fuller 1979). Tesaava akasarja y on ny muooa y a y y... y 1 1 1 p n, (24) jossa a on vako(drf), vveen muuoksen y kerron ja n vveen(lag) ase auoregressvsessä prosessssa. Tesaaan seuraavaks markknaporfolon ja FF-fakoreden saonaarsuus, joka on ny yksnomaan rakenneu Russell:n ndeksesä. Nollahypoeesks H 0 aseeaan, eä 1 el sarja on epäsaonaarnen ja sllä on olemassa ykskköjuur. Vasahypoeesks aas aseeaan H 1, jollon sarja on saonaarnen. Tesn merksevyysaso vvellä lag = 1-5 on koou aulukkoon 2. ja nsä huomaaan, eä kakk porfolo ova epäsaonaarsa H 0 (p>0.05) kullakn vdellä vveellä. lag = 1 lag = 2 lag = 3 lag = 4 lag = 5 Porfolo name Dckey- Dckey- Dckey- Dckey- Dckeyp-value p-value p-value p-value Fuller Fuller Fuller Fuller Fuller p-value marke porfolo -1.848 0.640-1.745 0.684-1.795 0.662-1.748 0.682-1.821 0.651 large cap growh -1.656 0.721-1.672 0.714-1.874 0.629-1.985 0.582-2.102 0.533 large cap value -1.545 0.768-1.493 0.790-1.431 0.815-1.302 0.870-1.426 0.818 small cap growh -3.238 0.082-3.171 0.093-2.804 0.237-2.859 0.214-2.439 0.391 small cap value -0.128 0.990-0.136 0.990-0.023 0.990 0.430 0.990 0.145 0.990 Table 2. Sascal sgnfcance of non-saonary, p-value Suoreaan seuraavaks ndekselle (logarmnen) vrheanalyys yhälön (4) avulla, jossa a ja b vodaan määrellä lneaarsen regresson avulla esm. OLS-regresso. Vrheermä e ässä kohaa arvse huomoda. Vrheanalyysssa marsn ase oleeaan r p 5. Saaujen akasarjojen vrheden korrelaao (-resdual) ja nden keskhajonna on lsau aulukkoon 3. Jodenkn vrheden välllä havaaan huomaavaa korrelaaoa, kuen esm. markkna- ja large cap growh porfolon välllä, jossa korrelaao on perä 0.967, kun aas large cap value- ja small cap growh porfolon korrelaao on van 0.723. Vrheden normaalsuua on velä esau Shenon-Bowman
9 esllä (Shenon, Bowman 1977; Doornk, Hansen 1994), jonka mukaan vrhessä e esnny normaalsuua ekä auokorrelaaoa, kun vveden määrä noseaan kuueen. Auokorrelaaoa kuenkn esnyy, jos käyey vve on lan pen. -resdual marke porfolo large cap growh large cap value small cap growh small cap value marke porfolo 1 large cap growh 0.967 1 large cap value 0.937 0.827 1 small cap growh 0.868 0.860 0.723 1 small cap value 0.863 0.768 0.843 0.895 1 sandard devaons of he resduals 0.0174 0.0201 0.0159 0.0272 0.0187 Table 3. Correlaon marx and sandard devaons of he resduals. Tesaaan seuraavaks käyännössä markknaporfolon ja FF-fakoreden välsen yhesnegrounesuuden olemassaoloa pkällä akavälllä 1980-2004 (Hansen, Juselus 1995). Suoreaan ensn kaklle vdelle akasarjalle race sasc esmon yhälön (22) mukases. Taulukkoon 4. on koou kysesen esn nolla hypoeesn H 0 p-arvo. Kysesesä aulukosa nähdään, eä ykskköjuura löyyy kolme kappalea, jollon λ 3 λ 4 λ 5 0, 1 0 ja 0. 2 Marsn ase on alusavas 2, joen myös yhesnegrounesuusvekorea on 2. Hypohess r 0 r 1 r 2 r 3 r 4 p-value 0.000 0.043 0.272 0.166 0.198 Table 4. Johansen Trace sascs p-values. Marsn ase r vodaan velä vahvsaa companon mars A:n omnas-arvojen peruseella (Hansen, Juselus 1995), 1 I p A 0 0 I 0 p 0 jossa I p on p-dmensonen deneemars ja on määrely yhälössä (11). Marsn A 30 omnasarvoa on hahmoelu kuvan 2. ykskköympyrään. Omnasarvojen on sjaava ykskköympyrällä a sen ssäpuolella, jolle nän ole, marsn ase e vo olla 2. Kakk omnasarvo ova kuenkn hyvn ykskköympyrällä a sen ssäpuolella, joen marsn ase on 2. Nän sllä on myös 2 yhesnegrounesuusvekora, joka kuvasava markknarskä kullekn fakorlle ja markknaporfololle. 2 I n1 0 0 p 0 0 0 n (25)
10 Roos of he Companon Marx 1.0 Rank(PI)=2 0.5 0.0-0.5-1.0-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 Fgure 2. A scaer plo of he egenvalues of he companon marx. Marslle on ny saau esmaa ˆ ja samalla kakk muukn CVAR-yhälön (12) paramer on saau esmoua. Nän ollen mars on saau rakasua, jonka jälkeen vodaan rakenaa ennusamsarkoukseen sopva vrheenkorjausmall ECM (error-correcon model). Edellnen arkaselu on myös ehy erkseen aulukossa 5. kakken yksäsen akasarjojen välllä. Kahden akasarjan kombnaaossa e juur esnny yhesnegrounesuua lukuun oamaa para large cap value ja small cap value. lag = 6 marke porfolo large cap growh large cap value small cap growh small cap value marke porfolo - large cap growh 0 - large cap value 0 0 - small cap growh 0 0 0 - small cap value 0 0 1 0 - Table 5. Rank of conegraon marx beween sngle me seres. Lopuks vrheenkorjausmalla apuna käyäen on laadu yksnkeranen hedgng-sraega, jossa sjouskoheena ova Russell:n ndeksesä rakenneu 4 FF-fakora. Hedge-porfolon pano päveään ana kolmen kuukauden välen, nn eä fakorn jonka ECM-mall ennusaa kasvavan enen uona akana saa porfolopanon 1 ja muu fakor saava panon 0. Pano on esey neljännesvuosan leessä 1. Ennusamsa esaaan neljällä erpusella ranng perodlla 5- year, 7-year, 10-year ja all prevous daa ja ennusukse on laadu akavällle 1991Q1-2004Q3. Myös ensmmässsä ennusuksssa käyeyn akaväln 1980Q1-1990Q4 marsn ase on 2, joen kakssa ennusuksen vahessa on järkevää käyää 2 yhesnegrounesuusvekora. Kuvaan 3. on havannollseu kakken 4 ranng perodn anama nmellnen kumulavnen uoo. Tarkasellulla 14 vuoden akavälllä hedgng sraega yhesnegrounesuudella on voanu markknaporfolon (Russell 3000 ndex). Tuooja on markknaporfolon lsäks verrau parhamman ndeksn small cap value uoohn. Kuvan 3. apauksssa b), c) ja d), jossa kolmen kuukauden ennusuksen ekemseen on käyey 7 vuoden a sä suurempaa ranng peroda ennen ennusuksen alkuhekeä, hedgng sraega pysy jopa voamaan enen uoaneen ndeksn small
11 cap value (Russell 2000 value). Sen sjaan 5 vuoden ranng perodlla sraega e pysyny voamaan parhana ndeksä, vakka markkna kylläkn. Taulukkoon 6. on koou aulukon 1. apaan velä markknaporfolon, fakoreden ja hedge porfoloden uoo yl rskömän koron sekä nden ärkemmä unnusluvu 14 vuoden ajala. Fgure 3. Cumulave nomnal reurns of 5,7,10 years and all prevous daa hedge porfolos. Exra reurns(r -R f )(%) Volaly()(%) Sharpe rao Alpha(%) marke porfolo 9.59 15.8 0.60 0 large cap growh 8.37 19.9 0.41-1.22 large cap value 10.88 14.1 0.76 1.28 small cap growh 6.61 25.4 0.26-2.98 small cap value 13.73 16.6 0.82 4.13 hedge porfolo (5 year) 11.57 17.7 0.65 1.97 hedge porfolo (7 year) 15.53 16.5 0.94 5.93 hedge porfolo (10 year) 13.83 17.4 0.79 4.23 hedge porfolo (all prev. daa) 14.12 17.4 0.80 4.52 Table 6. Porfolos descrpve numbers/annum(%) 1991Q1-2004Q3. Kuvan 1. ja 3. mukases ndeksen välse eroavasuude ova ollee suurmmllaan vuosuhannen vaheen enolla, jollon IT-kupla on ehny kasvuosakkesa kohuuoman kalla. Juur uona akana edellä esey hedgng sraega on omnu parhaen. Kohdssa b), c) ja d)
12 sraega on osannu odella hyvn hyödynää kasvuosakkeden epäavallsen korkeaa uooa 90- luvun lopula ja sen jälkeen osannu hypää pos kyydsä arvo-osakkesn, kun kasvuosakkee ova ullee kohuuoman kallks. Tämä on hyvn ymmärreävää, koska arvo-osakkee ova uollon noussee malllses ja yhesnegrounesuus odoaa sarjojen hakeuuvan asapanoon (mean reversng). Kun ero kasvo lan suureks, hypän yksnkerases pos kasvuosakkesa. Yhesnegrounesuua on uku paljon markknan sjanfakoren ja osakkeen ja ndeksn välllä (esm. Alexander 1999), mua yhesnegrounesuua vodaan uka myös FF-fakoren välllä, mssä ässä ukmuksessa pysyn voamaan ¾ apauksssa yksäse FF-fakor ja markknaporfolo IT-kuplan muodosumsen ja puhkeamsen välsenä akana. Väe ehokkalla markknolla olevasa yhesnegrounesuudesa on osan epäselvä. Edellsen puolesa sekä sä vasaan on esey erlasa näkemyksä. Mm. (Granger 1986) ja (Balle, Bollerslev 1989) ova väänee, eä yhesnegrounesuuden uoma ennuseavuus merkss epäehokkaa markknoa. Sen sjaan (Dwyer, Wallace 1992) ja (Ferre, hall 2002) ova aas väänee, eevä ehoomuus ja yhesnegrounesuus ole sama asa. Emprses arkaseluna fakoren hyvn suure pokkeama IT-kuplan akana ova hsorallses anukeranen lmö, joka saaas vaa markknaehoomuueen. Myös suhauumnen small cap value-preemoon on jakanu ukjoden melpeä. On mm. ksely onko kysymyksessä anomala a jokn muu syy (esm äärmmänen appo hyvn huonona akona). Jos kyse on puhaasa anomalasa, päs lmön hävä. Esm. aulukon 1. mukases small cap growh fakorssa on apahunu selvä rakennemuuos 80-luvulla akasempaan nähden, jonka jälkeen ämän fakorn osakkee ova ananee paljon mua fakorea hekompaa uooa. 4. Concluson Tässä ukmuksessa arvon osakkeen hnaan vakuaven Fama-French-fakoren (Fama, French 1993, 1996) ja markknoden yhesnegrounesuua akavälllä 1980-2004. FF-fakorena käyen Russell:n yylsjousndeksejä. Yhesnegrounesuus sop eryses epäsaonaarsen daan arkaseluun, joa käselly yylsjousndeks olva. Edellnen analyys om hyvänä lsänä, kun haluaan mennä korrelaaoanalyysa pdemmälle ja mahdollses rakenaa jonknlanen mall ennususarkoukseen. Aluks verran FF-fakoreden hsorallsa uooja vasaavn yylsjousndeksen uoohn. Tulokse olva muuen samansuunase, pas small cap growh porfolon osala uoo olva huonompa, sen eä small cap growh porfolosa saaava preemo ol huomaavas penenyny 80-luvula alkaen verrauna kaukasempaan hsoraan. Päähuomo kesky monen akasarjan yhesnegrounesuusmalln arkaseluun Johansenn proseduurlla (Johansen 1988; Johansen, Juselus 1990). Ensn suoren vrheanalyys, jossa huoman vrheden olevan jonkn verran korrelounea. Sen sjaan auokorrelaaoa a normaalsuua e havau rävän suurlla vvellä. Tukulle vdelle akasarjalle saan yhesnegrounesuuden aseeks 2, jollon myös yhesnegrounesuusvekorea ol kaks. Lopuks rakennen markknaporfolon ja ndeksen vällle vrheenkorjausmall (ECM), joa käyen menesyksellses yylsjoamseen perusuvan hedge-porfoloden rakenamseen, jossa käyen neljällä erpusella ranng perodlla saauja kolmen kuukauden ennususpäkä oman, joka eryses IT-kuplan akana lövä kakssa apauksssa markknaporfolon ja 3
13 apauksessa neljäsä parhaen pärjänneen ndeksn. Nän havan, eä komponenesa vodaan muodosaa saonaarnen kokonasuus ja nden käyäyymnen rppuu ossaan. Lsäks esan kakk markkporfolon ja yksäsen ndeksen välse kahden kombnaaon yhesnegrounesuude, joa e juur esnyny yhä pokkeusa lukuun oamaa. Nän ollen pelkäsään kahdelle sarjalle e vou rakenaa ECM-malla. Krkkä on kuenkn anneu yhesnegrounesuuden olemassaolosa ehokkalla markknolla (Granger 1986; Balle, Bollerslev 1989). Sen sjaan osa ukjosa e näe rsraa yhesnegrounesuuden ja ehokkaden markknoden välllä (Dwyer, Wallace 1992; Ferre, hall 2002). Myös small cap value-osakkeden ulevasuuden preemo on herääny keskuselua, sllä sen päs hävä, jos kysymyksessä on anomala. Esm. Small cap growh-preemo on muuunu radkaals hyvn peneks 80-luvula alkaen. References Alexander C. 1999, Opmal hedgng usng conegraon. Phlosophcal Transacons of he Royal Socey, Seres A 357: 2039 2058. Balle R., Bollerslev T. 1989, Common sochasc rends n a sysem of exchange raes. Journal of Fnance, 44, 167-181. Cohcrane J. 1999, New facs n fnance. Economc Perspecves XXIII (3) Thrd quarer 1999 (Federal Reserve Bank of Chcago), also NBER workng paper 7169 Davs J., Eugene F., French K. 2000, Characerscs, Covarances, and Average Reurns: 1929 o 1997. The Journal of Fnance, Vol. 55, No. 1. 389-406. Dckey D., Fuller W. 1979, Dsrbuon of he esmaes for auoregressve me seres wh a un roo. J. Am. Sascal Assoc. 74, 427-429. Doornk J., Hansen H. 1994, An omnbus es for unvarae and mulvarae normaly. Workng paper, Nuffeld college, Oxford. Dwyer G., Wallace M. 1992, Conegraon and marke effency. Journal of Inernaonal Money and Fnance, 11, 318-327. Engle R., Granger C. 1987, Conegraon and error correcon: represenaon, esmaon, and esng. Economerca 55, 251-276. Fama E., French K. 1993, Common rsk facors n he reurns on socks and bonds. Journal of Fnancal Economcs 33, 3-56.
14 Fama E., French K. 1996, Mulfacor explanaons of asse prcng anomales. Journal of Fnance 51, 55-84. Ferre M., Hall S. 2002, Foregn exchange marke effency and conegraon. Appled Fnancal Economcs 12, 131-139. Granger C. 1986, Developmens n he sudy of conegraed varables. Oxford Bullen of Economcs and Sascs 48, 213-228. Hansen H., Juselus K. 1995, CATS n RATS, Conegraon Analyss of Tme Seres. Esma: Illnos, USA. Johansen S. 1988, Sascal analyss of conegraon vecors. J. Econ. Dyn. Conrol 12, 231-254. Johansen S. 1991, Esmaon and hypohess esng of conegraon n Gaussan auoregressve models. Economerca, 59, 1551-1580. Johansen S., Juselus K. 1990, Maxmum lkelhood esmaon and nference on conegraon wh applcaons o he demand for money. Oxford Bull. Econ. Sas. 52, 169-210. Lnner J. 1965, The valuaon of rsk asses and he selecon of rsky nvesmens n sock porfolos and capal budges. Revew of Economcs and Sascs 47, 13-37. Nobel Commee 2003, Advanced Informaon: Tme Seres Economercs: Conegraon and Auoregressve Condonal Heeroskedascy. Rosenberg B., Red K., Lansen R. 1985, Persuasve evdence of marke neffcency. Journal of Porfolo Managemen 11,9-17 Russell Invesmen Group, 2006, Russell U.S. Equy Index Defnons. hp://www.russell.com Sharpe W. 1964, Capal Asse Prces: A Theory of Marke Equlbrum Under Condons of Rsk. Journal of Fnance 19, 425-42. Shenon L., Bowman K. 1977, Abvarae model for he dsrbuon of b 1 and b 2. Journal of Amercan sascal assocaon 72, 206-211. Sock, J. M. Wason M. 1988, Varable Trends n Economc Tme Seres. Journal of Economc Perspecves, Vol 2, No. 3, 147-174.
15 Appendx 1. Porfolos weghs n every quarer. ranng perod 5 year 7 year 10 year all daa A B C D A B C D A B C D A B C D 1991Q1 1 1 1 1 1991Q2 1 1 1 1 1991Q3 1 1 1 1 1991Q4 1 1 1 1 1992Q1 1 1 1 1 1992Q2 1 1 1 1 1992Q3 1 1 1 1 1992Q4 1 1 1 1 1993Q1 1 1 1 1 1993Q2 1 1 1 1 1993Q3 1 1 1 1 1993Q4 1 1 1 1 1994Q1 1 1 1 1 1994Q2 1 1 1 1 1994Q3 1 1 1 1 1994Q4 1 1 1 1 1995Q1 1 1 1 1 1995Q2 1 1 1 1 1995Q3 1 1 1 1 1995Q4 1 1 1 1 1996Q1 1 1 1 1 1996Q2 1 1 1 1 1996Q3 1 1 1 1 1996Q4 1 1 1 1 1997Q1 1 1 1 1 1997Q2 1 1 1 1 1997Q3 1 1 1 1 1997Q4 1 1 1 1 1998Q1 1 1 1 1 1998Q2 1 1 1 1 1998Q3 1 1 1 1 1998Q4 1 1 1 1 1999Q1 1 1 1 1 1999Q2 1 1 1 1 1999Q3 1 1 1 1 1999Q4 1 1 1 1 2000Q1 1 1 1 2000Q2 1 1 1 1 2000Q3 1 1 1 1 2000Q4 1 1 1 1 2001Q1 1 1 1 1 2001Q2 1 1 1 1 2001Q3 1 1 1 1 2001Q4 1 1 1 1
16 2002Q1 1 1 1 1 2002Q2 1 1 1 1 2002Q3 1 1 1 1 2002Q4 1 1 1 1 2003Q1 1 1 1 1 2003Q2 1 1 1 1 2003Q3 1 1 1 1 2003Q4 1 1 1 1 2004Q1 1 1 1 1 2004Q2 1 1 1 1 2004Q3 1 1 1 1 A = large cap value B = large cap growh C = small cap value D = small cap growh Table A1. Porfolos weghs 1991Q1-2004Q3.