5 Magneettiset materiaalit

5 Magneettiset materiaalit 5.1 Magnetoituma Samoin kuin sähkökenttään asetettu eriste muuttaa sähkökenttää, muuttaa magneettikenttään asetettu aine magneettikenttää. Tämä aiheutuu atomien tai molekyylien magneettimomenteista. Atomin magneettimomentti koostuu elektronien rataliikkeeseen (ydintä kiertävä elektroni muodostaa virtasilmukan) ja sisäiseen impulssimomenttiin eli spiniin liittyvistä magneettimomenteista. Myös ytimellä on oma magneettimomenttinsa, mutta kahteen e.m. tekijään verrattuna se on vähäinen. Impulssimomentti, johon magneettimomentti liittyy, on kvantittunut suure;esimerkiksi spin-impulssimomentin komponentti tietyssä suunnassa voi saada vain arvot ± h/2, missä h = h/2π. Jos elektroniverhon kokonaisimpulssimomentti on nolla, ei atomilla ole permanenttia magneettimomenttia. Jos atomilla on permanentti magneettimomentti, aine on paramagneettista, jos ei ole, se on diamagneettista. Jos paramagneettinen aine asetetaan magneettikenttään, pyrkivät atomien magneettimomentit orientoitumaan sen suuntaan samaan tapaan kuin pooliset atomit sähkökentässä. Magneettikentän intensiteetti siis kasvaa hieman paramagneettisessa aineessa. Paramagneettisia aineita ovat mm. titaani ja happi. Erikoistapauksia paramagnetismista ovat ferromagneettiset aineet, joilla on voimakkaasti magneettikenttää vahvistava vaikutus. Mm. rauta, koboltti ja nikkeli ovat ferromagneettisia. Kaikki atomit ja molekyylit saavat magneettikentässä indusoidun magneettimomentin, joka on aina magneettikentälle vastakkaissuuntainen. Tämän vuoksi diamagneettiset aineet, joilla ei ole permanettia magneettimomenttia, heikentävät magneettikenttää. Diamagneettisia aineita ovat mm. kupari ja lasi. Jos atomin keskimääräinen magneettimomentti kentän suunnassa on m ja atomien lukumäärä tilavuusyksikössä onn,määritellään magnetoituma M yhtälöllä Magnetoituman yksikkö on M = N m. (5.1) [M] = 1 m 3 Am2 = A m. 81

82 5.1.1 Diamagnetismi ω ω Kuva 5.1 Diamagnetismin synty voidaan esittää tarkastelemalla elektronia sen kiertäessä ydintä oletetulla ympyräradalla. Jos atomin i:nnen elektronin vauhti on v i ja radan säde r i, se aiheuttaa virran I = ev i 2πr i ja magneettimomentin m i = IA = ev i 2πr i πr 2 i = e 2m e (m e v i r i )= e 2m e L i, missä L i = m e v i r i = m e ω i ri 2 on elektronin rataimpulssimomentti ja ω i = v i /r i kulmanopeus. Koska elektronilla on negatiivinen varaus, L i :n ja m i :n suunnat ovat vastakkaiset, joten m i = e L i. (5.2) 2m e Kaikkien atomin elektronien rataliikkeistä aiheutunut magneettimomentti on m = e L i = e L, (5.3) 2m e 2m e i missä L on elektronien kokonaisrataimpulssimomentti. Jos L = 0 ja jos lisäksi elektronien spinien summa = 0, ei atomilla ole permanenttia magneettimomenttia, jolloin se on diamagneettinen. Elektronin keskeiskiihtyvyys ympyräradalla on v 2 /r = ω0r, 2 joten mistä ratkaistuna ω 0 = m e ω 2 0r = ( Ze 2 Ze2 4πε 0 r 2, 4πε 0 m e r 3 ) 1/2. (5.4)

5.1. MAGNETOITUMA 83 ω = ω + ω ω = ω ω Kuva 5.2 Kuva 5.3 Jos atomi asetetaan magneettikenttään, kohdistuu elektroniin voima ev, joka on pieni Coulombin voimaan Ze 2 /(4πε 0 r 2 ) verrattuna. Tämä lisävoima kuitenkin muuttaa kulmanopeutta. Jos v, saadaan muuttunut kulmanopeus ω yhtälöstä m e ω 2 r = Ze2 4πε 0 r ± eωr, 2 missä plusmerkki on voimassa kuvan 5.2 ja miinusmerkki kuvan 5.3 tilanteessa. Säteen r pieni muutos voidaan jättää huomioimatta ja voidaan käyttää samaa arvoa kuin yhtälössä (5.4). Tämä on toisen asteen yhtälö ω:n suhteen ja normaalimuodossa se voidaan kirjoittaa josta ratkaistuna ω 2 e ω Ze2 m e 4πε 0 m e r =0, 3 ω = ± e ( e + 2m e 2m e ) 2 + Ze 2 4πε 0 m e r 3. Yhtäkön toinen juuri ei kelpaa, sillä se on negatiivinen. Koska magneettinen voima on pieni Coulombin voimaan verrattuna, saadaan approksimaatio ω ( Ze 2 4πε 0 m e r 3 ) 1/2 ± e 2m e = ω 0 ± ω L. (5.5) Suureesta ω L = e/(2m e )käytetään nimitystä Larmor-kulmataajuus. Huomaa, että se kulmataaajuus jolla vapaa elektroni kiertää rataansa magneettikentässä on e/m e, siis kaksinkertainen;tätäkin nimitetään joskus Larmor-kulmataajuudeksi. Nähdään, että kuvan 5.2 tapauksessa kulmanopeus ja sen mukana L kasvaa, ja kuvan 5.3 tapauksessa sekä kulmanopeus että L pienenevät. Kummassakin tapauksessa L saa magneettikentän suuntaisen lisän L = m e ω L r 2. Magneettikenttä siis indusoi magneettimomentin muutoksen m ind = e 2m e L = e 2m e m e ω L r 2 = e 2 Tämä muutos on kentälle vastakkaissuuntainen, eli e 2m e r 2 = e2 r 2 4m e. m ind = e2 r 2. (5.6) 4m e

84 Vaikka kentättömässä tilanteessa kuvien 5.2 ja 5.3 magneettimomentit kumoavatkin toisensa, kentän indusoimat momentit ovat samansuuntaisia, ja atomille saadaan kentän vaikutuksesta kentän suhteen vastakkaissuuntainen magneettimomentti. Aine on siis diamagneettinen. Yllä oletettiin yksinkertaisuuden vuoksi, että ja v ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Atomissa eri elektronien kiertoradat voivat muodostaa erilaisia kulmia :n suhteen ja ratojen muoto ja koko voivat olla erilaisia. Voidaan osoittaa, että atomin indusoitu magneettimomentti on keskimäärin m = e2 Zr 2 0 6m e, (5.7) missä Z on atomin elektronien lukumäärä jar 2 0 on elektronien ratojen säteiden neliöiden keskiarvo. Tämä perusteella diamagneettisen aineen magnetoituma on M = Ne2 Zr0 2, (5.8) 6m e missä on paikallinen magneettivuon tiheys. Ei-ferromagneeettisissa aineissa se on useimmissa tapauksissa sama kuin makroskooppinen kenttä. 5.1.2 Paramagnetismi Jos atomin tai molekyylin elektronien kokonaisrataimpulssimomentti ilman ulkopuolista magneettikentää on eri suuri kuin nolla, aine on paramagneettista. Tyypillisesti paramagneettisen atomin L on suuruusluokkaa h, joten atomin magneettimomentti on suuruusluokkaa m = e h =9, 274 10 24 Am 2. (5.9) 2m e Suureesta m (joskus merkitään µ )käytetään nimitystä ohrin magnetoni. Koska magneettimomentin potentiaalienergia U p = m pyrkii minimiin, kääntää magneettikenttä momentteja itsensä suuntaisiksi. Erittäin suuressa magneettikentässä, jossa =10T,m :n suuruisen magneettimomentin potentiaalienergian U p = m = 10 22 J. Huoneenlämmössä terminen energia 3kT/2 10 20 J, joten lämpöliikkeen energia on hallitseva. Magnetoituma voidaan siis laskea oltzmannin jakautuman avulla samalla tavalla kuin poolisen eristeen polarisoituma laskettiin kohdassa 2.2.2. Tulos voidaan kirjoittaa suoraan kaavan (2.13) perusteella kun P, p ja E korvataan M:llä, m:llä ja:llä. Tulos on M = Nm2. (5.10) 3kT Atomin keskimääräinen kentän suuntainen magneettinen momentti on siis m = m2. (5.11) 3kT

5.1. MAGNETOITUMA 85 Tässäkin kaavassa voidaan käyttää keskimääräistä magneettivuon tiheyttä, sillä :n paikallinen arvo on paramagneettisissa aineissa suunnilleen keskimääräisen kentän suuruinen. Myös paramagneettisiin aineisiin syntyy indusoitunut magneettimomentti, joka aiheuttaa diamagneettisen efektin. Sen vuoksi konaismagnetoituma on ( m 2 M = N 3kT e2 Zr0 2 ). (5.12) 6m e Esim.: Jos tutkitaan ainetta jonka Z = 50, r 0 10 10 mjam m, niin paramagneettinen magnetoituma on noin kaksinkertainen diamagneettiseen nähden. Koska diamagneettinen osa riippuu Z:sta, vastaavat kevyemmät aineet, joilla on permanenttia magnetoitumaa ovat vielä selvemmin paramagneettisia. 5.1.3 Ferromagnetismi Joissakin aineissa, kuten esimerkiksi raudassa, koboltissa ja nikkelissä, esiintyy hyvin voimakas paramagneettinen ilmiö, jota kutsutaan ferromagnetismiksi. Ilmiö aiheutuu siitä, että tietyn lämpötilan (Curie-lämpötila, Curie-piste) alapuolella aine on jakautunut suuruusluokkaa 10 10 10 12 m 3 oleviin alueisiin, joita nimitetään Weissin alueiksi. Kussakin Weissin alueessa johde-elektronien spinit ja siis myös magneettimomentit ovat samansuuntaisia. Suuntautuminen johtuu johde-elektronien ja sidottujen elektronien vuorovaikutuksesta ja syntyy vain sellaisissa aineissa joiden sidotuilla elektroneilla on oikea orbitaalirakenne. Magnetoitumattomassa aineessa alueiden kokonaismagneettimomentit ovat satunnaisesti suuntautuneita ja eri alueet ovat suunnilleen samankokoisia. Heikossa magneettikentässä pieni enemmistö alueista on kentän suuntaisia, mutta silti ferromagneettinen vaikutus voi olla varsin suuri. Kun magneettikenttää kasvatetaan, laajenevat ne alueet, joiden magneettiset momentit ovat kentän suuntaisia, ja muut pienenevät. Näin saadaan entistä voimakkaampi keskimääräinen magnetoituma. Kun kenttä kasvaa riittävän suureksi, kentän suuntaan magnetoituneet Weissin alueet laajenevat niin, että kaikki muut alueet katoavat. Tämän jälkeen magnetoituma ei voi enää kasvaa, ja ainetta sanotaan saturoituneeksi. Curie-pisteen yläpuolella ferromagneettinen aine muuttuu paramagneettiseksi. On myös aineita, jotka ovat erittäin vähän magnetoituvia ja joita sen vuoksi kutsutaan antiferromagneettisiksi. Niissä on atomitasolla voimakas magneettinen

86 vuorovaikutus, mutta vierekkäisten atomien magneettimomentit ovat vastakkaissuuntaiset. Tällainen rakenne vastustaa tehokkaasti ulkoisen magneettikentän magnetoivaa vaikutusta. Ferrimagneetit ovat epätäydellisiä antiferromagneetteja. Niilläkin on vastakkaissuuntaisia magneettimomentteja, jotka eivät kuitenkaan ole aivan samansuuruisia eivätkä siis täysin kumoa toisiaan. 5.2 Makroskooppinen magneettikenttä aineessa Sähkökentän kanssa analogisesti voidaan aineessa vaikuttavalle magneettikentälle määritellä atomaarinen kenttä at, joka vaihtelee atomin suuruusluokkaa olevassa mittakaavassa makroskooppinen kenttä, joka on at :n keskiarvo niin laajan alueen yli, että se sisältää suuren määrän atomeja paikallinen kenttä loc, jonka aineen yksittäinen atomi kokee. Jos makroskooppinen magneettivuon tiheys ilman väliainetta on 0 ja väliaineen kanssa, on voimassa = 0 + M, (5.13) missä M on väliaineen magnetoituman M aiheuttama muutos. Muutos aiheutuu tietenkin atomien magneettimomenttien kentistä ja suurimmaksi osaksi siitä voimakkaasta kentästä, joka vaikuttaa atomin sisällä ja on sen magneettimomentin suuntainen (kuva 5.5). Ferromagneetttisia aineita lukuunottamatta muutos M on varsin pieni. Paramagneettiset aineet voimistavat ja diamagneettiset aineet heikentävät kenttää. E 0 0 E 0 0 Kuva 5.4 Kuva 5.5 Verrataan tilannetta sähködipoliin (kuva 5.4). Eristeissä atomin dipolimomentit ovat kentän suuntaisia, joten dipolin sisällä oleva voimakas kenttä pyrkii pienentämään ulkoista sähkökenttää.

5.2. MAKROSKOOPPINEN MAGNEETTIKENTTÄ AINEESSA 87 Koska :n kenttäviivat ovat jatkuvia, ei tällaista kentän suunnan vaihtumista tapahdu magneettimomentin sisällä, ja paramagneettisissa aineissa (kuva 5.5), joissa M on :n suuntainen, kasvaa M:n vaikutuksesta. Diamagneettisissa aineissa magneettimomenttien suunnat ovat kentän suunnalle vastakkaisia, ja sen vuoksi ne heikentävät kenttää. 5.2.1 Magnetoituneen kappaleen pintavirrat Koska väliaineen aiheuttamat magneettikentän muutokset johtuvat atomien tai molekyylien magneettimomenteista ja magneettimomentit puolestaan voidaan kuvata pienten virtasilmukoiden avulla, jotka yhdessä muodostavat virtajärjestelmän, on mahdollista löytää virtasysteemi, joka aiheuttaa saman kentän muutoksen kuin väliaine. L r r i s δx (A) () I Esim.: Tarkastellaan homogeenista magneettikenttää paramagneettisella aineella täytetyssä pitkässä solenoidissa. Solenoidissa kulkevan virran I aiheuttama magneettivuon tiheys solenoidin sisällä on 0 = µ 0 NI, (5.14) missä N on kierrosten lukumäärä/pituusyksikkö. Paramagneettiseen aineeseen syntyy homogeeninen magnetoituma M, joka on :n suuntainen. Jaetaan paramagneettinen sauva δx:n paksuisiksi liuskoiksi. Kunkin kokonaismagneettimomentti on πr 2 δxm, missä r on solenoidin säde. Jokainen liuska koostuu suuresta määrästä magneettimomentteja (kuva A), joita voidaan kuvata pienillä virtasilmukoilla. Nämä virrat kumoavat toisensa muualla, paitsi aineen pinnalla (kuva ), jonne syntyy magnetoituman pintavirta. Jos i S on pintavirran suuruus pituusyksikköä kohti, on yhden liuskan magneettimomentti πr 2 i S δx. Tämän tulee olla yhtä suuri kuin πr 2 δxm, eli i S = M. Ampèren lain mukaan tämän virran aiheuttama magneettivuon tiheys M voidaan laskea ehdosta M l = µ 0 i S l = µ 0 Ml, josta M = µ 0 M. (5.15) Kokonaismagneettivuon tiheys on solenoidin virran I ja magnetoituman pintavirran i S aiheuttamien kenttien summa = 0 + M = µ 0 NI + µ 0 M = µ 0 (NI + M).

88 Osoitamme seuraavaksi, että para- ja diamagneettisissa aineissa magnetoitumasta aiheutuva kenttä M on paljon pienempi kuin 0, ja aiheuttaa siihen vain pienen muutoksen. Jos näin on, niin sisäinen kenttä loc on miltei sama kuin makroskooppinen kenttä. Tällöin voimme käyttää yhtälössä (5.12) makroskooppista kenttää 0, jolloin ( m 2 M = µ 0 M = µ 0 N 3kT e2 Zr0 2 ) 0. 6m e Kuten aikaisemmin näimme, diamagneettinen termi on yleensä paramagneettista pienempi. Jos se jätetään huomioimatta, on M 0 = µ 0Nm 2 3 kt. Kiinteissä aineissa atomien lukumäärätiheys on suuruusluokkaa N =5 10 28 m 3. Jos lisäksi m = m ja T = 300 K, on M / 0 3 10 4. Diamagneettisen termin huomioiminen pienentäisi tätä suhdetta edelleen, joten paramagneettisessa aineessa on todellakin M 0. 5.2.2 Magnetoitumavirtatiheys Edellä käsitelty magnetoituman aiheuttama pintavirta homogeenisessa kappaleessa on analoginen homogeeniseen eristeeseen syntyvän polarisoituman aiheuttaman pintavarauksen σ p kanssa. Epähomogeenisessa sähkökentässä epätasaisesti polarisoituneessa eristeessä voi pintavarauksen lisäksi eristeen sisällä olla myös polarisaatiovarauksen tiheys ρ p = P. Samoin epähomogeenisesti magnetoituneessa aineessa on magneettikenttiä, jotka aiheutuvat magnetoituman synnyttämistä aineen sisällä kulkevista virroista. z M z I2 - I1 I3 - I2 I4 - I3 I5 - I4 I1 I2 I3 I4 I5 x x Kuva 5.6 Kuva 5.7 Kuvat 5.6 ja 5.7 valaisevat magnetoitumavirtatiehyden syntyä. Kuvan 5.6 magnetoituma on y-suuntainen ja vakio y- ja z-suunnassa mutta kasvaa x-suunnassa. Tällainen magentoituma aiheutuu pienistä virtasilmukoista, joiden virran suuruus kasvaa x-akselin suuntaan kuljettaessa. Tuloksena on z-akselin suuntaan kulkeva

5.2. MAKROSKOOPPINEN MAGNEETTIKENTTÄ AINEESSA 89 makroskooppinen nettovirta, jonka tiheyttä j M nimitetään magnetoitumavirtatiheydeksi. Kuvan 5.6 tapauksessa magnetoitumavirtatiheys on kaikkialla z suuntainen. Pisteessä (x, y, z) olevan alkion A (kuva 5.8) läpi menevä z-suuntainen kokonaisvirta on siis j Mz δxδy. Alkion magneettimomentti on M y δxδyδz, missä M y on magnetoituman y-komponentti. Tämä magneettimomentti saadaan myös pintavirrasta M y δy, joka kiertää alkion A pinnalla. M(x-δx,y,z)δy z M(x,y,z)δy y δy δz M(x,y,z) δx A Kuva 5.8 x Alkion A läpi kulkeva z-suuntainen nettovirta voidaan laskea seuraavasti. Lasketaan A:n vasemmalla sivulla ylöspäin menevän virran M y (x, y, z)δy ja pisteessä (x δx, y, z) sijaitsevan alkion alaspäin suunnatun virran M y (x δx,y,z)δy erotus. Lasketaan myös vastaava erotus A:n päinvastaiselta puolelta. Näiden kahden erotuksen summana saadaan z-suuntainen nettovirta, joka jakautuu kahden alkion kesken. Alkion A osuus on j Mz δxδy = 1 2 δy [M y(x, y, z) M y (x δx, y, z)+m y (x + δx,y,z) M y (x, y, z)], josta j Mz = M y x. Vastaavasti x-akselin suuntainen magnetoituma tuottaisi z-suuntaisen virtatiheyden M x / y. Koska z-suuntaiseen magnetoitumaan liittyvät virrat ovat xytasossa, ainoastaan magnetoituman x-jay-komponentit vaikuttavat z-suuntaiseen virtaan. Magnetoitumavirtatiheyden z-komponentti on siis j Mz = M y x M x y =( M) z. (5.16) Sama tulos voidaan johtaa muillekin komponenteille, joten j M = M. (5.19) Epähomogeeninen magnetoituma aiheuttaa siis tällaisen virtatiheyden aineeseen. Vastaavasti epähomogeeninen polarisoituma synnyttää aineeseen polarisaatiovaraustiheyden ρ P = P.

90 Palataan vielä tarkastelemaan magnetoituman pintavirtaa i S. Kuten edellä esitetystä solenoidiesimerkistä nähdään, solenoidin akselin suuntaiseen magnetoitumaan M liittyy sitä vastaan kohtisuora vaipalla kulkeva virta i S. Vaippapinnan normaali n on kohtisuorassa sekä i S :ää että M:ää vastaan. Toisaalta solenoidin päissä, missä n M, ei pintavirtoja kulje. Tämä on yleinen tulos: jos magnetoituma M on pinnan normaalin suuntainen, niin pienten pinta-alkioiden ympäri kulkevat virrat kumoutuvat ja pintavirta häviää. On siis voimassa i S M n. (5.20) Solenoidiesimerkki osoittaa,että kun M n, joten yleisesti i s = M, (5.21) i S = M n. (5.22) 5.2.3 Magneettinen suskeptiivisuus Kuten edellä osoitettiin, ei-ferromagneettisten aineiden magnetoituma on verrannollinen magneettivuon tiheyteen ja ( m 2 M = N 3kT e2 Zr0 2 ). (5.12) 6m e Voidaan siis määritellä magneettinen suskeptiivisuus χ yhtälöllä M = χ µ 0. (5.23) Näiden kaavojen avulla saadaan ( m 2 χ = µ 0 N 3kT e2 Zr0 2 ). (5.24) 6m e Ferromagneettisilla aineilla M:n ja :n välinen riippuvuus on epälineaarinen, joten suskeptiivisuus ei ole vakio. Mittaamalla magneettinen suskeptiivisuus eri lämpötiloissa saadaan siis tietoa atomien magneettimomenteista ja keskimääräisistä säteistä. Tämä on verrattavissa kappaleessa 2.2.2 esitettyyn mentelmään, jonka avulla sähköisestä suskeptiivisuudesta voitiin määrittää atomin dipolimonetti ja polarisoituvuus. Magneettinen suskeptiivisuus mitataan yleensä asettamalla aine epähomogeeniseen magneettikenttään ja mittaamalla siihen kohdistuva voima. Esimerkiksi happi on kohtalaisen voimakkaasti paramagneettinen. Mitatusta hapen suskeptiivisuudesta saadaan sen permanentin magneettisen momentin arvoksi m 2, 6 10 23 Am 2 eli noin 2,5 m. Toisaalta kaikki jalokaasut ovat diamagneetteja. Niiden suskeptiivisuudesta saadaan arvio säteelle r 0, joka on kaikille jalokaasuille on noin 0, 55 10 10 m.

5.3. MAGNEETTIKENTÄN VOIMAKKUUS H 91 5.3 Magneettikentän voimakkuus H Samoin kuin eriste vaikuttaa polarisaatiovarausten avulla sisällään olevaan sähkökenttään, vaikuttaa magnetoitunut väliaine magnetoitumavirran välityksellä magneettikenttään. :n laskeminen aineessa on ongelmallista, koska :n aiheuttama magnetoituma riippuu :stä mutta myös vaikuttaa siihen. Samoin kuin vastaavanlaisessa sähkökenttäongelmassa käytetään sähkövuon tiheyttä D, otetaan magneettikentän laskemisessa avuksi magneettikentän voimakkuus H. 5.3.1 Ampèren laki H-kentälle Esim.: Paramagneettisella aineella täytetty pitkä solenoidi. Kuvan 5.9 osoittamaa tietä pitkin laskettuna :n viivaintegraali on dl = ( 0 + M ) dl. Yhtälön (5.15) nojalla A D L Kuva 5.9 C I M = µ 0 M, joten dl = 0 dl + µ 0 M dl, eli ( µ 0 M) dl = 0 dl. Toisaalta yhtälön (5.14) mukaan 0 = µ 0 NI. Voidaan siis kirjoittaa ( µ 0 M) dl = µ 0 I f, (5.26) missä I f = NIL on integroimistien läpi kulkeva vapaa virta. Vapaata virtaa on kaikki se virta, joka ei ole magnetoitumisvirtaa, ja se aihutuu vapaiden varausten liikkeestä. Tässä tapauksessa vapaata virtaa on solenoidissa kulkeva virta. Kun määritellään magneettikentän voimakkuus H yhtälöllä H = 1 µ 0 M, (5.27) saadaan Ampèren laki muotoon H dl = I f.

92 Näin on määritelty uusi kenttävektori H, jonka kiertointegraali riippuu vain vapaasta virrasta eli vapaiden varausten liikkeestä. Magneettikentän voimakkuuden yksikkö on [H] =[M] = A m. Yleisessä tapauksessa mielivaltaisen suljetun tien läpi kulkeva kokonaisvirta I koostuu vapaasta virrasta I f ja magnetoitumavirrasta I M, joten Ampèren laki voidaan kirjoittaa dl = µ 0 I f + µ 0 I M. Kun virrat ilmaistaan virtatiheyksien avulla, tämä saadaan muotoon dl = µ 0 j f ds + µ 0 j M ds, (5.28) C S missä integroimistie C on pinnan S rajakäyrä. Yhtälön (5.19) mukaan j M = M, joten dl = µ 0 j f ds + µ 0 M ds = µ 0 j f ds + µ 0 M dl, mistä S S ( ) M dl = µ 0 Määritelmän (5.27) avulla saadaan H dl = S S S S j f ds. j f ds, (5.29) mikä on Ampèren lain integraalimuoto H-kentälle. Soveltamalla Stokesin lausetta yhtälön vasempaan puoleen saadaan H ds = j f ds. S Koska tämä on voimassa kaikille pinnoille S, on integrandien oltava yhtä suuret jokaisessa avaruuden pisteessä, eli Tämä on Ampèren lain differentiaalimuoto H-kentälle. Dia- ja paramagneettisissa aineissa on voimassa S H = j f. (5.30) M = χ µ 0. (5.31) Tätä yhtälöä voidaan soveltaa likimääräisesti myös ferromagneettisiin aineisiin. Niiden magneettinen suskeptiivisuus riippuu kuitenkin :stä, ja sitä voidaan pitää vakiona ainoastaan, mikäli vaihtelee pienellä välillä jonkin arvon ympäristössä.

5.3. MAGNEETTIKENTÄN VOIMAKKUUS H 93 eli Kaavojen (5.27) ja (5.31) perusteella H = 1 µ 0 M = 1 µ 0 χ µ 0 = 1 χ µ 0, = µµ 0 H, (5.32) missä µ =(1 χ ) 1 (5.33) on aineen suhteellinen permeabiliteetti. Diamagneettisten aineiden suhteellinen permeabiliteetti on hiukan pienempi kuin 1 ja paramagneettisten aineiden hiukan suurempi kuin 1. Ferromagneettisten aineiden permeabiliteetti on paljon suurempi kuin 1, tyypillisesti suuruusluokkaa 1000. Ampèren laki saadaan yhtälön (5.32) avulla muotoon ( ) = j f. µµ 0 Jos µ on vakio, tästä seuraa = µµ 0 j f. (5.34) Tämä on vakiota µ lukuunottamatta saamaa muotoa kuin yhtälö (4.47), joka vastaa tilannetta µ = 1. Koko avaruuden täyttävän väliaineen läsnäolo muuttaa siis magneettivuon tiheyden µ-kertaiseksi. H Kuva 5.10 Toisin kuin -kentän tapauksessa, H-kentän kenttäviivat eivät aina ole jatkuvia, sillä H:n määritelmästä H = /µ 0 M saadaan H = 1 µ 0 M = M, joten H 0, jos M 0. Tämä on mahdollista epähomogeenisessa väliaineessa. H-kentällä voi siis olla lähteitä, joten sen kenttäviivat voivat olla epäjatkuvia;siis ne voivat alkaa jostakin ja loppua jonnekin. Summa H + M = /µ 0 on kuitenkin lähteetön. Samoin aineen rajapinnalla H:n kenttäviivat ovat epäjatkuvia. Esimerkiksi solenoidin sisällä olevan paramagneettisen sauvan (kuva 5.10) läpi kulkevat :n kenttäviivat ovat jatkuvia, mutta M:n kenttäviivat ovat epäjatkuvia, sillä M 0 sauvan sisällä jam = 0 sen ulkopuolella. Koska H = /µ 0 M, kulkee sauvan sisällä vastaavasti vähemmän H:n kenttäviivoja kuin sen päistä lähtee ulkopuoliseen avaruuteen.

94 5.3.2 - ja H-kenttien rajaehdot Koska = 0,ovat:n kenttäviivat jatkuvia ja :n kokonaisvuo suljetun pinnan läpi on nolla. Tämän vuoksi :lle δs on kahden aineen rajapinnalla voimassa 1 δs sama ehto kuin D:lle sellaisella pinnalla, µ2 jolla ei ole vapaita varauksia. Tarkastellaan pientä sylinteriä, jonka pohjat ovat 1 kahden aineen rajapinnan vastakkaisilla δs2 2 puolilla. Kun sylinterin pohjien annetaan lähestyä rajapintaa kummaltakin puolelta, magneettivuo sylinterin vaipan lävitse lähestyy nollaa. Tällöin sylinterin pinnan lävitse kulkeva kokonaismagneettivuo on sama kuin sylinterin pohjien lävitse Kuva 5.11 kulkeva vuo, joten ds = 1 ds + 2 ds = 1 δs 1 + 2 δs 2 =0. (5.36) δs 1 δs 2 µ 1 θ 1 θ 2 Koska 1 δs 1 = 1 δs ja 2 δs 2 = 2 δs, missä 1 ja 2 ovat pohjan normaalin suuntaiset 1 :n ja 2 :n komponentit, saadaan 1 δs 2 δs =0. Tämä on voimassa aina, kun δs 1 ja δs 2 lähestyvät toisiaan pinnan vastakkaisilta puolilta, joten 1 = 2 (5.37) eli on jatkuva rajapinnalla. µ 1 µ 2 δl 2 H 1 δs 1 θ 1 δl 1 δs 2 Kuva 5.12 θ 2 H 2 Yhtälön H dl = I f (5.38) avulla voidaan johtaa E:n tangentiaalikomponentin jatkuvuutta vastaava ehto H-kentälle. Valitaan suorakulmion muotoinen suljettu integroimistie C, joka on H 1 :n ja H 2 :n määrittelemässä tasossa lähellä rajapintaa. Kun annetaan δl 1 :n ja δl 2 :n lähestyä pintaa S kummaltakin puolelta, lähestyy silmukan pinta-ala nollaa. Silloin myös silmukan käpi kulkeva vapaa virta lähestyy nollaa, mikäli pinnalla S ei ole vapaata virtakatetta;siis äärettömän ohuessa kerroksessa S:n pinnalla ei kulje äärellistä virtaa).

5.4. MAGNEETIT 95 Kun I f = 0, (5.38):n avulla sadaan H dl = H 1 δl 1 + H 2 δl 2 =0. Koska H 1 δl 1 = H 1 δl ja H 2 δl 2 = H 2 δl, on H 1 δl H 2 δl =0 eli Siis H on jatkuva rajapinnalla S. H 1 = H 2. (5.39) 5.4 Magneetit 5.4.1 Sähkömagneetit I H r r a b Tarkastellaan toroidin muotoista kappaletta, jonka ympärille on kiedottu tiheä käämi. Käämissä kulkeva virta I aiheuttaa magneettikentän H. Lasketaan H:n viivaintegraali pitkin toroidin sisällä olevaa r-säteistä ympyrää. Tämän läpi kulkee vapaa virta N t I, missä N t on käämin kierrosten lukumäärä. Siis H dl = N t I. (5.40) Kuva 5.13 Symmetriasta johtuen H:lla on kaikkialla r-säteisen ympyrän kehällä sama arvo ja se on ympyrän tangentin suuntainen. Näinollen 2πrH = N t I, mistä H = N ti 2πr. Magneettivuon tiheys toroidin sisällä on siis = µµ 0 H = µµ 0N t I. 2πr Jos a b b, on kenttä toroidin sisällä suunnilleen vakio. Kun Ampèren lakia sovelletaan r -säteiseen ympyrään ja r >atai r <b,on H dl =2πr H =0,

96 joten H = 0. Näinollen toroidin ulkopuolella ei ole magneettikenttää. Yleensä sähkömagneetissa on ilmarako. Esimerkiksi sähkömoottorissa ankkuri voidaan asettaa pyörimään tällaiseen rakoon. Tutkitaan toroidin muotoista sähkömagneettia, jonka sydämeen on leikattu L:n mittainen ilmarako. Oletetaan I r b L a rako niin pieneksi, että :n jatkuvat kenttäviivat pysyvät raon alueella suunnilleen ympyröinä. Jos rako olisi suuri, kenttäviivat kaartuisivat ulkopuoliseen avaruuteen. Kun kaartumista ei tapahdu, magneettivuon Kuva 5.14 tiheydellä on sama arvo magneetin sydämessä ja ilmaraossa. Sen sijaan H saa sydämessä arvon H r = /(µµ 0 ) ja ilmaraossa arvon H i = /µ 0. Soveltamalla Ampèren lakia H dl = N t I toroidin lävitse kulkevaan r-säteiseen ympyrään saadaan (2πr L) µµ 0 + L µ 0 = N t I, (5.41) mistä = µµ 0 N t I 2πr L + µl. (5.42) Ei-ferromagneettisissa aineissa µ 1, jolloin magneettivuon tiheys toroidin muotoisessa magneetissa ei oleellisesti eroa tyhjän ja sydämellä varustetun toroidin vuon tiheydestä. Ferromagneettisissa aineissa µ riippuu :n ja H:n arvoista, mutta on suuruusluokkaa 1000. Jos µ 1, yhtälö (5.42) yksinkertaistuu muotoon: = Mikäli L ei ole liian pieni, on µl 2πr, ja µµ 0N t I 2πr + µl. = µ 0N t I L. Näin ollen ferromagneettisella aineella täytetyn sähkömagneetin ilmaraossa voi kasvaa 2πr/L -kertaiseksi tyhjän solenoidin kenttään verratuna.

5.4. MAGNEETIT 97 µ 0 N t I/L = (H) kulmakerroin: µ 0 (2πr -L)/L Todellisuudessa ferromagneettisissa aineissa :n ja H:n välinen riippuvuus = (H) on epälineaarinen (kuva 5.16). Jos magneettikentän voimakkuus sydämessä on H ja magneettivuon tiheys, voidaan yhtälö (5.41) kirjoittaa muotoon Kuva 5.16 H (2πr L) H + L µ 0 = N t I, mistä = µ 0 (2πr L) H + µ 0N t I L L. (5.43) ja H saadaan siis ratkaistuksi yhtälöryhmästä = (H) = µ 0 (2πr L) H + µ 0N t I L L. Tämän graafinen ratkaisu on H-koordinaatistoon piirrettyjen kuvaajien leikkauspiste. Sähkömagneetin sydämen ei tarvitse olla renkaanmuotoinen. Käämi voi myös peittää vain osan rautasydämestä. Tästä huolimatta rajoittuu suurimmaksi osaksi sydämen ja ilmaraon alueelle. Tämä johtuu ferromagneettisen sydämen suuresta permeabiliteetista. Jos nimittäin magneettikenttävektorit jossakin kohdasssa sydämen pinnan ulkopuolella ja sisäpuolella ovat H out ja H in, on pinnalla kentän jatkuvuusehtojen nojalla voimassa ehto H out = H in. Koska in = µµ 0 H in,on in µ 0 H out = out. Näinollen :n arvo rautasydämen ulkopuolella on pieni. Tämä tarkoittaa sitä, että vain harvat :n voimaviivat pääsevät sydämestä sen ulkopuolelle, joten magneettivuo sydämen jokaisen poikkipinnan läpi on suunnilleen vakio. Koska rautasydämen paksuus ja magneettiset ominaisuudet voivat vaihdella, jaetaan sydän osiin; n:nnen osan pituus on L n, poikkipinta S n ja suhteellinen permeabiliteetti µ n. Kussakin osassa nämä ominaisuudet ovat vakioita. Koska -kentän voimaviivat pysyvät suurimmaksi osaksi sydämessä, jokaisen poikkipinnan läpi kulkee sama magneettivuo Φ= n S n, (5.44) missä n on :n keskiarvo poikkipinnalla S n. Magneettikenttä n:nnessä osassa on H n = n µ n µ 0 = Φ µ n µ 0 S n,

98 joten Ampèren laki saadaan muotoon H dl = H n L n = n n ΦL n µ n µ 0 S n =Φ n L n µ n µ 0 S n = N t I. Tästä ratkaistuna magneettivuo on Φ= N t I L n /(µ n µ 0 S n ). (5.45) n Jos määritellään F m = N t I ja R m = L/(µµ 0 S), saadaan yhtälö (5.45) muotoon Φ= F m n (R m) n. Tämä on samaa muotoa kuin Ohmin laki I = V/R, joten analogisesti sähköisten virtapiirien kanssa voidaan sähkömagneettia pitää magneettisena piirinä, jossa F m on magneettijännite eli magnetomotorinen voima ja R m on reluktanssi eli magneettivastus. Magneettijännitteen yksikkö on[f m ] = A ja reluktanssin yksikkö [R m ]= A/Vs. 5.5 Hysteresiskäyrä d r c b e 0 H k Kuva 5.18 a H Ferromagneettisissa aineissa :n ja H:n välinen relaatio on epälineaarinen ja lisäksi se riippuu aineen aiemmasta magneettisesta tilasta. Aine siis jossakin määrin muistaa magneettisen menneisyytensä. Aina on kuitenkin voimassa yhtälö = µ 0 (H + M). Jos magnetoitumatonta rautaa ruvetaan magnetoimaan kasvattamalla käämin virta ja sen mukana H:ta, kasvaa pitkin neitseellistä käyrää 0 a. Koko tällä välillä H:n lisäksi kasvaa myös M. Magnetoituman kasvu tarkoittaa sitä, että :n suuntaisia magneettisia momentteja sisältävät Weissin alueet kasvavat. Pisteessä a on M saavuttanut kyllästymisarvonsa M s, jolloin kaikki magneettimomentit ovat kentän suuntaisia. Kyllästymiseen tarvittava magneettikenttä on suuruusluokkaa H 10 4 A/m, jolloin 1, 5T. Jos käämin virtaa kasvatetaan vielä kyllästymisen jälkeen, M ei enää kasva, mutta kasvaa lineaarisesti H:n funktiona.

5.5. HYSTERESISKÄYRÄ 99 Kun H:n annetaan magnetoimisen jälkeen pienetä nollaan, pienenee myös pitkin käyrää a b mutta aine jää magnetoituneeseen tilaan. Jäljelle jäänyt magnetoituma aiheuttaa magneettivuon tiheyden arvon r, jota nimitetään remanenssiksi. Jotta saataisiin nollaksi, on H:n suuntaa muutettava. Sitä magneettikentän arvoa H k, joka tarvitaan :n pienentämiseksi nollaan, sanotaan koersitiivivoimaksi. Jatkamalla magnetoimista tähän suuntaan saadaan :n suunta muuttumaan, ja pisteessä d on aine saturoitunut vastakkaiseen suuntaan. Pienentämällä H:ta sekä muuttamalla uudelleen sen suuntaa palautuu aine e:n kautta a:han. Käyrää abcdea kutsutaan aineen päähysteriskäyräksi. Jos magnetointia ei suoriteta kyllästymiseen asti, saadaan pienempi hysteresiskäyrä, joka on pääkäyrän sisällä. Näitä pienempiä hysteresiskäyriäonäärettömän monta. Ne eivät leikkaa toisiaan ja ne rajoittuvat päähysteresiskäyrän sisälle. Tästä seuraa mm. että -kenttä voi aineen magneettisesta historiasta riippuen saada äärettömän monta eri arvoa samalla H-kentän arvolla. Voimakkaita kenttiä voidaan nykyisin saada aikaan suprajohteilla, joissa magnetointivirran ylläpitämiseen ei liity tehohäviöitä. Tämä johtuu siitä, että suprajohteiden vastus häviää täysin tietyn lämpötilan alapuolella. Suprajohtavissa magneeteissa ei käytetä rautasydäntä, joten niissä ei esiinny myöskään hysteresistä. 5.5.1 Kestomagneetit Hysteresisilmiöstä johtuen ferromagneettiset aineet jäävät magneettisiksi virran katkaisemisen jälkeen, jolloin syntyy kestomagneetti. Remanenssin eli jäännösmagnetismin suuruus vaihtelee eri aineilla;meltoraudalla se on pieni, teräksellä suuri. Kestomagneetin magnetoituma M ei aiheudu ulkoisesta kentästä. Magnetoituma itse aiheuttaa kentät ja H, joille on voimassa = µ 0 (H + M). H Kuva 5.20 Tarkastellaan nyt sauvan muotoista kestomagneettia. -kentän voimaviivat ovat jatkuvia, ne kulkevat sauvan lävitse ja sulkeutuvat sauvan ulkopuolella. Magneetin ulkopuolella H = /µ 0, joten H:n ja :n kenttäviivat ovat siellä samanmuotoiset ja samansuuntaiset. Koska kestomagneetissa ei ole vapaata virtaa, on jokaista magneetin läpi kulkevaa suljettua tietä pitkin voimassa H dl =0. (A)

100 Tämä voi toteutua vain, jos H:n suunnta on kestomagneetin sisällä :n suunnalle vastakkainen, eli H vaihtaa suuntaansa sauvan päissä. Näinollen H:n kenttäviivat ovat epäjatkuvia magneetin rajapinnalla. d Jos toroidin muotoiseen kestomagneettiin on tehty ohut ilmarako, on :llä sen normaalikomponentin jatkuvuuden vuoksi sama arvo magneetissa ja ilmaraossa. Silloin H:n arvo ilmaraossa on L H i H m H i = /µ 0. ja kaavan (A) perusteella H m d + H i L =0, missä H m on H:n arvo magneetissa. Tästä seuraa, että H m = L d H i = L µ 0 d, (5.46) joten H i ja H m ovat vastakkaissuuntaiset. Yhtälö (5.46) ja tieto H i = /µ 0 eivät riitä määrittämään H- ja-kenttien arvoja, vaan ne riippuvat aineen magneettisesta tilasta. -kentän suurin mahdollinen arvo edellyttää, että tila sijaitsee päähysteresiskäyrällä. Tämä tila sijaitsee 2. tai 4. neljänneksessä, missä ja H m ovat vastakkaissuuntaisia. :n ja H m :n arvot saadaan kuvaajien leikkauspisteistä graafisesti, kun piirretään hysteresiskäyrä ja yhtälö (5.46) samaan koordinaatistoon. m H = -L/(µ 0 d) H H m Kuva 5.21 H :n arvoa voidaan vaihdella säätelemällä suhdetta L/d, mutta 1 T:n suuruusluokkaa suurempia arvoja ei voida saavuttaa. Tavallisesti magneetti mitoitetaan siten, että ilmaraon kentän energian suhde käytetyn magneettisen materiaalin määrään on maksimissaan. Myöhemmin osoitetaan, että magneettikentän energiatiheys on H/2, joten ilmaraon kentän energiaksi saadaan kaavan (5.46) avulla U = 1 2 H ial = 1 2 d L H m AL = 1 2 H m Ad. Koska Ad on magneetin tilavuus, on maksimoitava suure U Ad = 1 2 H m

5.6. MAGNETOSTATIIKAN YHTEENVETO 101 Piirtämällä aineen hysteresiskäyrän avulla tulo H kentän funktiona voidaan maksimin tuottava :n arvo määrittää. Suhde L/d on valittava siten, että suora H = L/(µ 0 d) leikkaa hysteresiskäyrän tällä :n arvolla. 5.6 Magnetostatiikan yhteenveto Lorentz-voima: -kenttä onlähteetön: Ampèren laki: F = qe + qv (4.16) ds =0 (4.18) S =0 (4.19) dl = µ 0 I (integraalimuoto) (4.31) Magnetoituma: Magnetoitumavirran tiheys: = µ 0 j (differentiaalimuoto) (4.47) M = N m (5.1) M = χ µ 0 (5.23) j M = M (5.19) dl = µ 0 I f + µ 0 I M = µ 0 j f + µ 0 M Magneettikentän voimakkuus: H = 1 M µ 0 (5.27) H = j f (5.30) Kenttien rajaehdot: jatkuva (5.37) H jatkuva (5.39) Ei-ferromagneettisille materiaaleille: = µµ 0 H (5.32) µ =(1 χ ) 1 (5.33) Joskus on tapana määritellä magneettinen suspektiivisuus χ H kaavalla

102 M = χ H H. Tällöin joten = µ 0 (H + M) =µ 0 (1 + χ H )H = µµ 0 H, µ =(1+χ H ).