MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN

MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN 1. Johdanto: Riemann vs. Lebesgue Useimmat integroimisteoriat perustuvat siihen, että on jokin joukko helppoja funktioita, jotka ilman muuta osataan integroida, ts. on selvä näkemys, mikä niiden integraalin pitää olla, ja tämä otetaan integraalin määritelmäksi. Lopullinen integroitavien funktioiden joukko muodostetaan näistä helpoista funktioista sopivalla raja-arvoprosessilla. Riemannin integraalin kannalta helppoja funktioita ovat porrasfunktiot (step functions) f(x) = α k 1 Ik (x), missä α k R, kukin I k on reaaliakselin väli ja merkintä 1 E (edellä E = I k ) tarkoittaa joukon E indikaattoria { 1, jos x E, 1 E (x) := 0 muuten. (Merkintä := tarkoittaa määritellään yhtäsuureksi kuin.) Monesti käytetään myös merkintää χ E ja nimitystä karakteristinen funktio. Em. funktion Riemannin integraali on f(x) dx := α k I k, missä I k on välin I j pituus. Yleisesti Riemannin mielessä integroituvia funktioita ovat kaikki, joita voidaan (sopivassa mielessä) arvioida tällaisilla porrasfunktioilla. Lebesguen teoriassa lähtökohdaksi otetaan yleisemmin ns. yksinkertaiset funktiot (simple functions). Niiden lauseke on lähes sama, nimittäin f(x) = α k 1 Ek (x), sillä erolla, että tässä E k saa olla mikä tahansa ns. mitallinen joukko. (Vielä ei tarvitse tietää, mitä se tarkoittaa.) Tällaisen funktion (Lebesguen) integraali määritellään vastaavasti f(x) dx := α k E k, missä E k on joukon mitta. (Tähänkin palataan.) Lebesguen mielessä integroituvia funktioita ovat kaikki, joita voidaan (taas sopivassa mielessä) arvioida yksinkertaisilla funktioilla. Koska näiden luokka on rikkaampi kuin porrasfunktioiden luokka, saadaan lopputuloksena integrointiteoria, jolla osataan integroida enemmän funktioita. Vaikeutena kuitenkin on, että edes alkuun pääsemiseksi tarvitaan uusi mitan käsite melko yleisille joukoille. Versio: 26. helmikuuta 2016. 1

2 TUOMAS HYTÖNEN 1.1. Esimerkki. Tarkastellaan funktioita f = 1 Q [0,1], joka saa arvon 1 välin [0, 1] rationaalipisteissä ja arvon 0 muualla. Yritetään laskea 1 f(x) dx. Olkoon 0 = 0 a 0 < a 1 <... < a K = 1 välin [0, 1] ositus. Koska kullakin välillä I k := [a k 1, a k ] on rationaalipiste, jossa siis f(x) = 1, niin ositusta vastaava Riemannin yläsumma on max f(x) I k = 1 I k = 1. x I k Koska kullakin välillä I k on myös irrationaalipiste, jossa siis f(x) = 0, niin vastaava Riemannin alasumma puolestaan on min f(x) I k = 0 I k = 0. x I k Tämä pätee kaikille osituksille, joten ylä- ja alasummat eivät voi koskaan lähestyä toisiaan. Ko. funktio ei ole Riemannin mielessä integroituva. Toisaalta f = 1 Q [0,1] on yksinkertainen funktio Lebesguen mielessä, joten suoraan määritelmästä pitäisi seurata, että 1 0 f(x) dx = Q [0, 1], ja kysymykseksi jää joukon Q [0, 1] mitta. Vaikka mittaa ei ole vielä kunnolla määritelty, esitetään tässä kuitenkin idea. Muistetaan, että Q on numeroituva, eli voidaan esittää jonona Q [0, 1] = {q k }. Nyt q k I k := (q k ε/2 k, q k + ε/2 k ), missä I k on väli, jonka pituus on 2ε/2 k. Siis Q [0, 1] I k voidaan peittää väleillä, joiden yhteispituus I k = 2ε voidaan valita mielivaltaisen pieneksi. Kuten myöhemmin täsmällisen määritelmän myötä osoittautuu, tämä tarkoittaa, että joukon Q [0, 1] mitta on nolla. Siis Lebesguen mielessä 1 f(x) dx = 0. 0 Motivaatio Lebesguen integraalille ei ole kuitenkaan ainoastaan mahdollisuus integroida uusia ja eksoottisia funktioita. Lebesguen teoria antaa myös tehokkaita työkaluja raja-arvojen lim f n (x) dx ja lim f n(x) dx vertaamiseen; paljon tehokkaampia kuin Riemannin teoria jopa siinä tilanteessa, että funktiot f n ja lim f n olisivat myös Riemannin mielessä integroituvia! 2. Mitalliset joukot, σ-algebra, mitta Kehitellään mittateoriaa yleisessä viitekehyksessä, joka ei ole yhtään sen vaikeampi kuin reaaliakselin tilanne! Olkoon jokin joukko, esim. = R, mutta ei rajoituta tähän. Olkoon F jokin kokoelma :n osajoukkoja (siis: jos A F niin A ). 2.1. Määritelmä (σ-algebra). Kokoelma F on :n σ-algebra (sigma-algebra) jos: (1) F, (2) jos A k F kaikilla k = 1, 2,..., niin myös A k F, ja (3) jos A F, niin myös A c := \ A F. Kokoelmaan F kuuluvia joukkoja kutsutaan mitallisiksi joukoiksi (measurable sets).

MITTA JA INTEGRAALI 3 2.2. Lause (Kaikki äärelliset ja numeroituvat joukko-operaatiot pysyvät σ-algebran sisällä.). Jos F on σ-algebra ja A k F kaikilla k = 1, 2,..., niin N N F, A k F, A k F, A k F, A 1 \ A 2 F. Todistus. = c F kohtien (i) ja (iii) perusteella, ja N A k = A k F kohdan (ii) perusteella kun valitaan esim. A k = A N kaikilla k > N (tai A k := ja hyödynnetään jo todistettua kohtaa). De Morganin laista seuraa, että ( c A k = Ak) c F kohtien (ii) ja (iii) perusteella ja N A k = A k F edellisen perusteella kun valitaan esim. A k = tai A k = A N kaikilla k > N. Lopuksi A 1 \A 2 = A 1 A c 2 F komplementtia ja äärellistä leikkausta koskevien tulosten perusteella. 2.3. Määritelmä (Mitta). Olkoon F σ-algebra. Kuvaus µ : F [0, ] on mitta, jos (1) µ( ) = 0, ja (2) jos A k F kaikilla k = 1, 2,... ja nämä joukot ovat erillisiä (ts. A i A j = kun i j), niin ( ) µ A k = µ(a k ). Jälkimmäistä ominaisuutta sanotaan täysadditiivisuudeksi. 2.4. Lause (Mitan ominaisuuksia). Olkoon µ mitta ja joukot A k, k = 1, 2,... mitallisia. Tällöin (1) jos joukot A k ovat erillisiä, niin ( N µ A k ) = N µ(a k ), (2) jos A 1 A 2, niin µ(a 1 ) µ(a 2 ), (3) jos A 1 A 2..., niin µ( A n ) = lim µ(a n). (4) jos A 1 A 2... ja µ(a 1 ) <, niin µ( A n ) = lim µ(a n). Todistus. (1) seuraa määritelmästä valitsemalla A k = kaikilla k > N. (2) seuraa kirjoittamalla A 2 = A 1 (A 2 \ A 1 ) (erillinen yhdiste) ja käyttämällä edellistä kohtaa (arvolla N = 2) ja mitan ei-negatiivisuutta: µ(a 2 ) = µ(a 1 ) + µ(a 2 \ A 1 ) µ(a 1 ) + 0 = µ(a 1 ). (3): Jotta päästään käyttämään mitan tunnettuja ominaisuuksia, tarvitaan erillisyyttä. Määritellään B 1 := A 1 ja B n := A n \ A n 1 kun n 2. Nämä ovat erillisiä joukkoja. (Mieti, miksi.) Lisäksi N A N = B n, A n = B n.

4 TUOMAS HYTÖNEN Perustellaan jälkimmäinen (ensimmäinen joko samaan tapaan tai kuvasta äärettömässä tapauksessa kuvan piirto on vaikeampaa): Koska B n A n, niin seuraa heti. Entä? Jos x A n, niin yhdisteen määritelmästä seuraa, että on ainakin yksi n, jolla x A n. Olkoon n pienin sellainen luku. Jos n = 1, niin x A 1 = B 1. Jos n > 1, niin n:n valinnan perusteella x / A n 1. Siis x A n \ A n 1 = B n. Joka tapauksessa x B n. Näistä väite seuraakin: ( µ ) ( A n = µ = B n ) µ(b n ) = lim N N µ(b n ) (samat joukot) (täysadditiivisuus erillisillä joukoilla) (sarjan summan määritelmä) ( = lim µ N ) B n (täysadditiivisuus äärellisellä yhdisteellä) N = lim µ(a N) (samat joukot). N (4): Samaan tapaan, mutta siivuutetaan. Kolmikkoa (, F, µ), missä F on :n σ-algebra ja µ on mitta, sanotaan mittaavaruudeksi. Usein puhutaan yksinkertaisesti mitta-avaruudesta, jos F ja µ ymmärretään asiayhteydestä. 2.5. Esimerkki. (1) Olkoon = Z (tai N tai {1,..., N} tai muu äärellinen tai numeroituva joukko) ja olkoon F sen kaikkien osajoukkojen kokoelma. Kaikilla A F määritellään µ(a) := joukon A alkioiden lukumäärä. On helppo todeta, että tämä on mitta. (Melkein kaikki muut esimerkit mitasta ovatkin vähän vaativampia.) (2) Olkoon = R. Myöhemmin kurssilla osoitetaan, että on olemassa σ-algebra M, joka sisältää kaikki avoimet ja suljetut välit (a, b), [a, b] (ja yleisemmin kaikki reaalilukujen avoimet ja suljetut joukot, ja paljon muuta, mutta ei kuitenkaan kaikkia reaalilukujen osajoukkoja) ja on olemassa mitta m : M [0, ], joka toteuttaa m((a, b)) = m([a, b]) = b a, eli jokaisen välin mitta on sen tavallinen pituus. Tämä on ns. Lebesguen mitta. Se on epäilemättä tärkein yksittäinen mitta, mutta sen rakentaminen vaatii jonkin verran työtä, johon palataan myöhemmin kurssilla. (3). Olkoon (, F, µ) mitta-avaruus, joka toteuttaa lisäksi µ() = 1. Tällaista mitta-avaruutta sanotaan todennäköisyysavaruudeksi ja mittaa µ todennäköisyysmitaksi tai vain todennäköisyydeksi. Todennäköisyysteoriassa mitallisia joukkoja kutsutaan tapahtumiksi. Täten µ(a) on tapahtuman A todennäköisyys. Seuraavaksi määritellään mitallinen funktio ja sen integraali. Todennäköisyysteoriassa näitä kutsutaan satunnaismuuttujaksi ja sen odotusarvoksi. Todennäköisyysteoria rikastuttaa mittateoriaa omilla käsitteillään, joista tärkein on riippumattomuus, mutta on hyvä huomata, että yleinen mittateoria on myös todennäköisyysteorian pohjalla; Riemannin integraalin laajentaminen ei suinkaan ole sen ainoa sovellus.

MITTA JA INTEGRAALI 5 3. Yksinkertaisen funktion integraali 3.1. Määritelmä (Mitallinen ositus, yksinkertainen funktio). Olkoon mittaavaruus. Kuvaus f : Y (jokin arvojoukko) on yksinkertainen, jos se saa korkeintaan äärellisen monta arvoa a k Y ja kunkin näistä mitallisella joukolla A k F. Toisin sanoen on olemassa äärellinen ositus = K A k, missä joukot A k F ovat erillisiä, ja f(x) = a k Y kaikilla x A k. Yksinkertaisella funktiolla on muodollinen esitys f = a k 1 Ak. Jos arvojoukko on esim. [0, ) tai R tai R n, missä yhteenlasku ja kertolasku on määritelty, voidaan em. summalauseke tulkita tavallisessa mielessä. Tarkastellaan toistaiseksi arvojoukkoa [0, ). Haluttaisiin määritellä yksinkertaisen funktion integraali f dµ := a k µ(a k ). Koska joukon mitta µ(a k ) voi olla, tarvitaan sopimus: 0 := 0 := 0, a := a :=, a + := + a :=, a (0, ], a [0, ], (Sopimusta ei voi soveltaa raja-arvojen laskemiseen, esim. n, 1/n 0, mutta n 1/n = 1 0 = 0.) Näillä laskusäännöillä yo. lauseke antaa tulokseksi jonkin arvon [0, ]. Mutta onko tämä hyvin määritelty? Jos f:llä on toinenkin esitys f = J j=1 b j1 Bj, antaako se saman arvon yo. integraalille? Seuraava aputulos auttaa tässä ja antaa sivutuotteena vähän muutakin: 3.2. Lemma. Oletetaan, että (3.3) J a k 1 Ak b j 1 Bj, j=1 missä kumpikin kokoelma (A k ) K ja (B j) J j=1 muodostaa :n mitallisen osituksen Tällöin pätee a k µ(a k ) J b j µ(b j ), j=1 Todistus. Perustellaan ensin, että kaikilla k, j pätee (3.4) a k µ(a k B j ) b j µ(a k B j ) : Jos A k B j =, niin kumpikin puoli on nolla, ja tämä on selvä. Olkoon sitten A k B j ja valitaan jokin x A k B j. Laskemalla (3.3) pisteessä x, saadaan vasemmalta puolelta a k (sillä 1 Ak (x) = 1 ja 1 Ak (x) = 0 kun k k erillisyyden perusteella) ja vastaavasti oikealta puolelta b j. Siis a k b j ja (3.4) saadaan, kun kerrotaan epäyhtälön molemmat puolet luvulla µ(a k B j ) 0.

6 TUOMAS HYTÖNEN Nyt voidaan laskea ( J ) a k µ(a k ) = a k µ A k B j = = = a k j=1 b j j=1 J j=1 b j j=1 J µ(a k B j ) (ositus) J µ(a k B j ) (aputulos (3.4)) K J b j µ(b j ) j=1 µ(a k B j ) (täysadditiivisuus erillisillä joukoilla) (järjestyksen vaihto) (täysadditiivisuus ja ositus toiseen suuntaan). 3.5. Määritelmä. Määritellään yksinkertaisen funktion f : [0, ] integraali f dµ := a k µ(a k ) kun f = a k 1 Ak ja (A k ) K on mitallinen ositus. 3.6. Lause. Olkoot f, g : [0, ] yksinkertaisia. (1) Integraali f dµ on hyvin määritelty, eli ei riipu käytetystä f:n esityksestä. (2) Jos f g, niin f dµ g dµ. Todistus. Olkoon f = K a k1 Ak ja g = J j=1 b j1 Bj. (1) Jos f = g (eli funktiolla f on kaksi eri esitystä), niin erityisesti f g ja Lemman 3.2 perusteella K a kµ(a k ) J j=1 b jµ(b j ). Toisaalta myös g f, joten jälleen Lemman 3.2 perusteella pätee myös J j=1 b jµ(b j ) K a kµ(a k ). Siis lausekkeet ovat yhtä suuret, ja integraali J f dµ = a k µ(a k ) = b j µ(b j ) on riippumaton käytetystä esityksetä. (2) Seuraa suoraan Lemmasta 3.2. j=1 4. Positiivisen funktion integraali 4.1. Määritelmä. Funktio f : [0, ] on mitallinen, jos joukko {f > a} := {x : f(x) > a} on mitallinen (eli {f > a} F ) kaikilla a [0, ). 4.2. Huomautus (Yksinkertainen on mitallinen). Jos f = K a k1 Ak on yksinkertainen (A k :t erillisiä), niin {f > a} = A k F (mitallisten joukkojen A k äärellinen yhdiste), k:a k >a joten f on myös mitallinen.

MITTA JA INTEGRAALI 7 4.3. Määritelmä. Mitallisen funktion f : [0, ] integraali on { } f dµ := sup s dµ : s S f [0, ], { } S f := s : [0, ) yksinkertainen, s f. Toisin sanoen: (1) Tutkitaan kaikkia yksinkertaisia funktioita s, jotka ovat pienempiä kuin f. Merkitään näiden joukkoa S f :llä. Huomaa, että ainakin 0 S f. (Tässä 0 tarkoittaa nollafunktiota, joka saa vakioarvon nolla kaikissa pisteissä.) (2) Lasketaan funktioiden s S f integraalit (mikä jo osataan). Huomaa, että 0 dµ = 0. (3) Tarkastellaan kaikkien em. integraalien joukkoa; tämä on jokin välin [0, ] osajoukko, joka sisältää ainakin 0:n, eli se on epätyhjä. (4) Etsitään kyseisen joukon supremum (pienin yläraja). (Muistutus: jokaisella epätyhjällä ja ylärajallisella reaalijoukolla on reaalinen supremum; jos taas joukolla ei ole reaalista ylärajaa, sen supremum määritellään :ksi.) 4.4. Lemma. (1) Jos f on yksinkertainen, niin uusi määritelmä 4.3 antaa saman tuloksen kuin vanha määritelmä 3.5. (2) Jos f g ovat mitallisia, niin f dµ g dµ. Todistus. (1): Olkoon f yksinkertainen. Pitää osoittaa, että { f dµ = sup s dµ : s S f }, missä kaikki integraalit ovat vanhan määritelmän 3.5 mukaisia. Jos s S f niin s f ja s dµ f dµ lauseen 3.6 perusteella. Siis yllä pätee. Toisaalta f S f, joten f dµ on mukana joukossa, josta supremum lasketaan; siis kysyinen supremum on vähintään näin suuri, ja siis yllä pätee. (2): Jos f g, niin jokainen yksinkertainen s f toteuttaa myös s g. Siis S f S g ja täten { } { s dµ : s S f s dµ : s S g }. Koska suuremman joukon supremum on välttämättä suurempi (ts. vähintään yhtä suuri), saadaan väite. Lebesguen teorian ihmeitä on se, että jo näin lyhyen esittelyn jälkeen olemme valmiita todistamaan yhden tärkeimmistä ja hyödyllisimmistä suppenemislauseista: 4.5. Lause (Monotonisen suppenemisen lause, monotone convergence theorem). Olkoot 0 f 1 f 2... (pisteittäin) kasvava jono mitallisia funktioita. Tällöin on olemassa pisteittäinen rajafunktio f = lim f n, joka on jälleen mitallinen, ja lisäksi f n dµ = lim lim f n dµ. Todistus. Jokaisessa pisteessä x on kasvava jono lukuja 0 f 1 (x) f 2 (x)... Tällaisella jonolla on aina raja-arvo välillä [0, ]. (Jos kasvava jono on ylärajallinen, sillä on reaalinen raja-arvo. Jos taas se kasvaa rajatta, se määritelmän mukaan lähestyy ääretöntä.) Merkitään kyseistä raja-arvoa f(x):llä. Oletetaan aluksi näin määritellyn funktion f mitallisuus (palataan tähän kohta).

8 TUOMAS HYTÖNEN Koska pisteittäin pätee 0 f n f n+1 f, niin lemman 4.4 nojalla 0 = 0 dµ f n dµ f n+1 dµ f dµ. Siis myös integraalit f n dµ muodostavat kasvavan jonon, jolla on ylärajana f dµ [0, ]. Täten tälläkin jonolla on jokin raja-arvo a, joka lisäksi toteuttaa a := lim f n dµ f dµ. Täytyy vielä osoittaa, että pätee myös f dµ a. Tämä on helpompaa, kun otamme ε:in verran tilaa itsellemme: Riittää osoittaa (mieti miksi!), että kaikilla b = 1 + ε > 0 pätee f dµ ba. Edelleen integraalin määritelmän perusteella riittää osoittaa, että kaikilla yksinkertaisilla funktioilla s f pätee s dµ ba. Kiinnitetään tällainen s = K a k1 Ak S f. Koska s f ja 1 < b, niin s < bf, kunhan f > 0. (Huomaa, että s < sisältyy joukon S f määritelmään.) Tutkitaan hetki sellaisia pisteitä x, joissa tämä on voimassa. Koska siis s < bf ja f j f, niin ainakin yhdellä (itse asiassa kaikilla riittävän suurilla) j pätee myös s < bf j. Toisin sanoen (4.6) {f > 0} = {f > 0} F j, missä j=1 F j := {bf j > s} F j+1. (Koska f j+1 f j, niin jos bf j > s, myös bf j+1 > s.) Joukot F j :t ovat mitallisia, sillä K K {bf j > s} = {bf j > s} A k = {f j > a k /b} A k, missä kaikki oikean puolen joukot ovat mitallisia, ja vasen puoli saadaan äärellisillä joukko-operaatioilla. Myös {f > 0} on mitallinen suoraan määritelmästä (kun oletettiin funktio f mitaliseksi). Huomataan vielä, että jos a k > 0, niin f s = a k > 0 koko joukolla A k, eli A k {f > 0}, ja (4.6):stä seuraa A k = A k F j = A k F j jos a k > 0. Täten j=1 j=1 (4.7) a k µ(a k ) = lim j a kµ(a k F j ), mikä pätee triviaalisti jos a k = 0 ja seuraa edellisestä yhtälöstä ja lauseesta 2.4 jos a k > 0.

MITTA JA INTEGRAALI 9 1 b Nyt voidaan laskea s dµ = = = lim a k b µ(a k) a k b j = lim j = lim j = lim j lim j lim j = lim j (yksinkertaisen integraalin määritelmä) lim µ(a k F j ) (aputulos (4.7)) j a k b µ(a k F j ) 1 Fj K a k b 1 A k F j dµ 1 Fj s b dµ (raja-arvon ja äärellisen summan vaihto) (yksinkertaisen integraalin määritelmä) a k b 1 A k dµ (1 Ak F j = 1 Ak 1 Fj ) funktion s määritelmä 1 Fj f j dµ s < bf j joukolla F j, ja Lemma 4.4 f j dµ 1 Fj 1, ja Lemma 4.4 f j dµ = a. Täytyy enää todistaa f:n mitallisuus, joka sivuutettiin edellä. Tämä seuraa suoraan havainnosta {f > α} = {f n > α}. Nimittäin jos f > α, niin raja-arvosta f n f seuraa, että myös f n > α kaikilla tarpeeksi suurilla n, mikä todistaa :n yllä. Toisaalta jos jollakin n pätee f n > α, niin koska f f n, myös f > α, mikä todistaa :n. Ennen kuin jatketaan, on kätevää huomata, että funktioiden mitallisuudessa ei ole niin tarkkaa, tutkitaanko joukkoja {f > α} vai {f α}: voidaan käyttää niitä, jotka kulloinkin ovat kätevämpiä! 4.8. Lemma. Olkoon f : [, ] funktio. Seuraavat ovat yhtäpitäviä: (1) {f > α} on mitallinen kaikilla α R. (2) {f α} on mitallinen kaikilla α R. Todistus. Jos (1) pätee, niin koska myös (2) pätee. Jos (2) pätee, niin koska myös (1) pätee. {f α} = {f > α} = {f > α 1 n }, {f > α + 1 n }, Monotonisen suppenemisen lauseen tärkeä kumppani on seuraava tulos:

10 TUOMAS HYTÖNEN 4.9. Lause (Positiivinen mitallinen funktio on yksinkertaisten kasvava raja). Olkoon f : [0, ] mitallinen. Tällöin on olemassa kasvava jono yksinkertaisia funktioita 0 f 1 f 2..., joilla f n f pisteittäin. Todistus. Määritellään ensin joukko { j J n := 2 n : j = 0, 1, 2,..., 4n}. Koska j/2 n = 2j/2 n+1, huomataan, että J n J n+1. Määritellään f n (x) := max{y J n : y f(x)}. Selvästi 0 f n (x) f(x), koska f n (x) on maksimi luvuista, joihin kuuluu ainakin nolla, ja jotka kaikki ovat korkeintaan f(x). Lisäksi f n (x) f n+1 (x), koska suuremman joukon maksimi on välttämättä suurempi. (Tässä suurempi tarkoittaa vähintään yhtä suurta.) Todistetaan, että f n on yksinkertainen: Tämä seuraa, kun havaitaan, että se voidaan yhtäpitävästi esittää muodossa f n = 4 n 1 j=0 j 2 n 1 {j/2 n f<(j+1)/2 n } + 2 n 1 {f 2n }, ja muotoa {f a} olevat joukot ovat mitallisia lemman 4.8 perusteella ja joukot {a f < b} = {f a} \ {f b} näiden erotuksina. Todistetaan, että f n f. Edetään tapauksittain: Jos f(x) =, niin erityisesti f(x) 2 n kaikilla n, ja täten f n (x) = 2 n. Selvästi 2 n = f(x) kun n. Jos f(x) <, niin f(x) < 2 n kaikilla riittävän suurilla n, ja täten löydetään jokin j {0, 1, 2,..., 4 n 1}, jolla j/2 n f(x) < (j + 1)/2 n. Tällöin f n (x) = j 2 n f(x) < f n(x) + 1 2 n, mistä nähdään, että f n (x) f(x) < 2 n 0, eli f n (x) f(x) tässäkin tapauksessa. Kaikkiaan siis f n on kasvava jono yksinkertaisia funktioita, joka lähestyy pisteittäin f:ää, kuten pitikin. 5. Summan ja integraalin vaihtaminen 5.1. Lause. Olkoot f n : [0, ] mitallisia funktioita. Tällöin f n on mitallinen, ja lisäksi f n dµ = f n dµ. Todistus. Edetään useassa vaiheessa. (1): Summa f 1 + f 2 on mitallinen. Tämä perustellaan havaitsemalla, että (5.2) {f 1 + f 2 > α} = {f 1 > β} {f 2 > α β}. β Q Kun tämä tiedetään, niin vasemman puolen mitallisuus seuraa, sillä oikea puoli on mitallisten joukkojen leikkausten numeroituva yhdiste. Selvästi (5.2):ssä pätee : jos f 1 > β ja f 2 > α β, niin tällöin f 1 + f 2 > β + (α β) = α. Entä? Tarkastellaan pistettä x, jossa f 1 (x) + f 2 (x) > α. Tällöin pätee myös f 1 (x) + f 2 (x) > α + ε jollakin ε > 0. Valitaan nyt jokin β (α f 2 (x), α f 2 (x) + ε) Q :

MITTA JA INTEGRAALI 11 Tämä on mahdollista, sillä rationaaliluvut ovat tiheässä reaalilukujen joukossa, eli jokaiselta reaalilukuväliltä löytyy rationaalilukuja. Nyt pätee ensinnäkin f 1 (x) > α + ε f 2 (x) > β ja toisaalta, koska β > α f 2 (x), niin f 2 (x) > α β. Tämä todistaa väitteen. (2): Minkä tahansa äärellisen summan n f k mitallisuus seuraa induktiolla. Jos väite tiedetään arvolla n, niin havaitaan, että n+1 ( n ) f k = f k + f n+1 missä ensimmäinen termi on mitallinen induktio-oletuksen nojalla ja täten näiden kahden funktion summa vaiheen (1) nojalla. Toisaalta ääretön summa g := f k on äärellisten summien g k := n+1 f k kasvava raja-arvo, joten sen mitallisuus on osa monotonisen suppenemisen lausetta. (3): Tarkastellaan väitettä 2 2 (5.3) f k dµ = f k dµ ja oletetaan ensin, että molemmat funktiot ovat yksinkertaisia, J f 1 = a k 1 Ak, f 2 = b j 1 Bj, missä molemmissa summissa on mitallinen ositus. Tällöin, koska 1 = 1 = J j=1 1 B j ja vastaavasti joukoilla A k, saadaan f 1 = f 1 1 = f 2 = j=1 a k 1 Ak J b j 1 Ak B j, j=1 j=1 J J 1 Bj = a k 1 Ak B j j=1 (Huomaa, että äärellisten summien summausjärjestys on vapaa.) ja edelleen J f 1 + f 2 = (a k + b j )1 Ak B j. j=1 Selvästi joukot A k B j, missä k = 1,..., K ja j = 1,..., J muoodostavat jälleen :n mitallisen osituksen. Siis suoraan integraalin määritelmästä ja äärellisen summan laskusäännöistä seuraa, että J (f 1 + f 2 ) dµ = (a k + b j )µ(a k B j ) j=1 J J = a k µ(a k B j ) + b j µ(a k B j ) = j=1 f 1 dµ + f 2 dµ. j=1 (4): Tarkastellaan samaa väitettä (5.3) yleisillä f 1, f 2. Lauseen 4.9 nojalla on olemassa kasvavat yksinkertaisten funktioiden jonot s 1 n ja s 2 n, joilla s i n f i kun

12 TUOMAS HYTÖNEN n. Tällöin myös s 1 n + s 2 n on kasvava jono mitallisia funktioita, joka lähestyy funktioita f 1 + f 2. Täten f 1 dµ + f 2 dµ = lim s 1 n dµ + lim s 2 n dµ (monot. suppeneminen) ( ) = lim s 1 n dµ + s 2 n dµ (raja-arvon ominaisuudet) = lim (s 1 n + s 2 n) dµ (vaihe (3)) = (f 1 + f 2 ) dµ (monot. suppeneminen). (5): Tuloksesta (5.3) seuraa induktiolla, että n n (5.4) f k dµ = f k dµ kaikilla n. Koska f k dµ on kasvavan jonon n f k raja-arvo, saadaan n f k dµ = lim f k dµ (monot. suppeneminen) = lim = Nyt lause on kokonaan todistettu. n f k dµ f k dµ (tulos (5.4)) (sarjan määritelmä). Edellisesllä lauseella on hupaisa seuraus : Sen avulla voidaan perustella kaksinkertaisen sarjan vaihtosääntö a ij = a ij, jos a ij 0, i=1 j=1 j=1 i=1 joka on tietenkin mahdollista todistaa myös ilman mittateoriaa. Tämä kuitenkin seuraa, kun merkitään valitaan edellisessä lauseessa = Z +, valitaan µ:ksi pistelaskurimitta ja määritellään mitalliset funktiot f n (x) := a nx, x Z +, joilla f n dµ = x=1 f n(x) = x=1 a nx. Edellisestä lauseesta ja seuraavasta helposta havainnosta seuraa integraalin linearisuus positiivisilla funktioilla. 5.5. Lemma. Jos f : [0, ] on mitallinen ja c [0, ), niin cf dµ = c f dµ. Todistus. Jos f on yksinkertainen, yhtälö seuraa suoraan määritelmästä. Jos s n f on kasvava yksinkertainen jono, niin cs n cf on myös kasvava yksinkertainen jono, ja väite seuraa monotonisen suppenemisen lauseesta. (Vaihtoehtoisesti tämä olisi helppo perustella myös suoraan integraalin määritelmästä toteamalla, että s S f jos ja vain jos cs S cf, kun c > 0, ja väite on triviaali, kun c = 0.) 5.6. Määritelmä (Integraali osajoukolla). Jos E on mitallinen joukko (ts. E F ) ja f : [0, ] mitallinen funktio. Määritellään f dµ := 1 E f dµ. E

MITTA JA INTEGRAALI 13 On helppo todeta suoraan määritelmästä, että myös 1 E f on mitallinen funktio. Yleisemmin pätee: 5.7. Lemma (Tulon mitallisuus). Jos f, g : [0, ] ovat mitallisia funktioita, niin myös tulo fg on mitallinen. Todistus. Kun α > 0, pätee {fg > α} = β Q + {f > β} {g > α β }. Tämän toteaminen jätetään harjoitustehtäväksi. Selvästi oikean puolen joukot ovat mitallisia, mistä vasemman puolen mitallisuus seuraa. 5.8. Lause. Olkoon f : [0, ] mitallinen funktio. Tällöin seuraava kuvaus ϕ : F [0, ]: ϕ(e) := f dµ, on mitta. Jos g : [0, ] on mitallinen funktio, niin (5.9) g dϕ = gf dµ. Todistus. (1) Todistetaan, että ϕ on mitta. Tulee tarkistaa: (i) ϕ( ) = 0. Tämä seuraa, kun havaitaan, että 1 0 on identtisesti nollafunktio, ja 0 dµ = 0. (ii) Täysadditiivisuus. Olkoon E = E k mitallisten joukkoejn erillinen yhdiste. Tällöin 1 E = 1 E k. Jos merkitään h := 1 E f ja h k := 1 Ek f, niin h = h k. Siis summan ja integraalin vaihtolauseen perusteella ϕ(e) = h dµ = h k dµ = h k dµ = ϕ(e k ), mikä todistaa täysadditiivisuuden. (2) Tutkitaan lopuksi väitettä (5.9). Olkoon ensin g = K a k1 Ak yksinkertainen. Tällöin g dϕ = a k ϕ(a k ) = a k = = 1 Ak f dµ E a k 1 Ak f dµ (lineaarisuus: lause 5.1 ja lemma 5.5) gf dµ. Olkoon lopuksi g yleinen, ja valitaan kasvava jono yksinkertaisia funktioita s n g. Tällöin myös s n f on kasvava jono, ja s n f f. Siis g dϕ = lim s n dϕ (monot. suppeneminen) = lim s n f dµ (edellä todistettu tapaus) = gf dµ (monot. suppeneminen). Lause on kokonaan todistettu.

14 TUOMAS HYTÖNEN 5.10. Esimerkki. Olkoon µ = m Lebesguen mitta R:llä (vrt. esimerkki 2.5(2)). Myöhemmin osoitetaan, että jokainen Riemannin mielessä integroituva funktio f : R [0, ) on myös Lebesguen mielessä integroituva (ja erityisesti mitallinen). Jos f(x) = 1 2π e 1 2 x2, niin edellisen lauseen mukainen ϕ määrittelee todennäköisyysmitan ns. normaalijakaumalle. Erityisesti 1 ϕ(e) = e 1 2 x2 dm(x) 2π E on todennäköisyys, että normaalijakautunut satunnaismuuttuja saa arvon joukossa E. Integraalit todennäköisyysmitan ϕ suhteen voidaan edellisen lauseen mukaisesti laskea integraaleina Lebesguen mitan suhteen ja edelleen tärkeissä erikoistapauksissa kuten myöhemmin osoitetaan tuttuina Riemannin integraaleina. 6. Viritetty σ-algebra, Borelin σ-algebra Todetaan lämmittelynä seuraava: 6.1. Lemma. Olkoon f : R funktio. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) {f > α} on mitallinen kaikilla α R. (2) {f α} on mitallinen kaikilla α R. (3) {f A} on mitallinen kaikilla avoimilla joukoilla A R. Todistus. (1) (2): lemma 4.8. (3) (1): {f > α} = {f (α, )} ja joukko (α, ) on avoin. (1+2) (3): Todetaan, että avoin joukko A R voidaan esittää muodossa A = (α, β), α,β Q (α,β) A (sivuutetaan tässä, sillä yleisempi versio on osana lauseen 6.5 todistusta) joten {f A} = {f (α, β)} = {f > α} \ {f β}, α,β Q (α,β) A α,β Q (α,β) A on kohdissa (1) ja (2) esiintyvien joukkojen erotusten numeroituva yhdiste, ja sellaisena mitallinen. Tuloksen taustalla oleva yleisempi ilmiö on se, että kokoelmat {(α, ) : α R}, {[α, ) : α R}, {A R : A avoin} virittävät saman σ-algebran. Mitä tämä tarkoittaa? Merkitään symbolilla P() : {E : E } joukon kaikkien osajoukkojen kokoelmaa eli ns. potenssijoukkoa. 6.2. Lause. Olkoon E P(), eli E on jokin kokoelma :n osajoukkoja. Tällöin on olemassa pienin σ-algebra F E, t.s. sellainen kokoelma F P(), että (1) E F. (2) F on σ-algebra. (3) Jos G on myös σ-algebra ja E G, niin E F.

MITTA JA INTEGRAALI 15 Ehto (3) täsmentää, mitä tarkoitetaan sillä, että F on pienin E :n sisältävä σ-algebra. Kokoelmaa F kutsutaan E :n virittämäksi σ-algebraksi ja merkitään σ(e ) := F. (Vertaa: Jos V on joukko vektoreita, niin sen virittämä aliavaruus on pienin aliavaruus, joka sisältää V :n. Viritetty aliavaruus saadaan muodostamalla kaikki alkuperäisten vektoreiden lineaarikombinaatiot. Sen sijaan viritetyn σ-algebran sisältöä on yleensä vaikea kuvailla, ja yllä oleva lause onkin puhdas olemassaolotulos.) Todistus. Tarkastellaan seuraavaa joukkokokoelmien perhettä: Θ := {G P() : E G, G on σ-algebra}. Havaitaan, että P() Θ (selvästi tämä on σ-algebra ja sisältää E :n), joten Θ. Merkitään sitten F := G. G Θ Tavoitteena on osoittaa, että F toteuttaa lauseen vaatimukset. (1) Koska E G, niin E G Θ G = F. (3) Jos G on σ-algebra ja E G, niin G Θ, joten F = G Θ G G (leikkaus sisältyy kuhunkin leikkauksessa mukana olevaan joukkoon). (2) On vielä todettava, että F on σ-algebra. (i) Koska G kaikilla G Θ (koska kukin näistä on σ-algebra), niin G Θ G = F. (ii) Olkoot F k F kaikilla k = 1, 2,... Siis F k G kaikilla G Θ ja k = 1, 2,.... Koska kukin G Θ on σ-algebra, niin F k G kaikilla G Θ. Siis F k F. (iii) Jos F F, niin F c F todistetaan aivan vastaavasti kuin kohta (ii). Nyt kaikki kohdat on todettu. Lemman 6.1 taustalla oleva yleisempi ilmiö on seuraava: 6.3. Lause. Olkoon f : Y (jokin maalijoukko) funktio. Olkoot A, B P(Y ) kokoelmia, jotka virittävät saman Y -joukon σ-algebran C := σ(a ) = σ(b). Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä: (1) {f A} on mitallinen kaikilla A A. (2) {f B} on mitallinen kaikilla B B. (3) {f C} on mitallinen kaikilla C C. Todistus. (3) (1): Selvä: Koska A σ(a ) = C, niin jokainen A A toteuttaa myös A C. (1) (3): Todistetaan ensin, että kokoelma E := {E Y : {f E} on mitallinen} on joukon Y (ei siis :n, kuten yleensä) σ-algebra. (i) Nyt on todettava, että Y E. Mutta {f Y } =, koska kaikki funktion f : Y arvot kuuluvat maalijoukkoon Y, ja on mitallinen. Siis Y E. (iii) Olkoon E E, joten {f E} on mitallinen. Nyt {f E c } = {f / E} = {f E} c on myös mitallinen mitallisen joukon komplemettina. (ii) Yhdistettä koskeva väite todistetaan aivan vastaavasti. On siis saatu, että E on σ-algebra. Oletuksen perusteella A E (sillä {f A} on mitallinen kaikilla A A ). Koska C := σ(a ) on pienin A :n sisältävä σ- algebra, on oltava C E. Määritelmän perusteella tämä tarkoittaa, että {f C} on mitallinen kaikilla C C, mikä todistaa väitteen (3).

16 TUOMAS HYTÖNEN (2) (3) seuraa symmetrian perusteella jo todistetusta osasta (1) (3), sillä kokoelmia A ja B koskevat oletukset ovat täysin samat. Erittäin tärkeä yksittäinen σ-algebra on seuraava: 6.4. Määritelmä (Borelin σ-algebra). Avaruuden R d Borelin σ-algebra on kaikkien avoimien joukkojen virittämä σ-algebra, ts. B(R d ) := σ({a R d : A avoin}). Sama σ-algebra voidaan virittää usealla eri tavalla. Kun a = (a i ) d i=1, b = (b i) d i=1 R d, merkitään (a, b) := (a 1, b 1 )... (a d, b d ) R d näiden vektoreiden väliin jäävää avointa suorakaidetta. 6.5. Lause. Suorakaiteet (a, b) R d, missä a, b R d, virittävät Borelin σ-algebran. Todistus. Merkitään suorakaiteiden kokoelmaa R:llä ja kaikkien avoimien joukkojen kokoelmaa A :lla. Selvästi R A, ja on osoitettava, että σ(r) = σ(a ). : Koska R A σ(a ), niin σ(a ) on eräs R:n sisältävä σ-algebra. Siis pienin tällainen σ-algebra toteuttaa σ(r) σ(a ). : Väitetään, että (6.6) A = (α, β). α,β Q d (α,β) A Tässä on selvä, joten on tarkistettava. Olkoon x = (x i ) d i=1 A. Avoimuudesta seuraa, että pallo on olemassa B(x, r) A jollakin säteellä r > 0. Tutkitaan sitten kuutioita Q := (x 1 r/ d, x 1 + r/ d) (x d r/ d, x d + r/ d). Jos y Q, niin y i x i < r/ d kaikilla i = 1,..., d, joten ( d y x = y i x i 2) 1/2 ( d < i=1 i=1 r 2 d ) 1/2 ) = (d r2 1/2 = r, d siis y x < r ja siis y B(x, r). Koska y Q oli mielivaltainen, niin Q B(x, r) A. Nyt riittää valita kaikilla i = 1,..., d jotkin rationaaliluvut α i (x i r/ d, x i ), β i (x i, x i + r/ d). Tällöin x i (α i, β i ) (x i r/ d, x i + r/ d) ja täten x (α, β) := (α 1, β 1 ) (α d, β d ) Q B(x, r) A. Erityisesti x sisältyy yhteen kaavan (6.6) oikean puolen yhdisteessä esiintyvään suorakaiteeseen (α, β), ja siten ko. yhdisteeseen. Koska x A oli mielivaltainen, tämä osoittaa kaavassa (6.6) suunnan. Siis ko. kaava on todistettu. Kaavasta (6.6) seuraa, että A σ(r), koska selvästi ko. numeroituvan yhdisteen on kuuluttava suorakaiteiden virittämään σ-algebraan. Siis A σ(r) ja täten (miksi?) σ(a ) σ(r). 6.7. Lause. Kun d = 1, niin lisäksi B(R) = σ({(α, ) : α R}) = σ({[α, ) : α R}) Todistus. Oleellisesti samanlainen, kuin lemman 6.1 todistus. 6.8. Lause. Olkoon f : R d funktio. Seuraavat ovat yhtäpitäviä: (1) {f (α, β)} on mitallinen kaikilla α, β R d.

MITTA JA INTEGRAALI 17 (2) {f A} on mitallinen kaikilla avoimilla A R d. (3) {f E} on mitallinen kaikilla E B(R d ). Todistus. Seuraa suoraan lauseesta 6.3 sovellettuna kokoelmiin A := {A R d : A avoin} ja B := {(α, β) : α, β R d }, jotka virittävät saman σ-algebran C := B(R d ) lauseen 6.5 perusteella. 6.9. Määritelmä. Funktio f : R d on mitallinen, jos se toteuttaa lauseen 6.8. Huomaa, että lemman 6.1 perusteella tämä määritelmä on yhtäpitävä aiemmin annetun kanssa, kun d = 1. Seuraava jatkuvien ja mitallisten funktioiden yhteispeli on erittäin hyödyllinen: 6.10. Lause (Jatkuvan ja mitallisen yhdistetty kuvaus). Olkoon f : R d mitallinen ja φ : R d R m jatkuva. Tällöin yhdistetty kuvaus φ f : R m on mitallinen. Todistus. Olkoon A R m avoin. Sen alkukuva φ 1 (A) = {y R d : φ(y) A} jatkuvassa kuvauksessa φ on myös avoin. Siis {φ f A} = {x : φ(f(x)) A} = {x : f(x) φ 1 (A)} on mitallinen avoimen joukon φ 1 (A) alkukuvana mitallisessa kuvauksessa f. Huomataan, että funktio f : R d voidaan samaistaa komponenttifunktioittensa vektoriin (f i ) d i=1, missä kukin f i : R: jokaisessa pisteessä x, on funktion f arvo f(x) jokin R d :n vektori, jota merkitään (f i (x)) d i=1. Tämän vektorin kukin komponentti määrittää funktion f i : R d. 6.11. Lause. Funktio f : R d on mitallinen jos ja vain jos sen kukin komponentti f i : R d on mitallinen. Todistus. Olkoon kukin f i mitallinen. Tarkastetaan f:n mitallisuus käyttämällä lauseen 6.8 ehtoa (1): on siis tutkittava joukkoa {f (α, β)} = {(f i ) d i=1 = (α 1, β 1 ) (α d, β d )} = d {f i (α i, β i )}, ja tässä leikkauksessa jokainen joukko on mitallinen komponenttifunktioiden f i mitallisuuden perusteella. Siis f on mitallinen. Olkoon sitten f mitallinen. Merkitään π i :llä projektioita π i : R d R : x = (x j ) d j= x i. Tällöin π i : R d R on jatkuva ja f i = π i f. Siis f i on mitallinen lauseen 6.10 nojalla. Edellisistä lauseesta on helppo johtaa monenlaisia mitalisuustuloksia, esimerkiksi: 6.12. Seuraus. Olkoot f, g : R mitallisia. Tällöin myös funktiot f + g, f g, max(f, g) ja min(f, g) ovat mitallisia. Todistus. Tämä seuraa kirjoittamalla f + g = φ 1 F, f g = φ 2 F, max(f, g) = φ 3 F, min(f, g) = φ 4 F, missä F : R 2 : x (f(x), g(x)) on mitallinen lauseen 6.11 perusteella, ja funktiot φ i : R 2 R, missä φ 1 (x, y) = x + y, φ 2 (x, y) = x y, φ 3 (x, y) = max(x, y), φ 4 (x, y) = min(x, y), ovat kaikki jatkuvia. i=1

18 TUOMAS HYTÖNEN 7. Integroituvat funktiot ja lisää suppenemistuloksia 7.1. Määritelmä. Lukujonon (a n ) ala- ja yläraja-arvo määritellään lim inf a n := lim inf k n a k, lim sup a n := lim sup k n Koska b n := inf k n a k on kasvava n:n suhteen, niin lim b n = sup n 1 b n on olemassa (mahdollisesti laajennetussa reaalilukujoukossa R {, }). Vastaavasti c n := sup k n a k on vähenevä n:n suhteen, joten lim c n = inf n 1 b n on olemassa. Lisäksi b n a n c n, joten lim inf a n lim sup a n. 7.2. Lause. Lukujonolla (a n ) on raja-arvo (mahdollisesti laajennetussa reaalilukujoukossa R {, }) jos ja vain jos lim inf a n = lim sup a n, ja tällöin lim a n = lim inf a n = lim sup a n. Todistus. Suoraviivainen analyysin harjoitus, sivuutetaan. Funktiojonon (f n ) ala-, ylä- ja tavallinen raja-arvo määritellään pisteittäin. Funktion f : R {, } mitallisuus määritellään kuten funktion f : R (ts. vaatimalla, että {f > α} on mitallinen kaikilla α R. 7.3. Lause. Olkoon (f n ) jono mitallisia funktioita. Tällöin myös seuraavat funktiot ovat mitallisia: (1) lim inf f n. (2) lim sup f n. (3) lim f n, jos se on olemassa. Todistus. (1): Todetaan ensin, että g n := inf k n f k on mitallinen. Tämä seuraa havaitsemalla, että {g n α} = {f k α}. k n Nyt lim inf f n = lim g n on kasvavan mitallisen jonon raja-arvona mitallinen, kuten todettiin osana monotonisen suppenemisen lausetta. (2): Voidaan todistaa joko samaan tapaan kuin (1), tai havaitsemalla, että lim sup f n = lim inf ( f n), missä sekä miinus merkki (helppoa) että liminf (kohdan (1) perusteella) säilyttävät mitallisuuden. (3): Seuraa esim. kohdasta (1), sillä jos raja-arvo on olemassa, se on sama kuin alaraja-arvo, joka jo todettiin mitalliseksi. 7.4. Lause (Fatoun lemma). Olkoon f n : [0, ] mitallisia funktioita. Tällöin lim inf f n dµ lim inf f n dµ. Todistus. Merkitään g n := inf k n f k, jolloin 0 g n g n+1 lim inf f n, ja lisäksi g n f n. Näistä seuraa, että lim inf f n dµ = lim g n dµ (alaraja-arvon määritelmä) = lim g n dµ (monotonisen suppenemisen lause) = lim inf g n dµ (lim = liminf, jos olemassa) lim inf f n dµ (integraalin ja liminf:in monotonisuus). a k.

Tässä väite olikin. MITTA JA INTEGRAALI 19 7.5. Huomautus. Fatoun lemman epäyhtälön suunnan voi palauttaa mieleen seuraavalla esimerkillä. Olkoot A 0, A 1 erillisiä joukkoja, joilla µ(a i ) = 1, ja olkoon f 2n+i = 1 Ai kaikilla n = 0, 1, 2,... ja i = 0, 1. Nyt kussakin pisteessä x, jono f n (x) koostuu joko pelkistä nollista (jos x / A 0 A 1 ) tai vuorotellen nollista ja ykkösistä. Joka tapauksessa jonon alaraja-arvo on nolla, eli lim inf f n = 0, ja sen integraali on myös nolla. Toisaalta f 2n+i dµ = µ(a i ) = 1 kaikilla indekseillä, joten lim inf f n dµ = lim inf 1 = 1. Fatoun lemma pätee muodossa 0 1, mikä samalla osoittaa, että myös aito < voi toteutua. 7.6. Määritelmä. Funktio f : R d on integroituva, jos: (1) f on mitallinen, ja (2) f dµ <. ( d ) 1/2 Koska φ : R d R, x x = i=1 x i 2 on jatkuva, niin f = φ f on mitallinen, ja selvästi ei-negatiivinen. Siis kohdassa (2) esiintyvä integraali on määritelty aiemmin esitetyn teorian mukaisesti. Yleisesti positiivisen funktion integraali saa arvon väliltä [0, ]? joten ehdon (2) lisävaatimus on, että arvo suljetaan pois. Huomaa myös, että vaikka määrittelimme, millainen f on integroituva emme vielä ole määritelleet f:n integraalia. Ennen kuin teemme sen, todistetaan seuraava: 7.7. Lause (Dominoitu suppeneminen, versio 1). Olkoot f n : R d integroituvia funktioita, joilla f n f, ja lisäksi f n g, missä g on integroituva. Tällöin f on integroituva, ja f n f dµ 0. Todistus. Rajafunktion mitallisuus seuraa lauseista 6.11 ja 7.3: Koska f n f, niin kukin komponenttifunktio fn i lähestyy f:n vastaavaa komponenttifunktiota f i. Koska reaaliarvoiset komponentit fn i ovat mitallisia, myös niiden rajafunktio f i on mitallinen. Kun tämä pätee kaikilla i = 1,..., d, myös vektorifunktio f = (f i ) d i=1 on mitallinen. Koska kukin f n g, myös rajafunktio toteuttaa f g, joten f dµ g dµ <. Siis f on integroituva. Lisäksi f n f f n + f g + g = 2g. Tarkastellan sitten mitallisia funktioita g n := 2g f n f 0. Oletuksen nojalla lim g n = 2g, joten Fatoun lemmasta seuraa, että 2g dµ = lim inf (2g f n f ) dµ lim inf (2g f n f ) dµ (Fatou) ( ) = lim inf 2g dµ f n f ) dµ = 2g dµ lim sup f n f ) dµ, missä toiseksi viimeinen vaihe seuraa yhtälöstä (h 1+h 2 ) dµ = h 1 dµ+ h 2 dµ sovellettuna positiivisiin funktioihin h 1 = 2g f n f ja h 2 = f n f, ja viimeinen vaihe ala- ja yläraja-arvojen helposti todettavista ominaisuuksista. Lauseketta sieventämällä (Tässä on oleellista, että g dµ <, mikä oletettiin ei voi puolittain vähentää ääretöntä!) saadaan lim sup f n f ) dµ 0,

20 TUOMAS HYTÖNEN ja tästä väite seuraa, sillä selvästi f n f ) dµ 0 kaikilla n. (Jos a n 0 ja lim sup a n = 0, niin 0 lim inf a n lim sup a n 0, mistä seuraa, että lim inf a n = lim sup a n = 0, jolloin myös lim a n = 0.) Annetaan nyt seuraava määritelmä, joka kuitenkin vaatii useita selvennyksiä ollakseen käyttökelpoinen: 7.8. Määritelmä. Integroituvan funktion f : R d integraali on (7.9) f dµ := lim s n dµ, missä s n : R d on jono yksinkertaisia funktioita, joilla s n f ja sup n s n on integroituva. 7.10. Huomautus. Yksinkertainen funktio määritellään kuten ennenkin: s = a k 1 Ak, missä joukot A k muodostavat mitallisen osituksen ja a k R d. Tällaisen funktion integraali on tietenkin (7.11) s dµ := a k µ(a k ) ( 0 := 0) Oletus integroituvuudesta takaa sen, että tämä lasku on hyvin määritelty. Nimittäin ( K ) (7.12) s dµ = a k 1 Ak dµ = a k µ(a k ) < takaa sen, että jos µ(a k ) =, niin a k = 0 (nollavektori!). Vielä tarvitaan kuitenkin seuraavia seikkoja, joihin kohta paneudutaan tarkemmin: Integraalin määritelmässä esiintyviä yksinkertaisten funktioiden jonoja on olemassa. Tämä osoitetaan soveltamalla aiemmin [0, ]-arvoisille funktioille todistettua tulosta komponenteittain. Integraalin määritelmässä esiintyvä raja-arvo on olemassa. Itse asiassa osoitetaan dominoidun suppenemisen avulla, että integraalit s n dµ muodostavat Cauchyn jonon. Lisäksi on tarkistettava, että raja-arvo ei riipu valitusta jonosta s n. 7.13. Lemma. Integroituvan yksinkertaisen funktion integraali (1) on hyvin määritelty (erityisesti ei riipu vaitusta s:n esityksestä), (2) on lineaarinen, ts. (s 1 ± s 2 ) dµ = s 1 dµ ± s 2 dµ, αs dµ = α s dµ kaikilla yksinkertaisilla s, s 1, s 2 : R d ja skalaareilla α R, (3) ja toteuttaa epäyhtälön s dµ s dµ. Todistus. (1): s:n integroituvuus (7.12) tarkoittaa erityisesti, että a k µ(a k ) < kaikilla k. Siis jos µ(a k ) =, niin täytyy olla a k = 0, jolloin a k = 0 (nollavektori). Tällöin sopimuksen mukaan a k µ(a k ) = 0. Jos taas µ(a k ) <, niin a k µ(a k ) on tavallinen vektorin a k R d ja skalaarin µ(a k ) R tulo, siis jokin R d :n vektori.

MITTA JA INTEGRAALI 21 Täten (7.11):n oikean puolen summalauseke on jokin R d :n vektoreiden summa ja siis mielekäs lauseke. Jos s:llä on toinenkin esitys s = J j=1 b j1 Bj, niin aivan kuten lemman 3.2 todistuksessa nähdään, että a k µ(a k B j ) = b j µ(a k B j ) kaikilla k ja j, ja tästä seuraa (kuten mainitussa todistuksessa), että K a kµ(a k ) = J j=1 b jµ(b j ). (2): Summaa ja erotusta koskeva todistus on aivan sama kuin lauseen 5.1 todistuksen vaihe (3). Skalaarilla kertomista koskeva väite on helppo suoraan määritelmästä. (3): Seuraa vertaamalla kaavoja (7.11) ja (7.12) sekä käyttämällä R d :n kolmioepäyhtälöä: s dµ = a k µ(a k ) (7.11) a k µ(a k ) (kolmioepäyhtälö) s dµ. (7.12) Seuraava lause takaa, että määritelmän mukaisia yksinkertaisia jonoja on olemassa. 7.14. Lause. Olkoon f : R d mitallinen. Tällöin on olemassa yksinkertaiset funktiot s n, jotka toteuttavat s n f ja s n f. Erityisesti jos f on integroituva, niin myös sup n s n f on integroituva. Todistus. Lause voitaisiin todistaa elegantimminkin, mutta tyydytään tässä palauttamaan se jo tunnettuun tilanteeseen (lause 4.9) positiivisista mitallisista funktioista yksinkertaisten kasvavina rajoina. Idea on hyvin yksinkertainen: Tarkastellaan funktion f = (f i ) d i=1 kutakin komponenttia, joka on mitallinen funktio f i : R, ja vielä erikseen sen positiivista ja negatiivista osaa f + i := max(f i, 0), f i := min(f i, 0), jotka ovat mitallisia funktioita f ± i : [0, ]. Valitaan lauseen 4.9 avulla kasvavat yksinkertaiset jonot 0 s ± i,n f ± i ja kootaan palat yhteen: s i,n := s + i,n s i,n, sn := (s i,n ) d i=1. Nyt pätee: s i,n f + i f i = f i, joten s n (f i ) d i=1 = f. Kukin s n : R d on yksinkertainen. (Vektorifunktio on yksinkertainen jos ja vain jos sen komponentit ovat. Väite lienee uskottava, vaikkakin kaavoin kirjoitettuna hiukan suttuinen.) Korkeintaan yksi funktioista f + i ja f i poikkeaa nollasta kussakin pisteessä. Koska 0 s ± i,n f ± i, seuraa tästä, että korkeintaan yksi funktioista s+ i,n ja s i,n poikkeaa nollasta kussakin pisteessä. Siis ja edelleen Koko väite on todistettu. s i,n = s + i,n + s i,n = f + i = f i = f i, ( d s n = s i,n 2) 1/2 ( d f i 2) 1/2 = f. i=1 i=1

22 TUOMAS HYTÖNEN Nyt ollaan valmiita perustelemaan määritelmän 7.8 mielekkyys: 7.15. Lause. Integroituvan funktion integraali (1) on hyvin määritelty (raja-arvo (7.9) on olemassa eikä riipu jonosta s n ), (2) on lineaarinen, (3) ja toteuttaa epäyhtälön (7.16) f dµ f dµ. Todistus. (1): Olkoon s n määritelmän 7.8 mukainen jono yksinkertaisia funktioita. Näiden integraalit s n dµ on hyvin määritelty lemman 7.13 nojalla. Todistetaan, että ( s n dµ) on Cauchyn jono, jolloin sillä on raja-arvo avaruuden R d täydellisyyden perusteella: Valitaan jonot n k, m k. Tällöin s nk dµ s mk dµ = (s nk s mk ) dµ (7.17) = s nk s mk dµ =: f k dµ. Tässä funktio f k = s nk s mk f f = 0, kun k. Toisaalta f k s nk + s mk 2 sup n s n =: g, missä g on integroituva jonoa s n koskevan oletuksen perusteella. Siis dominoidun suppenemisen lause 7.7 takaa, että f k dµ = f k 0 dµ 0, mikä yhdessä (7.17):ksen kanssa todistaa halutuun Cauchyn jono -ominaisuuden. Olkoon sitten s n toinen vastaava jono yksinkertaisia funktioita. Tarkastellaan vielä kolmatta jonoa s n, missä s 2n 1 := s n ja s 2n := s n. Nyt tämäkin on vastaava jono: s n f ja sup n s n sup n s n + sup n s n on integroituva. Siis jo todistetun nojalla on jonolla v n := s n dµ raja-arvo v. Mutta tällöin molemmilla osajonoilla (v 2n 1 ) ja (v 2n ) on sama raja-arvo v. Siis integraaleilla s n dµ = v 2n 1 ja s n dµ = v 2n on sama raja-arvo. (Tässä esiintyvä päättely soveltuu varsin yleisesti vastaavan tapaisiin tilanteisiin.) (2,3): Loput väittämät seuraavat nyt suoraviivaisesti yksinkertaisten funktioiden integraalin vastaavista ominaisuuksista. Esim. lineaarisuus: Olkoot s n f 1 ja s n f 2 määritelmän (7.8) mukaisia jonoja. Tällöin s n ± s n f 1 ± f 2 on myös vastaava jono; erityisesti sup n on integroituva. Siis f 1 dµ + s n + s n sup n s n + sup s n n f 2 dµ = lim s n dµ + lim s n dµ ( ) = lim s n dµ + s n dµ = lim (s n + s n) dµ = (f 1 + f 2 ) dµ. Vakiolla kertomista koskeva väite ja epäyhtälö (7.16) todistetaan aivan vastaavasti. Helppona seurauksena saadaan nyt:

MITTA JA INTEGRAALI 23 7.18. Lause (Dominoitu suppeneminen, versio 2). Olkoot f n : R d jono mitallisia funktioita, joilla on pisteittäinen raja-arvo lim f n ja integroituva dominoiva funktio g f n. Tällöin lim f n dµ = lim f n dµ. Todistus. Merkitään f := lim f n. Nyt f n dµ f dµ = (f n f) dµ f n f dµ 0, missä viimeinen vaihe seuraa dominoidun suppenemisen aikaisemmasta versiosta lauseessa 7.7. 8. Funktioavaruus L 1 ja nollamittaiset joukot Määritellään mitalliselle funktiolle f : R d suure f L 1 := f dµ ja merkitään (kirjain L viittaa Lebesgueen) L 1 := {f : R d f mitallinen, f L 1 < } = {f : R d f integroituva}. Usein käytetään pitempää merkintää L 1 () tai L 1 (µ) tai L 1 (; R d ) tai L 1 (µ; R d ) tai jopa L 1 (, µ; R d ). Jos maalijoukkoa ei ole erikseen ilmoitettu, yleensä ymmärretään, että tarkoitetaan tapausta R (tai kompleksifunktioihin liittyvissä tarkasteluissa C, joka voidaan integrointiteorian kannalta samaistaa R 2 :een). Usein käytetään myös lyhyempää merkintää f 1 := f L 1. Kuvaus L 1 [0, ), f f L 1 on melkein normi. (Yleensä sitä kutsutaankin L 1 -normiksi.) Se totettaa: (1) f L 1 0, (2) αf L 1 = α f L 1, jos α R, (3) f + g L 1 f L 1 + g L 1 (kolmioepäyhtälö). Nämä on kaikki helppo todeta, esim. f + g L 1 = f + g dµ ( f + g ) dµ ( f + g f + g ja integraali on monotoninen) = f dµ + g dµ = f L 1 + g L 1. Sen sijaan: 8.1. Lause. Olkoon f : R d mitallinen. Tällöin f L 1 = 0 jos ja vain jos µ({f 0}) = 0 (mutta f:n ei siis välttämättä tarvitse olla nolla kaikissa pisteissä, kunhan se poikkeaa nollasta vain nollamittaisessa joukossa). Todistus. Olkoon ensin µ({f 0}) = 0. Käytetään positiivisen funktion integraalin alkuperäistä määritelmää: { f L 1 := f dµ := sup s dµ : s S f }, { } S f := s : [0, ) yksinkertainen, s f.

24 TUOMAS HYTÖNEN Olkoon s = K a k1 Ak S f. Olkoon jokin a k > 0. Tällöin f a k > 0 joukolla A k, joten A k {f 0}. Siis µ(a k ) µ({f 0}) = 0, joten µ(a k ) = 0. Siis a k µ(a k ) = 0 kaikilla k, sillä vähintään toinen tulontekijöistä a k ja µ(a k ) on aina nolla. Siis s dµ = a k µ(a k ) = 0 = 0. Kun tämä pätee kaikilla s S f, niin myös f dµ = 0. Olkoon sitten f L 1 = 0. Tutkitaan ensin joukkoa { f > ε}. Nyt µ({ f > ε}) = 1 { f >ε} dµ f 1 { f >ε} ε dµ f (koska 1 joukolla { f > ε} ) ε 1 f dµ = 1 ε ε f L 1 = 0. Siis µ({ f > ε}) = 0 kaikilla ε > 0, erityisesti µ({ f > 1/n}) = 0 kaikilla n. Koska {f 0} = { f > 1 n }, niin µ({f 0}) µ({ f > 1 n }) = 0 = 0. 8.2. Huomautus. Edellinen lause on siitä tyypillinen, että useinkaan mittateorian väittämät eivät koske kaikkia pisteitä vaan ainoastaan kaikkia pisteitä lukuunottamatta nollamittaista poikkeusjoukkoa. Tämä tilanne toistuu niin usein, että sille on annettu oma nimi: melkein kaikkialla. Siis: ominaisuus P pätee melkein kaikkialla tarkoittaa on olemassa mitallinen joukko E, siten että µ(e) = 0 ja ominaisuus P pätee kaikissa pisteissä x \ E. Todennäköiyyslaskennassa vastaava termi on melkein varmasti. 9. Riemann vs. Lebesgue täsmällisesti Edellä on kehitetty integroimisteoriaa yleiselle mitalle µ. Tärkein yksittäinen erikoistapaus on ns. Lebesguen mitta µ = m. Otetaan vielä hetken annettuna sen olemassaoloa koskeva tulos seuraavassa muodossa. Sen todistukseen palataan vähän myöhemmin: 9.1. Lause. Avaruudella = R on olemassa σ-algebra M ja mitta m : M [0, ], joilla on seuraavat ominaisuudet; B(R) M P(), missä B(R) on Borelin σ-algebra. Lisäksi (1) Kaikilla väleillä I {(a, b), [a, b], (a, b], [a, b)}, missä a < b, pätee m(i) = l(i) := b a (välin I geometrinen pituus). (2) Jos E M ja t R, niin joukko E + t := {x + t : x E} kuuluu myös M:ään ja toteuttaa m(e + t) = m(e), ( siirtoinvarianssi ). (3) Jos E M ja m(e) = 0 ja F E, niin myös F M. (Mitta-avaruus (R, M, m) on täydellinen.)

MITTA JA INTEGRAALI 25 Nyt siis otetaan yo. lause annettuna, ja todistetaan sen avulla täsmällisesti kurssin alussa mainittu Riemannin ja Lebesguen integraalien välinen yhteys. 9.2. Lause. Olkoon I R väli ja f : I R funktio. (a) Jos f on Riemannin mielessä integroituva välillä I, niin se on myös Lebesguen mielessä integroituva, ja integraalit yhtyvät, (L) f dm = (R) f(x) dx. I (b) Jos f 0 ja sillä on epäoleellinen Riemannin integraali lim a inf I+ b sup I (R) b a I f(x) dx, niin se on myös Lebesguen mielessä integroituva, ja integraalit yhtyvät. (c) Jos f on vaihtuvamerkkinen ja sillä on epäoleellinen Riemannin integraali, niin se ei välttämättä ole Lebesguen mielessä integroituva. Jos kuitenkin Lebesguen integraali on olemassa, niin se yhtyy jälleen epäoleelliseen Riemannin integraaliin. Todistus. (a): Olkoon I = [a, b] ja tarkastellaan jakoa a = a 0 < a 1 <... < a K = b. Määritellään suljetut välit I k := [a k 1, a k ] ja erilliset välit (esim.) I 1 := I 1 ja I k := (a k 1, a k ] kun k > 1. Merkitään vielä m k := min x I k f(x), M k := max x I k f(x). Täten ositusta vastaavat Riemannin ala- ja yläsummat ovat m k I k = g dm, M k I k = h dm, kun määritellään I g := m k 1 I k, h := M k 1 I k. Integroituvuus Riemannin mielessä tarkoittaa, että jakoa tihentämällä molemmat lähestyvät samaa raja-arvoa. Tarkastellaan jotakin tihentyvää jakojen jonoa, jolla tämä toteutuu, ja merkitään vastaavia funktioita g n ja h n, missä n = 1, 2,.... Selvästi g n f h n pisteittäin. Siis myös g := sup n g n f inf n h n =: h, ja funktiot g ja h ovat mitallisia. Kiinteällä n pätee g g n ja h h n, joten 0 h g h n g n. Siis (h g) dx (h n g n ) dx 0, missä raja-arvo seuraa Riemannin-integroituvuusoletuksesta. Tämä on mahdollista vain, jos h g = 0 melkein kaikkialla. Koska g f h = g melkein kaikkialla, pätee myös f = g = h melkein kaikkialla. Erityisesti f yhtyy mitalliseen funktioon melkein kaikkialla ja on siis itse mitallinen. (Tässä vedotaan mitta-avaruuden täydellisyyteen, tämä on ollut harjoitustehtävänä.) Nyt pisteittäisestä epäyhtälöstä g n f h n ja integraalin monotonisuudesta seuraa, että g n dm f dm h n dm, ja oikea ja vasen puoli lähestyvät samaa raja-arvoa (R) f dx. (b): (a)-kohdan perusteella f on L-integroituva (a, b):llä kun inf I < a < b < sup I. Erityisesti se on mitallinen kullakin (a, b). Valitaan jokin laskeva jono a n inf I ja kasvava jono b n sup I. Nyt siis kukin f n = 1 (an,b n)f on mitallinen, ja I