DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos)
|
|
- Olavi Mäkelä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 1 DISKREETIT JAKAUMAT Generoiva funktio (z-muunnos) Määritelmä Olkoon X diskreetti sm, jonka arvot ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, X {0, 1, 2,...}. Merkitään tämän pistetodennäköisyyksiä p i :llä p i = P{X = i} X:n generoiva funktio G(z) (tai G X (z); myös X(z) tai ˆX(z)) G(z) = i=0 p i z i = E[z X ] Kokoaa kätevästi yhteen arvot {p 0, p 1,...}; z on kirjanpitomuuttuja Monissa tapauksissa G(z) kyetään laskemaan (yksinkertainen analyyttinen lauseke) Kun G(z) on annettu, siitä kyetään takaperin päättelemään arvot {p 0, p 1,...} Eräät jakaumille suoritettavat operaatiot vastaavat paljon yksinkertaisempia operaatioita generoiville funktioille Usein yksinkertaistaa rekursiivisten yhtälöiden ratkaisemista
2 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 2 Käänteismuunnos Tehtävänä on päätellä todennäköiyydet p i, kun G(z) on annettu. Kolme eri keinoa 1. Kehittämällä G(z) potenssisarjaksi, josta p i identifioidaan potenssin z i kertoimena. Kerroin voidaan laskea myös mekaanisesti p i = 1 d i G(z) i! dz i z=0 = 1 i! G(i) (0) 2. Tarkastelemalla: hajoitetaan G(z) osiin, joiden käänteismuunnokset tunnetaan; esim. osamurtokehitelmä 3. Kompleksitason (polku)integraalina p i = 1 2πi G(z) polku dz zi+1 origon ympäri (valitaan siten, että G(z):n navat jäävät polun ulkopuolelle)
3 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 3 Esim. 1 G(z) = 1 1 z 2 = 1 + z2 + z 4 + p i = 1 kun i parillinen 0 kun i pariton Esim. 2 G(z) = 2 (1 z)(2 z) = 2 1 z 2 2 z = 2 1 z 1 1 z/2 Koska A 1 az vastaa jonoa A ai päätellään p i = 2 (1) i 1 ( 1 2 )i = 2 ( 1 2 )i
4 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 4 Jakauman momenttien laskeminen G(z):n avulla Koska p i :t edustavat todennäköisyysjakaumaa, niiden summa on 1 ja G(1) = G (0) (1) = i=1 Derivoimalla todetaan G (1) (z) = d dz E[zX ] = E[Xz X 1 ] G (1) (1) = E[X] Jatkamalla samoin saadaan p i 1 i = 1 G (i) (1) = E[X(X 1) (X i + 1)] = F i missä F i on i:s kertomamomentti.
5 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 5 Kertomamomenttien ja tavallisten (origo)momenttien suhde Kertomamomenttien F i = E[X(X 1) (X i + 1)] ja tavallisten (origo)momenttien M i = E[X i ] ja välillä vallitsevat lineaariset relaatiot: F 1 = M 1 M 1 = F 1 F 2 = M 2 M 1 M 2 = F 2 + F 1 F 3 = M 3 3M 2 + 2M 1. M 3 = F 3 + 3F 2 + F 1. Esimerkiksi F 2 = G (2) (1) = E[X(X 1)] = E[X 2 ] E[X] M 2 = E[X 2 ] = F 2 + F 1 = G (2) (1) + G (1) (1) V[X] = M 2 M1 2 = G(2) (1) + G (1) (1) (G (1) (1)) 2 = G (2) (1) + G (1) (1)(1 G (1) (1))
6 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 6 Momenttien laskeminen suoraan Momentit voidaan laskea generoivasta funktiosta myös suoraan (ilman kertomamomentteja) seuraavasti: d dz G(z) z=1 = E[Xz X 1 ] z=1 = E[X] d dz z d dz G(z) z=1 = E[X 2 z X 1 ] z=1 = E[X 2 ] Yleisesti E[X i ] = d dz (z d dz )i 1 G(z) z=1 = (z d dz )i G(z) z=1
7 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 7 Riippumattomien sm:ien summan generoiva funktio Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia. Tällöin G X+Y (z) = E[z X+Y ] = E[z X z Y ] = E[z X ]E[z Y ] riippumattomuus = G X (z)g Y (z) G X+Y (z) = G X (z)g Y (z) Alkuperäisillä diskreeteillä jakaumilla p i = P{X = i} q j = P{Y = j} ilmaistuna summaa vastaa konvoluutio p q P{X + Y = k} = (p q) k = k i=0 p i q k i Kahden jakauman konvoluutiona saadun jakauman generoiva funktio on siten alkuperäisten jakaumien generoivien funktioiden tulo.
8 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 8 Yhdistetty jakauma (compound distribution) ja sen generoiva funktio Olkoon Y riippumattomien, samoin jakautuneiden (i.i.d.) satunnaismuuttujien X i summa Y = X 1 + X 2 + X N missä N itse on ei-negatiivinen kokonaislukuarvoiden satunnaismuuttuja. Merkitään G X (z) G N (z) Halutaan laskea G Y (z) muuttujien X i yhteinen generoiva funktio N:n generoiva funktio G Y (z) = E[z Y ] = E[E [ z Y N ] ] = E[E [ z X 1+ X N N ] ] = E[E [ z X 1 z X N N ] ] = E[G X (z) N ] = G N (G X (z)) G Y (z) = G N (G X (z))
9 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 9 Bernoulli-jakauma X Bernoulli(p) Yksinkertainen koe, jossa on kaksi mahdollista lopputulosta: onnistuminen ja epäonnistuminen. Liitetään näihin sm X seuraavasti 1 kun koe onnistuu; todennäköisyys p X = 0 kun koe epäonnistuu; todennäköisyys q = 1 p Esim. 1. X kuvaa bittivirtaa liikennelähteestä, joka on joko päällä tai pois päältä. Generoiva funktio G(z) = p 0 z 0 + p 1 z 1 = q + pz E[X] = G (1) (1) = p V[X] = G (2) (1) + G (1) (1)(1 G (1) (1)) = p(1 p) = pq Esim. 2. ATM-kytkimen tuloporttiin saapuva soluvirta: aikalovessa (soluväli) on solu todennäköisyydellä p tai se on tyhjä todennäköisyydellä q.
10 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 10 Binomijakauma X Bin(n, p) X on onnistumisten lukumäärä n kertaa toistetussa Bernoulli-kokeessa. X = n i=1 Y i missä Y i Bernoulli(p) ja Y i :t riippumattomia (i = 1,..., n) Generoiva funktio saadaan suoraan Bernoulli-muuttujan generoivasta funktiosta q + pz G(z) = (q + pz) n = n i=1 Identifioimalla z i :n kerroin p i = P{X = i} = n p i (1 p) n i z i i n p i (1 p) n i i E[X] = ne[y i ] = np V[X] = nv[y i ] = np(1 p) Rajamuoto kun λ = E[X] = np on annettu ja n : G(z) = (1 (1 z)p) n = (1 (1 z)λ/n) n e (z 1)λ joka on Poisson-jakautuneen satunnaismuuttujan generoiva funktio.
11 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 11 Binomijakautuneiden sm:ien summan jakauma Olkoot X i :t (i = 1,..., k) binomijakautuneita samalla parametrilla p. Tällöin niiden summan jakauma on X X k Bin(n n k, p) koska summa edustaa onnistumisten lukumäärää toistetussa Bernoulli-kokeessa, jossa toistojen lukumäärä on n n k.
12 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 12 Multinomijakauma Tarkastellaan n-kertaista toistokoetta, mutta nyt kukin koe voi päättyä k:hon (k 2) erilaiseen tulokseen. Näiden todennäköisyydet yksittäisessä kokeessa ovat p 1, p 2,..., p k ( k i=1 p i = 1). Olkoon tuloksen i esiintymien lkm toistokokeessa N i. Halutaan laskea yhteistapahtuman {N 1 = n 1,..., N k = n k } todennäköisyys p(n 1,..., n k ) = P{N 1 = n 1,..., N k = n k }. Määritellään monen muuttujan N 1,..., N k yhteisjakauman generoiva funktio G(z 1,..., z k ) = E[z N 1 1 z N k k ] = n 1 =0... n k =0 p(n 1,..., n k )z n 1 1 z n k k Yhden kokeen jälkeen yksi esiintymälukumääristä N i on 1 ja muut ovat nollia. Yhtä koetta vastaava generoiva funktio on siten p 1 z p k z k. Riippumattomien kokeiden tapauksessa n-kertaisen toistokokeen tuottamien esiintymälukumäärien gf on yksittäisten kokeiden generoivien funktioiden tulo eli (p 1 z p k z k ) n. z i -muuttujien potenssien kertoimista identifioidaan p(n 1,..., n k ) = n! n 1! n k! pn 1 1 p n k k kun n n k = n, 0 muulloin
13 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 13 Geometrinen jakauma X Geom(p) X on toistetussa Bernoulli-kokeessa (onnistumistodennäköisyys p) ensimmäiseen onnistumiseen tarvittavien toistojen lukumäärä p i = P{X = i} = (1 p) i 1 p Generoiva funktio G(z) = p (1 p) i 1 z i = i=1 pz 1 (1 p)z Tämän avulla lasketaan odotusarvo ja varianssi: E[X] = G (1) = E[X 2 ] = G (1) + G (1) = 1 p p(1 (1 p)z) + p(1 p)z (1 (1 p)z) 2 V[X] = E[X 2 ] E[X] 2 = 1 p p 2 + 2(1 p) p 2 i = 1, 2,... Huom. joskus määritellään X 1 geometriseksi jakaumaksi (nollasta alkava geometrinen jakauma) z=1 = 1 p
14 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 14 Geometrinen jakauma (jatkoa) Todennäköisyys että ensimmäiseen onnistumiseen tarvitaan yli n toistoa P{X > n} = i=n+1 p i = (1 p) n Geometrisen jakauman muistittomuus P{X > i + j X > i} = P{X > i + j X > i} P{X > i} = P{X > i + j} P{X > i} = (1 p)i+j (1 p) i = P{X > j} Jos epäonnistumisia on ollut jo i kpl, todennäköisyys sille, että ensimmäiseen onnistumiseen tarvitaan vielä yli j koetta lisää on sama kuin kokonaan uudessa toistokokeessa todennäköisyys sille, että ensimmäiseen onnistumiseen tarvitaan enemmän kuin j koetta. Näin tulee tietenkin ollakin, koska jo suoritetut kokeet eivät vaikuta jatkokokeisiin, jotka kaikki ovat riippumattomia.
15 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 15 Negatiivinen binomijakauma X NBin(n, p) X on toistetussa Bernoulli-kokeessa tarvittavien toistojen lukumäärä, jotta saadaan n onnistumista. Jos X = i, niin (i 1):n ensimmäisen kokeen joukossa on täytynyt olla n 1 onnistumista ja kokeen i täytyy johtaa onnistumiseen: p i = P{X = i} = i 1 p n 1 (1 p) i n p = n 1 i 1 p n (1 p) i n n 1 kun i n 0 muulloin Ensimmäiseen onnistumiseen tarvittavien toistojen lkm Geom(p). Samoin tästä eteenpäin toiseen onnistumiseen jne, joten X = X X n missä X i Geom(p) (i.i.d.) Siten jakauman generoiva funktio on G(z) = ( pz 1 (1 p)z ) n Ylläolevat pistetodennäköisyydet voidaan päätellä myös tästä Keskiarvo ja varianssi ovat n-kertaiset geometrisen jakauman vastaaviin nähden E[X] = n p V[X] = n 1 p p 2
16 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 16 Poisson-jakauma X Poisson(a) X on ei-negatiivinen kokonaislukuarvoinen sm, jonka pistetodennäköisyydet ovat p i = P{X = i} = ai i! e a i = 0, 1,... Generoiva funktio G(z) = p i z i = e a (za) i i! i=0 i=0 = e a e za G(z) = e (z 1)a Kuten aikaisemmin nähtiin, tämä generoiva funktio saadaan Bin(n, p)-jakautuneen sm:n generoivasta funktiosta rajamuotona, kun keskimääräinen onnistumisten lkm pidetään vakiona, np = a, ja n:n annetaan rajatta kasvaa. Vastaavasti X Poisson(λt) edustaa tapahtumien lukumäärää t:n pituisella välillä Poissonprosessista, jonka intensiteetti on λ: pienessä välissä dt tapahtuman todennäköisyys on λdt ( koe onnistuu ) kahden yhtäaikaisen tapahtuman todennäköisyys on O(λdt) tapahtumien lukumäärät yhteispisteettömissä väleissä ovat riippumattomia
17 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 17 Poisson-jakauma (jatkoa) Poisson-jakaumaa noudattavat esimerkiksi Saapuvien puheluiden lkm tiettynä aikavälinä Käynnissä olevien puheluiden lukumäärä suuressa (estottomassa) johtoryhmässä Keskiarvo ja varianssi E[X] = G (1) = d dz e(z 1)a z=1 = a E[X 2 ] = G (1) + G (1) = a 2 + a V[X] = E[X 2 ] E[X] 2 = a 2 + a a 2 = a E[X] = a V[X] = a
18 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 18 Poisson-jakauman ominaisuuksia 1. Poisson-jakautuneiden satunnaismuuttujien summa on Poisson-jakautunut. X = X 1 + X 2, missä X 1 Poisson(a 1 ), X 2 Poisson(a 2 ) X Poisson(a 1 + a 2 ) Todistus: G X1 (z) = e (z 1)a 1, G X2 (z) = e (z 1)a 2 G X (z) = G X1 (z)g X2 (z) = e (z 1)a 1e (z 1)a 2 = e (z 1)(a 1+a 2 ) 2. Jos joukon koko N on Poisson-jakautunut, N Poisson(a), ja siitä suoritetaan satunnaispoiminta todennäköisyydellä p (kukin alkio poimitaan tällä tn:llä), niin saadun joukon koko K Poisson(pa). Todistus: K noudattaa yhdistettyä jakaumaa K = X X N, G X (z) = (1 p) + pz, missä N Poisson(a) ja X i Bernoulli(p) G N (z) = e (z 1)a G K (z) = G N (G X (z)) = e (G X(z) 1)a = e [(1 p)+pz 1]a = e (z 1)pa
19 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 19 Poisson-jakauman ominaisuuksia (jatkoa) 3. Jos joukon N Poisson(a) elementit lajitellaan satunnaisesti kahteen joukkoon 1 ja 2 todennäköisyyksillä p 1 ja p 2 = 1 p 1, niin joukkojen 1 ja 2 koot N 1 ja N 2 ovat riippumattomia ja jakautuneet kuten N 1 Poisson(p 1 a), N 2 Poisson(p 2 a) N ~ Poisson(a) p 1 p 2 N 1 N 2 Todistus: Kokonaistodennäköisyyden perusteella P{N 1 = n 1, N 2 = n 2 } = = n=0 P{N 1 = n 1, N 2 = n 2 N = n} P{N = n} }{{}}{{} multinomijakauma Poisson-jak. n! n 1!n 2! pn 1 1 p n 2 2 an = (p 1a) n 1 n 1! n! e a n=n1 = pn 1 1 p n 2 2 +n 2 n 1!n 2! a n 1+n 2 e a 1 {}}{ (p 1 + p 2 ) e p 1a (p 2a) n 2 e p2a = P{N 1 = n 1 } P{N 2 = n 2 } n 2! Yhteisjakauma on tulomuotoinen. N 1 ja N 2 ovat siten riippumattomia. Tulon tekijät ovat Poisson(p 1 a)- ja Poisson(p 2 a)-jakaumien pistetodennäköisyyksiä. Huom. Tulos yleistyy luonnollisella tavalla mille tahansa lukumäärälle lajittelujoukkoja.
20 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 20 Kollektiivisten merkkien menetelmä (Dantzig) Edellä generoivan funktion muuttujaa z on käsitelty vain teknisenä apumuuttujana ( kirjanpitomuuttuja ). Ns. kollektiivisten merkkien menetelmässä muuttujalle z annetaan todennäköisyystulkinta. Tämä mahdollistaa joidenkin tulosten elegantin johtamisen yksinkertaisella päättelyllä. Olkoon N = 0, 1, 2,... ei-negatiivinen kokonaislukuarvoinen sm. ja G N (z) sen generoiva funktio: G N (z) = n=0 p n z n, p n = P{N = n} Tulkinta: Ajatellaan, että N edustaa jonkin joukon kokoa. Merkitään joukon kukin alkio muista riippumatta todennäköisyydellä 1 z ja siis jätetään ilman merkkiä todennäköisyydellä z. Tällöin G N (z) on tn sille, että koko joukossa ei ole merkkiä.
21 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 21 Kollektiivisten merkkien menetelmä (jatkoa) Esimerkki: Yhdistetyn jakauman generoiva funktio Y = X X N, missä X 1 X 2 X N, yhteinen gen. funktio G X (z) N on sm., jonka generoiva funktio on G N (z) X 1 X N G Y (z) = P{joukon Y mikään elementti ei ole merkitty} = G N ( G X (z) ) }{{} tn. että yksittäinen aliryhmä ei ole merkitty }{{} tn. että mikään aliryhmä ei ole merkitty
22 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 22 Todennäköisyyden vinoutus: pistetn:ien likim. laskenta Monia jakaumia voidaan kohtuullisella tarkkuudella approksimoida normaalijakaumalla, kun keskiarvoparametri on suuri. Esim. Poisson(a) N(a, a), kun a 1 Approksimaatio on yleensä tarkka lähellä jakauman keskiarvoa, mutta kaukana tästä suhteellinen virhe voi olla huomattava. m m i i Approksimaatiota voidaan merkittävästi parantaa todennäköisyyden vinoutusmenetelmällä (probability shift/tilt method). Tämä tarjoaa keinon laskea sellaisen jakauman pistetodennäköisyys (jakauman hännässä), jonka generoiva funktio tunnetaan.
23 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 23 Todennäköisyyden vinoutus (jatkoa) Halutaan laskea sm:n X pistetodennäköisyys p i = P{X = i}, kun i E[X] (= m) Suoritetaan jakauman vinoutus ja tarkastellaan satunnaismuuttujaa X, jonka pistetodennäköisyydet ovat p i = p iz i G(z) Tämä on normitettu jakauma, koska G(z) = i p i z i. Vinoutetun jakauman momentit m (z) = E[X ] = 1 G(z) z d dz G(z) E[X 2 ] = 1 G(z) (z d dz )2 G(z) σ 2 (z) = V[X ] = E[X 2 ] E[X ] 2 m m i i
24 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 24 Todennäköisyyden vinoutus (jatkoa) Valitaan erityisesti z = z siten, että m (z ) = i eli että vinoutetun jakauman keskiarvo sijaitsee kiinnostavassa pisteessä i. Soveltamalla nyt normaaliapproksimaatiota vinoutettuun jakaumaan saadaan p i 1 2πσ 2 Ratkaisemalla kääntäen p i aikaisemmasta relaatiosta saadaan haluttu approksimaatio p i G(z ) (z ) i 2πσ 2 (z ) missä z on yhtälön m (z ) = i ratkaisu Lausekkeen laskemiseksi tarvitsee ainoastaan tuntea X:n generoiva funktio. Menetelmä on erityisen käyttökelpoinen silloin, kun X on usean eri tavoin jakautuneen riippumattoman satunnaismuuttujan summa, joiden kunkin jakauma (ja generoiva funktio) tunnetaan. X:n jakauma on tällöin monimutkainen, mutta koska sen generoiva funktio tunnetaan (generoivien funktioiden tulo) ylläolevaa menetelmää voidaan soveltaa.
25 J. Virtamo Jonoteoria / Diskreetit jakaumat 25 Todennäköisyyden vinoutus (jatkoa) Esimerkki (sinänsä triviaali/epämielekäs) Poisson-jakauma p i = ai i! e a, G(z) = e (z 1)a p i = p iz i G(z) = (az)i e az Poisson(za)-jakauma, joten momentit saadaan välittömästi i! m (z) = az, σ 2 (z) = az Yhtälön m (z ) = i ratkaisu on z = i a p i e(i/a 1)a (i/a) i 2πi = a i 2πie i i ie a Havaitaan, että approksimaatio antaa miltei oikean Poisson-todennäköisyyden, mutta nimittäjässä i! on korvautunut tunnetulla Stirlingin approksimaatiollaan i! 2πie i i i.
JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012
Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotTodennäköisyysjakaumia
8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A
Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot3.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotGenerointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista
S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Satunnaismuuttujien generointi 1(18) Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista Seuraavassa U, U 1,..., U n tarkoittavat riippumattomia U(0,1)-jakautuneita
LisätiedotDiskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi
TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA0 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi Kuten tilastojakaumia voitiin esittää tunnuslukujen (keskiarvo, moodi, mediaani, jne.) avulla, niin vastaavasti
Lisätiedot4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
Lisätiedot11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita
11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden
LisätiedotDiskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma
Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotJ. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 Poisson-prosessi Yleistä Poisson-prosessi on eräs keskeisimmistä jonoteoriassa käytetyistä malleista. Hyvin usein asiakkaiden saapumisprosessia jonoon
Lisätiedot3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma
3 Yhteisjakauma Kappaleessa 2 tarkastelimme aina yhtä satunnaismuuttujaa kerrallaan. Tässä kappaleessa näemme, miten aikaisemmat käsitteet yleistyvät siihen tilanteeseen, jossa samalla perusjoukolla on
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
Lisätiedot5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotLiikenneongelmien aikaskaalahierarkia
J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / HOL-esto 1 Liikenneongelmien aikaskaalahierarkia AIKASKAALAHIERARKIA Kiinnostavat aikaskaalat kattavat laajan alueen, yli 13 dekadia! Eri aikaskaaloissa esiintyvät
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotPURSKETASON TARKASTELUT Ylivuototodennäköisyys puskurittomassa systeemissä
J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / Pursketaso 1 PURSKETASON TARKASTELUT Ylivuototodennäköisyys puskurittomassa systeemissä Tarkastellaan ATM-kytkimen lähtöporttia Oletetaan: puskuri riittää vain solutason
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
16.11.2017/1 MTTTP5, luento 16.11.2017 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla ~,, ~,,. 16.11.2017/2 Esim. Tutkittiin uuden menetelmän käyttökelpoisuutta
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoverkkolaboratorio Sisältö Peruskäsitteitä Poisson-prosessi Luento05.ppt S-38.45 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2005 2 Stokastiset prosessit () Stokastiset prosessit
LisätiedotTilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.
Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotEstojärjestelmä (loss system, menetysjärjestelmä)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Estojärjestelmä 1 Estojärjestelmä (loss system, menetysjärjestelmä) Tarkastellaan perinteistä puhdasta estojärjestelmää, jossa on annettu n = johtojen (varattavien elementtien)
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
Lisätiedot5. Stokastiset prosessit (1)
luento05.ppt S-38.45 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 Sisältö Peruskäsitteitä Poisson-prosessi 2 Stokastiset prosessit () Tarkastellaan jotakin (liikenneteorian kannalta tai sitten muuten) kiinnostavaa
Lisätiedot4 Todennäköisyysjakauma
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 Todennäköisyysjakauma. a) Pistevaihtoehdot ovat,, ja 0. Heittoyritys tuottaa k pistettä silloin, kun kyseessä on k pisteen heitto
Lisätiedot