Jono- ja teleliikenneteorian tehtäväkokoelma. koonnut Esa Hyytiä 26. huhtikuuta 2005

Jono- ja teleliikenneteorian tehtäväkokoelma koonnut Esa Hyytiä 6. huhtikuuta 5 µ µ µ Tehtäväkokoelmaan on kerätty vuodesta 997 lähtien jonoteorian ja teleliikenneteorian tehtävät, laajakaistaisen välitystekniikan optiikkaa koskevia tehtäviä (999-), sekä joitakin muita tehtäviä erinäisistä lähteistä. ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

Teknillinen korkeakoulu Sähkö- ja tietoliikennetekniikan osasto Tietoverkkolaboratorio PL 3 5 TKK

Sisältö I Jonoteoria 9 Todennäköisyyslaskun perusteita. Johdanto..... Bayesinkaava....3 Ketjusäännöt..... Diskreetit jakaumat 5. Yleiset... 5. Satunnaisvektorit... 5.3 Generoivafunktio... 6.4 Vinoutusmenetelmä...... 7 3 Jatkuvat jakaumat 8 3. Yleiset... 8 3. Satunnaislukujen generointi......... 8 3.3 Eksponentiaalijakauma.... 9 3.4 Erlanginjakauma... 4 Stokastiset prosessit 4. Markov-ketju... 4. Markov-prosessi... 7 4.3 Syntymä-kuolema -prosessit........ 9 4.4 Poisson-prosessi... 3 4.5 EpähomogeeninenPoisson-prosessi... 34 4.6 Littlen tulos...... 35 5 Jonojärjestelmät 37 5. Yleiset... 37 5. Estojärjestelmät... 38 5.. Erlanginmenetysjärjestelmä... 38 5.. Engsetinjärjestelmä... 4 5..3 M/M/... 4 5..4 Muut... 4 5.3 Odotusjärjestelmät... 4 5.3. M/M/-järjestelmät... 4 5.3. M/M//m-järjestelmät... 44 5.3.3 M/M/m-järjestelmät... 44 5.3.4 M/G/-järjestelmät:keskiarvotulokset... 45 5.3.5 Pollaczek-Khinchinin kaava.... 45 5.3.6 Ryhmäsaapumiset... 47 5.3.7 Prioriteettijonot.... 48 5.3.8 M/G/-järjestelmät:jatko... 5 6 Muut 5 6. Ajankääntyvyys.... 5 6. Jonoverkot... 54 6.. Avoimetjonoverkot... 54 6.. Suljetutjonoverkot... 55 3

II Teleliikenneteoria 57 7 Johdanto 59 7. Intro... 59 7. Markov-prosessi... 6 8 Ylivuoto ja esto 6 8. Ylivuotoliikenne... 6 8. Estonlaskenta... 63 8.3 Verkonmitoitus... 63 9 MDP 67 9. Dynaaminenoptimointi... 67 9. Howardinyhtälöt... 68 ATM 7. Johdatus ATM-tekniikkaan......... 7.HOL-esto... 7 Solutason jonot 73.Benešinmenetelmä... 73. M/D/ -jonot..... 73.3 N * D/D/ -jonot... 75.4 Moduloidut N * D/D/ -jonot........ 76 Pursketaso 78. Ylivuoto-/saturaatiotodennäköisyys.... 78.Suurtenpoikkeamienteoriaa... 8.3 Nestejonot... 8 3 Kutsutason esto 83 3.Kutsutasonesto... 83 3.KaufmaninjaRobertsinrekursiokaava... 84 3.3 Päästä-päähän esto monibittinopeusverkossa.... 84 3.4Muut... 85 4 Muut 86 4.TCP... 86 4. Ikkunapohjainen vuonohjaus........ 87 4.3Reiluus... 87 4.4 PS-jonot.... 88 4.5 Tenttitehtäviä..... 89 III Muita tehtäviä 9 5 Optical Networks 9 5. Components...... 9 5.MACprotocols... 94 5.3TDM/T/WDMA... 95 5.4WavelengthRouting... 96 5.5Other... 98 6 Kombinatoriikkaa 99 6.Kombinatoriikkaa... 99 IV Vastaukset Todennäköisyyslaskun perusteita. Johdanto..... Bayesinkaava...3.3 Ketjusäännöt.....7

Diskreetit jakaumat. Yleiset.... Satunnaisvektorit...4.3 Generoivafunktio...4.4 Vinoutusmenetelmä...... 3 Jatkuvat jakaumat 5 3. Yleiset...5 3. Satunnaislukujen generointi.........6 3.3 Eksponentiaalijakauma....7 3.4 Erlanginjakauma...35 4 Stokastiset prosessit 37 4. Markov-ketju...37 4. Markov-prosessi...55 4.3 Syntymä-kuolema -prosessit........6 4.4 Poisson-prosessi...65 4.5 EpähomogeeninenPoisson-prosessi...77 4.6 Littlen tulos...... 79 5 Jonojärjestelmät 83 5. Yleiset...83 5. Estojärjestelmät...84 5.. Erlanginmenetysjärjestelmä...84 5.. Engsetinjärjestelmä...9 5..3 M/M/...95 5..4 Muut...97 5.3 Odotusjärjestelmät...3 5.3. M/M/-järjestelmät...3 5.3. M/M//m-järjestelmät...9 5.3.3 M/M/m-järjestelmät... 5.3.4 M/G/-järjestelmät:keskiarvotulokset...7 5.3.5 Pollaczek-Khinchinin kaava....8 5.3.6 Ryhmäsaapumiset...6 5.3.7 Prioriteettijonot....8 5.3.8 M/G/-järjestelmät:jatko...39 6 Muut 45 6. Ajankääntyvyys....45 6. Jonoverkot...5 6.. Avoimetjonoverkot...5 6.. Suljetutjonoverkot...57 7 Johdanto 63 7. Intro...63 7. Markov-prosessi...67 8 Ylivuoto ja esto 7 8. Ylivuotoliikenne...7 8. Estonlaskenta...75 8.3 Verkonmitoitus...78 9 MDP 84 9. Dynaaminenoptimointi...84 9. Howardinyhtälöt...93 ATM 36. Johdatus ATM-tekniikkaan.........36.HOL-esto...36 Solutason jonot 3.Benešinmenetelmä...3

. M/D/ -jonot.....3.3 N * D/D/ -jonot...37.4 Moduloidut N * D/D/ -jonot........33 Pursketaso 38. Ylivuoto-/saturaatiotodennäköisyys....38.Suurtenpoikkeamienteoriaa...339.3 Nestejonot...34 3 Kutsutason esto 348 3.Kutsutasonesto...348 3.KaufmaninjaRobertsinrekursiokaava...35 3.3 Päästä-päähän esto monibittinopeusverkossa....35 3.4Muut...358 4 Muut 36 4.TCP...36 4. Ikkunapohjainen vuonohjaus........364 4.3Reiluus...364 4.4 PS-jonot....366 4.5 Tenttitehtäviä.....369 5 Optical Networks 37 5. Components......37 5.MACprotocols...375 5.3TDM/T/WDMA...379 5.4WavelengthRouting...38 5.5Other...387 6 Kombinatoriikkaa 39 6.Kombinatoriikkaa...39

Sanasto ACK signaali jolla kuitataan onnistunut lähetys, 48 ADPH avarage daily peak hour, 59 ADSL Asymmetric Digital Subscriber Line, 44 AIMD additive increase - multiplicative decrease, 87 CAC Call Admission Control, 78, 8 DSL digital subscriber line, 48 DSP discriminatory processor sharing, 88 ERT Equivalent Random Theory (Wilkinsonin menetelmä), 6 FDMH fixed daily measurement hour, 59 FEC forward error correction, 85 FIFO First In First Out, 43, 46 HOL Head of Line (kytkin), 7 LIFO Last In First Out, 43 lmgf logaritminen momenttien generoiva funktio, 79 LPT longest processing time (first), 5 MCMC Markov Chain Monte Carlo, 53 MDP Markov decision process, 68, 394 mgf momenttien generoiva funktio, 79 MMPP Markov Modulated Poisson Process, 37 MMRP Markov Modulated Rate Process, 8, 8 MTU maximum transmission unit, suurin mahdollinen IP datagrammin koko, 48 MVA Mean value analysis, 55, 56, 6 NAS Network Access Station, 97 PABX Private Automatic Branch Exchange, 59 PASTA Poisson Arrivals See Time Averages, 94, 6 PS Processor Sharing, 43, 44, 46 RTT round trip time, keskimääräinen kiertoaika, 86 SPT shortest processing time (first), 5, 35 SRPTF Shortest Remaining Processing Time First, 35 TCBH typical consistent busy hour, 59 TCP transmission control protocol, 48, 86 VC virtuaalikanava, ATM, 77 WADM wavelength add and drop multiplexer, 97 WFQ weighted fair queueing, 87 WIXC Wavelength Interchange Cross-Connect, 96 WRN Wavelength Routed Network, 97 WSXC Wavelength Selective Cross-Connect, 97

Tehtäviä pelikasino Monty Hall ongelma gallup-kyselyn virhemarginaali pankkijono pankkiin saapuva asiakas postitoimisto autot äärettömän pitkällä tiellä koesarja, tilariippuva onnistumistodennäköisyys 3 hiukkanen ympyränkehällä 4 kaasumolekyylien diffuusio 4 sateenvarjojen sijainti 4 korttipakan sekoitus 4 korttipakan sekoittaminen 5 hampurilaisravintola 3 kaupan liukuovi 3 katsastusasema 35 taksijono kadunkulmassa 4 kengänkiillotusasema 4 ADSL- ja kaapelimodeemi-internetliittymä 44 taksiasema 44 tennispuisto 44 postimyyntiyhtiö 45 kaupan kassat 46 kopiokone 48 optimaalinen ei-syrjäyttävä priorisointi 48 optimaalinen ei-syrjäyttävä priorisointi 49 STM-järjestelmä 6 huutokaupassa optimipolitiikka 67 Sulttaanin vaimoehdokkaat 67 solukkoradioverkko 69 puhekoodekki 8 soluradiojärjestelmä 84

Osa I Jonoteoria 9

Kurssin sisältö:. Johdanto, tn-laskennan kertausta, tärkeät jakaumat, muunnokset, generoiva funktio. Stokastiset prosessit, Markovin ketjut ja prosessit 3. Poisson-prosessi, Littlen tulos 4. Jonojärjestelmät 5. Erlangin menetysjärjestelmä (M/M/m/m-jono) 6. Äärellinen lähdepopulaatio: Engsetin järjestelmä 7. M/M/-jono, M/M/m-jono 8. M/G/-jono: keskiarvotulokset, PK-kaava 9. Prioriteettijonot. M/G/-jono: jononpituusjakauma. Ajan kääntyvyys, Burken teoreema, tila-avaruuden katkaisu. Avoimet (Jacksonin) jonoverkot, suljetut jonoverkot, keskiarvoanalyysi (MVA)

Luku Todennäköisyyslaskun perusteita. Johdanto. a) Osoita, että pätee P{C D A B} =P{C B} P{A D B C}/P{A B}. b) Osoita, että riippumattomille tapahtumille A ja B pätee P{A B} = P{Ā}P{ B}. [t98, s. ]. Pelikasinossa on kaksi samannäköistä pelipöytää, mutta toisen croupier on rehellinen ja toisen epärehellinen. Edellisessä pöydässä voittotodennäköisyys on / ja jälkimmäisessä p. Pelattuasi ja hävittyäsi kerran mikä on todennäköisyys, että pelasit epärehellisen pöydässä? Mikä on sama todennäköisyys, jos kahden pelin jälkeen olet hävinnyt molemmilla kerroilla? Mitkä ovat nämä todennäköisyydet arvoilla p =, /,? [t99, s. ] 3. Tulostinpalvelimeen on kytketty kolme tulostinta A, B ja C. Sarjaportin takana olevalle tulostimelle A voidaan aina tulostaa. Sarjaportin takana on kaksi tulostinta, B ja C, joista vain yhdelle kerrallaan voidaan tulostaa (valitaan kytkimellä). Tulostinta A käytetään 3 min tunnissa, tulostinta B min tunnissa ja tulostinta C 5 min tunnissa. a) Olettaen, että tulostinjonot ja ovat riippumattomia, mikä on todennäköisyys, että vähintään yksi tulostin on käynnissä mielivaltaisena ajanhetkenä. b) Oletetaan, että tulostinjonot ja ovat riippuvia: ehdollinen todennäköisyys, että tulostin B on käynnissä, kun tulostin A on käynnissä, on /3, ja vastaava ehdollinen todennäköisyys tulostimelle C on /. Mikä on todennäköisyys, että vähintään yksi tulostin on käynnissä mielivaltaisena ajanhetkenä. [t5, s. ] 4. a) Palkintokilpailun pääpalkinto on piilotettu johonkin kolmesta laatikosta. Finalisti valitsee yhden laatikoista asettumalla sen eteen. Kilpailun isäntä, joka tietää missä pääpalkinto sijaitsee, avaa toisen kahdesta muusta laatikosta osoittaen sen olevan tyhjän ja kysyy kilpailijalta, haluaako tämä muuttaa valintaansa. Jotta kilpailija maksimoisi voittomahdollisuutensa, mitä neuvoisit häntä tekemään: kannattaako hänen pitää kiinni alkuperäisestä valinnastaan, vaihtaa toiseen avaamattomaan laatikkoon, vai onko se samantekevää? b) Sama kysymys seuraavassa tilanteessa: Kilpailun isäntä ei itsekään tiedä missä pääpalkinto sijaitsee, avaa toisen kahden muusta laatikosta ja tämä osoittautuu tyhjäksi. [t, s. 3] 5. Sinulle on annettu mahdollisesti harhallinen kolikko, ts. p =P{kruuna} ei välttämättä ole.5. Esitä koejärjestely, missä kolikkoa käyttäen suoritat reilun arvonnan kahden vaihtoehdon A ja B välillä, P{A} =P{B} =.5. (Ohje: tutki esimerkiksi kahden peräkkäisen heiton tuloksia) [t9, s. 3]

. Bayesin kaava. Kussakin n:stä laatikosta on m>npalloa. Laatikossa i, i =,...,n,on i punaista palloa ja m i vihreätä palloa. Laatikoista valitaan yksi umpimähkään ja siitä poimitaan mielivaltainen pallo. Osoittautuu, että pallo on punainen. Mikä on todennäköisyys, että laatikko, josta se nostettiin on numeroltaan j? [t53, s. 3]. Kahdesta kolikosta toinen on tavallinen kun taas toisessa kolikossa on molemmilla puolilla kruuna. Näistä kolikoista valitaan toinen umpimähkään ja sitä heitetään m kertaa kaikkien m heiton päätyessä kruunaan. Mikä on todennäköisyys, että valittu kolikko on tavallinen? Laske arvo kun m =,, 3. [t87, s. 4] 3. Bernoulli-kokeessa saadaan tulos todennäköisyydellä p ja tulos todennäköisyydellä q = p.arvoa p ei tunneta, mutta tiedetään, että se on alunpitäen vedetty tasaisesta jakaumasta välillä (,), ts. kaikkia arvot tällä välillä ovat aprioriyhtä todennäköisiä. p:n todellisesta arvosta yritetään saada informaatiota suorittamalla toistettu Bernoulli-koe. Kokeessa -tuloksia saadaan n kertaa ja -tuloksia n kertaa. Mikä on p:n a posteriori -jakauma (Bayes) kokeen tuloksen valossa? Missä sijaitsee jakauman maksimi? [t3, s. 4] 4. Tilaustutkimus on tehnyt gallup-kyselyn ennen presidentin vaaleja ehdokkaiden A ja B kannatuksesta. Tutkimuksessa haastateltiin 3 satunnaisesti valittua henkilöä ja kysyttiin heidän mielipidettään. Tutkimuksen perusteella Tilaustutkimus ilmoittaa ehdokkaan A kannatukseksi 48% ja ehdokkaan B kannatukseksi 5%. Tutkimuksen virhemarginaaliksi ilmoitetaan 3 prosenttiyksikköä. a) Merkitse ehdokkaan A kannatusta p:llä ja johda sen jakauma haastateltujen henkilöiden lukumäärän N:n ja ehdokasta A kannattavien lukumäärän n:n funktiona. b) Laske p:n jakauman odotusarvo ja varianssi. c) Approksimoi p:n jakaumaa normaalijakaumalla ja arvioi todennäköisyys sille, että ilmoitettu 3%:n virhemarginaali ylitetään. [t, s. 5].3 Ketjusäännöt. a) Todista odotusarvon ketjusääntö (ehdollistamissääntö) E[X]=E[E[X Y ]] kun X ja Y ovat diskreettejä satunnaismuuttujia, joiden yhteistodennäköisyydet ovat p i,j =P{X = x i,y = y j },i,j=,,... b) Todista varianssin ketjusääntö (ehdollistamissääntö) V[X] =E[V[X Y ]] + V [E [X Y ]] kun odotusarvon ketjusäännön tiedetään olevan voimassa. Ohje: V[X] =E [ X ] E[X]. [bt55, s. 7] [versiot: a,b]. Ketjusäännöt. a) Totea että ehdolliselle kovarianssille pätee, b) Todista kovarianssin ketjusääntö, Cov[X, Y Z] =E[XY Z] E[X Z]E[Y Z]. Cov[X, Y ]=E[Cov[X, Y Z]] + Cov[E [X Z], E[Y Z]].

Ohje: käytä apuna odotusarvon ketjusääntöä, E[X]=E[E[X Y ]]. [t33, s. 8] 3. Sovella keskiarvon ja varianssin ketjusääntöjä E[X] = E[E[X Y ]] V[X] = E[V[X Y ]] + V [E [X Y ]] tapaukseen X = X +...+ X N, missä X i :t ovat riippumattomia identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia (keskiarvo m, varianssi σ )jan on positiivinen kokonaislukuarvoinen satunnaismuuttuja (keskiarvo n, varianssi ν ). Ehdollista laskenta N:n arvoihin. [t, s. 8] 4. Olkoon {b i } i jono riippumattomia binäärisiä satunnaismuuttujia, P{b i = } = P{b i = } = /, sekä N positiivinen kokonaislukuarvoinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on n ja varianssi σ. Olkoon X ykkösten lukumäärä N:n ensimmäisen symbolin joukossa. Mikä on X:n odotusarvo ja varianssi? Ohje: käytä ketjusääntöjä. [t3, s. 9] 5. Jonojärjestelmään saapuu asiakkaita ryhminä. Ryhmissä on yhtä suurilla todennäköisyyksillä joko tai 3 asiakasta. Tietyn ajan sisällä saapuvien ryhmien lukumäärä K on Poisson-jakautunut keskiarvoparametrilla a =4. a) Kirjoita kyseisenä aikana saapuneiden asiakkaiden kokonaislukumäärän N generoiva funktio ja johda siitä odotusarvo E[N] ja varianssi V[N]. b) Johda odotusarvo ja varianssi käyttäen ketjusääntöjä, joissa ehdollistaminen on tehty ryhmien lukumäärään K. [t93, s. 9] 6. Lähiverkossa kulkee viiteen eri sovellukseen liittyviä paketteja. Kunkin sovelluksen i, i =,...,5, lähettämien pakettien keskipituus m i ja keskihajonta σ i on määrätty kokeellisesti. Samoin on määrätty kuhunkin sovellukseen liittyvien pakettien osuus p i kaikista paketeista. Mitatut arvot on annettu allaolevassa taulukossa. Laske kaikkien verkossa kulkevien pakettien pituuksien keskiarvo ja keskihajonta. [t54, s. ] sovellus p i m i σ i.3.5 3.4 4. 75 5 5.5 3 5 7. Tarkastellaan satunnaisesti valittua neliömäistä kuvalohkoa, jossa mustan värin määrä olkoon X. Jaetaan lohko neljään pienempään lohkoon ja olkoot vastaavasti näissä mustan värin määrät x i,j,i,j=,. Oletetaan, että kaikki alalohkot ovat keskenään tilastollisesti täysin samanarvoisia ja että eri lohkojen väliset kovarianssit riipuuvat vain niiden etäisyyksistä (ei suunnasta eikä sijainnista). Oletetaan, että tunnetaan seuraavat neliö- ja suorakaidelohkojen varianssit: V =V[X] =V[x, + x, + x, + x, ], v =V[x, ]=V[x, ]=V[x, ]=V[x, ], w =V[x, + x, ]=V[x, + x, ]=V[x, + x, ]=V[x, + x, ]. Laske näiden suureiden avulla a) ˆm(X) =E[x, X] =E[x, X] =E[x, X] =E[x, X], b) ˆv =E[V[x, X]] = E [V [x, X]] = E [V [x, X]] = E [V [x, X]], c) C =Cov[x,,X]=Cov[x,,X]=Cov[x,,X]=Cov[x,,X], d) C =Cov[x,,x, ]=Cov[x,,x, ]=Cov[x,,x, ]=Cov[x,,x, ], e) C =Cov[x,,x, ]=Cov[x,,x, ]. 3

(Tehtävä ei ole lainkaan vaikea: kohdassa b) käytä hyväksi edellisessä tehtävässä mainittua varianssin ketjusääntöä, kohdissa d) ja e) kehitä w:n ja V :n lausekket.) [t, s. ] 4

Luku Diskreetit jakaumat. Yleiset. a) Reitittimeen saapuvien pakettien pituuksien (tavuina) oletetaan noudattavan geometrista jakaumaa. Pakettien keskipituus on tavua. Jokainen paketti luetaan ensin tulopuskuriin. Kuinka suuri tämän puskurin tulee olla, jotta saapuva paketti mahtuisi siihen vähintään 95 % todennäköisyydellä? b) Käsikirjassa on 5 sivua ja 5 satunnaisesti sijoittunutta painovirhettä. Mikä on todennäköisyys, että annetulla sivulla on vähintään kaksi painovirhettä? [t57, s. ]. Oletetaan, että X Poisson(a). Osoita, että P{X = k} =P{X = k +} silloin ja vain silloin kun a = k +. [t58, s. 3] 3. Epäluotettava tietoliikenneyhteys muodostuu neljästä peräkkäisestä linkistä. Jokaisella linkillä todennäköisyys sille, että linkille lähetetty bitti ( tai ) vastaanotetaan linkin toisessa päässä virheettömästi, on 9 % ja siis %:n todennäköisyydellä vastaanotettu bitti on muuttunut toiseksi. Mikä on todennäköisyys sille, että koko yhteyden läpi kulkenut bitti saapuu perille virheettömästi? [t66, s. 3] 4. Oletetaan, että X,X,...,X n ovat geometrisesti jakautuneita satunnaismuuttujia X i Geom(p i ). Mitä jakaumaa noudattaa min(x,x,...,x n )? [t88, s. 3] 5. Todista heikko suurten lukujen laki lim P{ X +...+ X n nm /n > ɛ} =, n missä X i :t ovat riippumattomia ja samalla tavalla jakautuneita satunnaismuuttujia, E[X i ] = m ja V[X i ]=σ. Ohje: sovella Chebyshevin epäyhtälöä. [t5, s. 3]. Satunnaisvektorit (Huom. Nämä eivät varsinaisesti liity jonoteoriaan.). Olkoon x j :t satunnaismuuttujia ja x näistä muodostuva satunnaisvektori, x = ( x x... x n ) T. Satunnaisvektorin (matriisin) odotusarvo lasketaan alkioittain, E[x] def = ( E[x ] E[x ]... E[x n ] ) T. (.) Todista, että satunnaisvektorin (matriisin) odotusarvolle pätee 5

i) E[x + y] =E[x]+E[y], ii) E [ x T] =E[x] T iii) E[Ax] =AE[x], iv) E [ x T A ] =E [ x T] A, missä A on sopiva dimensioinen vakiomatriisi. [t34, s. 4]. Jatketään tehtävän (..) käsittelyä. Satunnaisvektorin varianssi-kovarianssi on n n-matriisi, Todista, että i) V[x] =E [ xx T] E[x]E[x] T, ii) V[Lx ]=LV[x] L T, V[x] def =E [ (x E[x])(x E[x]) T] (.) missä L on vakiomatriisi, t.s. L on lineaarikuvaus L : R n R m. [t35, s. 4].3 Generoiva funktio. Osoita suoraan laskemalla (ilman generoivaa funktiota), että kahden Poisson-jakautuneen kokonaislukumuuttujan N Poisson(a )jan Poisson(a ) summa on Poisson-jakautunut: (N + N ) Poisson(a + a ). Totea sama generoivan funktion avulla. [t63, s. 4]. Olkoon X kokonaislukuarvoinen satunnaismuuttuja, X =,,.., ja G(z) sen generoiva funktio. Tunnetusti generoivan funktion avulla voidaan laskea E[X] = d dz G(z) z= = G () ja E [ X ] = d dz z d dz G(z) z= = G () + G (). Oletetaan, että X on positiiviarvoinen, ts. P{X =} =.Mikä on tällöin generoivan funktion avulla lausuttuna a) E[/X] ja b) E [ /X ]? Ohje: avainsana on integrointi. [t4, s. 5] 3. K ja K ovat ei-negatiivisia kokonaislukuarvoisia satunnaismuuttujia, joiden pistetodennäköisyydet ovat P{K = k} = ( α)α k ja P{K = k} = ( β)β k, k =,,... Määrää summan K = K + K jakauma P{K = k}, k =,,... Käytä apuna generoivia funktioita ja sovella osamurtohajoitelmaa. [t5, s. 5] 4. Olkoon S = X +... + X N, missä X i Exp(µ) ovat riippumattomia samoin jakautuneita satunnaismuuttujia ja N näistä riippumaton geometrisesti jakautunut satunnaismuuttuja, P{N = k} = ( p)p k, k =,,... Johda S:n häntäjakautuma G(x) =P{S >x}. [t9, s. 6] 5. Olkoon X,X,...jono ei-negatiivisia kokonaislukuarvoisia i.i.d. satunnaismuutujia, joiden yhteinen generoiva funktio on G X (z), jan näistä riippumaton ei-negatiivinen kokonaislukuarvoinen satunnaismuuttuja, jonka generoiva funktio on G N (z). Tarkastellaan summaa S = X +...+ X N, jonka generoiva funktio on G N (G X (z)). a) Johda uudelleen laskuharjoituksen.3 tehtävässä 3 johdetut tulokset E[S] =E[N]E[X] ja V[S] =E[N]V[X]+V[N]E[X]. b) Mikä on S:n jakauma, kun X i Bernoulli(p) jan Poisson(a), jolloin S edustaa Poissonjakautuneesta joukosta satunnaisharvennuksella saadun joukon kokoa? [t6, s. 7] 6. Tutkitaan binomijakautuneita satunnaismuuttujia. a) Olkoon N Bin(n, p) populaation koko, jolle tehdään satunnaishajoitus k:hon osajoukkoon t.n.:illä q i, i q i =. Merkitään N i :llä joukon i kokoa. Näytä, että kukin N i on binomijakautunut. 6

b) Olkoon Ni, i =,...,k, joukko riippumattomia binomijakautuneita satunnaismuuttujia, N i Bin(n, pq i ). Määrää summan N = N +...+ N k generoiva funktio. c) Miksi N N yleisesti? [t36, s. 7] 7. Olkoon N nollasta alkava geometrisesti jakautunut satunnaismuuttuja N Geom (p), P{N = n} =( p) n p, n =,,,... ja X (N:stä riippuva) satunnaismuuttuja X Bin(N,q). Osoita, että X on geometrisesti jakautunut parametrilla α = p/(p pq + q). Vihje: binomijakauma vastaa onnistuneiden Bernoulli-kokeiden lukumäärää. [t6, s. 8] [ Vrt. tehtävään (.3.8). ] 8. Tutkitaan nollasta alkavia geometrisesti jakautuneita satunnaismuuttujia, N Geom (p), P{N = n} =( p) n p, n =,,,... a) Olkoon N Geom (p) populaation koko, jolle tehdään satunnaishajoitus k:hon osajoukkoon t.n.:illä q i, i q i =. Merkitään N i :llä joukon i kokoa. Näytä, että kukin N i on myös geometrisesti jakautunut. b) Olkoon Ni, i =,...,k, riippumattomia geometrisesti jakautuneita satunnaismuuttujia, N i Geom (α i ), missä α i = p/(p pq i + q i ) Ovatko N ja N samalla tavalla jakautuneita? [t36, s. 9] [ Vrt. tehtävään (.3.7). ].4 Vinoutusmenetelmä. Olkoon X satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa X Bin(,.). Laske pistetodennäköisyyden p =P{X = } arvo likimäärin käyttäen todennäköisyyden vinoutusmentelmää. [t89, s. ]. Olkoon X binomijakaumaa noudattava satunnaismuuttuja, X Bin(n, p). Tätä jakaumaa vinoutetaan parametrilla z. Mikä jakauma syntyy vinoutuksen tuloksena ja mitkä ovat sen parametrit? [t94, s. ] 3. Tarkastellaan satunnaismuuttujaa X = Y + Z, missä Y Bin(,.3) ja Z Poisson(4) ovat toisistaan riippumattomia. Määrää pistetodennäköisyys p 3 =P{X = 3} seuraavilla likimääräismenetelmillä ja vertaa tarkkaan arvoon.45 4. a) Perusta approksimaatio oletukseen, että likimäärin pätee X N(E [X], V[X]). (Kun diskreettiä jakautumaa approksimoidaan jatkuvalla jakautumalla, pistetodennäköisyys p i on likimain sama kuin tiheysfunktion integraali välillä (i /,i +/) ja tämä edelleen jakautuman varianssin ollessa likimain sama kuin tiheysfunktion arvo pisteessä i.) b) Käytä todennäköisyyden vinoutusmenetelmää tarkastelemalla satunnaismuuttujaa X, joka noudattaa vinoutettua jakautumaa p i = p iz i /π(z), missä π(z) on X:n generoiva funktio. Valitse z:lle arvo z siten, että vinoutetun jakautuman keskiarvo m (z ) on pisteessä i, ja sen jälkeen approksimoi tätä vinoutettua jakautumaa keskiarvonsa läheisyydessä normaalijakaumalla eli p i / πσ (z ), missä σ (z ) on vinoutetun jakautuman varianssi. Laske lopulta p i kääntämällä alkuperäinen vinoutuksen määritelmä, p i = p i π(z )/z i. (Ohje: X = Y + Z, missä X ja Y ovat vastaavalla vinoutuksella saadut satunnaismuuttujat (perustele). Vinoutuksessa Poisson(a)-jakautuma muuttuu Poisson(za)-jakautumaksi ja Bernoulli(p)- jakautuma muuttuu Bernoulli(zp/( p + zp))-jakautumaksi (totea nämä). Vinoutettu binomijakautuma on N:n riippumattoman vinoutetun Bernoulli-muuttujan summan jakautuma. Laske keskiarvot ja varianssit suoraan näitä tietoja hyväksikäyttäen.) [t, s. ] 7

Luku 3 Jatkuvat jakaumat 3. Yleiset. Oletetaan, että jatkuvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on { x y, kun <x< ja <y< f X,Y (x, y) = muulloin a) Määrää reunajakaumat f X (x) ja f Y (y). OvatkoX ja Y riippumattomia? b) Määrää ehdolliset tiheysfunktiot f X Y (x, y) ja f Y X (y,x). c) Laske E[X Y = y] ja E[Y X = x]. [t56, s. 5]. Olkoon Y välillä (,) tasanjakautunut sm, Y U(, ), ja X toinen sm, joka on tasanjakautunut välillä (,Y). Määrää X:n ehdollinen kertymäfunktio F X Y (x, y), X:n ja Y :n yhteistiheysfunktio f X,Y (x, y) ja X:n reunajakauman tiheysfunktio f X (x). [t63, s. 5] 3. Olkoot X,...,X n joukko toisistaan riippumattomia samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joiden kertymäfunktio on F (x). Osoita, että näiden joukossa j:nneksi suurimman kertymäfunktio on j ( ) n P{j:nneksi suurin x} = ( F (x)) i F (x) n i. i i= Mitkä erityisesti ovat muuttujista suurimman (maksimi) ja pienimmän (minimi) kertymäfunktiot? [t7, s. 6] 3. Satunnaislukujen generointi. Käytettävissä on satunnaislukugeneraattori, joka tuottaa välillä (, ) tasanjakautuneita lukuja U. Kuinka tämän avulla voidaan generoida eksponentiaalisesti jakautuneita satunnaislukuja? [t7, s. 6]. Olettaen, että käytettävissä on satunnaislukugeneraattori, joka tuottaa välillä (, ) tasanjakautuneita lukuja U, mielivaltaisen kertymäfunktion F X (x) mukaisesti jakautuneita satunnaislukuja X voidaan generoida perustuen siihen, että F X (X) U eli kääntäen X F X (U). Mieti, miten voit U:n generaattorin avulla tuottaa annetun yhteisjakautuman omaavia satunnaislukupareja tasossa esim. lähtien ensin liikkeelle toisen reunajakautumasta. Esitä erityisesti algoritmi, joka tuottaa satunnaispisteitä (X, Y ) tason yksikköneliössä ( X, Y ), kun muuttujien yhteistiheysfunktio on f X,Y (x, y) =x + y. [t, s. 7] 8

3.3 Eksponentiaalijakauma Lauseet tms.. Olkoon X eksponentiaalisesti jakautunut satunnaismuuttuja. Tekemättä mitään laskuja kerro, mikä seuraavista kolmesta väitteestä on tosi. Perustele. a) E [ X X> ] =E [ (X +) ] b) E [ X X> ] =E [ X ] + c) E [ X X> ] =(+E[X]) [t9, s. 8]. Olkoot X i Exp(λ i ),i=,, 3, riippumattomia eksponentiaalisesti jakautuneita satunnaismuuttujia. Määrää a) P{X <X <X 3 } b) P{X <X max(x,x,x 3 )=X 3 } [t9, s. 8] 3. Olkoot X Exp(λ ),...,X n Exp(λ n ) riippumattomia satunnaismuuttujia. Osoita, että P{X i =min(x,...,x n )} = λ i λ +...+ λ n (i =,,...,n). [t8, s. 8] 4. Olkoot X Exp(λ ),...,X n Exp(λ n ) riippumattomia eksponentiaalisesti jakautuneita satunnaismuuttujia. Osoita, että a) min(x,...,x n ) Exp(λ +...+ λ n ), b) [at6, s. 9] P{X i =min(x,...,x n )} = λ i λ +...+ λ n (i =,,...,n). 5. Olkoot X X Exp(λ) kaksi riippumatonta eksponttijakautunutta satunnaismuuttujaa. Merkitään ˇX =min(x,x ) ja ˆX [ ] [ ] =max(x,x ). Laske E ˆX, V ˆX, E [ [ ˇX] ja V ˇX]. [t6, s. 9] 6. Olkoot X,...,X n (n ) joukko riippumattomia Exp(λ)-jakautuneita satunnaismuuttujia. Määritellään uusi satunnaismuuttuja R, ns. alue, seuraavasti: R =max(x,...,x n ) min(x,...,x n ) Päättele, että R:n kertymäfunktio on P{R x} =( e λx ) n. [t6, s. 3] 7. Olkoon X,...,X n jono keskenään riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden jakautumat ovat X j Exp(jµ). Päättele, että summan S n = X + + X n kertymäfunktio on P {S n t} =( e µt ) n (vrt. n:n eksponenttijakautuneen satunnaismuuttujan maksimin jakautuma). [t6, s. 3] 8. Osoita, että eksponentiaalijakauma on ainut jatkuva-arvoinen muistiton jakauma. Ohje: Olkoon g(t) muistittoman jakauman X häntäjakauma, g(t) =P{X >t} = t f(x) dx. Muistittomuudesta seuraa, että g(t + s) = g(t) g(s) kaikille s, t >. [t65, s. 3] 9

Sovellukset 9. Oletetaan, että webbisurffailuistunnon kesto noudattaa eksponenttijakaumaa keskiarvolla 36 min. a) Mikä on todennäköisyys, että istunto kestää 3 min tai vähemmän? b) Mikä on todennäköisyys, että istunto kestää vähintään tunnin? c) Istunto on kestänyt jo tunnin. Mikä on todennäköisyys, että se kestää ainakin toisen tunnin? d) Istunnoista 9 % kestää vähemmän kuin R minuuttia. Mikä on R:n arvo? [t6, s. 3]. Modeemipooliin saapuu soittoja eksponentiaalisesti jakautunein väliajoin keskimääräisen väliajan ollessa 5 s. Mikä on todennäköisyys sille, että satunnaisesti valitusta alkuhetkestä laskettuna kolmannen soiton saapumiseen kuluu enemmän kuin 3 s? [t64, s. 3] [versiot: a,b]. Asiakkaan A saapuessa pankkiin kaikki neljä palvelupistettä ovat varattuina mutta jonossa ei ole muita asiakkaita. Asiakkaiden toisistaan riippumattomat palveluajat oletetaan eksponentiaalisesti jakautuneiksi keskiarvon ollessa min. a) Olettaen että uusia asiakkaita ei saavu, mikä on todennäköisyys sille, että A poistuu pankista viimeisenä? Muuttuisiko tulos, jos A:n edellä on jonoa, jota palvellaan saapumisjärjestyksessä? b) Mikä on A:n pankissa viettämän ajan odotusarvo? c) Kauanko keskimäärin kuluu aikaa A:n saapumisesta viimeisen asiakkaan poistumiseen, kun uusia asiakkaita ei saavu A:n jälkeen? [t6, s. 3]. Asiakkaan A saapuessa pankkiin kaikki neljä palvelupistettä ovat varattuja ja lisäksi kaksi asiakasta on edellä jonossa (yhteinen vuoronumeroon perustuva jono). Kunkin asiakkaan palveluaika oletetaan eksponentiaalisesti jakautuneeksi keskiarvolla min. a) Mikä on todennäköisyys, että asiakkaan A poistuessa pankista kaikki hänen pankkiin tullessaan edellä olleet asiakkaat ovat jo poistuneet? b) Kauanko keskimäärin kuluu aikaa siihen, että asiakas A pääsee palveluun? c) Mikä on asiakkaan A pankissa viettämän ajan odotusarvo? [t6, s. 3] 3. Asiakkaan C saapuessa postitoimistoon sen molemmat virkailijat ovat varattuja palvellen asiakkaita A ja B, mutta sisällä ei ole muita odottavia asiakkaita. Tehtävän 4 tulokseen nojautuen näytä, että virkailijoiden palveluaikojen ollessa eksponentiaalisesti jakautuneita parametreilla λ ja λ todennäköisyys sille, että C ei ole näistä kolmesta viimeksi poistuva, on [t93, s. 3] λ λ ( ) +( ) λ + λ λ + λ 4. Professori Hajamieli sopii päällekkäiset tapaamiset kahden opiskelijan kanssa. Tapaamisten kestot voidaan olettaa riippumattomasti eksponenttijakautuneiksi keskiarvolla 3 min. Ensimmäinen opiskelija saapuu sovittuna aikana ja toinen 5 min myöhässä. Mikä on odotusarvo aikavälille ensimmäisen opiskelijan saapumisesta toisen lähtöön? [t65, s. 33] 5. Äärettömän pitkällä tiellä on autoja paikoillaan joidenkin välimatkojen päässä toisistaan. Hetkellä kukin auto valitsee nopeusarvon muista riippumatta samasta eksponenttijakaumasta ja lähtee ajamaan tällä nopeudella. Ryhmän muodostavat:

Auto A, jonka edellä olevan auton nopeus on suurempi A:n takana olevat autot, joiden kunkin nopeus on suurempi kuin edessä ajavan a) Mikä on ryhmän kokojakauma näillä oletuksilla? b) Mikä kokojakauma olisi, jos nopeuksien arvonta tapahtuisi jakaumasta Erlang(k, λ)? [t65, s. 33] 3.4 Erlangin jakauma

Luku 4 Stokastiset prosessit Kalvot: Stokastiset prosessit, Markov-prosessi Markov-prosessit Syntymä-kuolema -prosessit Poisson-prosessi Littlen tulos 4. Markov-ketju Helpot. Nelitilaisen Markovin ketjun tilasiirtymämatriisi on P = / / B C @ A. Piirrä ketjun tilasiirtymäkaavio ja päättele, mitkä tilat ovat transientteja ja mitkä palautuvia. [t68, s. 37]. Markovin ketjulla (tilat,...,4) on seuraava siirtymätodennäköisyysmatriisi: p p P = q q p p. a) Mikä on q:n arvon oltava? b) Piirrä järjestelmän tilakaavio ja luokittele ketjun tilat eri tyyppeihin. c) Mikä on todennäköisyys sille, että ketju on neljännellä askeleella tilassa 4 olettaen, että askeleella se oli tilassa? [t4, s. 37] [versiot: a,b] 3. Määrää Markovin ketjun (tilat,...,4) tilatodennäköisyysjakauma askeleella n, kun ketjun tilasiirtymämatriisi on P = ja alussa systeemi on tilassa. [t63, s. 38] / / B C @ / /A,

4. Tarkastellaan pelkistymätöntä Markovin ketjua, jonka siirtymätodennäköisyysmatriisi on P. Osoita: a) Jos jollakin tilalla i on p i,i >, niin ketju on jaksoton. b) Jos yksikin tila on jaksollinen jaksolla d, niin kaikki muutkin tilat ovat jaksollisia samalla jaksolla. [t3, s. 38] 5. Markovin ketjulla on oheisen kuvan mukainen tilakaavio: a) Luokittele ketjun tilat. b) Laske positiivisesti palautuvien luokkien luokkakohtaiset tasapainojakaumat. c) Laske lim n P n numeerisesti matriisikertolaskulla. Mitä havaitset? [t43, s. 38] /4 / /4 4 3 / 5 / 6 6. Jatketaan tehtävän (4..5) käsittelyä. Määrää rajajakauma kun alkujakauma on, a) p =. b) p = p = p 4 =/3. [t44, s. 39] 7. Aika absorptioon. Kolmitilaisella Markovin ketjulla (tilat i =,...,3) on seuraava siirtymätodennäköisyysmatriisi: P = /4 / /4 @ / /4 /4A. Tila 3 on absorboiva tila. Merkitään T i :llä keskimääräistä aikaa (askelten määrää), joka tilassa i olevalta systeemiltä kuluu absorboivaan tilaan siirtymiseen (T 3 =). Kirjoita yhtälöt T i :lle, i =,, perustuen siihen, että seuraava siirtymä i j vie yhden askeleen ja markovisuuden nojalla siitä eteenpäin kuluu keskimäärin T j askelta absorboivaan tilaan pääsemiseksi. Ratkaise yhtälöt. [t, s. 39] 8. Tarkastellaan tilannetta missä palloja laitetaan satunnaisesti n:ään laatikkoon. Muodosta Markov-ketju, joka kuvaa ei-tyhjien laatikoiden lukumäärän kehitystä. [t4, s. 4] 9. Kokeita suoritetaan peräkkäin. Jos kaksi viimeistä koetta olivat onnistuneita, niin seuraavan kokeen onnistumistodennäköisyys on.8, muuten sen onnistumistodennäköisyys on.5. Mikä osuus kokeista onnistuu hyvin pitkässä koesarjassa? [t96, s. 4]. Määritellään äärettömän pitkässä Bernoulli(p)-kokeiden jonossa n:nnellä kokeella järjestelmän tilaksi luku, joka kertoo kuinka mones perättäinen onnistunut koe on kyseessä eli kuinka pitkä matka on edelliseen epäonnistuneeseen kokeeseen. Jos koe n epäonnistui, niin X n =; jos se onnistui, mutta edellinen epäonnistui, niin X n =, jne. a) Mikä on järjestelmän tila-avaruus? b) Perustele, että X n muodostaa Markovin ketjun. c) Kirjoita Markovin ketjun tilasiirtymämatriisi (näytä sen struktuuri). [t67, s. 4]. Tarkastellaan Markovin ketjua X n,n=,,..., jonka tilat ovat,,, ja jonka tilasiirtymätodennäköisyyksien matriisi on P = Olkoon f() =, f() = f() =. Onko prosessi Y n = f(x n ),n=,,,... Markovin ketju? [t95, s. 4] 3

. Hiukkanen liikkuu ympyrän kehällä pisteiden,,3,4 (myötäpäivään merkittyinä) kautta. Kullakin askeleella se liikkuu yhden askeleen myötäpäivään todennäköisyydellä p ja vastapäivään todennäköisyydellä p. Olkoon X n hiukkasen paikka kehällä n:n askeleen jälkeen. Prosessi X n,n=,,,..., muodostaa Markovin ketjun. a) Määrää sen siirtymätodennäköisyysmatriisi. b) Laske tilojen stationääriset todennäköisyydet. [t97, s. 4] Keskivaikeat 3. Olkoon Markovin ketjun siirtymätodennäköisyysmatriisi P ja vastaava tasapainotilan tilatodennäköisyysvektori π. Merkitään e:llä ja E:llä vastaavasti (vaaka)vektoria ja matriisia, jonka kaikki komponentit ovat ykkösiä, ja I:llä identiteettimatriisia. Osoita globaaliin tasapainoehtoon π = πp ja normiehtoon πe = e nojautuen, että π voidaan laskea kaavasta π = e (P + E I). Määrää tasapainojakautuma Markovin ketjulle, jonka siirtymätodennäköisyysmatriisi on ( ) p p P =. q q [t5, s. 4] 4. Tarkastellaan seuraavaa mallia, joka karkealla tavalla kuvaa N kaasumolekyylin diffuusiota huokoisen kalvon erottaman kahden säiliön välillä. Kuvatkoon Markovin ketju X n säiliössä olevien molekyylien määrää hetkellä n. Tilasiirtymät muodostuvat siitä, että N molekyylistä valitaan umpimähkään yksi ja siirretään vastakkaiseen säiliöön. Mitkä ovat prosessin X n tilasiirtymätodennäköisyydet? Osoita, että prosessin tasapainojakauma on π i = ( N i ) ( )N, i =,,...,N. [t69, s. 4] 5. Toivon ja Voiton pelaamassa pelissä uurnasta, jossa on 9 valkoista palloa ja mustaa palloa, nostetaan pallo, katsotaan sen väri ja pannaan pallo takaisin uurnaan. Jos pallo on valkoinen, Toivo saa Voitolta markan. Jos se on musta, Voitto saa Toivolta markan. Pelin alussa Toivolla on mk ja Voitolla mk. Peliä jatketaan, kunnes toinen pelaajista on saanut kaikki rahat toiselta. Millä todennäköisyydellä Voitto voittaa? [t7, s. 4] 6. Tehtävän henkilö omistaa n sateenvarjoa, joita hän käyttää kotinsa ja työpaikkansa välisillä matkoilla. Jos sataa, hän ottaa varjon mukaansa (edellyttäen, että siellä mistä hän on lähdössä on ainakin yksi varjo varastossa). Jos ei sada, hän ei koskaan ota varjoa mukaansa olipa hän menossa kumpaan suuntaan tahansa. Oletetaan, että sateen mahdollisuudet matkalla työhön tai kotiin ovat toisistaan ja menneisyydestä riippumattomat sateen todennäköisyyden ollessa p. Olkoon systeemin tila i, jos siellä mistä hän on lähdössä on i varjoa varastossa. Osoita, että tämän Markovin ketjun tasapainotodennäköisyydet ovat π = q/(q + n) ja π i =/(q + n), i =,...,n, missä q = p. Mikäp:n arvo maksimoi henkilön kastumistodennäköisyyden, kun n =? [t, s. 43] 7. Osoita, että kahden stokastisen matriisin tulo on stokastinen matriisi. [t59, s. 44] 8. a) Tilasiirtymämatriisia P kutsutaan kaksoisstokastiseksi matriisiksi, jos sen kaikki sarakesummat ovat ykkösiä, ts. i p i,j =kaikilla arvoilla j. Jos vastaava Markovin ketju on pelkistymätön ja jaksoton ja sillä on n tilaa, i =,,..., n, jolloin sen tiloilla on yksikäsitteiset rajatodennäköisyydet π i, osoita että π i =/n, i =,,...,n. b) Osoita edellisen nojalla, että korttipakka voidaan sekoittaa toistamalla seuraavaa: arvotaan satunnaisesti luku i välillä,...,5 ja siirretään paikassa i pakassa oleva kortti pakan päälle. Toisin sanoen näytä, että rajalla kaikki 5! järjestystä ovat yhtä todennäköisiä. [t99, s. 44] 4

9. Tutkitaan tavallista 5 kortin pakkaa. Olettaen että pakka on aluksi järjestyksessä ja se sekoitetaan ottamalla päällimmäinen kortti ja laittamalla se satunnaiseen väliin tai alimmaiseksi. Selvästi pakan alimmainen kortti sekoittuu heikoimmin. Muodosta sen sijainnista Markov-ketju ja tutki kuinka monta sekoituskierrosta tarvitaan, jotta pakka olisi suunnilleen sekaisin (eli kaikki permutaatiot ovat lähes yhtätodennäköisiä). [t98, s. 45]. Laatikossa on neljä eri väristä palloa ja sieltä poimitaan sattumanvaraisesti kaksi palloa kerrallaan. Ensimmäinen pallo maalataan aina samanväriseksi kuin toinen. Tätä jatketaan kunnes kaikki pallot ovat samanvärisiä. Mikä on nostokierrosten odotusarvo? [t55, s. 46]. Kolmikerroksisessa ostoskeskuksessa on hissi, joka kykenee liikkumaan mistä tahansa kerroksesta toiseen aina yhdessä aikayksikössä. Oletetaan, että hissin liikkuminen muodostaa Markov-ketjun: nykyinen seuraava sijainti sijainti katutaso. kerros. kerros katutaso.5.5. kerros.75.5. kerros.75.5 a) Määrää todennäköisyys että hissi on satunnaisella hetkellä kerroksessa k. b) Määrää siirtymien keskimääräinen lukumäärä T ij kun hissi lähtee kerroksesta i ja saapuu ensimmäisen kerran kerrokseen j. c) Asiakas saapuu satunnaisella hetkellä katutasolle ja on menossa ylimpään kerrokseen. Kuinka monta aikayksikköä matka keskimäärin kestää? [t36, s. 46]. Tutkitaan kuvan mukaista Markov-ketjua. Olkoon satunnaismuuttuja X i systeemin tila hetkellä i, ja tilojen todennäköisyysjakauma hetkellä, P{X =} =P{X =} =/. Tutki, onko a) P{X X,X } =P{X? X } b) P{X X =,X } =P{X? X =} Miten selität eron? [t39, s. 48] / / / / Vaikeimmat 3. Hiukkanen vaeltaa positiivisten kokonaislukujen joukossa. Jos sen paikka X n hetkellä n on i (i =,, 3,...), niin hetkellä n + se voi siirtyä paikkaan i, mikä tapahtuu todennäköisyydellä α ( < α<), tai paikkaan i +, todennäköisyydellä α. Jos hiukkanen on pisteessä, niin se jää siihen todennäköisyydellä α tai siirtyy pisteeseen todennäköisyydellä α. Piirrä Markovin ketjun X n, n =,,,..., tilakaavio. Osoita, että Markovin ketju on pelkistymätön ja jaksoton ja että tasapainoyhtälön ratkaisu on muotoa π j = γ j π, missä γ = α α. Osoita täten, että ketju on positiivisesti (ei-nolla) palautuva, jos ja vain jos α>/. [t34, s. 48] 4. Jatketaan tehtävän (4..3) käsittelyä ja pyritään määrittämään tilan k ekstinktiotodennäköisyys kuvan 4. mukaisessa Markovin ketjussa. α α α α α α α α α Kuva 4.: Markov-ketju, jonka tila-avaruus on Z +. 5

Olkoon qk n (α) todennäköisyys, että systeemi joka alunperin on tilassa k siirtyy ensin tilaan k +ja palaa ensimmäisen kerran takaisin tilaan n:llä askeleella (miksi aina parillinen lukumäärä?) Totea että saatu lauseke on symmetrinen, qk n (α) =qn k ( α). Olkoon R k (α) todennäköisyys että tilasta k siirrytään ylöspäin ja palataan joskus. Kirjoita R k (α):n lauseke. Mitä on R k ( α)? Ekstinktiotodennäköisyys puolestaan on, E k (α) def =P{tilaan k ei palata} = α R k (α). Tehtävän (4..3) mukaan paluun todennäköisyys on kaikilla k kun α > /, t.s. E k (α) =, kun α>/. Tähän nojautuen päättele mitä E k (α) on kun α</. [t4, s. 49] 5. Eräällä Markovin ketjulla on seuraava siirtymätodennäköisyysmatriisi ) P = ( 4 5 a) Määrää tasapainotilatodennäköisyyksien vektori π. b) Laske matriisipotenssien P n,n=,,..., generoiva funktio (matriisi) (I zp). c) Päättele edellisestä P n :n yleinen muoto? (Ohje: Kirjoita tuloksena saamasi generoiva funktio z:n lausekkeena, jossa esiintyy kertoimina z:sta riippumattomia vakiomatriiseja. Käytä tämän jälkeen osamurtohajotelmaa.) Päättele uudelleen tasapainotilatodennäköisyydet. [t, s. 5] 6. a) Markovin ketjulla on siirtymätodennäköisyysmatriisi P, ja tilatodennäköisyyksien vektori hetkellä on π. Seurattaessa järjestelmän kehitystä k:n askeleen yli havaitaan tänä aikana tietystä tilasta i tiettyyn tilaan j tapahtuvien siirtymien lukumäärä N. Päättele, että N:n generoiva funktio G N (z) on G N (z) =π P k (z)e T missä e on ykkösistä muodostuva vektori e =(,,...,) ja P(z) on muuten sama matriisi kuin P mutta jossa elementti p i,j on korvattu p i,j z:lla. Ohje: Jos lausekkeessa käytetään P:tä P(z):n asemesta, niin sen arvo on (totea perustuen siihen, että P:n rivisummat ovat ykkösiä eli Pe T = e T ). Totea, että lauseke edustaa tällöin kaikkien mahdollisten k-askeleisten polkujen todennäköisyyksien summaa. Millä tekijällä, kunkin polun todennäköisyys tulee kerrotuksi tässä summassa, kun lausekkeessa esiintyy P(z) eikä P? b) Sovella tulosta tapaukseen, jossa P on tehtävän (4..5) mukainen, k =3, hetkellä molemmat tilat ovat yhtä todennäköisiä ja kiinnostava siirtymä on. MikäonN:n jakauma eli pistetodennäköisyydet P{N = l} (l =,...,3)? [t35, s. 5] 7. Tarkastellaan tilan paluuaikaa T, eli ensimmäistä ajanhetkeä jolloin Markovin ketju, joka hetkellä on tilassa, palaa uudelleen tilaan. Päättele, että pätee { p, k = P{T, = k} = bb k a T k> missä a =(p,,...,p n, ), b =(p,,...,p,n ) ja B ovat siirtymätodennäköisyysmatriisin osituksessa esiintyvät vektorit ja alimatriisi: ( ) p, b P = a T B Mikä on paluuajan T, jakauma tehtävän 5 mukaisella P:llä? [t36, s. 5] 6 5

8. Osoita, että lähes täydellisesti hajoavan Markovin ketjun könttämatriisi, jonka elementit on määritelty allaolevan mukaisesti, on stokastinen matriisi (rivisummat ovat ykkösiä): P ij = b i Pij ë T j, missä P ij :t ovat tilasiirtymämatriisin lohkoja, b i on lohkon i normitettu (b i e T i =) tasapainotodennäköisyysvektori, b i = b i P ii,jae i on lohkon i kokoa vastaava vektori, jonka kaikki komponentit ovat ykkösiä. [t3, s. 53] 9. Nelitilaisen Markovin ketjun siirtymätodennäköisyysmatriisi on.5.4.5.5 P =..65..5..45.45.5.5.6.3 (a) Määrää sopiva hajotus lohkoihin ja hajotusta vastaavat matriisilohkot P ij. (b) Ratkaise lohkojen sisäiset tasapainotodennäköisyydet. (c) Muodosta könttämatriisi P (t). (d) Määrää lohkojen todennäköisyydet Π ja Π. (e) Määrää likimääräinen tasapainotodennäköisyysvektori b. (Ongelman tarkka ratkaisu on π =(.88,.49,.33,.39).) [t3, s. 53] 3. Tutkitaan yhden paketin siirtymistä kahden linkin, l =( ) ja l =( 3), muodostaman yhteyden yli. Kummankin linkin siirtoviive on yksi aikayksikkö. Linkillä l tapahtuu törmäys todennäköisyydellä b, jolloin solmu siirtyy uudelleenlähetystilaan yhden aikayksikön kuluttua. Vastaavasti linkillä l tapahtuu törmäys todennäköisyydellä b, jolloin solmu lähettää törmäyksestä kertovan NAK-paketin takaisin solmulle. NAK-paketilta menee tähän myös yksi aikayksikkö. Saatuaan NAKpaketin solmu siirtyy uudelleenlähetystilaan yhden aikayksikön kuluttua. Uudelleenlähetystilassa solmu yrittää lähettää pakettia uudestaan R:n aikayksikön jälkeen, missä R Geom(q). Toisin sanoen, paketti voi sijaita solmussa, tai 3. Solmussa paketti voi olla kahdessa tilassa, joko odottamassa uudelleenlähetystä tai valmis lähetettäväksi. Vastaavasti solmussa paketin määränpää voi olla solmu (NAK) tai solmu 3 (normaali tilanne). Ajatellaan lisäksi, että paketti pysyy solmussa 3 sinne päästyään. a) Piirrä paketin liikkumista kuvaavan Markov-ketjun tilakaavio (5 tilaa). b) Mikä on ketjua vastaava tilasiirtymämatriisi P? c) Kuinka kauan paketilta keskimäärin kestää ennenkuin se saapuu määränpäähän kun b = b =. ja q =/3? [t64, s. 54] 4. Markov-prosessi Helpot. Jatkuva-aikaisella Markovin prosessilla (tilat i =,...,3) on seuraava siirtymänopeusmatriisi: Q =. Ratkaise tämän prosessin tilojen tasapainotodennäköisyydet. [t, s. 55] 7

. Olkoon annettuna Markov-prosessi, jonka tilasiirtymänopeudet ovat q i,j Olkoot π i (i =,,...) tämän prosessin tilatodennäköisyydet tasapainotilassa. Osoita, että vastaavan upotetun Markovin ketjun tasapainotodennäköisyydet ovat π (e) i = π i q i / j π jq j, missä q i = j i q i,j. [t6, s. 55] 3. Kaksi asiakasta liikkuu kolmen palvelimen muodostamassa suljetussa järjestelmässä palvelimesta toiseen (siten palvelimista on jokaisella ajanhetkellä kaksi käytössä). Palvelimessa i olleen asiakkaan palvelun päätyessä tämä siirtyy kahdesta muusta palvelimesta siihen, joka on vapaa. Oletetaan, että palveluajat palvelimissa ovat riippumattomasti eksponentiaalisesti jakautuneita parametreilla µ i. Minkä osuuden ajasta kukin palvelin i on jouten? [t39, s. 56] 4. Jatkuva-aikaisella Markovin prosessilla on viereisen kuvan mukainen tilasiirtymäkaavio, missä α =/s, β =/s. a) Ratkaise prosessin tasapainotodennäköisyydet π i. b) Ratkaise vastaavan upotetun Markovin ketjun tasapainotodennäköisyydet π (e) i. c) Mitkä ovat eri tilojen keskimääräiset elinajat T i? Totea numeerisesti, että π i = π (e) i T i / j π(e) j T j. [t7, s. 56] α β β α 5. Kahden jonon muodostamassa suljetussa järjestelmässä kiertää n asiakasta. Palvelun päätyttyä asiakas siirtyy toiseen jonoon (tai suoraan toiseen palvelimeen, mikäli tämä on vapaa). Palveluajat ovat eksponentiaalisesti jakautuneita parametreilla µ. Laske millä todennäköisyydellä jonossa on j asiakasta, j =,...,n. [t4, s. 57] 6. Tarkastellaan tietoliikenneverkon osaa, jossa kahden solmun välille on vedetty kolme eri reittejä kulkevaa fyysistä linkkiä. Kuten tunnettua, ennemmin tai myöhemmin linkit vioittuvat jonkin kaivinkoneen hampaissa. Tätä varten operaattorilla on yksi huoltoryhmä, joka korjaa vioittuneet linkit. Jos kaksi tai kolme linkkiä on poikki yhtaikaa, ko. huoltoryhmä korjaa linkit yksitellen. Oletetaan sitten, että yhden linkin korjausaika on eksponentiaalisesti jakautunut odotusarvolla /µ. Toisaalta on havaittu, että yksittäinen linkki pysyy kunnossa eksponentiaalisesti jakautuneen ajan odotusarvolla /ν. Merkitään X(t):llä epäkunnossa olevien linkkien lkm:ää hetkellä t. Prosessi X(t) on Markov-prosessi. Piirrä sen tilasiirtymäkaavio. Johda lisäksi prosessin tasapainojakauma. [t57, s. 57] Vaikeammat 7. Ratkaise M/M//-systeemin ajasta riippuvat tilatodennäköisyydet π(t) =(π (t),π (t)) määräämällä siirtymänopeusmatriisin Q (vasemmanpuoleiset) ominaisvektorit a i ja ominaisarvot α i (i =, ) ja esittämällä π(t) yhtälössä d π(t) =π(t)q dt ominaisvektoreiden avulla, π(t) = i= c i(t)a i. Alkuarvo π() = (π (),π ()) on annettu. Osoita, että Cov[N(),N(t)] = V [N] e (λ+µ) t systeemin ollessa stationäärisessä tilassa (aika on satunnaisesti valittu hetki ja N() noudattaa tasapainojakautumaa). [t7, s. 58] 8. Tutkitaan oheisen kuvan mukaista jatkuva-aikaista Markov-prosessia X(t) (sama kuin luentojen esimerkki). Oletetaan, että λ<µ. Lisäksi on annettu Markov-ketju X n, missä p = λ/µ. Todista, että π(t) = n= e µt (µt)n n! π() P n, 8 -p λ µ p

missä π(t) on Markov-prosessin X(t) aikariippuvat tilatodennäköisyydet ja P on vastaavasti Markovketjun X (µt)n n tilasiirtymämatriisi. Huom. termi e µt n! vastaa todennäköisyyttä että Poisson-prosessista intensiteetillä µ tulee n saapumista t:n aikayksikön kuluessa. [t45, s. 59] 4.3 Syntymä-kuolema -prosessit. Ratkaise tasapainotodennäköisyydet SK-prosesseille (tila-avaruus i =,,,...), joiden tilasiirtymänopeudet ovat a) λ i = λ, µ i = iµ, b)λ i = λ/(i +), µ i = µ, missä λ ja µ ovat vakioita. [t7, s. 6]. Tarkastellaan puhdasta syntymäprosessia, missä syntymänopeus on verrannollinen populaation N(t) kokoon, λ i = iλ (i =,,...). a) Kirjoita tilatodennäköisyyksien π i (t) =P{N(t) =i} differentiaaliyhtälöt ajan suhteen arvoille i =,,... b) Osoita, että alkuehdolla N() = ratkaisu on π i (t) =e λt ( e λt ) i i =,,... c) Osoita suoraan syntymä-kuolemayhtälöistä, että generoiva funktio G(z,t) = i= π i(t)z i toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön t G(z,t) =λz(z ) z G(z,t) d) Osoita, että alkuehtoa N() = vastaava ratkaisu on G(z,t) = ze λt z + ze λt ja että tämä generoi kohdan a) ratkaisun. Laske G(z,t):n avulla E[N(t)]. e) Totea, että kyseinen syntymäprosessi kuvaa sellaisen populaation kasvua, jossa jokainen yksilö jakautuu kahtia vakiotodennäköisyydellä λ aikayksikköä kohden. Päättele tämän perusteella, että alkuehtoa N() = n vastaava ratkaisu on G(z,t) n. [t73, s. 6] 3. Tarkastellaan syntymä-kuolemaprosessia, jolla λ i = λ ja µ i = iµ, i =,,... a) Kirjoita tilatodennäköisyyksien π i (t) =P{N(t) =i} differentiaaliyhtälöt ajan suhteen. b) Määritellään (ajasta riippuvien) tilatodennäköisyyksien (ajasta riippuva) generoiva funktio G(z,t) = i π i(t)z i. Osoita, että se totetuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön t G(z,t)+(z )µ G(z,t) =λ(z )G(z,t). z Ohje: Sijoita G(z,t):n määritelmä tähän ja käytä edellisen kohdan tuloksia. c) Osoita, että alkuehdolla N() = eli π () = ratkaisu on G(z,t) =e λ µ ( e µt )(z ) Mikä jakauma on kyseessä (generoiva funktio tyyppiä e a(z ) )? Vertaa tasapainotilan, t, jakaumaa edellisen tehtävän kohdan a) tulokseen. [t73b, s. 6] 4. Uusiutumisprosessien perustuloksia. Tarkastellaan saapumisprosessia, jossa saapumisväliajat {X i } ovat riippumattomia samoin jakautuneita satunnaismuuttujia. Olkoon niiden yhteinen kertymäfunktio F (x), tiheysfunktio f(x) ja keskiarvo m. 9

a) Olkoon t satunnainen ajanhetki ja ˆX sen välin pituus, johon t osuu (satunnaiseen ajanhetkeen perustuva valinta). Osoita, että ˆX:n tiheysfunktio on f ˆX = xf(x) m. Ohje: Montako intervallia osuu pitkään aikaväliin T? Kuinka monta sellaista intervallia, jonka pituus on välillä (x, x + dx); minkä osan ajasta T nämä peittävät? b) Tarkastellaan suuretta R, joka on aika satunnaisesta hetkestä seuraavaan saapumishetkeen eli valituksi tulleen välin jäännösikä (forward recurrence time eli residual life time). Osoita, että R:n tiheysfunktio ja Laplace-muunnos ovat f R (x) = F (x) m, f R (s) = f (s) s m. Ohje: Satunnainen ajanhetki on tasanjakautunut valitun välin sisällä. [ Vrt. tehtäviin (5.3.6) ja (4.3.5) ] [t3, s. 63] 5. Autoja kulkee maantiellä pisteen A ohi keskimäärin minuutin välein. Väliajat ovat toisistaan riippumattomia ja samoin jakautuneita väliaikojen hajonnan (siis varianssin neliöjuuren) ollessa 6 minuuttia. Liftari tulee tienvarteen pisteeseen A satunnaisena ajanhetkenä. Kuinka kauan liftari joutuu keskimäärin odottelemaan seuraavan auton tuloa? [ Vrt. tehtäviin (4.3.4) ja (5.3.6) ] [t58, s. 64] 6. Syntymä-kuolema-prosessi, µ n = nµ, ja λ n = nλ + θ, kuvaa populaation kokoa tilanteessa, missä uusia yksilöitä sekä syntyy että muuttaa alueelle jostain muualta. Olkoon populaation koko alkutilanteessa x,elix() = x,jam(t) populaation koon odotusarvo hetkellä t, m(t) =E[X(t)]. Ratkaise m(t). Ohje: Mikä on X(t + h):n odotusarvo ehdollistettuna X(t):hen, E[X(t + h) X(t)], kun h on pieni? Ottamalla odotusarvo yhtälön molemmilta puolilta (ketjusääntö) ja antamalla h lähestyä nollaa saat differentiaaliyhtälön, josta voit ratkaista m(t):n. [t37, s. 64] 4.4 Poisson-prosessi Helpot. Olkoon N(t), t, Poisson-prosessi intensiteetillä λ. Merkitään S n :llä hetkeä, jolloin n:s tapahtuma esiintyy. Määrää a) E[S 4 ] b) E[S 4 N() = ] c) E[N(4) N() N() = 3] [t3, s. 66] [versiot: a,b]. Pakettiverkon eräällä linkillä kulkee keskimäärin pakettia/s. Pakettien saapumisten voidaan olettaa tapahtuvan Poisson-prosessin mukaisesti. Kukin paketti on muista riippumatta kuittauspaketti todennäköisyydellä 3 %. Tarkastellaan mielivaltaista sekunnin pituista ajanjaksoa: a) Mikä on todennäköisyys sille, että linkillä kulkee ainakin yksi kuittauspaketti? b) Mikä on pakettien kokonaismäärän odotusarvo, kun on havaittu, että linkillä on kulkenut 5 kuittauspakettia? c) Kun tarkasteluaikana on havaittu kaikkiaan 8 pakettia, millä todennäköisyydellä niistä tasan on kuittauspaketteja? [t4, s. 66] 3