(b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi selkeä sääömukaisuude, joka avulla kysymyksee o helppo vastata? (a) f (x) = x 5 + 3x 3 + 6x (b) f (x) = x 6 + 3x 3 + 6x (c) f (x) = x 6 + 3x + 99x 2 + 7 (d) f (x) = x 7 + 6x (e) f (x) = x + 3x 2 + 6x (f) f (x) = x + 3x 2 + 67 (g) f (x) = x 5 + 3x 3 + 6x (h) f (x) = x 2 2x Polyomit, joide kaikki termit ovat parittomia, ovat parittomia. Polyomit, joide kaikki termit ovat parillisia, ovat parillisia. Jos polyomissa o sekä parillisia että parittomia termejä, fuktio ei ole parillie eikä parito. Huomaa, että tässä tulkiassa vakiotermiki o parillie; jos fuktiossa o ollasta poikkeava vakiotermi, se ei voi olla parito (miksi?). Jos parito fuktio o itseisarvomerkkie sisällä, siitä tulee parillie (miksi?). (a) odd (b) ei kumpaakaa (c) eve (d) odd (e) ei kumpaakaa (f) eve (g) eve (h) ei kumpaakaa 2. (a) Oko olemassa fuktioita, jotka ovat sekä parillisia että parittomia? Jos väität että o, imeä sellaie. (b) Jos f (x) o parillie ja g(x) o parillie, mitä voidaa saoa fuktio f (x)+g(x) parillisuudesta/parittomuudesta? Mitä voidaa saoa fuktio f (x) g(x) parillisuudesta/parittomuudesta? (c) Jos f (x) o parito ja g(x) o parillie, mitä voidaa saoa fuktio f (x)+g(x) parillisuudesta/parittomuudesta? Mitä voidaa saoa fuktio f (x) g(x) parillisuudesta/parittomuudesta? (d) Jos f (x) o parito ja g(x) o parito, mitä voidaa saoa fuktio f (x)+g(x) parillisuudesta/parittomuudesta? Mitä voidaa saoa fuktio f (x) g(x) parillisuudesta/parittomuudesta? (a) Vakiofuktio f (x) = o sekä parillie että parito.
odd + eve = Ei voida saoa mitää odd eve = odd odd + odd = odd odd odd = eve 3. Nyt käsiteltävä kaltaie mahdollisimma lähelle haluttua pistettä aettuje vektorie suuassa -probleema o Fourier-aalyysi kaalta varsi tärkeä. Oletetaa, että olemme origossa, ja voimme liikkua vai tuettuje vektorie a ja a 2 suutaa; toisisaoe voimme liikkua tasolla, joka ämä vektorit virittävät. Piste b sijaitsee taso ulkopuolella, jote tähä pisteesee emme äide vektorie suutaa liikkumalla pääse, mutta etsi sellaiset kertoimet x ja x 2, että piste x a + x 2 a 2 o ii lähellä pistettä b kui mahdollista. Vikki: Muodosta fuktio S(x,x 2 ), joka kertoo pisteide x a + x 2 a 2 ja b välise etäisyyde eliö. Tämä jälkee etsi e parametrie x ja x 2 arvot, jotka miimoivat fuktio S. 2 a =, a 2 =, b = Tehtävä ratkaisu tämä PDF: lopussa (käsikirjoitettua).. Probleema idea o sama kui edellä. Eli: Olemme origossa, ja voimme liikkua vai tuettuje vektorie a, a 2 ja a 3 suutaa. Piste b sijaitsee äide virittämä hypertaso ulkopuolella, jote tähä pisteesee emme äide vektorie suutaa liikkumalla pääse. Etsi sellaiset kertoimet x, x 2 ja x 3, että vektori x a + x 2 a 2 + x 3 a 3 o ii lähellä pistettä b kui mahdollista. Vikki: Sama kui yllä, mutta fuktio S o yt toki muotoa S = S(x,x 2,x 3 ). a =, a 2 = 2 2, a 3 =, b = Tehtävä ratkaisu tämä PDF: lopussa (käsikirjoitettua). 5. Määritä 2π-jaksollise fuktio f (x) = x, π < x < π Fourier-sarja. [ Vastaatuleva itegraali ratkeaa osittaisitegroiilla. Vikki: Laske, mitä o xcos(x) ], ja mieti osittaisitegroitia saamasi tulokse valossa. d dx Fuktio o parito. Täte a = ku =,,2,3,... Lasketaa kerroi b : b = π f (x)six dx
Koska parittomie fuktioide f (x) ja si x tulo o parillie, ii itegraali voidaa laskea myös muodossa b = 2 π f (x)six dx = 2 π xsix dx π π Osittaisitegroimalla saadaa Fourier-sarja o site f (x) 2 = b = 2 π / π x cosx dx 2 π = 2 cosπ 2 π / π π 2 six cosx dx = 2 cosπ = 2 ( ) = 2 ( )+ ( ) + six = 2 (six 2 si2x + 3 ) si3x +... 6. Määritä 2π-jaksollise fuktio f (x) = x, < x < 2π Fourier-sarja. Vastaatuleva itegraali ratkeaa osittaisitegroiilla. samaa havaitoo ojate kui edelliseki kohda itegraali. Vikki: Itegraali taittuu Kerroi a : Kertoimet a : Kertoimet b : Fourier-sarja o site b = π = π f (x) π 2 a = π / 2π a = x dx = π 2π / 2π xcosx dx = π x six π = / 2π π 2 cosx = xsix dx x cosx π = 2 cos2π π = / 2π six dx cosx dx 2 six = 2 cos2π = 2 (six six = π 2 + 2 si2x + 3 ) si3x +... Fourier-sarja olisi voiut muodostaa myös traslaatio ja edellise tehtävä Fourier-sarja avulla: f (x) π + 2 (si(x π) 2 si2(x π) + 3 ) si3(x π) +... = π 2 (six + 2 si2x + 3 ) si3x +...