Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen ei kannata kysellä kurssin opettajilta, muuta kuin vielä jäljellä olevien kotitehtävien osalta. Tentissä mahdollisesti tarvittavat avaruuskulma-alkio pallokoordinaateissa, Laplacen operaattorin lausekkeet, Legendren polynomit yms. annetaan tehtäväpapereissa. Sitä vastoin Maxwellin yhtälöt ja Lorentzin voima täytyy osata ulkoa! 1. Lähtien Gaussin laista (Maxwellin ensimmäinen yhtälö) osoita, että tasaisesti varatun pallon (varaus Q, säde R) sähkökenttä on r R : E(r) = Q r 4πɛ 0 R 3 r > R : E(r) = Q 4πɛ 0 r 2. 2. Mikä olisi pistevarauksen potentiaali ja sähkökenttä a) yksiulotteisessa, b) kaksiulotteisessa maailmassa. Maxwellin ensimmäisen yhtälön (Gaussin lain) oletetaan olevan voimassa dimensiosta riippumatta. 3. Homogeenisesti varatun pallon säde on R ja kokonaisvaraus Q. Sen sisältä poistetaan pallon muotoinen alue, jonka säde on a ja keskipisteen etäisyys pallon keskipisteestä d (R d + a). Määritä sähkökentän voimakkuus kaikkialla. 4. Muodosta sähködipolin potentiaali tarkastelemalla kahden lähekkäisen, mutta vastakkaismerkkisen varauksen yhteenlaskettua potentiaalia kaukana varauksista. Laske sen jälkeen sähködipolin sähkökenttä E(r) = 1 4πɛ 0 { 3r p r 5 r p r 3 Korvaa seuraavaksi sähköinen dipolimomentti magneettimomentilla m ja muodosta vastaava lauseke magneettiselle dipolille. SI-suureiden ɛ 0, µ 0 ja 4π sijoittelun voit päätellä vaikka tarkastelemalla lausekkeissa olevien suureiden fysikaalisia dimensioita (eli laatuja). }. d 1 Q d 2 5. Varaus Q on sijoitettu kahden toisiaan vastaan kohtisuorassa olevan maadoitetun johdelevyn väliin oheisen kuvan osoittamalla tavalla. Laske johdelevyille indusoituvien varausten varaukseen Q aiheuttama voima.
6. Maadoitetun yz-tason pinnassa on puolipallon muotoinen johtava ja myös nollapotentiaalissa oleva kohouma (pallon säde a) symmetrisesti x-akselin suhteen. Olkoon puolipallon yläpuolella pisteessä (d, 0, 0) varaus q (siis d > a). Ratkaise kuvalähdemenetelmällä q:n puoleisen avaruuden sähköstaattinen potentiaali. 7. Tarkastellaan ulkoisessa vakiosähkökentässä E 0 olevaa johdepalloa. Laske pallon pintavarausjakautuma ja tämän varausjakautuman dipolimomentti. 8. Tarkastellaan tasaiseen sähkökenttään E 0 asetettua pitkää sylinterinmuotoista johdetta, jonka säde on a ja nettovaraus nolla. Olkoon E 0 kohtisuorassa sylinterin akselia vastaan. (a) Määritä potentiaali sylinterin ulkopuolella. (b) Määritä varaustiheys sylinterin pinnalla. 9. Eristepallossa (säde R) on vakiopolarisoituma P 0 eikä muita sähkökentän lähteitä ole. Laske E ja D pallon sisä- ja ulkopuolella (ulkopuolinen alue on ilmaa). 10. Eristepallon (säde R) polarisoituma on radiaalinen: P = αr (α = vakio). Muita sähkökentän lähteitä ei ole. a) Laske polarisaatiovaraustiheys pallon sisällä ja pinnalla. b) Laske sähkökenttä (E) ja sähkövuon tiheys (D) kaikkialla. 11. Johdepallo (tiheys ρ 1, säde R) kelluu eristenesteessä (permittiivisyys ɛ), jonka tiheys on ρ 2 (ρ 2 > 2ρ 1 ), jolloin pallon keskipiste on nestepinnan yläpuolella. Pallo varataan, jolloin se uppoaa tasan puoliksi nesteeseen. Laske tarvittava varaus. 12. Tarkastellaan kolmen saman suuntaisen, suoran äärettömän pitkän ja infinitesimaalisen ohuen virtajohtimen systeemiä. Johtimet sijaitsevat samassa tasossa tasavälein ja kaikissa kulkee saman suuntainen ja suuruinen virta I. (a) Laske magneettikentän nollakohdat. (b) Poikkeutetaan keskimmäistä johdinta pieni matka i) johtimien tason suunnassa ja ii) johtimien tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa toisten johtimien pysyessä paikallaan. Kuvaile poikkeutetun langan liikettä kummassakin tapauksessa, kun lanka päästetään vapaaksi. 13. Tarkastellaan johdetta (johtavuus σ u ), jossa on toisesta johdeaineesta (johtavuus σ i ) koostuva pitkä ympyräsylinterin muotoinen este (olkoon sylinterin akseli suunnassa e z ). Kaukana esteestä johteessa on vakiosähkökenttä E 0 e x. Laske sähkövirran tiheys sylinterin sisä- ja ulkopuolella. 14. Tarkastellaan Helmholtzin kelaa, jossa kelojen säteet ovat a ja keskinäinen etäisyys myös a. Olkoot kelojen keskipisteet z-akselilla ja toinen niistä origossa. Kehittämällä magneettikenttä Taylorin sarjaksi pisteen z = a/2 ympäristössä osoita, että magneettikentän z-komponentti on [ B z (z) B z (a/2) 1 144 ( ) z a/2 4 ]. 125 a
Anna suuruusluokka-arvio kentän z-suuntaiselle epähomogeenisuudelle, kun a on 10 cm ja tarkastelupiste on a) 1 mm, b) 1 cm päässä pisteestä a/2. 15. Pitkä sylinteri (säde a, permeabiliteetti µ) on sijoitettu tasaiseen magneettikenttään B 0 siten, että sylinterin akseli on kohtisuorassa B 0 :aa vastaan. Laske B sylinterin sisällä ja luonnostele B:n kenttäviivat sylinterin läpi. 16. Pitkässä johdesylinterissä (säde R) on sylinterimäinen onkalo (säde a). Näiden kahden sylinterin akselien välinen etäisyys on d. Jäljelle jäävässä johteessa kulkee tasaisesti jakautunut tasavirta I sylinterin akselin suuntaisesti. Määritä magneettivuon tiheys a) onkalossa, b) kaukana sylinteristä. y d a x R a+d<r 17. Äärettömän pitkä ympyräsylinteri (säde R), jonka sisällä varaustiheys on vakio (ρ), pyörii akselinsa ympäri kulmanopeudella ω. Laske magneettikenttä B kaikkialla. 18. R-säteinen pallo, jonka varaustiheys on ρ s (r), kokonaisvaraus q, massatiheys ρ m (r) ja kokonaismassa M, pyörii kulmanopeudella ω keskipisteensä kautta kulkevan akselin ympäri. Osoita, että pallon magneettinen momentti m on verrannollinen sen liikemäärämomenttiin L ja laske verrannollisuuskerroin. 19. Tarkastellaan kahden yksinkertaisen väliaineen rajapintaa. Olkoot väliaineiden permittiivisyydet ɛ 1 ja ɛ 2 ja oletetaan, että pintavarustiheys rajapinnalla on nolla. Johda sähkövuon tiheyden D taittumislaki tan α 2 tan α 1 = ɛ 2 ɛ 1 (1) missä α 1,2 ovat D-vektorin ja pinnan normaalin väliset kulmat rajapinnan eri puolilla. 20. Tarkastellaan kahden magneettisen väliaineen rajapintaa. Oletetaan, että aineiden permeabiliteetit µ 1 ja µ 2 ovat vakioita ja että pinnalla ei ole sähkövirtaa. Olkoon magneettikentän voimakkuusvektorin (H) ja pinnan normaalin välinen kulma väliaineessa 1 α 1. (a) Laske lähtien magneettikenttävektoreiden (B, H) jatkuvuusehdoista pinnan normaalin ja H-vektorin välinen kulma α 2 väliaineessa 2. (b) Ilmaise itseisarvo H 2 suureiden H 1, α 1, µ 1 ja µ 2 lausekkeena.
21. Varattu hiukkanen (varaus q) liikkuu nopeudella v = v e z. Etäisyydellä r hiukkasesta on z-akselin suuntainen ohut varattu lanka (viivavaraustiheys λ), jossa kulkee z-akselin suuntainen virta I. Millä nopeudella hiukkasen liike pysyy z-akselin suuntaisena? 22. Selitä lyhyesti käsitteet sähkömotorinen voima, virtasilmukan itseinduktanssi ja silmukoiden välinen keskeisinduktanssi. Kiinnitä erityisesti huomiota siihen, kuinka sähkömotorinen voima liittyy induktanssiin. 23. Erittäin pitkä suora johdinlanka sijaitsee samassa tasossa kuin neliönmuotoinen johdinsilmukka (sivun pituus L) siten, että se on samansuuntainen neliön toisen sivuparin kanssa. Johtimessa kulkee virta I ja se liikkuu nopeudella v poispäin silmukasta. Laske silmukkaan indusoitunut sähkömotorinen voima ajan funktiona, kun johdin on neliön sivun kohdalla hetkellä t = 0 (eikä kulje enää sen jälkeen silmukan yli). 24. Faradayn homopolaarinen generaattori koostuu metallilevystä, joka pyörii tasaista magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevassa tasossa. Laske levyn reunan ja keskipisteen välinen potentiaaliero, jos levyn pyörimisnopeus on 3000 kierrosta minuutissa ja magneettivuo 0,1 Wb. 25. Kaksi käämiä on kierretty päällekkäin suoran sylinterin ympäri. Sisemmässä käämissä on N 1 kierrosta ja käämin pituus on l 1, ulommassa on N 2 kierrosta ja sen pituus on l 2. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että l 1 > l 2 ja että käämi 2 on kokonaan käämin 1 päällä. Sylinterin säde on a ja permeabiliteetti µ. Laske käämien keskinäisinduktanssi. 26. (a) Kasvatetaan N:ssä kiinteässä virtasilmukassa virrat nollasta lopullisiin arvoihin I n. Osoita, että sähkömotorista voimaa vastaan on tehtävä työ U = 1 N I n Φ n. 2 n=1 (b) Yleistä tulos jatkuvaan äärellisessä tilavuudessa olevaan virrantiheyteen: U = 1 2 V J A dv = 1 2 V H B dv. 27. Tarkastellaan kahdesta yhdensuuntaisesta ympyrälevystä muodostuvaa kondensaattoria (kapasitanssi C), jonka sisällä on epätäydellistä eristettä (permittiivisyys ɛ, johtavuus σ) Olkoon kondensaattori aluksi varattu potentiaalieroon ϕ ja eristetty sen jälkeen. Määrää (a) kondensaattorin varaus ajan funktiona, (b) siirrosvirta eristeessä ja (c) magneettikenttä eristeessä. 28. (a) Osoita, että Ampèren laki ilman kentänmuutosvirtaa johtaa ristiriitaan tarkasteltaessa kondensaattorin varaamista kondensaattorilevylle tuotavalla sähkövirralla.
(b) Varataan yksinkertaista kahdesta samansuuntaisesta ympyrän muotoisesta tasolevystä muodostuvaa kondensaattoria tuomalla varausta toiselle levylle pitkin virtajohdinta. Tarkastelemalla Poyntingin vektoria S = E H selitä, mistä suunnasta energia tulee kondensaattorin sisään. 29. Lähtien tarkastelemaan tuloa E J johda Poyntingin teoreema differentiaalimuodossa. Sen jälkeen ilmaise teoreema integraalimuodossa ja anna fysikaalinen tulkinta teoreeman eri termeille. 30. Osoita, että Lorentzin voiman tiheys voidaan ilmaista muodossa f = T ɛ 0 µ 0 S t missä T on Maxwellin jännitystensori, jonka komponentit ovat T ij = ɛ 0 ( E i E j 1 2 δ ije 2 ) + 1 µ 0 ( B i B j 1 2 δ ijb 2 ) ja S on Poyntingin vektori.