Syntymä-kuolema-prosessit

Transkriptio

1 J. Virtamo Jonoteoria / SK-prosessit Syntymä-kuolema-prosessit Yleistä Syntymä-kuolema-prosessiksi (SK-prosessi) kutsutaan Markov-prosessia, jonka - tila-avaruus on iskreetti - tilat voiaan järjestää jonoksi, i=,,2,... siten, että - tilasiirtymiä voi tapahtua vain naapuritilojen välillä, i i + tai i i i... i i+ 3 i+ i+ i+2 Tilasiirtymänopeuet q i,j = λ i kun j = i + µ i kun j = i muulloin syntymätn. intervallissa t on λ i t kuolematn. intervallissa t on µ i t kun systeemi on tilassa i

2 J. Virtamo Jonoteoria / SK-prosessit 2 SK-prosessin tasapainotilatoennäköisyyet Käytetään leikkausmenetelmää = globaali tasapainoehto sovellettuna tilajoukkoon,,..., k. Tasapainotilassa toennäköisyysvirrat leikkauksen yli kumoavat toisensa (nettovirta =) λ k π k = µ k+ π k+ k =,, 2,... Saaaan rekursiokaava π k+ = λ k µ k+ π k Kaikki toennäköisyyet voiaan palauttaa rekursion avulla tilan toennäköisyyteen π π k = λ k λ k 2 λ π = k µ k µ k µ Soveltamalla normiehtoa π = k= + λ µ + λ λ µ µ 2 + i= λ i µ i+ π π k =, voiaan määrätä π = + k λ i k= i= µ i+

3 J. Virtamo Jonoteoria / SK-prosessit 3 SK-prosessin ajasta riippuvat ratkaisut Eellä tutkittiin SK-prosessin tasapainojakaumaa π. Joskus tunnetaan tilatoennäköisyyet hetkellä, π(), - tavallisin tilanne on se, että systeemin tieetään olevan hetkellä täsmälleen jossakin tilassa k; tällöin π k () = ja π j () =, kun j k ja halutaan selvittää, miten tilatoennäköisyyet kehittyvät ajan funktiona eli π(t) - tieetään, että lim t π(t) = π. Tämä määräytyy yhtälöstä π(t) = π(t) Q t missä Q = λ λ µ (λ + µ ) λ... µ 2 (λ 2 + µ 2 ) λ 2. µ 3 (λ 3 + µ 3 ) λ 3.. µ 4 (λ 4 + µ 4 )

4 J. Virtamo Jonoteoria / SK-prosessit 4 SK-prosessin ajasta riippuvat ratkaisut (jatkoa) i- i... i i+ 3 i i+ i+ i+2 Yhtälöt komponettimuoossa π i (t) t π (t) t = (λ i + µ i )π i (t) virrat ulos = λ π (t) + µ π (t) virta ulos virta sisään + λ i π i (t) + µ i+ π i+ (t) virrat sisään i =, 2,...

5 J. Virtamo Jonoteoria / SK-prosessit 5 Esim.. Puhas kuolemaprosessi λ i = µ i = iµ i =,, 2,... π i () = i = n i n jokaisella yksilöllä kuolemisnopeus on vakio µ systeemi lähtee tilasta n (n-) n- n n Tila on absorboiva tila, muut tilat ovat transientteja t π n(t) = nµπ n (t) π n (t) = e nµt t π i(t) = (i + )µπ i+ (t) iµπ i (t) i =,,..., n t (eiµt π i (t)) = (i + )µπ i+ (t)e iµt π i (t) = (i + )e iµt µ t π i+(t )e iµt t π n (t) = ne (n )µt µ t e nµt e (n )µt e µt t = n e (n )µt ( e µt ) Rekursiivisesti π i (t) = n (e µt ) i ( e µt ) n i i Binomijakauma: jokainen on muista riippumatta hetkellä t elossa tn:llä e µt

6 J. Virtamo Jonoteoria / SK-prosessit 6 Esim. 2. Puhas syntymäprosessi (Poisson-prosessi) λ i = λ µ i = i =,, 2,... π i () = i = i > syntymätoennäköisyys aikayksikköä kohen on vakio λ alkuhetkellä populaatio on 2... i- i Kaikki tilat ovat transientteja t π i(t) = λπ i (t) + λπ i (t) i > t π (t) = λπ (t) π (t) = e λt t (eλt π i (t)) = λπ i (t)e λt π i (t) = e λt λ t π i (t )e λt t π (t) = e λt λ t e λt e λt t = e λt (λt) Rekursiivisesti π i (t) = (λt)i e λt i! Syntymien lkm välillä (, t) Poisson(λt)

7 J. Virtamo Jonoteoria / SK-prosessit 7 Esim. 3. Yhen palvelimen järjestelmä Exp( ) Exp( ) - vakio saapumisnopeus λ (Poisson-saapumiset) - palvelun päättymisnopeus µ (eksp. palveluaikajak.) Järjestelmän tilat palvelin vapaa palvelin käytössä t π (t) = λπ (t) + µπ (t) t π (t) = Lasketaan yhtälöt yhteen λπ (t) µπ (t) Q = λ λ µ µ t (π (t) + π (t)) = π (t) + π (t) = vakio = π (t) = π (t) t π (t) + (λ + µ)π (t) = µ t (e(λ+µ)t π (t)) = µe (λ+µ)t π (t) = µ λ+µ + (π () µ λ+µ )e (λ+µ)t π (t) = λ λ+µ + (π () tasapainojakauma } {{ } poikkeama tasapainosta λ λ+µ )e (λ+µ)t häviää eksponentiaalisesti

8 J. Virtamo Jonoteoria / SK-prosessit 8 Markov-järjestelmien analyysi: yhteenveto. Etsi järjestelmälle tilakuvaus tähän ei ole valmista reseptiä usein sopiva tilakuvaus on ilmeinen joskus vaatii enemmän ajattelua systeemi voi olla markovinen jonkin tilakuvauksen suhteen ja ei-markovinen jonkin toisen tilakuvauksen suhteen (jolloin tila-informaatio ei ole riittävä) tilakuvauksen löytäminen on ongelman luova osa 2. Määrää tilasiirtymänopeuet suoraviivainen tehtävä, kun eksponentiaaliset pitoajat ja saapumisväliajat 3. Ratkaise tasapainoyhtälöt periaatteessa suoraviivainen tehtävä (lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu) tuntemattomien määrä (tilojen lukumäärä) voi olla hyvin suuri usein voiaan hyöyntää tilakaavion erityispiirteitä

9 J. Virtamo Jonoteoria / SK-prosessit 9 Globaali tasapainoehto i n + tilaa π {}}{ (π,..., π n ) q i, j q j, i j j q j,i = j iπ π i q i,j j i virta tilaan i Q virta tilasta i {}}{ q,j q, q,2... q,n j q, q,j q,2... q,n j q 2, q 2, q 2,j... q 2,n j q n,j q n, q n,, q n,2,... j i =,,..., n yksi yhtälö kutakin tilaa kohen =. π Q = π + π + + π n = yksi yhtälö on reunantti normiehto

10 J. Virtamo Jonoteoria / SK-prosessit Esim.. Jonojärjestelmä s palvelinta K ootuspaikkaa s palvelinta K ootuspaikkaa λ saapumisnopeus (Poisson) µ Exp(µ) pitoaika (oostusarvo /µ) K=5 s=4 Asiakkaien lukumäärä N kelpaa tilamuuttujaksi - määrää yksikäsitteisesti palvelussa olevien ja oottavien asiakkaien lukumäärät - minkä tahansa saapumisen tai poistumisen jälkeen palveltavana olevien asiakkaien jäljelläolevat palveluajat ovat Exp(µ)-jakautuneita (muistittomuus)

11 J. Virtamo Jonoteoria / SK-prosessit Esim. 2. Kutsuesto ATM-verkossa ATM-verkon virtuaaliväylälle (VP) tarjotaan kahenlaisia kutsuja. R = Mbps λ = saapumisnopeus µ = keskim. pitoaika a) Väylän kapasiteetti on suuri (ääretön) R 2 = 2Mbps λ 2 = saapumisnopeus µ 2 = keskim. pitoaika n 2 2 n 2 (n 2+) 2 (n +) n 2 2 n Markov-prosessin tilamuuttujana on tässä esimerkissä pari (N, N 2 ), missä N i kertoo päälläolevien, luokkaan i kuuluvien kutsujen lukumäärän tarkasteluhetkellä.

12 J. Virtamo Jonoteoria / SK-prosessit 2 Kutsuesto ATM-verkossa (jatkoa) b) Väylän kapasiteetti on 4.5 Mbps n 2 n