Solmu 3/08 3 Esponenttifuntio Pea Alestalo Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Jodanto Esponenttifuntio e x on eräs täreimmistä matematiiassa ja varsinin sen sovellusissa esiintyvistä funtioista Ainoa syy tään on sen toteuttama differentiaaliytälö D e x = e x, jota ilman ieman liioitellen uaan ei olisi osaan uullutaan Neperin luvusta e Luioirjoissa esponenttifuntiota äsitellään välillä yvinin uolettomasti, ja suppeimmasta päästä taitaa olla seuraava määritelmä : Esponenttifuntion e x arvo voidaan lasea lasimella joaisella muuttujan x arvolla esiminen, mutta muuten siinä tarvitaan vain polynomien derivoimissääntöjä Tämän irjoitusen taroitusena on selittää, uina polynomeista P n x päästään esponenttifuntion täsmälliseen määritelmään, ja todistaa tarasti aii sen ominaisuudet Esitietona annattaa tutustua irjoituseeni [] Neperin luvusta, ja lisäsi tarvitaan joitain perustietoja sarjojen äsittelystä; osa niistä errataan lyyesti Loppuosan ominaisuusien perustelu noudattaa perinteistä tyyliä ja löytyy esimerisi viitteistä [7, luu VI], [4, Capter 5] ja [5, Capter ] Kaiissa näissä oletetaan uitenin aiaisemmin todistetut potenssisarjojen derivoimissäännöt, jota tämän irjoitelman ysinertaisemmassa tilanteessa voidaan iertää Sysyn 07 pitän matematiian ylioppilasoeen tetävässä 8 tutittiin polynomeja P n x = + x! + x! + x3 3! + + xn n! = n x ja niiden yteyttä esponenttifuntioon e x Tetävän b-odassa täytyi osoittaa, että P nx = P n x aiilla x R ja aiilla indeseillä n =, 3,, joa muistuttaa esponenttifuntion derivoimisaavaa D e x = e x Lasun tärein välivaie on aavan n n! = n! Määritelmä Huolimattomasti päätellen ytälöstä P nx = P n x voidaan ottaa raja-arvo, un n, jolloin päädytään funtioon P x = lim n P n x, ja se toteuttaa vaaditun differentiaaliytälön P x = P x Raja-arvon olemassaolon lisäsi tään liittyy uitenin vaavampi ongelma Tarasti ottaen raja-arvoa n sovelletaan ytälöön Oiealla puolella DP n x = P n x lim P n x = P x n Jos tästä irjoitusesta jätetään aii ylimääräinen pois, niin varsinaiset todistuset tiivistyvät alle ateen sivuun
4 Solmu 3/08 ilman suurempia ongelmia, mutta vasemmalla puolella tarvittaisiin ominaisuutta lim DP nx = D lim P nx = DP x n n Toisaalta derivaatta D on erotusosamäärän rajaarvo, ja yleensä aden raja-arvon järjestysen vaitaminen tuottaa analuusia Esimeri Lauseeelle ja n+ lim lim n n + on voimassa = lim 0 = 0 lim lim = lim n n + = n Kun näinin ysinertainen esimeri osoittaa rajaarvojen vaitamiseen liittyvän ongelman, niin on oieastaan yvin yllättävää, että derivaatan odalla operaatio on yleensä sallittu! Mutta tämä vaatii uolellista analysointia, joon seuraavasi rydymme Määritelmä Esponenttifuntio exp: R R määritellään aavalla expx = un x R x = + x +! x + 3! x3, Siirtyminen polynomista sarjaan ei ole uitenaan aivan ongelmatonta: Ono selvää, että sarja suppenee aiilla muuttujan arvoilla x R? Määritelmän perusteella ainoa elppo tapaus on exp0 = Vastausen antaa tässä tapausessa sarjoiin liittyvä sudetesti Lause 3 Sudetesti Jos sarjan a termeille on voimassa lim a + a <, niin sarja suppenee Sudetestin intuitiivinen perustelu on seuraava: Geometriselle sarjalle aden perääisen termin sude a + a = q on sarjan sudeluu, josta sen suppeneminen määräytyy Sudetestin muaan yleinen sarja suppenee, jos sen termit äyttäytyvät asymptoottisesti samalla tavalla uin suppenevassa geometrisessa sarjassa Taremmin: Sarjan alupää ei vaiuta sen suppenemiseen, joten voidaan olettaa, että a + /a q < jollein vaiolle q ja aiille Tästä seuraa a a q a q a 0 q, Jos a p aiilla ja sarja p suppenee, niin sarja a suppenee joten sarjalle saadaan suppeneva geometrinen majorantti Näin ollen sarja a suppenee Majoranttiperiaatteen nojalla Funtion exp tapausessa a = x /, jolloin a + a = x + / +! x / = x + 0, un, joten sarja suppenee aiilla x R Ensimmäinen yritys Puutteellisia yritysiä arttava luija voi sivuuttaa tämän appaleen oonaan, atsoa apulauseen 4 ja siirtyä suoraan lauseeseen 6 Toisaalta tämä appale saattaa antaa motivointia myöemmille lasuille Nyt un sarjan suppeneminen on selvitetty, voidaan rytyä tutimaan exp-funtion derivaattaa erotusosamäärän expx + expx eomx, = avulla Ydistämällä sarjat saadaan eomx, = = = x + x x + x, osa indesin arvolla = 0 on x + x = 0 Sarjan sisällä olevaa erotusta voidaan äsitellä väliarvolauseen viite [] fb fa = f cb a avulla valitsemalla fx = x, b = x + ja a = x Näin saadaan aiilla x + x = c, jossa c on luujen x ja x + välissä; tarasti ottaen c = c x, riippuu myös muuttujista x ja Tämän perusteella eomx, = c = = =! c = c +; viimeisessä vaieessa on siirretty summausindesiä, joa muuttaa myös aluodan = = 0 Jos x > 0 ja > 0, niin x c + x + aiilla, joten erotusosamäärälle saadaan arviot expx eomx, x + = expx +,
Solmu 3/08 5 sillä aii termit ovat positiivisia Vastaavasti tapausessa x > 0 ja < 0 voidaan ensinnäin olettaa, että x + > 0, osa tutimme raja-arvoa 0 Tällöin x + c + x, ja saadaan expx + eomx, expx Jos osoitetaan, että exp-funtio on jatuva, niin näistä adesta epäytälöstä seuraa ienosti sanottuna suppiloperiaatteen 3 nojalla, että lim eomx, = expx, 0 joa taroittaa samaa uin D expx = expx Jatuvuuden todistaminen ei ole erityisen vaieaa, mutta sitä suurempi ongelma on alun oletus x > 0 Tapausessa x < 0 yllä olevan lasun epäytälöt menevät seaisin, eiä päättely enää suju Kosa tämä menetelmä ei näytä jotavan exp-funtion täydelliseen äsittelyyn, niin sivuutamme jatuvuustodistusen ja oeilemme väliarvolauseen sijasta ieman tarempaa approsimaatiota Aputulos Funtion exp derivaatta täytyy lasea määritelmän eli erotusosamäärän avulla Sitä elpottaa seuraava aputulos Apulause 4 Jos x, R ja N, niin on olemassa sellainen c [x, x + ], että x + = x + x + c Yllä oleva aava saattaa näyttää omituiselta, mutta sen taustalla on ysinertainen idea perustilanteessa x, > 0 Oiean puolen asi ensimmäistä termiä ovat samat uin binomiaavassa x + = x m m, m m=0 sillä 0 = ja = Kosa =, niin olmas termi muistuttaa binomiaavan olmatta termiä x Ja nyt vain ysi pointti: Korvaamalla tässä jatuvassa ja aidosti asvavassa lauseeessa x sitä ieman suuremmalla luvulla c saadaan aavaan ytäsuuruus ilman binomiaavan loppuosan termejä! Apulauseen perustelu tapausessa x, > 0; muut tapauset voidaan äsitellä samaan tyyliin, mutta tilanne muuttuu analammasi Sen vuosi alla esitetään myös toinen todistus, jossa eri tapausia ei tarvitse lainaan erotella Edellä jo todettiin, misi tällainen luu c on olemassa Lisäsi c x, sillä valinnalla c = x oiea puoli sisältää vain binomiaavan olme ensimmäistä termiä ja jää sen vuosi liian pienesi paitsi tapausessa = Osoitetaan vielä, että arvolla c = x + oiean puolen lauseeesta tulee liian suuri, joten c x +, ja väite seuraa Sijoittamalla lauseeeseen x luvun x paialle x+ nädään binomiaavan avulla, että termin x m m ertoimesi tulee m Tämä on suurempi uin vastaava erroin aavan vasemmalla puolella, joa on binomiaavan muaan m Kaavan ytäsuuruus pätee siis jollain arvolla x c x + Tetävä 5 Perustele epäytälö m m Apulauseen todistus: Apulause seuraa alla olevasta lauseesta 6 soveltamalla sitä funtioon fx = x Lause 6 Oloon f : R R asi ertaa derivoituva funtio; ts f x on olemassa aiilla x R Jos x, R, niin on olemassa sellainen c [x, x + ], että fx + = fx + f x + f c Todistus 4 Tarastellaan apufuntiota rt = ft fx f xt x bt x, joa arvolla t = x+ muistuttaa aavan vasemman ja oiean puolen erotusta; vaio b täytyy valita sopivalla tavalla myöemmin, osa emme vielä tiedä luvun c meritystä Tällöin r t = f t f x bt x ja r t = f t b Tavoitteena on löytää sellainen piste c, että r c = 0 Derivaatan nollaotia löytyy varsinaisen funtion nollaotien välistä, joten valitaan vaio b niin, että rx + = 0; tämä on madollista funtion rt määritelmän perusteella Tällöin rx = rx + = 0, joten näiden luujen välissä on derivaatan nollaota c, jolle siis r c = 0 Toisaalta myös r x = 0, joten luujen x ja c välissä on toisen derivaatan nollaota c : r c = 0 Ytälöstä 0 = r c = f c b saadaan vaion b arvosi b = f c Lauseen 6 aava seuraa nyt ytälöstä rx + = 0 sijoittamalla siien vaiolle b saatu lausee ja valitsemalla c = c 3 Jos u v w jollain välillä [ 0 δ, 0 + δ] \ { 0 } ja lim 0 u = lim 0 w = L, niin lim 0 v = L 4 Osa luijoista tunnistaa tässä Taylorin aavan elpoimman version todistusen Todistus on ieman lyyempi osittaisintegroinnin tai ns Caucyn väliarvolauseen avulla, mutta tässä esitetty perustelu saattaa olla elpompi esiä
6 Solmu 3/08 Ominaisuudet Lause 7 Esponenttifuntiolle on voimassa aiilla x R D expx = expx Todistus Oloon x R ja 0 Tällöin Apulauseen perusteella 5 expx + expx = = = x + x x + c, osa indesin arvolla = 0 on x+ x = 0 Sarja jaaantuu siis ateen osaan, joista ensimmäinen sievenee muotoon = x = = = expx;! x = x välivaieessa on siirretty summausindesiä, joa muuttaa myös aluodan = = 0 Jälimmäisen sarjan summaus voidaan ertoimen vuosi aloittaa odasta =, joten se on muotoa E = = = c = c + =! c aden aseleen indesinsiirrolla Tässä c + = c + x, on luujen x ja x + välissä, ja osa tutimme raja-arvoa 0, niin voidaan olettaa, että x +; lisäys + tarvitaan erioistapausen x = 0 vuosi Tällöin c + x + + x, joten jälimmäiselle sarjalle saadaan arvio E = c + exp + x + x Kiinteällä x R tämän ylärajan raja-arvo on nolla, un 0, joten exp-funtion erotusosamäärän rajaarvo odassa x on expx Olemme nyt valmiit ooamaan yteen exp-funtion täreimmät ominaisuudet ja todistamaan ne Viimeisessä odassa selviää myös exp-funtion yteys lauseeeseen e x : ne ovat aivan samat! Lause 8 Esponenttifuntiolla on seuraavat ominaisuudet: i D expx = expx aiilla x R ii exp x = / expx aiilla x R iii lim x expx = ja lim x expx = 0 iv exp: R ]0, [ on jatuva ja aidosti asvava bijetio v expx + y = expx expy aiilla x, y R vi expx = e x aiilla x R, un e = exp,788 on Neperin luu Todistus i Tämä todistettiin jo aiaisemmin, mutta mainitaan täreimpänä ominaisuutena vielä uudelleen ii Oloon fx = expx exp x, un x R Tällöin f x = exp x exp x + expxd exp x = expx exp x expx exp x = 0, joten f on vaiofuntio Kosa f0 = exp0 exp 0 = =, niin fx = aiilla x R, josta ominaisuus ii seuraa iii Määritelmän perusteella expx = + x + > + x, un x > 0 Kosa lim x + x =, niin sama pätee sitä suuremmalle lauseeelle expx Raja-arvo tapausessa x seuraa tästä äyttämällä odan ii aavaa iv Funtion derivoituvuudesta seuraa sen jatuvuus Määritelmän perusteella expx exp0 =, un x 0, jolloin odan ii aavasta seuraa expx > 0 aiilla x R Kosa D expx = expx > 0, niin exp-funtio on aidosti asvava Arvojouoa ja bijetiivisyyttä oseva väite seuraa tämän jäleen jatuvuudesta ja odasta iii v Oloon y R join iinnitetty luu Tarastellaan apufuntiota gx = expx + y expx expy, un x R Kodan iv perusteella lauseeen nimittäjä ei ole nolla, joten g on yvin määritelty Osamäärän derivaattaaavan muaan lyennetään tässä ex = expx jne g x = ex + yexey ex + yexey exey = 0, 5 Apulauseen meritys näyy nyt yvin, osa sarjan sisään jää vain asi termiä, eiä oo binomiaavaa
Solmu 3/08 7 joten g on vaiofuntio ja sen arvo on g0 = exp0 + y exp0 expy = Kosa y R voi olla miä taansa, niin aava v seuraa tästä vi Tarastellaan alusi positiivista rationaaliluua x = p/q, un p, q N Kaavan v perusteella e = exp = exp/q + + /q = exp/q q, }{{} q pl joten exp/q = e /q Tämän avulla saadaan expp/q = exp/q + + /q = exp/q p }{{} p pl = e /q p = e p/q Vastaava tulos negatiivisille rationaaliluvuille p/q seuraa tämän jäleen aavasta ii Kosa ytälö expx = e x pätee aiille rationaaliluvuille x Q, niin expfuntion jatuvuuden nojalla se pätee 6 myös aiilla x R Kaii odat on nyt todistettu Podiselua Seuraavassa vielä ommentteja muista vaitoedoista exp-funtion määritelmäsi: Määritelmä rationaalisten esponenttien e r rajaarvona, un r x: Periaatteessa luonnollista, mutta misi tutitaan jonin ummallisen luvun e potensseja? Tämä läestymistapa on selvitetty perusteellisesti viitteessä [3, appaleet 6 ] tai [6, luu VI] Määritelmä raja-arvona expx = lim + x n n n Tässäin on ideaa, mutta allista aiaa uluu ummallisten raja-arvojen pyörittelyyn Sarjaeitelmän äyttö sen sijaan jodattelee suoraan yleisempiin potenssisarjoiin ja niiden ominaisuusiin Määritellään ensin logaritmi funtion ft = /t rajaamana pinta-alana välillä t x ja esponenttifuntio tämän äänteisfuntiona: Moninertaista jäliviisautta ja vaatii tarasti ottaen integraalilasentaa tai ainain pinta-alan täsmällisen määritelmän Loppuaneetti Tässä on vielä lopusi yvä tilaisuus orjata aiaisempaan Neperin luua osevaan irjoituseeni [] jäänyt painovire: sivun vasemman palstan aavariviltä 4 puuttuu osa ertoimista Kaavassa luee n +! n n + mutta oiea lausee on muotoa n +! n + Viitteet n +, n n + [] Pea Alestalo: Neperin luvun adet asvot Solmu /05, 3 [] Anne-Maria Ernvall-Hytönen: Väliarvolause: Miä ime ja misi imeessä? Solmu /08, 8 0 [3] P Harjuleto, R Klén, M Kosenoja: Analyysiä reaaliluvuilla Unigrafia, Helsini 04 [4] Fran Morgan: Real Analysis American Matematical Society, 005 [5] Fran Morgan: Real Analysis and Applications American Matematical Society, 005 [6] Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilasenta, osa oreaouluja varten Kirjaytymä, Helsini 98 [7] Juani Pitäranta: Calculus Fennicus Avoimet oppimateriaalit, 05 ttps://gitubcom/avoimet-oppimateriaalit-ry/ calculus-fennicus/releases 6 Tässä oletetaan, että arvoilla a > 0 lausee a x on määritelty ja jatuva muuttujan x R suteen; vrt esimerisi viite [3, apple 6] Toinen vaitoeto on määritellä yleisesti a b = expb ln a, jolloin päädytään samaan tuloseen