Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä, että ensisijaisesti omatoimiseen opiskeluun monistetta ei ole suunniteltu. Ideana on siis säästää luennoilla mekaaniseen kirjoittamiseen kuluvaa aikaa toivottavasti vähemmän mekaaniseen ajatteluun. Ilman kynän käyttöä matematiikkaa on kuitenkin vaikea oppia. Sen vuoksi on erittäin tärkeää ratkoa itsenäisesti luentoihin liittyviä harjoitustehtäviä. Tätä ei mikään moniste korvaa, vaikkakin aion kirjoittaa myös harjoitustehtävien ratkaisuista jonkinmoisen monisteentapaisen. Lisää harjoitusaineistoa saa tämän monisteen lauseista, joiden todistukset on kirjoitettu hyvin yksityiskohtaisesti ehkä detaljeja on näkyvillä enemmän kuin yleensä luentomonisteissa on tapana. Monisteen lauseista syntyy harjoitustehtäviä näin: Peitä lauseen todistus ja yritä kirjoittaa se itsellesi. Jos et osaa, katso mistä oli kyse ja yritä huomenna uudestaan. Jos osaat tehdä mielestäsi oikean todistuksen, joka on mahdollisesti erilainen kuin monisteessa, tarkista ratkaisusi. Jos olet edelleen varmasti sitä mieltä, että ratkaisusi on oikein, alat olla jyvällä asioista. Jos olet epävarma, tule juttelemaan, niin katsotaan yhdessä, mistä on kyse. Näissä luennoissa pääpaino kohdistuu sarjoihin ja kurssin lopussa tutustutaan lyhyesti yksinkertaisimpiin differentiaaliyhtälöihin. Ehkä on syytä huomauttaa, että tällä kurssilla nolla on luonnollinen luku, ts. N = {0,, 2,...}. Kirjallisuusviitteitä löytyy runsaasti, koska asiat ovat aivan peruskamaa analyysissä. En ryhdy tässä oppikirjoja luettelemaan, vaan viittaan vain opintooppaan lähteisiin, joista löytyy viitteitä edelleen. Lisäksi on syytä mainita Jouni Parkkosen kirjoittama luentomoniste, joka löytyy hänen kotisivuiltaan. Tämä moniste löytyy omilta kotisivuiltani nimikkeellä sarjat. Otsikot sarjademot ja sarjaratkaisut puolestaan tulevat sisältämään harjoitustehtäviä ja niiden ratkaisuja. 6.9.2004 Lassi Kurittu i

Jonot Kuten [A]:n kurssilla määriteltiin, mielivaltaisen joukon A jono on kuvaus φ : N A. Yleensä tällaista jonoa merkitään symbolilla missä kaikille n N (a n ) n N tai lyhyesti (a n ), a n = φ(n) A. Huomaa, että tässä määritelmässä joukko A voi olla mikä tahansa. Esimerkki. Olkoon A = {kissa, koira} ja määritellään kuvaus φ : N A asettamalla { kissa, jos n on parillinen φ(n) = koira, jos n on pariton. Koska jokainen luonnollinen luku on joko parillinen tai pariton ja mikä on myös tärkeää ei molempia yhtaikaa, näin todella syntyy kuvaus φ : N A eli joukon A jono. Jos jonon määritelmässä on A = R, niin puhutaan reaalilukujonosta. Tällaiset jonot ovat analyysissä keskeisessä asemassa. Toinen tärkeä jonoluokka syntyy, kun A = {f : I R}, missä I on jokin (kiinteä) R:n osajoukko. Esimerkki.2 Olkoon I = [0, ] ja A = {f : I R}. Jos määritellään φ : N A siten, että φ(n) = f n A, missä f n on kuvaus f n (x) = sin nx kaikille x I, niin näin ilmeisesti syntyy joukon A jono (f n ) n N. Tärkeä jonoihin liittyvä seikka on kysymys jonojen suppenemisesta. Reaalilukujonon (a n ) suppeneminen määritellään [A]:ssä näin: Jono (a n ) suppenee kohti lukua a R, jos kaikille ɛ > 0 löytyy n ɛ N siten, että a n a < ɛ kaikille n n ɛ. Voiko tämän määritelmän yleistää koskemaan muitakin jonoja kuin reaalilukujonoja? Yllä oleva määritelmä perustuu oleellisesti reaalilukujen a n ja a välisen etäisyyden mittaamiseen eli itseisarvoon a n a. Jos siis merkitään reaalilukujen a ja b välistä etäisyyttä a b symbolilla d(a, b), niin esitetty reaalilukujonon suppenemisen määritelmä tarkoittaa sitä, että a n a d(a n, a) 0.

Tällainen määritelmä voidaan heti yleistää minkä tahansa joukon jonoille, kunhan tässä joukossa on ensin määritelty etäisyysmittari d, jolla jonon alkioiden etäisyyttä mahdollisesta rajapisteestä mitataan. Tällöin siis voidaan määritellä, että a n a, jos d(a n, a) 0. Esimerkin. tilanteessa ei ole oikein olemassa järkevää tapaa mitata joukon A alkioiden välistä etäisyyttä, joten jonon suppenemisenkin järkevä määritteleminen on vähän kyseenalaista. Entä sitten esimerkin.2 tilanne? Mikä olisi järkevä tapa mitata joukon A alkioiden eli funktioiden f : I R välistä etäisyyttä? Luonnollinen vaatimus tälle mahdolliselle etäisyysmittarille d on, että se käyttäytyy kuten metriikka (ks. [EA]), ts. että se on kuvaus d : A A R siten että kaikille f, g, h A pätee d(f, g) 0, d(f, g) = 0 f = g, d(f, g) = d(g, f) ja d(f, h) d(f, g) + d(g, h). (M) Eräs yritys etäisyysmittariksi on asettaa kaikille f, g A d(f, g) = max{ f(x) g(x) x I}. () Tämä viritelmä näyttäisi ensi katsomalta toteuttavan yllä olevat neljä metriikkaehtoa. Karu totuus paljastuu, kun esimerkiksi I = ]0, [ ja määritellään f, g : I R siten, että f 0 ja g(x) = x. Tällöin määritelmä () ei toimi, koska siinä tarkoitettua maksimia ei saavuteta. [A]:ssä totuttuun tapaan tämmöisessä tilanteessa on syytä korvata maksimi supremumilla. Tehdään uusi yritys määrittelemällä kaikille f, g A d(f, g) = sup{ f(x) g(x) x I}. (2) Tämäkin näyttäisi toteuttavan mainitut metriikkaehdot ja yllämainittujen funktioiden f ja g etäisyydeksi tulee näin mitaten. Tämäkään yritys ei kuitenkaan ole riittävän hyvä, mikä paljastuu, kun määritellään h(x) = x kaikille x I. Tällöin muodostuu ongelmaksi mitata etäisyyksiä d(f, h) ja d(g, h). Ratkaisu etäisyyden mittaamiseen saadaan lopulta siitä, että pienennetään joukkoa A sillä tavalla, että tarkastellaan vain rajoitettuja funktioita, ts. merkitään A = {f : I R f on rajoitettu}. Tällöin määritelmä (2) antaa metriikan, kuten seuraava lause sanoo: 2

Lause.3 Olkoon = I R ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Tällöin määritelmä d(f, g) = sup{ f(x) g(x) x I} antaa metriikan joukossa A. Todistus. Pitää ensin todeta, että kyseessä on todella kuvaus d : A A R, ts. että mielivaltaisille f, g A reaaliluku d(f, g) on määritelty ja yksikäsitteinen. Tämä perustuu nyt siihen, että f ja g ovat tehdyn oletuksen mukaan rajoitettuja, ts. on olemassa vakiot M ja M 2 siten, että f(x) M ja g(x) M 2 kaikille x I. Tällöin kaikille x I pätee f(x) g(x) f(x) + g(x) M + M 2, joten joukko { f(x) g(x) x I} on rajoitettu. Toisaalta oletuksen mukaan joukko I on epätyhjä ja näin myös { f(x) g(x) x I} =. [A]:stä tiedetään, että jokaisella epätyhjällä rajoitetulla joukolla on yksikäsitteinen reaalinen supremum ja näin reaaliluku d(f, g) = sup{ f(x) g(x) x I} on määritelty ja yksikäsitteinen, ts. d : A A R on todella kuvaus. Siirrytään sitten todistamaan varsinaisia metriikan karakteristisia ehtoja (M). Ensimmäinen ehto eli d(f, g) 0 kaikille f, g A seuraa siitä, että joukon { f(x) g(x) x I} alkiot ovat kaikki positiivisia ja supremumin määritelmän mukaan joukon supremum on aina vähintään ko. joukon alkioiden suuruinen. Toinen metriikan ehto eli d(f, g) = 0 f = g nähdään oikeaksi näin: Jos f = g, niin f(x) = g(x) kaikille x I ja siten f(x) g(x) = 0 kaikille x I. Tällöin { f(x) g(x) x I} = {0} ja siten d(f, g) = sup{ f(x) g(x) x I} = sup{0} = 0, missä viimeinen yhtälö seuraa suoraan supremumin määritelmästä. Oletetaan sitten kääntäen, että d(f, g) = 0; pitää osoittaa, että f = g, ts. että f(x) = g(x) kaikille x I. Nyt siis sup{ f(x) g(x) x I} = 0, jolloin supremumin määritelmän mukaan f(x) g(x) 0 kaikille x I. Toisaalta itseisarvo on aina positiivinen 3

eli f(x) g(x) 0 kaikille x I ja näin f(x) g(x) = 0 kaikille x I eli f(x) = g(x) kaikille x I. Kolmas metriikan karakteristinen ehto eli symmetria eli vaatimus siitä, että d(f, g) = d(g, f) kaikille f, g A seuraa siitä, että f(x) g(x) = g(x) f(x) = kaikille x I, jolloin { f(x) g(x) x I} = { g(x) f(x) x I} ja siten d(f, g) = sup{ f(x) g(x) x I} = sup{ g(x) f(x) x I} = d(g, f). Neljäs metriikan ehto eli kolmioepäyhtälö d(f, h) d(f, g) + d(g, h) kaikille f, g, h A nähdään oikeaksi näin: Kaikille x I pätee reaalisen kolmioepäyhtälön nojalla f(x) h(x) = f(x) g(x) + g(x) h(x) f(x) g(x) + g(x) h(x). Toisaalta supremumin määritelmän nojalla f(x) g(x) + g(x) h(x) d(f, g) + d(g, h) kaikille x I, joten f(x) h(x) d(f, g) + d(g, h) kaikille x I, jolloin edelleen supremumin määritelmän nojalla d(f, h) = sup{ f(x) h(x) x I} d(f, g) + d(g, h). Nyt on järkevää asettaa funktiojonon suppenemisen (eräs) määritelmä: Määritelmä.4 Olkoon = I R ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) jono joukon A alkioita ja f A. Sanotaan, että jono (f n ) suppenee tasaisesti kohti funktiota f, jos d(f n, f) 0. Tällöin merkitään joko lim n f n = f tai lyhyesti f n f. Huomautus. Tässä käytetään termiä tasainen suppeneminen erotukseksi myöhemmin määriteltävästä (ks. määritelmä.0) pisteittäisestä suppenemisesta. Esimerkki.5 Olkoon I = ]0, 2 [ ja määritellään kaikille n N f n : I R, f n (x) = x n kaikille x I sekä f 0. Tällöin f n f. Tämän väitteen perustelemiseksi arvioidaan etäisyyksiä d(f n, f), n N. 4

Koska kuvaukset f n ovat kasvavia välillä I, niin d(f n, f) = sup{ x n 0 x I} = sup{x n x ]0, 2 [} ( 2 )n. Siten 0 d(f n, f) ( 2 )n kaikille n N. Koska ( 2 )n 0, niin [A]:n tietojen perusteella ( suppiloperiaate ) pätee myös d(f n, f) 0 eli määritelmän.4 mukaisesti f n f. Esimerkki.6 Muutetaan esimerkin.5 tilannetta niin, että funktioiden määrittelyväliksi I valitaankin I = ]0, [; muuten tilanne pidetään ennallaan. Onko edelleen f n f? Intuitio ehkä sanoisi, että näin on, koska jokaisessa pisteessä x I pätee f n (x) f(x). Tämmöinen intuitio on kuitenkin väärässä, minkä näkee taas arvioimalla etäisyyksiä d(f n, f). Koska jokaiselle n pätee n 2 ]0, [ ja f n( n 2 ) = 2, niin d(f n, f) f n ( n 2 ) f( n 2 ) = 2 0 = 2 kaikille n. Tällöin ei voi olla d(f n, f) 0 eikä siten myöskään f n f. Huomautus.7 Esimerkkien.5 ja.6 opetus on se, että tarkasteltava funktioiden määrittelyjoukko I on oleellisessa merkityksessä funktiojonojen suppenemistarkasteluissa. Siispä aina, jos asiasta on pienintäkään epäselvyyttä, joukko I on mainittava. Toisin sanoen: jos kaikki on selvää, voidaan kirjoittaa lyhyesti f n f, mutta jos on vähäisintäkään väärinkäsityksen varaa, on parempi kirjoittaa (ja sanoa) pitkän kaavan mukaan: f n f tasaisesti joukossa I. Esimerkin.6 tilanteessa nähtiin, että f n f. On luonnollista kysyä, voiko ylipäätään olla mitään välillä I = ]0, [ määriteltyä funktiota, jota kohti jono (f n ) konvergoisi. Tähänhän ei esimerkin.6 tarkastelu riitä vastaamaan. Tietenkin esimerkin.6 kaltainen laskelma voidaan suorittaa jollekin toiselle rajafunktioehdokkaalle g ja näin nähdä, että f n g tälle kyseiselle g. Tämä ei tietenkään vastaa yleisellä tasolla rajafunktion olemassaolokysymykseen ei, vaikka tarkastelu tehtäisiin kuinka monelle tahansa yksittäiselle funktiolle g. Tähän ongelmaan onkin varsin vaikea vastata suoraan konvergenssin määritelmän perusteella; siis kysymys kuuluu jotenkin niin, että miten voidaan funktiojonosta päätellä sen mahdollinen suppeneminen tuntematta rajafunktiota. Tähän pulmaan antaa kätevän ratkaisun seuraava lause, jota kutsutaan Cauchyn ehdoksi funktiojonon tasaiselle suppenemiselle: 5

Lause.8 Olkoon = I R ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono. Tällöin on olemassa f A siten, että f n f jos ja vain jos seuraava ehto on voimassa: Kaikille ɛ > 0 löytyy jokin (mahdollisesti ɛ:sta riippuva) luku N N siten, että kaikille n, m N, joille n, m N, pätee d(f n, f m ) < ɛ. Todistus.. Osoitetaan ensin, että lauseen ehto on välttämätön. Oletetaan tätä varten, että on olemassa f A siten, että f n f, jolloin tehtävänä on osoittaa, että lauseen ehto pätee. Olkoon siis ɛ > 0 mielivaltainen. Koska f n f, niin määritelmän mukaan d(f n, f) 0. Reaalilukujonon suppenemisen määritelmän mukaan tällöin löytyy N N siten, että d(f n, f) < ɛ kun n N. 2 Tämä luku N kelpaa lauseen ehdossa olevaksi luvuksi, sillä kun n, m N, niin d(f n, f m ) i) d(f n, f) + d(f, f m ) ii) = d(f n, f) + d(f m, f) iii) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Tässä epäyhtälö i) seuraa siitä, että d toteuttaa metriikkana kolmioepäyhtälön (lause.3), yhtälö ii) metriikan symmetriaominaisuudesta (myös lause.3) ja epäyhtälö iii) seuraa luvun N valinnasta.. 2. Pitää vielä osoittaa lauseen ehdon riittävyys. Olkoon tätä varten (f n ) joukon A jono, joka toteuttaa lauseen ehdon, jolloin tehtävänä on osoittaa, että on olemassa f A siten, että f n f. Olkoon x I mielivaltainen, mutta kiinteä. Olkoon myös ɛ > 0 mielivaltainen ja N lauseen ehdon mukainen (ɛ:sta riippuva) luku. Olkoon lisäksi n, m N. Tällöin f n (x) f m (x) sup{ f n (y) f m (y) y I} = d(f n, f m ) < ɛ. Tämä tarkoittaa sitä (ks. [A]), että reaalilukujono (f n (x)) on Cauchy-jono. Tällöin (ks. [A, lause 4.9]) tämä jono suppenee, ts. on olemassa (x:stä riippuva) reaaliluku a x siten, että lim n f n(x) = a x. Koska x I valittiin täysin mielivaltaisesti, tällainen luku a x saadaan aikaan kaikille x I. Lisäksi, koska reaalilukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen, jokaiselle x I löytyy täsmälleen yksi tällainen a x. Tällöin, määrittelemällä f(x) = a x kaikille x I syntyy kuvaus f : I R. Tämä kuvaus f on nyt haluttu jonon (f n ) raja-arvo. Ennen kuin lähdetään tätä todistamaan, pitää huomata, että f A. 6

Tämä nähdään seuraavasti. Lauseen ehdon (joka siis nyt oletuksen mukaan on voimassa) nojalla on olemassa lukua ɛ = vastaava luonnollinen luku N siten, että d(f n, f m ) <, kun n, m N. Erityisesti siis d(f n, f N ) < kun n N. () Koska f N A, niin f N on rajoitettu, ts. on olemassa M R siten, että f N (x) M kaikille x I. (2) Kuvauksen f rajoittuneisuuden osoittamiseksi riittää osoittaa, että f(x) M + 2 kaikille x I. (3) Olkoon tätä varten x I mielivaltainen. Koska kuvauksen f määritelmän mukaan pätee f n (x) f(x), niin on olemassa n 0 N siten, että Valitaan nyt n max{n, n 0 }. Tällöin pätee f n (x) f(x) < kun n n 0. (4) f(x) = f(x) f n (x) + f n (x) f N (x) + f N (x) i) f(x) f n (x) + f n (x) f N (x) + f N (x) ii) < + f n (x) f N (x) + f N (x) iii) < + + f N (x) iv) 2 + M. Tässä epäyhtälö i) seuraa reaalisesta kolmioepäyhtälöstä, epäyhtälö ii) ehdosta (4) ja siitä, että n n 0, epäyhtälö iii) ehdosta () ja siitä, että n N sekä epäyhtälö iv) ehdosta (2). Näin on nähty, että väite (3) pätee, mikä siis riittää osoittamaan, että f A. Sitten on osoitettava, että f n f eli että d(f n, f) 0. Olkoon sitä varten ɛ > 0 mielivaltainen. Pitää osoittaa, että on olemassa N N siten, että kaikille n N pätee d(f n, f) < ɛ, mihin riittää se, että d(f n, f) < ɛ, sillä d(f n, f) on lauseen.3 mukaan positiivinen. Koska d(f n, f) = sup{ f n (x) f(x) x I}, niin supremumin määritelmän perusteella riittää osoittaa, että on olemassa N N siten, että pätee f n (x) f(x) ɛ 2 kaikille n N ja kaikille x I. (5) Koska nyt on oletettu, että lauseen ehto on voimassa, niin on olemassa N N siten, että pätee d(f n, f m ) < ɛ kaikille n, m N. (6) 4 7

Osoitetaan, että tämä N kelpaa ehdossa (5) halutuksi luvuksi N. Olkoot sitä varten n N ja x I mielivaltaisia. Koska kuvauksen f määritelmän perusteella f n (x) f(x), niin on olemassa n 0 N siten, että Valitaan nyt m max{n, n 0 }. Tällöin f m (x) f(x) < ɛ 4, kun m n 0. (7) f n (x) f(x) = f n (x) f m (x) + f m (x) f(x) i) f n (x) f m (x) + f m (x) f(x) ii) d(f n, f m ) + f m (x) f(x) iii) ɛ 4 + f m(x) f(x) iv) < ɛ 4 + ɛ 4 = ɛ 2, joten ehto () todellakin pätee. Yllä epäyhtälö i) perustuu reaaliseen kolmioepäyhtälöön, epäyhtälö ii) metriikan d(f n, f m ) määritelmään, epäyhtälö iii) ehtoon (6) ja siihen, että n, m N sekä epäyhtälö iv) ehtoon (7) ja siihen, että m n 0. Näin on nähty, että ehto (5) toimii, joten lause on todistettu. Esimerkki.9 Osoitetaan yllä todistetun Cauchyn ehdon nojalla, että esimerkin.6 funktiojono ei konvergoi. Tähän siis riittää nyt se, että osoitetaan, että ko. jono ei toteuta lauseen.8 Cauchyn ehtoa. Tehdään tämä epäsuorasti, ts. oletetaan, että Cauchyn ehto pätisi ja osoitetaan, että tämä oletus johtaa ristiriitaan. Jos ehto pätee, on olemassa N N \ {0} siten, että Merkitään m = 2N +, jolloin m > N ja d(f n, f m ) <, kun n, m N. () 4 4 m = 4 2N+ < 4 2N = 2 N, ( 2 ) N < ( 4 ) m. Tällöin voidaan valita x I = ]0, [ siten, että ( 2 ) N < x < ( 4 ) m. joten Koska funktiot f N ja f m ovat kasvavia, saadaan tällöin f N (( 2 ) N ) fn (x) ja f m (x) f m (( 4 ) m )) 8

eli jolloin 2 f N (x) ja f m (x) 4, f N (x) f m (x) 2 4 = 4. Mutta tällöin metriikan d(f N, f m ) määritelmän mukaan pätee d(f N, f m ) 4. Tämä on vastoin ehtoa (), sillä N, m N. Näin haluttu ristiriita on saatu aikaan ja väite on todistettu. Esimerkin.6 tilanteessa funktiojono (f n ) kuitenkin jossakin mielessä konvergoi nollaan, sillä jokaiselle pisteelle x I pätee f n (x) 0. Tällaisissa tilanteissa puhutaan ns. pisteittäisestä konvergenssista ja sille on oikein oma määritelmäkin: Määritelmä.0 Olkoon = I R ja A = {f : I R} sekä (f n ) joukon A jono ja f A. Sanotaan, että funktiojono (f n ) konvergoi pisteittäin kohti funktiota f välillä I, jos kaikille x I pätee f n (x) f(x). Huomautus. Määritelmässä.0 ei tarvitse olettaa, että esiintyvät funktiot olisivat rajoitettuja. Lause. Olkoon = I R ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono ja f A siten, että f n f. Tällöin jono (f n ) konvergoi pisteittäin kohti funktiota f välillä I. Todistus. Olkoon x I mielivaltainen. Määritelmän.0 mukaan riittää osoittaa, että f n (x) f(x). Reaalilukujonojen konvergenssin määritelmän mukaan tähän riittää se, että f n (x) f(x) 0. Tämä seuraa nyt suppiloperiaatteesta ([A]), sillä metriikan d(f n, f) määritelmän mukaan pätee 0 f n (x) f(x) d(f n, f) ja oletuksen mukaan f n f eli d(f n, f) 0. Huomautus.2 Lauseen. mukaan funktiojonon tasainen konvergenssi implikoi sen pisteittäisen konvergenssin kyseisellä välillä. Toisaalta esimerkki.9 osoittaa, että pisteittäinen konvergenssi ei välttämättä riitä takaamaan tasaista konvergenssia. Näin voidaan perustellusti sanoa, että tasainen konvergenssi on vahvempi ominaisuus kuin pisteittäinen konvergenssi. 9

Esimerkki.3 Muutetaan esimerkin.6 (tai.5) tilannetta niin, että funktioiden määrittelyväliksi valitaan I = ]0, ]; muuten tilanne pidetään ennallaan. Onko tässä f n f? Ei varmasti, sillä määritelmän nojalla on selvää, että jos (f n ) konvergoi tasaisesti joukossa ]0, ], niin se konvergoi tasaisesti myös pienemmässä joukossa ]0, [, ja sitähän tämä jono ei tee, kuten esimerkissä.9 todettiin. Huomautuksen.2 valossa voi tällöi kysyä, konvergoiko (f n ) edes pisteittäin välillä I kohti f:ää. Tähänkin vastaus on kielteinen, sillä pisteessä x = I haluttua konvergenssia ei tapahdu. Sen sijaan (f n ) konvergoi pisteittäin välillä ]0, ] kohti funktiota g : ]0, ] R, missä { 0 kun x ]0, [ g(x) = kun x =. Tasaista tämäkään konvergenssi ei voi olla, kuten siis esimerkissä.9 nähtiin. Esimerkki.4 Olkoon I = ]0, 2[ ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Määritellään joukon A jono (f n ) asettamalla kaikille n N { x n kun x ]0, ] f n (x) = 2 (2 x) n kun x ], 2[. Tällöin funktiot (f n ) ovat ilmeisesti jatkuvia. Lisäksi jono (f n ) konvergoi pisteittäin kohti funktiota f A, missä 0 kun x ]0, [ f(x) = kun x = 2 kun x ], 2[. Edellisessä esimerkissä on merkillepantavaa se, että f n :t ovat kaikki jatkuvia, mutta rajafunktio f ei ole. Tämä merkitsee sitä, että jatkuvuus ei periydy pisteittäisessä konvergenssissa. Toisin on laita tasaisessa konvergenssissa, kuten seuraava lause sanoo. Lause.5 Olkoon = I R ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono ja f A siten, että f n f. Oletetaan lisäksi, että funktiot f n ovat jatkuvia joukossa I. Tällöin myös rajafunktio f on jatkuva joukossa I. Todistus. Olkoon x 0 I ja ɛ > 0 mielivaltaisia. Pitää osoittaa, että on olemassa δ > 0 siten, että kun x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, niin f(x) f(x 0 ) < ɛ. () Koska oletuksen mukaan f n f eli d(f n, f) 0, niin on olemassa N N siten, että d(f N, f) < ɛ 3. Metriikan d määritelmän mukaan tämä tarkoittaa sitä, että f N (x) f(x) < ɛ 3 kaikille x I. (2) 0

Toisaalta f N on oletuksen mukaan jatkuva joukossa I, joten on olemassa δ > 0 siten, että kun x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, niin f N (x) f N (x 0 ) < ɛ 3. (3) Tämä luku δ kelpaa ehdossa () peräänkuulutetuksi δ:ksi, sillä kun x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, niin f(x) f(x 0 ) = f(x) f N (x) + f N (x) f N (x 0 ) + f N (x 0 ) f(x 0 ) i) f(x) f N (x) + f N (x) f N (x 0 ) + f N (x 0 ) f(x 0 ) ii) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Tässä epäyhtälö i) seuraa reaalisesta kolmioepäyhtälöstä ja epäyhtälö ii) ehdoista (2) ja (3). Huomautus. Lauseen.5 nojalla nähdään välittömästi, että esimerkin.4 pisteittäinen konvergenssi ei voi olla tasaista. Esimerkki.6 Esimerkin.4 mukaan jatkuvuus ei siis periydy pisteittäisessä konvergenssissa. Nyt konstruoitava esimerkki osoittaa, että myöskään Riemannintegroituvuus ei periydy pisteittäisessä konvergenssissa. Tunnetusti(?) joukko Q [0, ] on numeroituva, ts. on olemassa bijektio ϕ : N Q [0, ]. Kiinnitetään tällainen bijektio ϕ. Määritellään funktiot f n : [0, ] R, n N asettamalla { kun x = ϕ(k) jollekin k {0,,..., n} f n (x) = 0 muuten. Tällöin jono f n konvergoi pisteittäin kohti funktiota f : [0, ] R, missä { kun x Q [0, ] f(x) = 0 kun x [0, ] \ Q. Tässä funktiot f n ovat jatkuvia lukuunottamatta äärellistä pistejoukkoa {ϕ(0), ϕ(),..., ϕ(n)}, joten ne ovat Riemann-integroituvia, ks. [A2]. Toisaalta rajafunktio f on epäjatkuva koko välillä [0, ], joten se ei ole Riemannintegroituva Lebesguen ehdon nojalla. Integroitumattomuuden näkee helposti myös suoraan ylä- ja alaintegraalien avulla, sillä f:n yläintegraali =, mutta alaintegraali = 0. Lauseen.5 ja esimerkin.6 valossa voidaan kysyä, periytyykö Riemannintegroituvuus tasaisessa konvergenssissa. Vastaus on myönteinen; tämän sanoo seuraava lause. Lause.7 Olkoon a, b R, a < b, I = [a, b] ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono ja f A siten, että f n f. Oletetaan lisäksi, että funktiot f n ovat Riemann-integroituvia yli välin I. Tällöin myös rajafunktio f on Riemann-integroituva yli välin I.

Todistus. Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Riemann-integroituvuuden määritelmän mukaan pitää osoittaa, että on olemassa porrasfunktiot g, h : I R siten, että ja g(x) f(x) h(x) kaikille x I () b a h b a g < ɛ. (2) Koska oletuksen mukaan f n f eli d(f n, f) 0, niin on olemassa N N siten, että ɛ d(f N, f) < 2(b a) +. Metriikan d määritelmän mukaan pätee tällöin ɛ f N (x) f(x) < 2(b a) + kaikille x I. (3) Koska f N on oletuksen mukaan Riemann integroituva, niin määritelmän mukaan on olemassa porrasfunktiot g N, h N : I R siten, että g N (x) f N (x) h N (x) kaikille x I (4) ja b b ɛ h N g N < a a 2(b a) +, (5) Määritellään nyt porrasfunktiot g, h : I R siten, että g(x) = g N (x) ɛ 2(b a) + ja h(x) = h N (x) + ɛ 2(b a) + kaikille x I. On selvää, että näin määritellyt g ja h todella ovat porrasfunktioita. Jos nyt osoitetaan, että ne toteuttavat ehdot () ja (2), niin lause on todistettu. Ehto () toteutuu, sillä kaikille x I pätee f(x) i) f N (x) + ɛ ii) ɛ h N (x) + 2(b a) + 2(b a) + = h(x), missä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (3) ja epäyhtälö ii) ehdosta (4), ja vastaavasti g(x) = g N (x) ɛ 2(b a) + i) f N (x) ɛ ii) f(x), 2(b a) + missä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (4) ja epäyhtälö ii) ehdosta (3). Myös ehto (2) toteutuu, sillä b a b a h h N b a b a g = b a g N + 2 ɛ (h N (x) + 2(b a) + )dx b a ɛ 2(b a) + dx = b a b a h N (g N (x) b a ɛ 2(b a) + )dx = ɛ g N + 2(b a) 2(b a) + ɛ 2(b a) + + 2(b a) ɛ 2(b a) + = (2(b a) + ) ɛ 2(b a) + = ɛ. i) < 2

Tässä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (5).. Huomautus. Lauseen.7 nojalla nähdään välittömästi, että esimerkin.6 konvergenssi ei voi olla tasaista. Lauseen.7 valossa on luonnollista kysyä, että periytyykö tasaisessa konvergenssissa paitsi Riemann-integroituvuus, myös integraalin arvo, ts. päteekö lauseen.7 tilanteessa aina b a f n b a f? Tarkastellaan tilannetta ensin esimerkin valossa. Esimerkki.8 Olkoon I = [0, ] ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono siten, että kaikille n N { n kun x ]0, f n (x) = n ] 0 kun x {0} ] n, ]. Tällöin f n :t ovat integroituvia ja 0 f n = kaikille n N. Tällöin 0 f n. Toisaalta koska funktiojono (f n ) konvergoi selvästi ainakin pisteittäin kohti nollafunktiota f 0 ja koska nollafunktion integraali on nolla, niin tässä tapauksessa pätee b a f n Huomautus. Esimerkissä.8 kyseessä on vain pisteittäinen konvergessi, ei tasainen. Esimerkki ei siis vastaa sitä edeltävään kysymykseen oikeastaan millään tavalla. Tässä on vain ilmoitus siitä, että vaikka pisteittäisessä konvergenssissa rajafunktio sattuisi olemaankin integroituva (vrt. esimerkki.6), voi hyvinkin olla b a f n Tasaisessa konvergenssissa näin ei voi käydä. Tämän sanoo seuraava lause. Lause.9 Olkoon a, b R, a < b ja A = {f : [a, b] R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono ja f A siten, että f n f. Oletetaan lisäksi, että funktiot f n ovat Riemann-integroituvia yli välin [a, b]. Tällöin pätee b a f n b a b a b a f. f. f. 3

Huomautus. Lauseen.9 tulos kirjoitetaan usein muodossa lim b a f n = b a lim f n, ts. lause antaa luvan vaihtaa integroinnin ja rajankäynnin järjestyksen. Tämä lupa siis edellyttää nimenomaan tasaista konvergenssia. Todistus. Lauseen.7 nojalla f on integroituva, joten väite on siinä suhteessa mielekäs. Riittää osoittaa, että b f n b a a f = 0 eli b a (f n (x) f(x))dx = 0. () Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Väite () seuraa, jos osoitetaan, että on olemassa N N siten, että b a (f n (x) f(x))dx ɛ kaikille n N. (2) Koska oletuksen mukaan f n f eli d(f n, f) 0, niin on olemassa N N siten, että d(f N, f) < ɛ b a. Metriikan d määritelmän mukaan pätee tällöin f N (x) f(x) < ɛ b a kaikille x I. (3) Tämä luku N on väitteessä (2) peräänkuulutettu N, sillä kaikille n N pätee b a (f n (x) f(x))dx i) b a f n (x) f(x) dx ii) b ɛ dx = ɛ. a b a Tässä epäyhtälö i) seuraa [A2]:n lauseesta.2 ja epäyhtälö ii) ehdosta (3) sekä [A2]:n lauseesta.8. Näin väite (2) ja siten koko lause on todistettu. Edellä on käsitelty jatkuvuuden ja integroituvuuden periytymistä rajafunktiolle tasaisessa/pisteittäisessä suppenemisessa. Jatketaan tarkasteluja kysymällä derivaatan periytymisominaisuuksista. Pisteittäisessä konvergenssissa derivoituvuus ei periydy. Tämä näkyy esimerkin.4 tilanteesta; siinähän funktiot f n ovat paitsi jatkuvia myös derivoituvia toisin kuin rajafunktio, joka ei ole edes jatkuva. Lauseiden.5 ja.7 valossa voisi arvata, että tasaisessa konvergenssissa derivoituvuus periytyy. Tämmöinen arvaus on kuitenkin väärä, kuten seuraava esimerkki kertoo. 4

Esimerkki.20 Olkoon I = ], [ ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono ja f A siten, että kaikille n N \ {0} n 2 x2 + 2n kun x [ n, n ] { f n (x) = x kun x [, n [ x kun x ], 0[ ja f(x) = x kun x ] n, ]. x kun x [0, [. Tällöin funktiot f n ovat jatkuvia, myös pisteissä ± n ja sen lisäksi myös derivoituvia (pisteissä ± n derivaatat ovat ±). Funktiojono (f n) konvergoi selvästi pisteittäin kohti rajafunktiota f, ja tässä tapauksessa konvergenssi on jopa tasaista, minkä näkee näin: Funktioiden f n ja f määritelmien perusteella d(f n, f) = sup{ f n (x) f(x) x ], [ } = sup{ f n (x) f(x) x [ n, n ]} = max{n 2 x2 + 2n x x [ n, n ]} = 2n, joten d(f n, f) 0 eli f n f eli konvergenssi on tasaista. Kuitenkin on niin, että rajafunktio f ei ole derivoituva pisteessä x = 0, joten on nähty, että derivoituvuus ei periydy tasaisessakaan konvergenssissa. Esimerkissä.8 tarkasteltiin tilannetta, jossa integroituva funktiojono konvergoi pisteittäin, rajafunktio sattui olemaan integroituva, mutta integraalien arvot eivät konvergoineet sinne minne pitäisi ts. kävi niin, että b a f n Tämän ja esimerkin.20 valossa voi kysyä seuraavaa: Voiko käydä niin, että että derivoituva funktiojono (f n ) konvergoi tasaisesti kohti funktiota f, joka sattuu olemaan derivoituva, mutta derivaatat eivät konvergoi sinne minne pitäisi, ts. voiko olla niin, että f n f? Näin todellakin voi käydä. Esimerkissä.20 derivaatat tosin konvergoivat sinne minne pitääkin niissä pisteissä, missä f on derivoituva eli kun x 0. Vähän mutkikkaammalla esimerkillä voidaan rakentaa yllä kuvattu tilanne: Esimerkki.2 Olkoon I = ], [, A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono siten, että kaikille n N pätee b a f. f n (x) = xe nx2 kaikille x I ja olkoon f A nollafunktio, f 0. On melko selvää, että jono (f n ) konvergoi kohti funktiota f pisteittäin, mutta konvergenssi on lisäksi tasaista. Tämän osoittaa seuraava tarkastelu: Ensinnäkin d(f n, f) = sup{ f n (x) f(x) x I} = sup{ xe nx2 x I} = max{xe nx2 x [0, ]} 5

ja tämä maksimi löytyy joko derivaatan nollakohdista tai välin [0, ] päätepisteistä. Päätepisteissä arvot ovat 0 ja e n. Derivaatta on e nx2 2nx 2 e nx2 = ( 2nx 2 )e nx2, jonka välillä [0, ] oleva ainoa nollakohta on pisteessä x, jossa 2nx 2 = 0 eli pisteessä x = Koska 2n, kun n. Siten kaikille n pätee d(f n, f) = max{xe nx2 x [0, ]} = max{0, e n, max{e n, 2n e 2 } = 2n e 2. lim n 2n e 2 = 0, 2n e n( 2n )2 } = niin d(f n, f) 0 eli todellakin f n f tasaisesti (ja siten tietysti myös pisteittäin lauseen. nojalla). Tarkastellaan sitten derivaattajonoa (f n). Kuten yllä jo todettiin kaikki f n :t ovat derivoituvia ja kaikille n N pätee f n(x) = ( 2nx 2 )e nx2. Rajafunktion f 0 derivaatta on tietysti nollafunktio ja nyt kysymys kuuluu, päteekö f n 0? Näin ei ole. Jos näin olisi, konvergoisi jono (f n) nollaan myös pisteittäin lauseen. nojalla. Näin ei kuitenkaan käy ainakaan pisteessä x = 0, sillä f n(0) = kaikille n N. Siten on oltava f n f, ja näin siis on konstruoitu halutunlainen esimerkkijono (f n ). Päätetään tämä luku vielä yhteen havaintoon derivaattajonojen konvergenssista. Voidaan kysyä, aiheuttaako derivaattajonon konvergenssi itse funktiojonon konvergenssin? Vastaus on heti selvä: ei tietenkään. Tämä johtuu siitä, että derivaattojen muuttumatta itse funktioihin voidan lisäillä mielivaltaisia vakioita, ja tämä voidaan tietysti hoitaa niin, että minkäänlaista konvergenssia ei tapahdu. Jos tämmöinen mielivaltainen vakioiden lisäily jollakin sopivalla tavalla estetään, niin silloin käy (ehkä vähän yllättäen) niin, että derivaattajonon tasainen konvergenssi aiheuttaa itse funktiojonon tasaisen konvergenssin. Itse asiassa pätee enemmänkin: funktiojono ei suppene minne tahansa, vaan juuri sinne minne pitääkin. Toisin sanoen, jos f n g jollekin g, niin f n G, missä G = g. Tämän sanoo seuraava lause, jota tarvitaan jatkossa lauseen 4.29 todistuksessa. Lause.22 Olkoon a, b R, a < b, I = ]a, b[ ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoon (f n ) joukon A jono ja oletetaan, että funktiot f n ovat jatkuvasti derivoituvia välillä I. Oletetaan edelleen, että f n A kaikille n N ja että on olemassa g A siten, että f n g. 6

Oletetaan vielä, että on olemassa x 0 I siten, että reaalilukujono (f n (x 0 )) suppenee (kohti jotain reaalilukua y R). Tällöin on olemassa G A siten, että f n G ja lisäksi G on derivoituva välillä I ja kaikille x I pätee G (x) = g(x). Huomautus. Tässä vaatimus jonon (f n (x 0 )) suppenemisesta on juuri se lisäehto, jota tarvitaan, jotta voidaan estää mielivaltaisten vakioiden lisäily, mistä oli yllä puhetta. Termi jatkuvasti derivoituva tarkoittaa kuten yleensäkin sitä, että funktio on derivoituva ja sen derivaatta on jatkuva. Todistus. Määritellään kaikille n N kuvaus F n : I R asettamalla F n (x) = x x 0 f n(t)dt kaikille x I. Huomaa, että tämä on järkevä määritelmä, sillä f n on integroituva jatkuvuusoletuksen nojalla (ks.[a2], lause.2). Analyysin peruslauseen ([A2], lause 3.; tässä taas tarvitaan kuvausten f n jatkuvuutta!) nojalla funktiot F n ovat derivoituvia välillä I ja kaikille x I pätee F n(x) = f n(x). Siten sekä F n että f n ovat funktion f n primitiivejä välillä I, joten (ks. [A2], lause 3.2) kaikille x I pätee F n (x) = f n (x) + C n jollekin vakiolle C n R. () Funktioiden F n määritelmän mukaan F n (x 0 ) = 0 kaikille n N, joten ehdon () ja oletuksen lim n f n (x 0 ) = y nojalla pätee Määritellään kuvaus H : I R asettamalla H(x) = lim C n = y R. (2) n x x 0 g(t)dt kaikille x I. Huomaa, että lauseen.7 nojalla funktioiden f n integroituvuus periytyy tasaisen konvergenssin kautta rajafunktiolle g, joten H on järkevästi määritelty. Lisäksi, koska g A eli g on rajoitettu, ja toisaalta väli I on rajoitettu, niin myös H on rajoitettu, siis H A. Toisaalta, koska f n A ja F n = f n +C n, niin myös F n A kaikille n N ja voidaan tässä mielessä järkevästi esittää väite F n H. (3) 7

Todistetaan tämä. (Huomaa, että pisteittäinen konvergenssi seuraa suoraan lauseesta.9.) Olkoon tätä varten ɛ > 0 annettu. Pitää osoittaa, että on olemassa N N siten, että d(f n, H) < ɛ kaikille n N. (4) Koska oletuksen mukaan f n g, niin on olemassa N N siten, että d(f n, g) < ɛ b a kaikille n N. (5) Osoitetaan, että tämä luku N on väitteessä (4) peräänkuulutettu N. Kaikille n N pätee d(f n, H) = i) sup{ F n (x) H(x) x I} ii) = x x sup{ f n(t)dt g(t)dt x I} iii) = sup{ (f n(t) g(t))dt x I} iv) x 0 x 0 x 0 x sup{ f n(t) g(t) dt x I} v) x sup{ d(f n, g)dt x I} vi) = x 0 x 0 sup{ x x 0 d(f n, g) x I} vii) (b a)d(f n, g) viii) ɛ < (b a) b a = ɛ, joten tämä N todella kelpaa väitteeseen (4) ja siten väite (4) ja näin myös väite (3) on todistettu. Yllä yhtälöt i) ja ii) seuraavat suoraan määritelmistä. Yhtälö iii) seuraa siitä, että f n g = (f n g). Epäyhtälö iv) seuraa siitä, että (f n g) f n g kaikille x (huomaa, että voi olla myös x < x 0, mikä selittää jälkimmäisen integraalin ympärillä tarvittavat itseisarvomerkit). Epäyhtälö v) perustuu siihen, että metriikan d määritelmän mukaan f n (t) g(t) d(f n, g) kaikille t, jolloin f n (t) g(t) dt d(f n, g)dt, huomaa, että itseisarvomerkkien kanssa tämä pätee myös kun x < x 0. Yhtälössä vi) on integroitu vakiota. Epäyhtälö vii) seuraa siitä, että x, x 0 I =]a, b[, jolloin x x 0 < b a. Epäyhtälö viii) seuraa ehdosta (5). x Määritellään nyt kuvaus G : I R asettamalla kaikille x I G(x) = H(x) + y. Tässä y on lauseen oletuksissa ja ehdossa (2) esiintyvä vakio. Koska ehdon () nojalla kaikille n N pätee f n = F n C n, ehdon (2) nojalla C n y ja ehdon (3) nojalla F n H, niin saadaan (ks. todistuksen jälkeinen huomautus ja lause.23) f n H + y, ts. f n G. 8

Näin väitteen ensimmäinen osa on todistettu. Pitää vielä todistaa jälkimmäinen osa eli väite G (x) = g(x) kaikille x G. Koska G = H + vakio, niin riittää osoittaa, että H (x) = g(x) kaikille x G. (6) Koska derivaatat f n ovat oletuksen mukaan jatkuvia ja f n g, niin lauseen.5 nojalla myös g on jatkuva. Koska funktion H määritelmän mukaan pätee H(x) = x x 0 g(t)dt kaikille x I, niin g:n jatkuvuuden nojalla analyysin peruslauseesta ([A2], lause 3.) seuraa välittömästi väite (6), joten koko lause on todistettu. Huomautus. Edellisessä todistuksessa pääteltiin vähän huolimattomasti, että jos F n H ja C n y, niin tällöin f n = F n C n H +y. Tässä pitää huomata, että konvergessi C n y voidaan tulkita joko reaalilukujonon konvergenssiksi tai tai sitten vakiofunktioiden tasaiseksi konvergenssiksi kohti vakiofunktiota näillähän ei käytännössä ole eroa. Tämä vaatisi ehkä vähän tarkemman analyysin. Toisaalta tämäntapaisia tilanteita tulee vastaan tuon tuosta. Näitä varten todistetaan vielä tämän luvun lopuksi lause, jonka perusteella voidaan monet tapaukset kuitata käsitellyiksi. Lause.23 Olkoon = I R ja A = {f : I R f on rajoitettu}. Olkoot (f n ) (g n ) joukon A jonoja, f, g A ja a, b R. Oletetaan, että f n f ja g n g. Tällöin af n + bg n af + bg ja f n g n fg. Huomautus. Tässä esimerkiksi funktio af + bg A tarkoittaa kuvausta x af(x) + bg(x) ja funktio fg A kuvausta x f(x)g(x) jne. Todistus.. Todistetaan aluksi ensimmäinen väite siinä erikoistapauksessa, että a = b =. Olkoon tätä varten ɛ > 0. Pitää osoittaa, että on olemassa N N siten, että d(f n + g n, f + g) < ɛ kaikille n N. () Koska f n f, niin on olemassa N N siten, että d(f n, f) < ɛ 2 kaikille n N. (2) Koska g n g, niin on olemassa N 2 N siten, että d(g n, g) < ɛ 2 kaikille n N 2. (3) Valitaan nyt N = max{n, N 2 } 9

ja osoitetaan, että tämä on väitteessä () peräänkuulutettu luku N. Olkoon siis n N. Tällöin d(f n + g n, f + g) = sup{ (f n (x) + g n (x)) (f(x) g(x)) x I} = sup{ f n (x) f(x) + g n (x) g(x) x I} sup{ f n (x) f(x) + g n (x) g(x) x I} sup{d(f n, f) + d(g n, g) x I} = d(f n, f) + d(g n, g) i) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ 2, joten ehto () todellakin toimii. Tässä ehto i) seuraa ehdoista (2) ja (3), sillä nyt N:n valinnan nojalla sekä n N että n N 2. 2. Todistetaan sitten jälkimmäinen väite eli että f n g n fg. Olkoon tätä varten ɛ > 0. Pitää osoittaa, että on olemassa N N siten, että d(f n g n, fg) < ɛ kaikille n N. (4) Koska f, g A, niin ne ovat rajoitettuja. Tällöin on olemassa M R siten, että f(x) < M ja g(x) < M kaikille x I. (5) Koska f n f, niin on olemassa N N siten, että d(f n, f) < kaikille n N. Tällöin pätee kaikille x I ja kaikille n f n (x) = f n (x) f(x) + f(x) f n (x) f(x) + f(x) (6) + f(x) i) < M +, missä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (5). Koska f n f, niin on olemassa N 2 N siten, että ɛ d(f n, f) < kaikille n N 2. (7) 2M + Vastaavasti, koska g n g, niin on olemassa N 3 N siten, että Valitaan nyt d(g n, g) < ɛ 2M + N = max{n, N 2, N 3 } kaikille n N 3. (8) 20

ja osoitetaan, että tämä on väitteessä (4) peräänkuulutettu luku N. Olkoon siis n N. Tällöin d(f n g n, fg) = sup{ f n (x)g n (x) f(x)g(x) x I} = sup{ f n (x)g n (x) f n (x)g(x) + f n (x)g(x) f(x)g(x) x I} sup{ f n (x)g n (x) f n (x)g(x) + f n (x)g(x) f(x)g(x) x I} = sup{ f n (x) g n (x) g(x) + f n (x) f(x) g(x) x I} i) sup{ f n (x) g n (x) g(x) x I} + sup{ f n (x) f(x) g(x) x I} ii) sup{(m + ) g n (x) g(x) x I} + sup{m f n (x) f(x) x I} = (M + )d(g n, g) + Md(f n, f) iii) ɛ (M + ) 2M + + M ɛ 2M + = ɛ, joten ehto (4) todellakin pätee, ja näin väite on todistettu. Yllä epäyhtälö i) seuraa siitä, että kaikille x I pätee f n (x) g n (x) g(x) + f n (x) f(x) g(x) sup{ f n (x) g n (x) g(x) x I} + sup{ f n (x) f(x) g(x) x I}. Epäyhtälö ii) seuraa ehdoista (5) ja (6) sekä siitä, että n N N. Epäyhtälö iii) seuraa ehdoista (7) ja (8) sekä siitä, että n N N 2 ja n N N 3. 2 3. On vielä todistettava ensimmäinen väite yleisessä tapauksessa. Tämä seuraa nyt kohdista. ja 2. tähän tapaan: Määritellään kaikille n N g n a ja myös g a, jolloin g n g. (Huomaa, että tässä on siis kyse funktiojonon tasaisesta suppenemisesta.) Kohdan 2. nojalla saadaan nyt Vastaavasti kohdan 2. nojalla nähdään, että Väite af n = g n f n gf = af. (9) bf n bf. (0) af n + bf n af + bf seuraa nyt kohdasta. sekä ehdoista (9) ja (0). 2 Taylorin polynomit Monissa sovelluksissa on hyödyllistä approksimoida annettua pahaa funktiota polynomilla, joka on tietenkin monessa mielessä mahdollisimman siisti funktio. Tällainen approksimaatio onnistuu sitä paremmin, mitä korkemman asteista polynomia käytetään, edellyttäen, että alkuperäinen funktio ei ole aivan mahdoton käytännössä vaaditaan, että annettu funktio on niin ja niin monta kertaa derivoituva: 2

Määritelmä 2. Olkoon I R avoin väli, x 0 I, n N ja f : I R n kertaa derivoituva funktio. Sanotaan, että funktio T n,x0 f : R R, T n,x0 f(x) = k=0 k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k on f:n kertalukua n oleva Taylorin polynomi pisteessä x 0. Huomautus 2.2 Tässä merkintä f (k) (x 0 ) tarkoittaa tavalliseen tapaan funktion f k:nnen derivaatan arvoa pisteessä x 0. Tämähän on oletuksen mukaan olemassa, kun k {0,..., n}. Erityisesti kun k = 0, kyseessä on f:n arvo pisteessä x 0, eli sovitaan, että f (0) (x 0 ) = f(x 0 ). Huomaa, että Taylorin polynomi on todella polynomi ja sen asteluku on korkeintaan n. Määritelmässä 2. esiintyvä summasymboli määritellään tarkasti vasta sarjojen yhteydessä luvussa 3, mutta sen intuitiivinen merkitys lienee selvä. Eksaktisti määritelmä voidaan asettaa rekursiivisesti sopimalla ensin, että T 0,x0 = 0! f(x 0)(x x 0 ) 0 = f(x 0 ) ja jos oletetaan, että k {0,,..., n } ja että T k,x0 f(x) on jo määritelty, niin asetetaan T k+,x0 f(x) = T k,x0 f(x) + (k + )! f (k+) (x 0 )(x x 0 ) k+, () jolloin rekursioperiaatteen mukaisesti T k,x0 f(x) tulee määritellyksi kaikille k {0,,..., n} ja lisäksi ehto () pätee kaikille k {0,,..., n }. Esimerkki 2.3 Olkoon I = R ja f : I R, f(x) = e x. Tällöin f äärettömän monta kertaa derivoituva, joten sen kaikkien kertalukujen Taylorin polynomit (esimerkiksi) origossa voidaan muodostaa. Koska f (k) (0) = kaikille k N, niin saadaan huomatuksen 2.2 mukaisesti seuraavanlaiset polynomit: T 0,0 f(x) = 0! f(0)(x 0)0 T,0 f(x) = T 0,0 f(x) +! f (0)(x 0) = + x T 2,0 f(x) = T,0 f(x) + 2! f (0)(x 0) 2 = + x + 2 x2 T 3,0 f(x) = T 2,0 f(x) + 3! f (3) (0)(x 0) 2 = + x + 2 x2 + 6 x3 jne. Yleisesti nähdään määritelmästä 2. heti, että kaikille n N pätee T n,0 f(x) = k=0 k! xk. 22

Taylorin polynomin luonteeseen kuuluu siis se, että se approksimoi annettua funktiota. Approksimaatio on tarkimmillaan juuri valitussa pisteessä x 0, sillä kaikille n N pätee T n,x0 f(x 0 ) = f(x 0 ). Tämä pätee siis myös arvolle n = 0, jolloin Taylorin polynomi on pelkkä vakio. Taylorin polynomin antama approksimaatio huononee sitä mukaa, mitä kauemmas annetusta pisteestä x 0 mennään. Toisaalta approksimaatio paranee sitä mukaa, kun Taylorin polynomin kertaluku kasvaa. Tämä ilmiö näkyy selvästi esimerkistä 2.3 piirtämällä f:n ja joidenkin Taylorin polynomien kuvaajat. Sama koskee esimerkkejä 2.4 ja 2.5. Esimerkki 2.4 Olkoon I = R ja f : I R, f(x) = sin x. Tässäkin f äärettömän monta kertaa derivoituva, joten sen kaikkien kertalukujen Taylorin polynomit (esimerkiksi) origossa voidaan muodostaa. Koska 0 kun n on parillinen f (k) (0) = + kun n on muotoa n = 4k +, k N kun n on muotoa n = 4k + 3, k N, niin saadaan seuraavanlaiset polynomit T 0,0 f(x) 0 T,0 f(x) = T 2,0 f(x) = x T 3,0 f(x) = T 4,0 f(x) = x 6 x3 T 5,0 f(x) = T 6,0 f(x) = x 6 x3 + 20 x5 jne. Esimerkki 2.5 Olkoon I = R ja f : I R, f(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x +. Lasketaan vaihtelun vuoksi Taylorin polynomit pisteessä x 0 =. Tässä f() = 5, f () = 0, f () = 20, f (3) () = 30, f (4) () = 24 ja f (k) () = 0, kun k 5. Tällöin saadaan seuraavanlaiset polynomit T 0, f(x) 5 T, f(x) = 5 + 0(x ) = 0x 5 T 2, f(x) = 0x 5 + 2 20(x )2 = 0x 5 + 0x 2 20x + 0 = 0x 2 0x + 5 T 3, f(x) = 0x 2 0x + 5 + 6 30(x )3 = 0x 2 0x + 5 + 5x 3 5x 2 + 5x 5 = 5x 3 5x 2 + 5x T 4, f(x) = 5x 3 5x 2 + 5x + 24 24(x )4 = x 4 + x 3 + x 2 + x + T n, f(x) = T 4, f(x) kun n 5. 23

Huomautus 2.6 Esimerkissä 2.5 kävi niin, että T n, f(x) = f(x), kun n 4. Tämä ei ole sattumaa, sillä lauseessa 2. tullaan todistamaan, että jos f on astetta m oleva polynomi, niin T n, f(x) = f(x), kun n m. Tämä on yllä puhuttua approksimointia ajatellen luonnollinen tulos: m-asteista polynomia voidaan aivan täsmälleen approksimoida m-asteisella polynomilla, eikä tarkkuus voi enää parantua, vaikka appoksimoivan polynomin astetta nostettaisiinkin. Seuraava lause sanoo, että f:n Taylorin polynomin derivaattojen arvot pisteessä x 0 ovat täsmälleen samat kuin f:n derivaattojen vastaavat arvot. Lause 2.7 Olkoon I R avoin väli, x 0 I, n N ja f : I R n kertaa derivoituva funktio. Tällöin kaikille k {0,,..., n} pätee d k dx k T n,x 0 f(x 0 ) = f (k) (x 0 ). Todistus. Koska määritelmän mukaan T n,x0 f(x 0 ) = f(x 0 ), niin asia on selvä kun k = 0, joten voidaan olettaa, että k. Jos k = n, niin T n,x0 f voidaan huomautuksen 2.2 mukaan esittää muodossa T n,x0 f(x) = T k,x0 f(x) = P (x) + k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k, missä P on korkeintaan astetta k oleva (Taylorin) polynomi. Koska tällöin P (k) 0, niin d k dx k T n,x 0 f(x) = dk dx k k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k = k! f (k) (x 0 ) dk dx k (x x 0) k = k! f (k) (x 0 )k! = f (k) (x 0 ), joten väite pätee. Oletetaan sitten, että k n. Tällöin huomautuksen 2.2 ja määritelmän 2. mukaan T n,x0 f voidaan esittää muodossa T n,x0 f(x) = P (x) + k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k + j=k+ j! f (j) (x 0 )(x x 0 ) j, missä P on korkeintaan astetta k oleva polynomi. Koska nytkin P (k) 0, niin d k dx k T n,x 0 f(x) = dk dx k k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k + dk dx k j! f (j) (x 0 )(x x 0 ) j = k! f (k) (x 0 ) dk dx k (x x 0) k + k! f (k) (x 0 )k! + j=k+ j=k+ j=k+ j! f (j) (x 0 ) dk dx k (x x 0) j = j! f (j) (x 0 )j(j ) (j k + )(x x 0 ) j k. 24

Tällöin d k dx k T n,x 0 f(x 0 ) = k! f (k) (x 0 )k! + j=k+ f (k) (x 0 ) + 0 = f (k) (x 0 ), joten väite pätee tässäkin tapauksessa. j! f (j) (x 0 )j(j ) (j k + )(x 0 x 0 ) j k = Esitetään tässä välissä pieni aputulos, joka koskee kaikkia polynomeja: Lemma 2.8 Olkoon n N, x 0 R ja Q korkeintaan astetta n oleva polynomi, jolle pätee Q (k) (x 0 ) = 0 kaikille k {0,,..., n}. Tällöin Q 0. Todistus. Todistetaan väite induktiolla n:n suhteen. Kun n = 0, Q on vakio, jolloin oletus Q(x 0 ) = 0 riittää takaamaan, että Q 0. Oletetaan sitten induktiivisesti, että n ja että väite pätee kaikille korkeintaan astetta n oleville polynomeille. Olkoon Q(x) = a k x k. k=0 Tällöin d n dx n Q(x) n!a n, jolloin oletuksen nojalla a n = 0. Tällöin n Q(x) = a k x k k=0 ja näin Q on korkeintaan astetta n. Väite seuraa tällöin induktio-oletuksesta. Lause 2.7 siis kertoo, että T n,x0 f on korkeintaan astetta n oleva polynomi, jolla on samat derivaatan arvot pisteessä x 0 kuin itse funktiolla f ainakin kertalukuun n asti. Seuraava lause sanoo, että muita tällaisia polynomeja ei sitten olekaan: Lause 2.9 Olkoon I R avoin väli, x 0 I, n N ja f : I R n kertaa derivoituva funktio. Olkoon P korkeintaan astetta n oleva polynomi, jolle pätee P (k) (x 0 ) = f (k) (x 0 ) kaikille k {0,,..., n}. Tällöin P = T n,x0 f 25

Todistus. Määritellään Q(x) = P (x) T n,x0 f(x). Tällöin Q on korkeintaan astetta n oleva polynomi, jolle oletuksen ja lauseen 2.7 nojalla päte Q (k) (x 0 ) = 0 kaikille k {0,,..., n}. Tällöin lemman 2.8 nojalla Q 0. Koska Q = P T n,x0 f, niin väite seuraa. Jos ajatellaan edelleen Taylorin polynomia funktion f approksimaationa, niin approksimaatiossa syntyvä virhe on f T n,x0 f. Tätä virhettä olisi hyvä päästä arvioimaan. Seuraava lause antaa kyseiselle virheelle eksplisiittisen lausekkeen, josta virhearvioita on hyvä lähteä tekemään. Tässä tosin tarvitaan sellainen lisäoletus, että f on n + kertaa derivoituva ja vielä, että derivaatta f (n+) on jatkuva. Lause 2.0 Olkoon I R avoin väli, x 0 I, n N ja f : I R n + kertaa jatkuvasti derivoituva funktio. Tällöin kaikille x I pätee f(x) T n,x0 f(x) = n! x x 0 f (n+) (t)(x t) n dt. Huomautus. Lauseen 2.0 esitys virheelle f T n,x0 f tunnetaan nimellä Taylorin kaava. Itse virheelle käytetään nimitystä n:s jäännöstermi ja merkintää R n,x0 f(x) = n! x x 0 f (n+) (t)(x t) n dt. Huomaa myös, että tässä voi olla x x 0, jolloin käytetään [A2]:sta tuttuja sopimuksia x 0 x 0 = 0 ja x x 0 = x 0 x. Todistus. Koska f (n+) on oletuksen mukaan jatkuva, on myös funktio t f (n+) (t)(x t) n jatkuva ja siten integroituva, joten väite on mielekäs. Osoitetaan induktiolla k:n suhteen, että kaikilla k {0,,..., n} pätee f(x) T k,x0 f(x) = k! x x 0 f (k+) (t)(x t) k dt, () josta varsinainen väite seuraa k:n arvolla k = n. Huomaa, että tässäkin kuvaukset t f (n+) (t)(x t) n ovat jatkuvia, joten kaavassa () esiintyvät integraalit ovat määriteltyjä. Kun k = 0 väite () tulee muotoon f(x) f(x 0 ) = x x 0 f (t)dt. (2) 26

Jos x = x 0, niin tämä pätee tehdyn merkintäsopimuksen nojalla. Jos x > x 0, niin f :n oletuksen mukaisen jatkuvuuden nojalla väite (2) seuraa suoraan [A2]:n lauseesta 3.4. Jos taas x < x 0, niin samalla tavalla [A2]:n lauseen 3.4 nojalla f(x 0 ) f(x) = x0 x f (t)dt, jolloin väite (2) seuraa tehdystä merkintäsopimuksesta. Näin induktion ensimmäinen askel on otettu. Oletetaan sitten induktiivisesti, että k n ja että f(x) T k,x0 f(x) = (k )! x Jos x = x 0, niin induktioväite () tulee muotoon f(x) T k,x0 f(x) = 0, x 0 f (k) (t)(x t) k dt. (3) joka pätee lauseen 2.7 nojalla. Siten voidaan olettaa, että x x 0. Oletetaan ensin, että x > x 0. Lasketaan induktio-oletuksessa (3) esiintyvä integraali osittaisintegroinnilla, jolloin saadaan x x 0 f (k) (t)(x t) k dt = / x x 0 f (k) (t) k (x t)k k f (k) (x 0 )(x x 0 ) k + x f k+ (t)(x t) k dt. k x 0 Yhdistämällä tämä induktio-oletukseen (3) saadaan f(x) T k,x0 f(x) = k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k + k! josta edelleen f(x) (T k,x0 f(x) + k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k ) = k! Koska huomautuksen 2.2 mukaan x x 0 f (k+) (t) k (x t)k dt = x x T k,x0 f(x) = T k,x0 f(x) + k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k, niin kaavasta (5) saadaan välittömästi induktioväite (). x 0 f k+ (t)(x t) k dt, (4) x 0 f k+ (t)(x t) k dt. (5) 27

Pitää vielä tutkia tapaus x < x 0. Tämä tarkastelu on melkein identtinen edellä olevan kanssa, merkki vain vaihtuu: Osittaisintegroinnilla saadaan ensin x x 0 f (k) (t)(x t) k dt = / x0 f (k) (t) x k (x t)k + k f (k) (x 0 )(x x 0 ) k k k f (k) (x 0 )(x x 0 ) k + k x0 x x0 x x0 x x f (k) (t)(x t) k dt = f (k+) (t) k (x t)k dt = f k+ (t)(x t) k = x 0 f k+ (t)(x t) k dt, joten kaava (4) pätee tässäkin tapauksessa. Tästä voidaan päätellä edelleen kaava (5) ja lopulta induktioväite () täsmälleen samoin kuin yllä. Näin induktioaskel on otettu ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee. Lause 2. Olkoon f astetta m oleva polynomi ja x 0 R. Tällöin T n,x0 f f kaikille n m. Todistus. Olkoon n m mielivaltainen. Riittää osoittaa, että T n,x0 f f 0. Lauseen 2.0 nojalla tähän riittää se, että x x 0 f (n+) (t)(x t) n dt = 0 kaikille x R. Tämä seuraa välittömästi siitä, että f (n+) 0, sillä n + > m ja f on astetta m oleva polynomi. Lauseen 2.0 mukaisesti siis Taylorin kaavan jäännöstermiä merkitään symbolilla R n,x0 f(x) = f(x) T n,x0 f(x) = n! x x 0 f (n+) (t)(x t) n dt. Tälle jäännöstermille eli approksimoinnissa syntyvälle virheelle voidaan antaa muunkinlaisia esityksiä. Lauseissa 2.2 ja 2.3 on kaksi tällaista esitystä. Lause 2.2 (Cauchyn esitys) Olkoon I R avoin väli, x 0 I, n N ja f : I R n+ kertaa jatkuvasti derivoituva funktio. Tällöin kaikille x I\{x 0 } on olemassa ξ ]x, x 0 [ ]x 0, x[ siten, että R n,x0 f(x) = n! f (n+) (ξ)(x ξ) n (x x 0 ). Todistus. Tässä täytyy taas tutkia erikseen tapaukset x > x 0 ja x < x 0. Olkoon ensin x > x 0. Oletuksen mukaan funktio f (n+) (t) on jatkuva ja siten myös 28

funktio t f (n+) (t)(x t) n on jatkuva välillä [x 0, x], joten integraalilaskennan väliarvolauseen ([A2], lause.4) nojalla on olemassa ξ ]x 0, x[ siten, että x x 0 f (n+) (t)(x t) n dt = f (n+) (ξ)(x ξ) n (x x 0 ). () Sijoittamalla tämä Taylorin kaavaan (lause 2.0) saadaan väite R n,x0 f(x) = n! R n,x0 f(x) = x x 0 f (n+) (t)(x t) n dt (n + )! f (n+) (ξ)(x ξ) n (x x 0 ). Tarkastellaan sitten tapausta x < x 0, joka on (kuten voi arvatakin) lähes identtinen yllä olevan kanssa. Oletuksen mukaan funktio f (n+) (t) on jatkuva ja siten myös funktio t f (n+) (t)(x t) n on jatkuva välillä [x, x 0 ], joten integraalilaskennan väliarvolauseen ([A2], lause.4) nojalla on olemassa ξ ]x, x 0 [ siten, että jolloin x x0 x f (n+) (t)(x t) n dt = f (n+) (ξ)(x ξ) n (x 0 x), x 0 f (n+) (t)(x t) n dt = x0 x f (n+) (t)(x ξ) n dt = f (n+) (ξ)(x ξ) n (x 0 x) = f (n+) (ξ)(x ξ) n (x x 0 ). Siten kaava () pätee myös tässä tapauksessa, jolloin varsinainen väite seuraa täsmälleen samalla tavalla kuin yllä. Esimerkki 2.3 Palataan esimerkkiin 2.3, jossa laskettiin eksponenttifunktion f(x) = e x Taylorin polynomit T n,0 f(x) = k=0 k! xk. Paljonko on approksimoinnissa syntyvä maksimivirhe (mitä se sitten tarkoittaakin) esimerkiksi välillä I = ], [? Kysymys voidaan asettaa myös vähän täsmällisemmin niin, että paljonko on sup{ R n,x0 f(x) x I} eli sup{ T n,x0 f(x) f(x) x I} d(t n,x0 f, f), eli missä d on lauseessa.3 määritelty metriikka välillä I. Lause 2.2 antaa keinon arvoida tätä metriikkaa. Koska lauseen 2.2 merkinnöin (tässä siis x 0 = 0) 29