LAATTATEORIAA Yleistä Kuva 1. Laatta on kahden pinnan rajoittama rakenneosa, jonka paksuus on pieni muihin mittoihin verrattuna. Pintojen puolivälissä oleva keskipinta on taso ennen laatan kuormittamista. Laatan kuormitus vaikuttaa laatan keskipintaa vastaan kohtisuorassa suunnassa. Laatta on keskipinnan suhteen smmetrinen ja sen paksuus on useimmiten vakio. Laattaa voidaan pitää ksiulotteisen taivutuspalkin kaksiulotteisena vastineena. Laatat luokitellaan kolmeen rhmään: ohuet laatat, joissa on pienet taipumat, ohuet laatat, joissa in suuret taipumat, sekä paksut laatat. Taipumalla tarkoitetaan laatan keskipinnan pisteiden siirtmää keskipintaa vastaan kohtisuorassa suunnassa. Laattaan voidaan soveltaa ohuen laatan teoriaa, kun laatan paksuuden ja pienemmän sivumitan suhde on luokkaa 1/0. Jos laatta on ohut, sen taivutusjäkks on pieni ja taipumat kasvavat suuriksi. Tällöin voidaan puhua taipuisista laatoista, joissa suuren taipuman vuoksi mös laatan keskipinnan suuntaiset normaalivoimat, ns. kalvovoimat osallistuvat kuormituksen kantamiseen. Jos laatta on erittäin ohut, jää taivutusmomenttien ja leikkausvoimien osuus kuorman kannattamiseen pieneksi. Kuorman kantaminen perustuu pääasiassa kalvovoimiin ja taipumat ovat hvin suuret.
Seuraavassa tarkastellaan ohuiden laattojen pienten taipumien teoriaa. Laatta kantaa kuormituksen sisäisin momentein ja leikkausvoimin ilman keskipinnan suuntaisia kalvovoimia. Pienten taipumien teoria pätee, kun laatan suurin taipuma on pieni laatan paksuuteen t nähden. Tarkkaa rajaa on mahdoton antaa, mutta pienten ja suurten taipumien raja lienee luokkaa ma taipumien teoria on voimassa, jos w w ma / t = 0,1... 0,5. Raja voidaan esittää mös toisella tavalla: pienten w L, missä on laatan pienin tukiväli. < /50 ma min L min Pienten taipumien laattateoriassa (Kichoff-Loven laattateoria) oletetaan lisäksi, että - laatan materiaali on lineaarisesti kimmoista (Hooken laki) - laatan materiaali on homogeenista ja isotrooppista - laatan keskipinta on taso ennen kuormitusta - keskipintaa vastaan kohtisuorat normaalijännitkset ovat merkitksettömiä keskipinnan suuntaisiin normaalijännitksiin verrattuna - keskipintaa vastaan kohtisuorat normaalit psvät suorina ja kohtisuorassa keskipintaa vastaan taipuman jälkeenkin (vrt, teknillinen taivutusteoria palkissa) Laattateoria etenee viidessä vaiheessa. Pritään lausumaan kaikki suureet laatan taipuman w avulla. Kseessä on siirtmämenetelmä, koska perustuntematon on siirtmäsuure eli laatan taipuma w. Välivaiheet ovat: 1) muodostetaan venmät taipumasta geometrisella tarkastelulla ) venmistä siirrtään jännitksiin Hooken lain avulla 3) jännitksistä muodostetaan sisäiset jännitsreultantit (momentit ja leikkausvoimat) integroimalla 4) jännitsresultanttien ja ulkoisen kuormituksen avulla muodostetaan laatta-alkion voimatasapainoehto laatan keskipinnan normaalin suunnalle, mikä johtaa taipuman w neljännen kertaluvun osittaisdifferentiaalihtälöön. 5) osittaisdifferentiaalihtälö reunaehtoineen ratkaistaan, jolloin saadaan laatan taipuma w. Ratkaistun taipuman w avulla saadaan venmät, jännitkset ja jännitsresultantit soveltamalla kohdissa 1) 3) johdettuja tuloksia.
Taipuman ja venmien väliset htedet Kuva. Valitaan suorakulmainen z-koordinaatisto siten, että -taso ht kuormittamattomaan laatan keskitasoon ja z-akseli on keskipintaa vastaan kohtisuorassa(kuva 1). z-akselin suuntainen kuormitus q (pintaksikköä kohden) vaihtelee laatan eri ja on siis muuttujien ja funktio eli q = q(, ). Kuormituksen vaikutuksesta laatan keskitaso siirt matkan w ja muodostaa kimmopinnan w= w(, ). Taipumien olessa pieniä laatan keskitason piste siirt kuormitettaessa vain z-akselin suunnassa. Laatan kiertmisen vuoksi etäisdellä z keskipinnasta siirt mös vaakatasossa. Tarkastellaan tilannetta ensin z-tasossa. Kuvassa 1 on esitett etäisdellä z keskipinnasta olevan pisteen -akselin suuntainen siirtmä w u = z. (1a) Tämä perustuu oletuksiin, että keskipinnan normaali ps suorana ja kohtisuorassa taipunutta keskipintaa vastaan. Vastaavasti -akselin suuntaiseksi siirtmäksi saadaan w v= z (1b)
Venmiksi ja liukukulmaksi tulee taipuman w avulla lausuttuna u w ε = = z v w ε = = z γ u v w = + = z. Nämä ovat suoraan verrannollisia etäisteen keskipinnasta. () Venmien ja jännitsten väliset htedet Kuva 3. Venmistä saadaan jännitkset Hooken lain leistksen avulla. Taivutusjännitksiin σ ja σ verrattuna paksuussuuntainen jännits on pieni, joten σ z 0, joten tasojännitstilan jännitskomponenteiksi tulee σ ε νε ν 1 v 1 ν E Ez w w = ( + ) = + σ ε νε ν 1 v 1 ν τ E Ez w w = ( + ) = + w Ez w = Gγ = Gz = 1+ ν, jotka ovat venmien tavoin lineaarisia koordinaatin z suhteen. (3)
Laatan käristmät Tasokärän käristmä eli kaarevuus (kaarevuussäteen r käänteisluku, kuva ) määritellään kallistuskulman muutosnopeutena kaarenpituuden suhteen. Kun rajoitutaan taipumna pieniin paikallisiin muutoksiin, osittaisderivaattoja voidaan pitää pieninä kkösen rinnalla, niin toisen kertaluvun derivaatat kaavoissa () esittävät laatan käristmiä ja vääntmää. Laatan keskipinnan käristmät κ koordinaattitasojen z, z ja suuntaisilla tasoilla ovat 1 w = = κ r 1 w = = κ r 1 w = = κ r (4) On helposti havaittavissa, että κ = κ. Kuvasta 3 voi havainnollistaa käristmän κ sen käänteislukuna ja vastaavasti voi tehdä mös z-tason suuntaisessa tasossa. Kuvasta 4 voidaan havaita, miten osittaisderivaatta w/ muuttuu koordinaatin muuttuessa. Lisäksi kuvasta 4 nähdään, että käristmä κ on positiivinen ja laatta on kovera alaspäin. Vastaavasti, jos käristmä on negatiivinen, on laatta kovera löspäin. Kuva 4.
Venmät voidaan lausua nt käristmien avulla ε = zκ ε = zκ γ = zκ, (5) Jännitkset ovat käristmien avulla lausuttuna Ez σ = ( κ ) + νκ 1 ν Ez σ = ( κ ) + νκ 1 ν Ez τ = κ 1 + ν (6) Jännitsten ja jännitsresultanttien väliset htedet Koska jännitskomponenttien z-akselin suuntainen jakauma tunnetaan, voidaan jännitkset σ, σ ja τ hdistää sisäisiksi momenteiksi, joiden keskitasoon htvät vektorit ovat joko - tai -akselin suuntaisia vektoreita, ja, jotka ovat siis laatan normaalijännitksistä aiheutuvat sisäiset taivutusmomentit ja vääntömomentti. ( = leikkausjännitsten parittaisen htäsuuruuden τ = τ vuoksi). Integroimalla leikkauspinnassa pinta-alkioon vaikuttavan voiman momentti keskipinnassa olevan akselin suhteen saadaan sisäisiksi momenteiksi missä w t/ w = σz dz = D + ν t/ t / w w = σ z dz = D + ν t / t/ w = τz dz = (1 ν) D, t/ (4) D = 3 Et (5) 1(1 ν )
on laatan taivutusjäkks. omentit ovat käristmien avulla lausuttuna = D( κ + νκ ) = D( κ + νκ ) = D(1 νκ ) (6) Kuva 5. Integroimalla pinta-alkioon vaikuttava leikkausjännitksistä aiheutuva voima laatan paksuuden li saadaan leikkausvoimiksi Q Q t/ = τ zdz t/ t / = τ zdz t/ (6a) (6b) Jännitskomponentteja τ z ja τ z ei voida lausua htä helposti taipuman avulla kuin jännitskomponentit σ, σ ja τ. Leikkausvoimien lausekkeet voidaan ilmaista momenttien avulla tarkastelemalla laatta-alkion momenttitasapainoehtoja. omenttitasapainoehdosta -akselin mpäri (kertalukua olevat termit on jätett pois) + + d Qd d+ + + d d= 0 seuraa
Q = +. (7a) Vastaavasti momenttiehdosta -akselin mpäri seuraa Q = +. (7b) Kun sijoitetaan näihin momenttien lausekkeet, saadaan leikkausvoimille taipuman w avulla w w w w w Q D ν (1 ν) D D = + D = + = ( w ja vastaavasti w w Q = D + D w = joissa = + on Laplacen operaattori. ( ) ) (8a), (8b) Kaavojen (3) ja (4) avulla saadaan laatan jännitsten σ, σ ja τ maksimit ( z = t /) ja kuten palkin taivutusteoriassa jännitsten τ z ja τ z maksimit ( z = 0) σ σ τ 6 =± t 6 3 =± τ =± Q t t ma ma z ma 6 3 =± τ =± Q t t ma z ma z z (9)
Koordinaatiston kierto ja päämomentit Vastaavalla tavalla kuin jännitskomponentit σ, σ ja τ (vrt. lujuusopin opintojakso), voidaan momentit, ja esittää kulman θ verran kierretssä koordinaatistossa. Kuva 6. (a) (b) Kaavat momenttien esittämiseksi kierretssä koordinaatistossa ovat ( ) ( ) 1 ( ) θ = + + cos θ + sin θ 1 1 = sin + cos θ = ( + ) ( )cosθ sinθ 1 1 (1) Päämomentit saadaan kaavoilla 1 1 = ( + ) + + 1 = ( + ) + ja niiden suuntakulmat ϕ ja ϕ + 90 kaavalla tan ϕ = Päämomentteja vastaavissa koordinaattien suunnissa vääntömomentti häviää. (13) (14) Suurin vääntömomentti on ( ) = ma + (15)
Laatan taipuman differentiaalihtälö Kirjoitetaan laatan pstsuuntainen (z-akselin suuntainen) tasapainohtälö: d d Q Q q + dd+ dd = 0 (10) josta seuraa Q Q + + q = 0 (11) Sijoitetaan tähän leikkausvoimat Q = D w Q = D w ( ) ( ), jolloin päädtään laatan taipuman differentiaalihtälöön 4 4 4 w w w D ( w) + ( w) + q= D + + q 0 4 4 + =. Tämä esitetään tavallisesti muodossa 4 4 4 w w w q + + = 4 4 D (1) tai muodossa ( ) w = w=. D 4 q Koska laatan paksuus t korotetaan laatan taivutusjäkkden D = Et 3 1(1 ν ) lausekkeessa kolmanteen potenssiin, on sillä kuten on palkinkin korkeudella, ratkaiseva merkits laatan taipumien suuruuteen.