KJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti Apulaisprofessori Konetekniikan laitos
Statiikan välikoe 12.3.2018 Ajankohta ma 12.3.2018 klo 14:00 17:00 Salijako Aalto-sali ja B-sali Ilmoittautuminen Ei tarvitse. Materiaali ja välineet o o o Opiskelijalla saa tuoda mukanaan ainoastaan kirjoitusvälineet (kynät, pyyhekumi ja viivain) ja laskimen (kaikki laskintyypit hyväksytään) Opiskelijalle jaetaan tehtävä- ja vastauspaperit Tehtäväpapereissa kysymykset ovat suomeksi, ellei muuta erikseen sovita. Sisältö 5 tehtävää (sekä laskuja että mahdollisesti sanallisia) Koealue Statiikan luennot ja tehtävät ja kurssikirjan luvut kurssiesitteen mukaan Yleisiä sääntöjä ENGin tenttiohjesääntöä noudatetaan soveltuvin osin https://into.aalto.fi/download/attachments/2398309/engtenttiohje2012-2.pdf?version=2&modificationdate=1409725172514&api=v2
Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon (ja laskuharjoitusten) jälkeen opiskelija Ymmärtää, että kuormitetussa palkissa vaikuttaa sisäisiä voimia ja taivutusmomentteja, jotka ovat jakautuneet koko palkin pituudelle. Osaa piirtää (1) sisäiset voimat kappaleen leikkauksen vapaakappalekuvaan ja (2) sisäisten voimien jakaumat palkille. Osaa ratkaista palkin sisäisten voimien suuruudet ja niiden jakaumat leikkauksen tasapainoyhtälöiden avulla Ymmärtää, miten palkin erilaiset rasitukset liittyvät toisiinsa.
Kertauksena: sauvat ja palkit Sauvassa vaikuttaa vain sauvan pituusakselin suuntaisia voimia. Palkki kantaa myös taivuttavaa, pituusakseliin nähden kohtisuoraa kuormitusta. Palkin rasitukset, eli sisäiset voimat, ovat tasokuormituksessa normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti.
Normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti Rakenteen sisäisen rasitustilan määrittäminen on keskeinen osa rakenteen lujuusopillista tarkastelua ja suunnittelua. Ulkoiset kuormitukset aiheuttavat rakenteeseen sisäisiä rasituksia, joiden seurauksena rakenne deformoituu (muutta muotoaan). Jos rasitukset ylittävät rakenteen kapasiteetin tai lujuuden, rakenne menettää kantokykynsä. Rakenteen (tässä tapauksessa palkin) sisäisen rasitustilan määrittämiseen tarvitaan statiikan taitoja. Uimahallin liimapuupalkki, Iisalmi. (Lähde: Onnettomuustutkintakeskus)
Sisäiset voimat yleisemmin Edellisellä luennolla: leikkausmenetelmä ristikon sauvavoimien ratkaisemisuun Sauvavoima on sauvan sisäinen (sauvan akselin suuntainen) normaalivoima à eli olemme jo sovellettu soveltaneet sisäisen voiman käsitettä.
Sisäiset voimat yleisemmin A a! B! a & %!! & % =! " = $ %!!! " = $ %
Palkin sisäiset voimat Palkin kuormitus voi aiheuttaa palkkiin normaalivoiman (! " ) (leikkauksen normaalin suuntainen), leikkausvoiman (leikkauksen suuntainen) ( # " ) ja taivutusmomentin ($ " ) (taivuttamaan pyrkivä). Riippuen kuormitustilasta, ilman jotakin (tai usein kaikkia) näistä sisäisistä voimista, palkki ei olisi tasapainossa. Sisäiset voimat voidaan esittää leikkauksen vapaakappalekuvassa kuin ne olisivat (tuntemattomia) ulkoisia voimia ne voidaan myös ratkaista samoin!
Palkin sisäiset voimat Jotta rakenne olisi tasapainotilassa, sen kaikkien osien on oltava tasapainotilassa. Sisäisten voimien, normaalivoiman (! " ), leikkausvoiman ( # " ) ja taivutusmomentin ( $ " ), suuruus voidaan ratkaista mielivaltaisessa palkin leikkauksessa vaatimalla, että palkin osat ovat tasapainossa. (vapaakappalekuva ja tasapainoyhtälöt!)
Merkkisäännöt Yllä positiiviset suunnat palkin leikkauksen vasemmalle osalle oikean osan positiiviset suunnat vastakkaiset (tasapaino!)
Esimerkki Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. Tullaan leikkaamaan palkki kohdasta C ja piirretään palkin oikean puoleisen puoliskon vapaakappalekuva. Ratkaisussa tarvitaan tukireaktio pisteessä B. Kun tämä tunnetaan, saadaan ratkaistua tuntemattomat sisäiset voimat tasapainoyhtälöiden avulla. 6 7 6 ) ( ) Koko kappaleen vapaakappalekuvaa käyttäen, ratkaistaan tukireaktio pisteessä B pisteen A suhteen muodostetun momenttiyhtälön avulla. + Σ$ % = 0 ( ) 6m 9kN 3m 4.5m 12kN 1.5m = 0 ( ) = 23.25 kn
Esimerkki Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään oikeanpuoleisen leikkauksen vapaakappalekuva. - + 9 kn/m Tässä siis edellä ratkaistu tukireaktio Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. + Σ- + = 0 * +, + 23.25kN 23.25 1.5m 9kN 1.5m (0.75m) - + = 0 - + = 24.75 knm + Σ: ; = 0 * + = 0 + Σ: = = 0 23.25kN 9kN(1.5m) +, + = 0, + = 9.75 kn
Esimerkki Leikataan palkki kohdasta C ja piirretään palkin oikean puoleisen puoliskon vapaakappalekuva. Tarvitaan taas ensin tukireaktio pisteessä B. Sen jälkeen ratkaistaan tuntemattomat voimat tasapainoyhtälöiden avulla. Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C.! "! # $ # Koko kappaleen vapaakappalekuvaa käyttäen, ratkaistaan tukireaktio pisteessä B pisteen A suhteen muodostetun momenttiyhtälön avulla. + Σ( ) = 0 $ # 6m 15kN 4.5m 10kN 1.5m = 0 $ # = 13.75 kn
Esimerkki Leikataan sitten palkki kohdasta C ja piirretään oikeanpuoleisen leikkauksen vapaakappalekuva. $ % Tässä siis edellä ratkaistu tukireaktio Määritä normaalivoima, leikkausvoima ja taivutusmomentti pisteessä C. 2 % 3 % 13.75 kn + Σ$ % = 0 13.75 3m 15kN 1.5m $ % = 0 $ % = 18.75 knm + Σ5 6 = 0 2 % = 0 + Σ5 8 = 0 13.75kN 15kN + 3 % = 0 3 % = 1.25 kn
Leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuviot Leikkausvoima, V, ja taivutusmomentti, M, ovat paloittain jatkuvia funktioita palkin pituudella. V:n ja M:n Jakaumaa kuvaava funktio muuttuu pistevoimien (myös tukivoimat) kohdalla. momentin vaikutuspisteen kohdalla. voimajakauman funktion muuttuessa. Koko jakauman määrittely: jaetaan palkki osiin ja määritetään funktiot joka osalle erikseen. Funktioiden kuvaajien nimet V:n ja M:n tapauksessa Leikkausvoimakuvio (V) Taivutusmomenttikuvio (M)
Esimerkki Määritä oheisen ulokepalkin leikkausvoiman ja taivutusmomentin jakaumat. Piirrä kuvaajat. Ratkaistaan ensin tukireaktiot palkin kiinnityspisteessä A vapaakappalekuvaa käyttäen (jäykkä kiinnitys: kiinnistypisteessä vaikuttaaa resultanttimomentti ja tukivoimat x- ja y-suuntaan).! " $ %! # + Σ) # = 0! # = 6 kn + Σ) " = 0! " = 0 + Σ$ % = 0 $ % = 18 knm
Esimerkki Määritä oheisen ulokepalkin leikkausvoiman ja taivutusmomentin jakaumat. Piirrä kuvaajat. Leikataan seuraavaksi palkki mielivaltaiselta etäisyydeltä! (tässä oletetaan, että! < 3 m) Piirretään vasemman puoliskon vapaakappalekuva ja kirjoitetaan tasapainoyhtälöt. (Muista positiivisten suuntien määritelmät) M A = 18 knm & ' = 6 kn $ % Tuntemattomat sisäisten voimien resultantit etäisyydellä!! Näitä siis ratkotaan. Voimatasapainosta saadaan leikkausvoima + Σ4 5 = 0 & 5 $ = 0. $ = 6 kn Momenttitasapainosta!:n suhteen saadaan taivutusmomentti + Σ% = 0 % & & ' >! + % = 0 % = &' >! % & % = 6! 18 (knm)
Esimerkki Piirretään vielä leikkausvoiman ja taivutusmomentin kuvaajat. Negatiiviset leikkausvoiman ja taivutusmomentin arvot piirretään x- akselin alapuolelle ja positiiviset yläpuolelle. Arvoilla x > 3 m, kumpaakaan kuvaajista ei ole määritelty, koska palkin pituus on tuo 3 m. './0 = 18 knm! (kn) ' (knm)! = 6 kn & Tässä kohdassa & = 3 m & ' = (6& 18) knm
Esimerkki Tehtävän voisi ratkaista, kuten edellä, laskemalla ensin tukireaktiot pisteessä A. Määritä oheisen ulokepalkin leikkausvoiman ja taivutusmomentin jakaumat. Piirrä jakaumien kuvaajat. Tätä ei kuitenkaan tarvitse välttämättä tehdä, jos leikkaamme palkin kohdasta x ja tarkastelemme vasemman puoliskon vapaakappalekuvaa. 2 kn/m "!
Esimerkki Leikataan siis palkki kohdasta!, piirretään vasemman puoliskon vapaakappalekuva ja määritetään tasapainoyhtälöt: 2 kn/m Määritä oheisen ulokepalkin leikkausvoiman ja taivutusmomentin jakaumat. Piirrä jakaumien kuvaajat. - + Voimatasapainosta saadaan leikkausvoima + Σ& ' = 0-2kN/m 3 (!m) = 0 - = ( 2!) kn Momenttitasapainosta!:n suhteen saadaan taivutusmomentti + Σ+ = 0 15kNm + 2!kN(! 2 m) + + = 0 Tasaista viivakuormaa vastaava ekvivalentti voimasysteemi x:n mittaiselle palkin palalle: resultanttivoima = (2! ) kn, jossa! on palkin palan pituus ja x/2 voiman vaikutuskohta! + = 15! 8 knm
Esimerkki Piirretään leikkausvoiman ja taivutusmomentin kuvaajat.! (kn) Tässä kohdassa 1 = 3 m Negatiiviset leikkausvoiman ja taivutusmomentin arvot piirretään x-akselin alapuolelle ja positiiviset yläpuolelle.! #$% = 0 " (knm)! = ( 21) kn! #,- = 6 kn 1 " #$% = 15 knm " #,- = 6 knm " = 15 1 2 knm 1
Jakaantuneen kuorman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin yhteydet Tarkastellaan " pituisen palkin osan tasapainoa (voima) pisteen O suhteen: + Σ' ( = 0,, +, + -(") " = 0, = -(") " Tarkastellaan palkkia AD sekä palkin osaa, jonka pituus on " ja jossa ei vaikuta pistevoimia. Jotta palkki olisi tasapainossa, tulee sen jokaisen sen # mittaisen osan olla tasapainossa. Jaetaan puolittain ":lla., " = -(") Otetaan raja-arvo, kun " 0. 0, 0" = -(") Leikkausvoimakuvaajan kulmakerroin = jakautunut kuorma.
Jakaantuneen kuorman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin yhteydet Tarkastellaan " pituisen palkin osan tasapainoa (momentti) pisteen O suhteen: Tarkastellaan palkkia AD sekä palkin osaa, jonka pituus on " ja jossa ei vaikuta pistevoimia. Jotta palkki olisi tasapainossa, tulee sen jokaisen sen # mittaisen osan olla tasapainossa. + Σ' ( = 0, " ' - " ". " + ' + ' = 0 ' =, " +.-(") " 2 Jaetaan puolittain ":lla. ' " =, +.-(") " Otetaan raja-arvo, kun " 0 3' 3" =, taivutusmomenttikuvaajan kulmakerroin = leikkausvoima
Pistemäisen kuormituksen, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset yhteydet Pistevoiman kohdalla olevan ":n pituisen palan tasapainoyhtälö: + Σ& ' = 0 * + & (* + *) = 0 * = & Leikkausvoimassa &:n suuruinen hyppäys pistevoiman kohdalla! * (kn) + & 2 & 2 "
Pistemäisen kuormituksen, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset yhteydet Momentin kohdalla olevan + :n pituisen palan tasapainoyhtälö pisteen O suhteen: + Σ$ % = 0 ) + $ $, + $ + $ = 0 $ = ) + + $, Kun + 0: $ = $, Taivutusmomentijakaumassa on siis $, :n suuruinen hyppäys momentin kohdalla. $ (knm) $, + Huom! Vaikka momentti on vapaa vektori, joka aiheuttaa saman ulkoisen vaikutuksen kappaleeseen vaikutuspisteestä riippumatta. Kun tarkastellaan sisäisiä voimia, vaikutuspisteellä on merkitystä.
Kuormituksen, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset yhteydet Saaduista yhteyksistä voidaan tehdä hyödyllisiä päätelmiä: Kun jakaantunut voima on nolla (palkin kuormittamatton osuus), leikkausvoiman kulmakerroin on nolla, eli leikkausvoima on vakio.!"!# = %(#)!(!# = " " = * ( = ( + Kun jakaantunut voima on nolla, leikkausvoima on vakio ja taivutusmomentin kulmakerroin on vakio: taivutusmomentti muuttuu lineaarisesti. Jos kuormitus on tasainen, eli % # = % + (vakio), leikkausvoima muuttuu lineaarisesti, kuvaajan kulmakerroin on % +. Jos jakaantunut voima on n asteen polynomi, leikkausvoima on n + 1 asteen polynomi ja taivutusmomentti on n + 2 asteen polynomi. Kun leikkausvoima on nolla, taivutusmomentilla on ääriarvo. Pistevoiman kohdalla leikkausvoimassa on pistevoiman suuruinen hyppäys. Momentin kohdalla taivutusmomentin kuvaajassa on momentin suuruinen hyppäys, mutta leikkausvoima ei muutu.
Esimerkki Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. 1. Määritetään palkin tukireaktiot. 2. Piirretään leikkausvoiman kuvaaja väleille AD, DB ja BE. Leikkausvoima on jatkuva eikä muutu momentin kohdalla, joten ei tarvitse C:n yli paloissa. 3. Piirretään taivutusmomentin kuvaaja väleille AC, CD, DB ja BE.? : ; < = 2 > @ : % 2 % + Σ) * = 0 20 knm 8kN 3m + 2 % 5m (15 kn m )(3m)(6.5m) = 0 2 % = 67.3 kn + Σ$ % = 0 : % 8kN + 67.3kN (15 kn/m)(3m) = 0 : % = 14.3 kn + Σ$ ; = 0 : ; = 0
Esimerkki Piirretään leikkausvoiman kuvaaja, aloitetaan vasemmalta. Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. Väli AD: F y =0: V = -A y = -14.3 kn -! " = 14.3 kn V " Väli DB: F y =0: V = -A y - 8kN= -22.3 kn. - *! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn / 0 1 (kn) -! " = 14.3 kn. V 14.3!. 22.3 * / 0
Esimerkki -. * V Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille.! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn " Väli BE: F y =0: V(x) = -A y 8 kn + B y 15 kn/m (x-5m) -. * / 0 V(5m) = ( -14.3 8 + 67.3) kn = 45 kn V(8m) = ( -14.3 8 + 67.3 15 (8-5) ) kn = 0 1 (kn) 45! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn 14.3!. 22.3 * / 0
Esimerkki Piirretään taivutusmomentin kuvaaja, aloitetaan vasemmalta. Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. " Väli AC: M(x) + A y x = 0: M(x) = - A y x M(x=2m) = -28.6 knm Piste C: M(x=2m) + 20 knm = -8.6 knm -! " = 14.3 kn M -. * / 0 Väli CD: M(x) + A y x 20 knm = 0: M(x) = - A y x + 20 knm M(x=3m) = -22.9 knm -! " = 14.3 kn M! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn 1 (knm)! -. * 8.6 / 0 28.6 22.9
Esimerkki Väli DB: M(x) + A y x 20 knm + 8 kn (x-3m)= 0: M(x) = - A y x + 20 knm - 8 kn (x-3m) Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. " M(x=5m) = -67.5 knm -. M. - *! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn / 0 1 (knm)! -. * 8.6! " = 14.3 kn / 0 28.6 22.9 67.5
Esimerkki Väli BE: Tarkastellaan ensin jakautuneen kuorman vaikutusta: F (x) = 15 kn/m (x-5m) M (x)=f (x) x (x) = 7.5 (x-5) 2 knm x (x) = 0.5 (x-5m) Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. M(x) + A y x 20 knm + 8 kn (x-3) B y (x-5) + 7.5 (x-5) 2 = 0 M(x) = -A y x + 20 knm - 8 kn (x-3) + B y (x-5) - 7.5 (x-5) 2 " -. * / 0 M(x=5m) = -67.5 knm M(x=6m) = -30 knm M(x=7m) = -7.5 knm M(x=8m) = 0 knm -. * M! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn 1 (knm)! -. * 8.6! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn / 0 28.6 22.9 67.5
Esimerkki Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. " 14.3 9= 90 = 0 = (kn) = =?!. 22.3 45 9= 90 = 0 9= 90 * / = =? = 15 kn/m 0. - *! " = 14.3 kn * " = 67.3 kn / 1 = 20 kn < m 0 1 (knm)! -. * 8.6 28.6 91 90 = 14.3 91 90 = 22.3 22.9 67.5 / 0 1(0) on 2. asteen polynomi
Yhteenveto Määrittelimme palkin sisäiset voimat: Normaalivoima N, Leikkausvoima V ja taivutusmomentti, M Opimme, miten sisäiset voimat lasketaan: 1. Leikataan kappale 2. Piirretään leikkauksen vapaakappalekuva, jossa sisäiset voimat kuvattu, kuten ulkoiset 3. Ratkaistaan sisäiset voimat tasapainoyhtälöiden avulla
Yhteenveto Opittiin kuinka leikkausvoima ja taivutusmomentti jakaantuvat palkin pituudella Opittiin esittämään leikkausvoiman ja taivutusmomentin graafisesti kuvaajien avulla Johdettiin kuormituksen, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset differentiaaliset yhteydet Teimme niistä päätelmiä, joiden avulla kuvaajien piirtäminen nopeutuu.